КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Опус 1/F
Часть 2: Разновидности и цвета шумов
Прологи: наука о сознании становится точной
Опус 1/F
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Опус 1/F, часть 2: Разновидности и цвета шумов
Темы:
Вообще, шумом называют любой сигнал (а график динамики продаж тоже можно рассматривать как сигнал), который имеет нерегулярную, хаотическую форму. В таком сигнале всплески и падения сменяются с виду бессистемно, совершенно случайно. Тем не менее, как и любой сигнал, шум можно анализировать также, как анализируют любые сигналы. В том числе, можно выделить частотный спектр шума.
Из ВУЗ-овского курса математики вы должны помнить, что любая функция может быть преобразована с помощью "преобразования Фурье". Это такая операция, которая позволяет представить функцию (или сигнал) в виде её спектральных составляющих. То есть, любой сигнал можно представить в виде суммы колебаний различных частот. Для разных типов сигналов амплитуды колебаний на различных частотах различаются и когда мы строим график, на котором по оси X откладывается частота колебаний, а по оси Y - их амплитуда, мы получаем спектр сигнала:
Во многих компьютерных (и не только) музыкальных проигрывателях есть функция отображения спектра музыки, наподобие этого. Тут по спектру видно, что в играющей музыке превалируют низкие частоты, что в районе частоты в 800 Гц. присутствует пик, который связан с резонансом определенного инструмента... В общем, по спектру сигнала можно многое о нем узнать.
Оказалось, что спектр шума дает о нем очень красноречивую информацию, поэтому сегодня принято классифицировать различные виды шумов как раз по особенностям их спектра. И среди всего их многообразия наибольшее значение имеет три типа шумов: белый шум, коричневый шум и розовый шум.
Цветные шумы
Кликните, чтобы увеличить
 Можно увеличить
Три основных вида шума.
Мы начнем с белого шума. Это "абсолютный" шум - единственный вид шума, в котором нет абсолютно никакой системы, лишь полная случайность. Чтобы его получить, нужно обратиться к случаю - например, взять числа от 1 до 1000, наугад их выбирать и записывать. У нас получится совершенно случайная последовательность чисел, и если её изобразить на графике, мы получим классический вид белого шума.
Коричневый шум можно получить другим способом. Мы будем выбирать наугад числа от -500 до +500 и прибавлять их к значению предыдущего числа. То есть, если первое значение равно 103, а нам случайно выпало число 67, то следующее значение будет 170. Если мы построим так длинную последовательность значений, мы получим коричневый шум. Он выглядит более гладким, не таким изрезанным, как белый шум: график не прыгает, а случайно "бродит" то вверх, то вниз. Сам способ получения коричневого шума называется алгоритмом случайного блуждания. Считается, что именно так двигаются мелкие частицы под действием броуновского движения. Это отражено и в самом названии шума: на самом деле он не коричневый, а "brown", по фамилии открывателя броуновского движения. По совпадению, "brown" по-английски означает также и коричневый цвет. Обратим внимание, что коричневый шум не совсем случаен: каждая следующая точка графика строится на основе положения предыдущих точек, а не "с нуля". Поэтому говорят, что броуновский шум отражает процесс с памятью, то есть, следующая точка возникает хотя и случайно, но исходя их предшествующих. У белого шума этой памяти нет.
Наконец, розовый шум. О нем мы пока лишь скажем, что он находится посредине между белым и коричневым шумом, что заметно по его виду - с одной стороны, он не такой хаотичный, как белый шум, а с другой - не такой приглаженный, как коричневый.
Спектры цветных шумов
Теперь самое время обратиться к спектрам этих трех основных видов шумов, чтобы увидеть их яркие особенности. Сделаем лишь два замечания:
В реальности, на спектрах сигналов по оси Y принято отображать не амплитуду сигнала на определенной частоте, а квадрат амплитуды и его называют мощностью сигнала на этой частоте. Эта привычка пришла из физики, которая первая взялась за исследование различных колебаний. А для физики важнее не амплитуда колебаний, а количество энергии, в них заключенное. И это количество пропорционально именно квадрату амплитуды колебаний, поэтому на спектрах принято отражать именно квадраты амплитуд.
Очень часто спектры строят не в линейной шкале, а в логарифмической. Если вы взглянете на спектр музыки выше, вы сможете заметить, что горизонтальная шкала не линейная, а логарифмическая: промежуток от 100 Гц. до 1000 Гц. ("1К") имеет такую же длину, что и промежуток от 1000 Гц до 10000 Гц. ("10К"). То же самое и по оси Y: в звуковых анализаторах спектра мощность сигнала меряют в децибеллах, это специальная логарифмическая единица мощности звука. Логарифмические шкалы позволяют в одном спектре сразу уложить большой диапазон частот и мощностей сигнала. Кроме того, логарифмические спектры гораздо лучше соответствуют свойствам нашего восприятия - для человека гораздо заметнее разница между звуком с частотой в 40 Гц. и 50 Гц., чем между звуками с частотой в 1040 Гц. и 1050 Гц. На линейной шкале эта разница имела бы одинаковый размер, а на логарифмической всё как надо - первая разница выглядит гораздо больше второй. То же самое верно и относительно громкости звука. Мы также будем пользоваться далее логарифмическими спектрами, тем более, что они как нельзя лучше подходят для отображения спектров различных шумов.
Спектр белого шума
Итак, сначала взглянем на спектр белого шума . С помощью незаменимой MATLAB мы построили длинную последовательность совершенно случайных чисел и рассчитали логарифмический спектр получившегося сигнала:
Спектр белого шума. Черные точки отражают рассчитанную мощность для определенной частоты.
Первое, что сразу бросается в глаза - спектр белого шума примерно ложится на горизонтальную линию. Он немного неровный из-за случайности, но если провести множество числовых экспериментов и усреднить результат, спектр будет совершенно горизонтальным.
Задумайтесь: разве это само по себе не изумительно? Совершенно случайный бессистемный набор чисел вдруг дает ровный как стол спектр! Каким-то образом даже в абсолютном белом шуме обнаруживается ясная система, которую вовсе не легко было бы предугадать, принимая во внимание сам способ его получения - аналог бросания костей.
На спектре также проведены три прямых линии. Они важны для дальнейшего, поэтому разберемся, что они означают.
Мы имеем дело с логарифмической шкалой и вид различных кривых в ней изменяется по сравнению с линейной. В частности, все кривые соответствующие простым степенным математическим функциям типа y=1/x или y=1/x² приобретает в логарифмической шкале вид прямых линий различного наклона. На нашем спектре три таких линии:
1/f² - соответствует случаю, когда мощность сигнала обратно пропорциональна квадрату частоты.
1/f (1/f¹) - соответствует случаю, когда мощность сигнала обратно пропорциональна частоте (чем выше частота, тем пропорционально меньше мощность).
1/fº - соответствует случаю, когда мощность сигнала равна на всех частотах. (Обозначается как f в степени 0, из математики мы знаем, что любое число в нулевой степени равно 1)
Положение этих кривых по вертикали не имеет значения (от этого сама функция существенно не меняется). Важен лишь их наклон - он зависит от степени f.
Без всяких сомнений, спектр белого шума ложится на горизонтальную кривую 1/fº, и это значит, что мощность белого шума на всех частотах одинакова.
Спектр коричневого шума
Далее мы обращаемся к коричневому шуму. И вновь удивительный факт: спектр шума, полученного по алгоритму случайного блуждания тоже определенно ложится на линию, на этот раз на линию 1/f²:
Спектр коричневого шума.
Казалось бы, дело осталось за малым...
Спектр розового шума
Если спектр белого шума изящно ложится на линию 1/fº, а спектр коричневого - на линию 1/f², то совершенно естественно полагать, что спектр промежуточного, розового шума, должен ложится на линию 1/f. Так оно и есть. Именно шум со спектром, который ложится на линию, примерно соответствующую 1/f, принято называть розовым шумом. Примерно - потому что в природе известно множество случаев, когда шум "почти" розовый - то есть, когда показатель степени f не равен 1, но близок к нему. Такого рода шумы принято называть розовыми.
Еще о "цветных" названиях шумов
Почему белый шум называют "белым", а розовый – "розовым"?
Всё дело в сопоставлении спектра шумов со спектром электромагнитных колебаний. Мы знаем, что разные цвета радуги являются продуктом электромагнитных излучений разной длины волны (частоты):
Красному цвету соответствуют более низкие частоты электромагнитного излучения, фиолетовому - более высокие. Белый цвет (например, белый свет солнца в летний полдень) является равномерной смесью электромагнитных излучений разной длины волны. То есть, белый свет - равномерная сумма электромагнитных колебаний различных частот. По этому признаку и белый шум назван "белым".
Если же в спектре превалируют низкие частоты, то зрительно это бы соответствовало превосходству красного цвета, свет из белого бы стал розоватым. Именно эта аналогия и стала причиной названия "розового шума": в нем по сравнению с белым мощности низких частот выше.
Но как же получить розовый шум? Белый мы можем получить простым перебором случайных чисел. Коричневый - алгоритмом случайного блуждания, но как таким же простым способом получить розовый шум?
Поразительно, но простого математического метода получить розовый шум так и не нашли. Розовый шум, проявляясь в совершенно различных явлениях природы - от звуков человеческой речи и шума полупроводников до распределения кратеров на Луне и размера городов в США - остается непонятным по происхождению, настоящей загадкой. К слову, о шумах в природе...
Шумы в природе
Все три основных типа шумов широко распространены:
Там, где случайным образом смешиваются разные факторы, возникает белый шум - его можно услышать, например, настроив старый радиоприемник на волну, в которой нет радиостанций. Другой пример - тепловой шум в полупроводниках. Он создается хаотическими колебаниями атомов и при большом усилении его вполне слышно в любом звуко-воспроизводящем устройстве. Происхождение белого шума понятно - ведь это просто игра случая.
Коричневый шум также широко распространен в природе, и это не удивительно - ведь он порождается случайным блужданием. Например, ему соответствуют волны морского прибоя и, естественно, броуновское движение частиц.
Так выглядит типичный спектр шума чувствительного полупроводникового усилителя. Он состоит из двух частей - на низких частотах на первый план выходит фликкер-шум 1/f (наклонная кривая), на высоких частотах - тепловой белый шум (плоская часть кривой).
Розовый шум, несмотря на непонятное происхождение, встречается чрезвычайно широко. Впервые он обратил на себя внимание, когда физики заметили, что некоторые полупроводниковые приборы как-то странно шумят. Кроме обычного теплового белого шума они обнаружили присутствие шума, в котором было больше низких и очень низких частот. Оказалось, что мощность этого шума обратно пропорциональна его частоте и это соотношение верно даже для частот в тысячные доли герца. Это значит, что в полупроводниках происходят какие-то процессы длиной в несколько дней и больше, которые и порождают этот шум. Его назвали "фликкер-шумом", мерцающим шумом - теперь это другое название розового шума. До сих пор внятного объяснения, откуда он берется и какие длительные процессы могут его создавать, не существует, а ведь физика полупроводников – одно из самых изученных направлений. А после его стали находить повсюду - в интенсивности дорожного движения, в сердцебиении, в электроэнцефалограммах, в динамике разливов рек, в интенсивности космических излучений, в климатических данных, даже звуки человеческой речи и музыка имеют в среднем спектр розового шума - и это лишь малая часть всех известных проявлений шума 1/f. Пожалуй, ни один другой вид шума не распространен так широко в самых разных явлениях природы, он буквально является "универсальным кодом природы". И при этом его происхождение остается интригующей загадкой.
Совершив короткий экскурс в увлекательный мир шумов, мы готовы вернуться к шумам в динамике продаж. Какой именно тип шума мы видим, когда разглядываем изрезанные графики дневных продаж? Абсолютно случайный белый? Блуждающий коричневый? Загадочный розовый?
Вы уже догадались?
1
волатильность
...есть основания считать, что казалось бы абсолютно случайные ежедневные флуктуации продаж имеют память...
торгуя вот уже 4 года на срочном рынке дерривативов неоднократно слышал о том, что волатильность обладает памятью.
p.s. Ваши изыскания меня определённо заинтересовали. Благодаря им мне стала более понятна методика расчёта Российского биржевого индекса волатильности RTSVX. у меня тоже есть материал по данной теме.
Кирилл sam063rus@mail.ru (28.09.2012 20:38)
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER