КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Узелки на распуткуУзел 2. Опус о числах и формах
Узел 2.2 Рационали
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
Прологи
.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Узел 2.2 Рационали
 
Роман Уфимцев
26 марта 2015 года, Калининград
Натуральные числа: количества
Приступая к собственному изысканию природы чисел, будем держаться самых надежных ориентиров: простоты, ясности и опоры на непосредственный опыт. Что же нам может поведать наш опыт? Как нам даны числа в непосредственном восприятии мира?
Это первый и центральный вопрос. Очевидный (хотя, может быть, не единственный) ответ - числа нам даны в опыте как количества. Мы не можем ни видеть, ни слышать, ни чувствовать собственно число 5, но можем видеть 5 пальцев на руке, 5 яблок на столе:
Числа нам являются как количества - подчеркнем это. (Не будем путать собственно число 5 со знаком "5", обозначающим это число - его мы можем конечно видеть и слышать, но этот знак - не само число, а лишь его обозначение. Символ "5" связан с соответствующим количеством также, как слово "яблоко" связано с тем непосредственно воспринимаемым фруктом, которое оно обозначает. "Пятерное количество" - это смысл знака "5" или слова "пять".)
И тут возникает важный и очевидный пункт: лишь целые и положительные числа могут обозначать непосредственно воспринимаемые количества: 1,2,3... Это числа натурального ряда - и он не даром так называется. Это - самые приближенные к непосредственному опыту числа, наименее абстрактные из них. Конечно, наш современный ум, кажется, легко оперирует и не-целочисленными количествами. Однако, в своем исходном, феноменологическом значении количество выражается числами натурального ряда.
Только натуральные числа (и их отношения) признавались пифагорейцами и именно они составляли основу их метафизики. Ее суть была проста: все в мире в своей сути является числами, и разнообразие вещей и их свойств определяется разнообразием свойств чисел натурального ряда, а элементы чисел это элементы всего существующего. Вот что рассказывает Аристотель:
В это же время и раньше так называемые пифагорейцы, занявшись математикой, первые развили ее и, овладев ею, стали считать ее начала началами всего существующего. А так как среди этих начал числа от природы суть первое, а в числах пифагорейцы усматривали (так им казалось) много сходного с тем, что существует и возникает, - больше, чем в огне, земле и воде (например, такое-то свойство чисел есть справедливость, а такое-то - душа и ум, другое - удача, и, можно сказать, в каждом из остальных случаев точно так же); так как, далее, они видели, что свойства и соотношения, присущие гармонии, выразимы в числах; так как, следовательно, им казалось, что все остальное по своей природе явно уподобляемо числам и что числа - первое во всей природе, то они предположили, что элементы чисел суть элементы всего существующего и что все небо есть гармония и число. И все, что они могли в числах и гармониях показать согласующимся с состояниями и частями неба и со всем мироустроением, они сводили вместе и приводили в согласие друг с другом; и если у них где-то получался тот или иной пробел, то они стремились восполнить его, чтобы все учение было связным. Я имею в виду, например, что так как десятка, как им представлялось, есть нечто совершенное и охватывает всю природу чисел, то и движущихся небесных тел, по их утверждению, десять, а так как видно только девять, то десятым они объявляют "противо-Землю".
К слову, девять небесных тел, о которых говорит Аристотель - это Земля, Луна, Меркурий, Венера, Солнце, Марс, Юпитер, Сатурн и сфера звезд.
Увы, как мы увидим чуть далее, вся замечательная по замыслу картина мироздания Пифагора рухнула в одночасье из-за неугомонности одного из его учеников.
Рациональные числа: пропорции
Следующая разновидность чисел, которая также имеет прямое отношение к нашему непосредственному опыту и количествам - рациональные числа. Это числа, которые можно представить в форме целочисленной дроби A/B, где A и B - целые числа, например:
Заметим, что натуральные числа тоже являются рациональными, поскольку, например, число 2 можно представить как сократимую дробь 14/7. В несократимом виде - как 2/1.
Эти числа - не количества, а отношения количеств A и B, то есть, пропорции. Обратим внимание, что пропорцией в исходном смысле слова именуется именно отношение двух целых чисел, то есть, количеств, а не произвольное отношение - именно так пропорцию понимали древние пифагорейцы:
Если нам даны в непосредственном опыте количества, то даны и пропорции: это просто отношение между двумя количествами. Для пифагорейцев, для которых не только любая совокупность вещей была числом-количеством, но и любая вещь сама по себе являлась числом, было естественно понимать числовое отношение пропорции как основу или суть любых отношений между вещами мира. И тут замечательное место занимает их учение о гармонии. Пифагорейцы полагали, что пропорции, в зависимости от входящих в них целых чисел, могут соответствовать плохим или хорошим, гармоничным или не гармоничным отношениям. Им посчастливилось найти великолепный по наглядности и убедительности пример, который, возможно, сам по себе стал высшим достижением школы Пифагора.
Предметом их исследования стало созвучие звуков разной высоты, издаваемых музыкальными инструментами. Отправной точкой для пифагорейцев, по видимому, послужило простое наблюдение о том, что две одинаково натянутых струны, длины которых соотносятся в пропорции 2:1 издают созвучные, консонантные звуки, разделенные ровно одной музыкальной октавой. Например, если одна струна издает звук ноты ДО, то и вторая тоже звучит как ДО, но в следующей октаве. Уже Платон вполне понимал причину этого созвучия: дело в кратности частот звуков, издаваемых струнами, длины которых соотносится как 2:1. Наряду с тривиальной пропорцией 1:1 пропорция октавы стала одной из четырех основных пропорций пифагорейского учения о гармонии:
Чем меньшие числа входят в пропорцию, тем сильнее выражено согласие в звучании струн. Автор предлагает читателю убедиться в этом лично, сравнив звучание четырех звуковых фрагментов:
Легко заметить, что звуки в последнем образце менее созвучны, чем в первых, они не гармонируют между собой (или гармонируют гораздо слабее). И дело в пропорции 7:3, которая не является "благоприятной". Она соответствует каким-то более сложным отношениям между звуками, нежели простейшие пропорции октавы, квинты и кварты.
Дальнейшая логика пифагорейцев кажется очевидной. Раз мелодия как нечто гармоничное и целостное, образована звуками, находящимися в отношениях целочисленных пропорций, эта пропорциональность и является источником гармоничности и целостности. Тогда естественно предположить, что не только мелодии, но и все вещи в мире, находясь в гармоничном устройстве между собой, соотносятся друг с другом в целочисленных пропорциях, а весь мир подобен одной вселенской мелодии. Пифагорейцы искали ее в движениях небесных светил - это знаменитое учение о гармонии сфер.
Автор, вовсе не только из любви к числам, полагает, что пифагорейское учение о гармонии незаслуженно осталось лишь достоянием музыкального искусства. По-видимому, это учение проливает свет на некоторые действительно глубокие законы, управляющие миром и отношениями между вещами мира. По сути, учение о гармонии - это учение о резонансах, а резонансы должны занимать важное место в волновом взгляде на природу, к которому пришла нынешняя наука. Вероятно, целочисленные пропорции вообще играют какую-то системообразующую роль, обеспечивая целостность и устойчивость многочастных систем - об этом мы еще будем говорить далее.
Но вернемся к рациональным числам. Далекому от математики читателю может показаться, что целые и рациональные числа исчерпывают все их многообразие: кажется, подбирая A и B, мы можем получить вообще любое число. Действительно, пусть у нас есть некоторая точка на числовой оси, соответствующая некоторому числу и пусть это число больше, чем A/B, но меньше, чем A+1/B:
Числа A/B и A+1/B - рациональные, и взяв среднее между ними, мы вновь получим рациональное число:
Затем мы можем найти среднее между A/B и новым рациональным числом, постепенно приближаясь к нужной точке:
И кажется, ничто нам не мешает как угодно близко подобраться к ней подобным образом, а значит, рано или поздно мы найдем рациональное число, которое точно совместится с этой точкой. То есть, вроде бы любое число является рациональным, потому что можно найти такие целые числа A и B, отношение между которыми будет равно искомому числу.
Именно так считали пифагорейцы, считая, что целочисленными дробями исчерпывается все многообразие чисел (и отношений) в мире.
Антифарезис: расплетаем число как косу
Греческие математики достигли почти совершенства в исследовании отношений целых чисел и применяли немало искусных методов их анализа. Некоторые они позаимствовали в древнем Вавилоне, некоторые - в Египте, третьи придумали сами. Одни из самых важных примеров - метод поиска наибольшего общего делителя двух целых чисел. Пусть у нас есть два целых числа A и B. Наибольший общий делитель - это самое больше целое число, на которое можно поделить оба этих числа без остатка. Например, наибольший общий делитель чисел 12 и 8 - число 4, а для пары чисел 11 и 7 - наибольший делитель равен 1.
Поиск наибольшего общего делителя имел важное значение для пифагорейцев и их наследников, поскольку позволял найти общую меру двух чисел или отрезков. Например, если у нас есть два отрезка длиной A и B, то их общая мера - это отрезок, который целое количество раз укладывается и в А и в B. Например, если отрезки имеют длину 12 и 8 локтей, то их общими мерами являются отрезки в 4 локтя, 2 локтя и 1 локоть:
Ясно, что наибольший общий делитель двух чисел - это их наибольшая общая мера.
Еще одно приложение наибольшего общего делителя - его знание позволяет любую целочисленную дробь (то есть, рациональное число) привести к несократимому виду, то есть, к такому, в котором она имеет самую компактную форму. Далее мы увидим, что это значит.
Пусть у нас есть два числа: 148 и 28. Найдем их наибольший общий делитель методом Эвклида или, как говорили сами греки, проведем антифарезис двух чисел. (В примерном переводе это означает "повторное вычитание меньшего от большего".) Проследим метод по шагам:
На первом шаге мы берем большее из двух чисел - 148 - и вычитаем из него меньшее - 28 - столько раз, сколько получится. Получается 5 раз. Остаток от вычитания равен 8.
На втором шаге мы берем прежнее меньшее число - 28 - в качестве нового большего числа, а в качестве меньшего мы используем остаток 8. Вычитаем из 28 число 8 столько раз, сколько получится. Получается 3 раза, остаток 4.
Повторяем операцию - большим числом выступает 8, меньшим - остаток 4. Получается вычесть 2 раза без остатка. Процедура закончена. Наибольшим общим делителем исходных чисел является остаток, полученный на предпоследнем шаге - то есть, число 4.
Таким образом, общей мерой чисел 148 и 28 является число 4 (ну, естественно, и числа 2 и 1). Далее, если у нас имеется рациональное число, представленное дробью 148/28, мы можем преобразовать его в несократимую дробь, разделив каждое из чисел на наибольший общий делитель:
Есть в методах греков какая-то особенная числовая магия: только подумайте, как можно изобрести такой метод получения наибольшего общего делителя? Простые повторяющиеся вычитания, перестановки чисел - и сам собой находится искомый результат. Но антифарезис даже еще более значим. Обратим внимание на множители, появляющиеся на каждом этапе процесса:
Они являются компонентами представления рационального числа в виде так называемой цепной дроби:
Каждое рациональное число можно представить в виде цепной дроби с большим или меньшим количеством звеньев:
Такое представление чисел - нечто гораздо большее, чем математическая причуда. В цепной дроби раскрывается внутренняя структура числа. Она словно представляет число в "расплетенном" виде, когда его внутренние соотношения становятся видны явно, раскрываются.
Попробуем уяснить этот тонкий смысл цепной дроби на примере еще одного способа ее построения (он является легким видоизменением метода Эвклида), скажем, для числа 11/7.
Для начала извлекем из числа целую часть: 11/7 = 1 + 4/7. Получившаяся единица - первое звено цепной дроби:
Теперь обратим остаток, то есть, превратим 4/7 в 7/4. И вновь извлекем целую часть из получившейся дроби. Получим 7/4 = 1 + 3/4. Мы получили еще одну единицу, и она - второе звено цепной дроби:
Теперь снова обращаем остаток, из 3/4 получаем 4/3, и вновь извлекаем целую часть: 4/3 = 1 + 1/3. Снова единица, и она - третье звено цепной дроби.
Наконец, обращаем 1/3 и получаем 3. Это целое число, и значит, это четвертое и последнее звено цепной дроби. Теперь мы можем записать результат:
Мы раскрываем рациональное число словно чистим луковицу, снимая с него слой за слоем: на каждом этапе мы 1) выделяем целую часть и 2) обращаем остаток. Отделяем целое и переворачиваем, отделяем целое и переворачиваем... - до тех пор, пока не исчерпаем все число до дна. Это чем-то похоже на разбор автомата Калашникова - мы снимаем одну часть с автомата, откладываем ее в сторону. Переворачиваем механизм, и снимаем другую часть,.. - и так до тех пор, пока не разберем его полностью.
Расплетение косы, чистка луковицы, разбор автомата - автор прибегает к многочисленным метафорам, пытаясь передать читателю смысл цепной дроби как уникального представления числа в раскрытом виде, в котором ясно видна его глубинная структура.
Классический полный вид цепных дробей не назовешь тривиальным. Неподготовленного человека их вид может смутить своей сложностью. К тому же, он довольно громоздкий. Поэтому в математике принята сокращенная запись цепных дробей, например:
В квадратных скобках просто перечислены те компоненты чисел, которые мы получаем на каждом этапе построения цепной дроби. Обратим внимание, что все они являются целыми числами - цепная дробь представляет рациональное число как многоуровневое отношение целочисленных компонентов - а для пифагорейцев истинными числами были, как мы помним, целые числа.
И все же, что значит "глубинная структура числа" и как цепная дробь помогает нам видеть эту структуру? Разберемся с этим на еще одном примере:
Представим число 7/5 как отношение двух количеств - а именно этот смысл несет число:
Анализ этого отношения, раскрытие его структуры, начинается с сопоставления нижнего количества с верхним:
Так мы выделяем первое звено цепной дроби. И далее последовательно выделяем остальные:
Результат анализа можно представить в виде схемы, чем-то напоминающей диаграммы распределения электронов по орбитам атома, применяющиеся в физике:
Эта диаграмма, соответствующая цепной дроби [1,2,2], однозначно определяет число 7/5. В ней скрыта какая-то диалектика: направление стрелок в диаграмме от уровня к уровню меняется на противоположное. В этой смене чудится какая-то периодическая динамика числа, его пульс. Но есть еще кое-что очень важное: такая диаграмма представляет число самым экономичным, лаконичным способом. Это настолько серьезный момент, что он заслуживает отдельного разговора. Дело в том, что среди прочих возможных представлений чисел - в форме обычной дроби или привычной десятичной записи, вне зависимости от выбора системы исчисления (а числа можно записывать не только десятичными знаками, но и, например, римскими цифрами), цепная дробь в среднем является самой короткой формой их записи с точки зрения необходимого количества цифровых символов. Одно только это намекает на особую роль цепных дробей - они словно являются самым естественным, натуральным представлением рациональных чисел, согласным с их глубинной природой.
У цепного представления чисел есть только один недостаток: им неудобно пользоваться для вычисления даже простейших арифметических операций. Например, посчитать сумму чисел 2/7 и 5/7 очень легко, но понять, почему [0,3,2] + [0,1,2,2] = [1] совсем не просто. Впрочем, ведь никто не требует, чтобы разобранным на части автоматом Калашникова было удобно стрелять?
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER