КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Узелки на распуткуУзел 2. Опус о числах и формах
Узел 2.3 Иррационали
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
Прологи
.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Узел 2.3 Иррационали
 
Роман Уфимцев
26 марта 2015 года, Калининград
Гиппас из Метапонта и ящик Пандоры
Если читатель проникся благородным духом пифагорейства, он в полной мере оценит потрясение, которое испытали древние математики, когда обнаружили, что кроме рациональных чисел существуют и так называемые иррациональные - это числа, которые нельзя представить в виде отношения A/B. Попросту нет таких целых А и B, отношению которых равны эти странные, "потусторонние" числа.
По видимому, первым числом, иррациональность которого была обнаружена, стал квадратный корень из 2. Если мы возьмем квадрат со сторонами единичной длины, длина диагонали квадрата будет равна как раз корню из 2:
Это следует из теоремы Пифагора, которую пифагорейцы, надо полагать, знали на зубок.
И вот, оказалось, что это число иррационально. Это открытие приписывается выдающемуся представителю пифагорейской школы Гиппасу из Метапонта. По выразительной легенде - которая вполне может быть апокрифом - свое открытие он совершил на судне во время морского плавания. Когда несчастный поделился им со своими собратьями-пифагорейцами, они пришли в такую ярость и расстройство, что выбросили Гиппаса за борт, а потом еще долго скрывали от общественности его открытие - горе гонцу, приносящему дурную весть! Этих извергов, однако, можно понять - вся пифогорейская философия строилась на идее рациональности чисел, на том, что все в мире находится в целочисленных пропорциях друг с другом. Их мировоззрение рухнуло в один миг, и им открылась пугающая правда: есть в мире вещи совершенно несоизмеримые, между которыми нет никаких пропорциональных отношений - как между стороной квадрата и его диагональю. Не существует таких целых чисел A и B, которые позволили бы заявить: "диагональ квадрата и его сторона соотносятся в пропорции A:B". Или, иначе говоря, у диагонали квадрата и его стороной нет общей меры.
Гиппас сумел это доказать - значит, сумеем и мы. Вот как это элементарно можно сделать - доказательство не самое короткое, но, пожалуй, самое наглядное.
Пусть есть такие целые числа A и B, что
При этом пусть А/B - несократимая дробь, то есть, у целых чисел A и B нет общих целых множителей. Тогда
Построим квадраты, стороны которых равны A и B соответственно. Поскольку A и B - целые числа, то и их площади - целые числа, и они равны количеству единичных клеточек, из которых составлены квадраты, A2 и B2 соответственно:
Из последнего уравнения нам известно, что площадь меньшего квадрата ровно в два раза меньше площади большего. Поделим больший квадрат пополам, проведя диагональ:
Площадь заштрихованной треугольной половины равна площади малого квадрата, то есть, равна B2. Обратим внимание на треугольные кусочки, площадь которых равна 1/2 - они выделены красным. Чтобы площадь всей треугольной половины была целочисленной (а она такой должна быть, поскольку она равна B2), этих кусочков должно быть четное количество. Из этого следует, что A должно быть четным числом. Значит, его можно представить как A=2*A', где A' - какое-то другое целое число. Подставим этот результат в уравнение
Получим
Тут мы снова можем нарисовать два квадрата. Но теперь меньшим окажется квадрат с длиной стороны A' и площадью A'2, а большим - квадрат с длиной стороны B и площадью B2. Двигаясь той же тропой логики, мы установим, что B должно быть четным числом, а значит, его можно представить как B = 2*B'. Получается, что и А и B содержат множитель 2. Значит, дробь А/B может быть заменена дробью A'/B', но ведь мы договорились, что A/B - несократимая дробь.
Мы пришли к противоречию, значит, √2̅ нельзя представить как целочисленную дробь, и оно не является рациональным числом.
Есть определенный сарказм в том, что иногда иррациональное число √2̅ называют "постоянной Пифагора". Это все равно, что в качестве памятника Прометею соорудить статую ворона, клевавшего ему печень. Если действительно Гиппас из Метапонта открыл иррациональность этого числа, именно он заслужил дать этому числу имя.
Может быть, вся эта история - художественная выдумка, но трагичность открытия хотя бы одного иррационального числа для пифагорейцев заключалась в том, что из этого непременно следовало: иррациональных чисел бесчисленное количество - Гиппас нечаянно открыл ящик Пандоры. Действительно, если √2̅ - иррациональное число, то и все числа, в которые эта иррациональ входит в качестве слагаемого или множителя - тоже иррациональные, например:
Умножив любое рациональное число на √2̅ мы получаем иррациональное. Из этого следует, что одних только иррациональных чисел, связанных с √2̅ столько же, сколько всех рациональных. Но если не только умножать, но и суммировать (как в этих примерах), иррационалей на основе √2̅ оказывается несравненно больше, чем всех рациональных чисел вместе взятых. Это не могло не привести ортодоксальных пифагорейцев в ужас: там, где они только что видели прекрасную и стройную бесконечную совокупность рациональных чисел, они увидели тьму иррациональных, в которых как редкие крупицы золота в горном потоке мелькают привычные им рационали. Их мир утонул в темном иррациональном хаосе.
Даже сегодня, спустя тысячелетия, феномен сосуществования рациональных и иррациональных чисел вызывает удивление - стоит только задуматься о его значении. Как пишет об этом Алексей Федорович Лосев,
...Весьма таинственное явление — совмещение рациональности и иррациональности на одной и той же прямой линии.
Вот как эту таинственность удобно проиллюстрировать. Каждое рациональное число является целочисленной дробью вида A/B. Построим бесконечную сетку, узлы которой соответствуют различным комбинациям A и B:
Каждому возможному положительному числу соответствует луч, исходящий из начала сетки. Если этот луч пересекает какой-либо узел, это "рациональный луч", соответствующий каком-нибудь рациональному числу. (Ясно, что если луч пересекает хотя бы один узел, он должен пересекать бесконечное количество узлов - например, 3/2 = 6/4 = 9/6 = ...) Но, несмотря на бесконечный размер этой сетки и бесчисленное количество узлов, существует бесчисленное же количество лучей, которые не пересекают ни один узел - это "иррациональные лучи", например, луч √2̅. В любом направлении, рядом с каждым "рациональным лучом" имеются и иррациональные. Это значит, что рациональные и иррациональные числа, обладая разной природой, находятся в бесконечно тесном соседстве друг с другом. Образно говоря, они смешались, но как вода и масло, которые никогда не смешиваются между собой окончательно.
Иррациональные числа: alogos, невыразимые
Вероятно, самое важное, что следует сказать об иррациональных числах - они не являются ни количествами, ни их пропорциями. Эти числа не имеют никакого отношения к количествам. В этом их ключевая особенность, и ее не просто оценить в полной мере. Обычно мы понимаем числа как количества, и никак иначе. И вот перед нами числа, которые имеют какой-то совершенно другой смысл. Но какой? Может быть, они являются математической абстракцией, не имеющей к "настоящему миру" никакого отношения? Если эти числа не имеют отношения к количествам, то соответствуют ли они чему-то другому в нашем опыте? В этом нам предстоит разобраться.
Цифры - символы, выражающие количество. Но иррациональные числа не имеют отношения к количествам, поэтому у нас есть только две возможности выражать или записывать их. Первая - просто придумать для них особый, не-цифровой символ - так и принято в математике. Иррациональное число, которое при умножении на само себя дает 2 принято обозначать как
Это - не цифра и не совокупность цифр, это специальный символ, который можно было бы заменить любым другим, например:
условившись, что этот символ означает число, которое при умножении на самого себя дает 2:
Поясним это лингвистическим сравнением: в русском языке слово "медведь" является не исходным названием животного, а только иносказанием "тот, кто ведает мед". По мнению языковедов, исходное название медведя в древнем русском языке звучало примерно так, как в нынешних индо-европейских языках: "бир" или "бер" - отсюда и слова "берлога". Однако, древние русские язычники опасались вслух произносить истинное имя тотемного зверя и поэтому использовали иносказание-намек "медведь". С обозначением числа √2̅ почти также, но мы вынуждены прибегать к иносказанию "тот, кто при умножении на себя дает 2" и соответствующему символическому обозначению не потому, что опасаемся выразить прямо скрывающееся за этим обозначением количество, а потому, что это невозможно - сущность, которую обозначает символ "√2̅" не является количеством.
Есть и другой вариант: вместо иррационального √2̅ мы можем записать рациональное число, которое приближается к √2̅. Именно такой смысл имеет запись
Это - приближенное значение числа √2̅, выраженное в форме рациональной десятичной дроби. Но это - лишь приближение, на что указывает многозначительное многоточие в конце записи. В действительности, чтобы выразить таким образом число √2̅ нам потребовалось бы бесконечное количество цифр, притом следующих друг за другом без всякого видимого порядка. Иррациональные числа, записанные в форме десятичной дроби образуют бесконечную и иррегулярную последовательность цифр. Это собственно означает, что их нельзя выразить цифрами ни устно ни письменно - только их приближения. По этой причине греки их называли αρρετoς, а римляне - alogos, что означает "несказанные" или "невыразимые". Арабские же математики именовали их просто "немыми" числами.
Не только в десятичном, но и в любом другом виде для представления числа √2̅ требуется бесконечное количество цифр. Но при этом правильно выбирая представление (как бы рассматривая число под правильным ракурсом), мы можем увидеть в бесконечной последовательности цифр определенную систему. Особенно полезны в этом смысле цепные дроби. Представим число √2̅ в форме цепной дроби, и мы увидим удивительную стройность структуры этого числа:
В компактной записи цепная дробь для числа √2̅ выглядит так:
где фигурная скобка обозначает бесконечное повторение соответствующего компонента или последовательности компонентов.
Мы говорили, что цепные дроби как рентген могут выявить скрытую структуру чисел. Это в полной мере относится и к иррациональным числам: их структура неисчерпаема (цепная дробь не имеет конца), но часто вполне систематична. Говоря конкретно о числе √2̅, его структура - если использовать "атомно-электронную" схему - оказывается очень простой и стройной, хоть и бесконечной в глубину:
Эта схема созвучна пониманию иррациональных чисел как бесконечно "становящихся", раскрывающихся, предложенному Лосевым:
Иррациональное число внешне есть всегда алогическое становление, т.е. оно всегда процесс, имеющий целью нечто выразить, но никогда не могущий выразить его адекватно. Иррациональное число поэтому требует бесконечное количество внешних актов счисления, чтобы адекватно выразиться вовне; и так как это количество практически никогда не выполнимо и не достижимо, то иррациональное число никогда и не имеет законченной внешней формы. Оно – всегда процесс, всегда становление, и притом алогическое становление (поскольку для него нет никаких фактически достижимых пределов и границ). Пусть мы имеем иррациональное число √2̅. Сколько бы знаков мы ни получили при извлечении этого корня и с какой бы точностью мы его не вычисляли, мы никогда не получим точного выражения для этого корня, ибо корень этот не есть четкий, пребывающий в покое числовой факт, но всегда – только процесс и алогическое становление.
Цепная дробь как иллюстрация "беспокойного стновления" числа √2̅, раскрывает его простую и строгую периодическую динамику, подобную колебанию маятника или движущейся волне. Там, где пифагорейцы видели лишь несказанное, alogos, диалектика чисел Алексея Федоровича Лосева позволяет увидеть пребывающую в непрестанном и бесконечном внутреннем движении сущность.
Рациональные приближения и степень иррациональности
Раз уж мы обратились к интересной теме цепных дробей для иррациональных чисел, будет полезно познакомиться с тем, как они позволяют получать качественные рациональные приближения для иррациональных чисел.
Цепь для числа √2̅ бесконечна:
Но мы можем "волюнтаристски" завершить ее в любой момент, например:
Вместо бесконечной цепной дроби мы получили конечную, а значит, ей соответствует рациональное число - конкретно,
Как видим, это рациональное число является неплохим приближением к точному значению √2̅. Легко понять, что чем позже мы завершаем цепную дробь, тем точнее приближение получим:
Взяв всего 6 звеньев цепи, мы получаем приближение, которое всего на 0,005% отличается от истинного значения числа √2̅!
Но посмотрим теперь на приближения другого иррационального числа:
Те же 6 звеньев цепи дают приближение, которое всего на 0,000000009% отличается от истинного значения иррационального числа!
Не трудно понять, почему цепная дробь из одинакового количества звеньев приводит к такому разному качеству приближений. Каждое звено с компонентом 8 в большей степени уточняет истинное значение иррационального числа, чем каждое звено с компонентом 2. Поэтому цепное приближение числа √1̅7̅-3 гораздо быстрее устремляется к истинному значению, чем цепное приближение числа √2̅.
Выдающийся советский математик Александр Яковлевич Хинчин, который известен во всем мире своими исследованиями цепных дробей, предложил смотреть на скорость, с которой цепное приближение сходится к истинному значению иррационального числа, как на меру его иррациональности. С этой точки зрения число √2̅ более иррационально, чем число √1̅7̅-3, потому что для получения приближения той же точности требуется существенно больше звеньев цепной дроби. Говоря фигурально, число √2̅ "больше сопротивляется" рациональным приближениям, и можно сказать, что это происходит из-за большей степени его иррациональности.
Если так, то мы можем назвать иррациональное число, обладающее самой высокой степенью иррациональности. Это число, в котором все компоненты бесконечной цепной дроби равны минимально возможному целому числу - единице:
Это число - иррациональнейшее из иррациональных. И оно известно с древности под названием золотое сечение.
Впрочем, идея о том, что числа можно различать по степени иррациональности вряд ли бы пришлась ко двору пифагорейцам, хотя греки обладали всеми инструментами и результатами, которые мы тут обсуждаем. Они умели строить цепные дроби иррациональных чисел, но относились к золотому сечению особенно, кажется, по другим причинам - мы о них еще поговорим.
А пока вернемся к печальным пифагорейцам, вынужденным как-то встраивать вновь открытые иррациональные числа в свое мировоззрение.
Варварские числа. Учение о языках величин
Рискуя впасть в жанр альтернативной истории, мы пофантазируем, какие мысли могли прийти в голову древним грекам, обнаружившим в ряду благородных рациональных чисел настоящих "чужаков" - иррациональные числа. Их вполне могла посетить идея, что иррациональные числа подобны варварам, которые несоизмеримы с благородными людьми, хотя и имеют с ними сходную человеческую природу.
Тем более такую мысль могло подкрепить наблюдение о том, что "математические браки" между рациональными числами приводят к рождению других рациональных чисел: складывая, вычитая, умножая и деля друг на друга два рациональных числа, мы всегда будем получать третье рациональное число, например:
Но если в "брак" вступает рациональное и иррациональное число, результат всегда один - на свет появляется "испорченное" иррациональное число:
Собственно, греки нашли выход именно в такой "числовой сегрегации". Они объявили, что истинными числами являются только рациональные, а иррациональные числа - это вовсе не числа, а "величины". Тем самым они подчеркивали: числа связаны с количествами, а величины - нет. И хотя количества и величины с виду ведут себя одинаково, и хотя количества и величины можно даже сравнивать между собой, они все равно остаются несоразмерными, словно люди благородных народов и варвары с окраин мира.
Но, могли бы подумать греки, разделение на людей на благородную и варварскую расу слишком грубое. Иноземцы не однородны, среди них есть люди разных типов, происходящие из разных краев мира: чернокожие выходцы из Африки совершенно непохожи на арабов, а те, в свою очередь мало похожи на рабов из северных областей Европы. Но что-то подобное и с иррациональными числами: числа из "страны √2̅" чужды не только рациональным числам, но и иррациональным числам из "страны √3̅" или "страны √5̅". Как из рационального числа никакими простыми операциями (сложение, вычитание, умножение, деление) нельзя получить, например, число √2̅, точно также простыми операциями нельзя получить из √2̅ - число √3̅ или √5̅.
Подобные наблюдения могли бы привести однажды греков к появлению "Учения о языках величин". Вот как его смысл описывал бы неизвестный древне-греческий автор (возможно, Аристотель):
Наблюдая же объединения и разъединения истинных чисел и величин, они [пифагорейцы] обнаружили, что если с истинным числом соединяется любым из четырех простых способов истинное число, получается истинное число. Если с истинным числом соединяется величина, получается величина. Если же соединяется величина и величина, может быть результат как первый, так и второй, но второй исход обычен. Однако, позже они стали говорить о величинах как о многих языках [народах], более благородных и менее благородных, и подобно тому, как числа в простых соединениях не могут привести к величине, так и величины одного языка не могут в простых соединениях привести к величине другого языка. Каждый язык, как они думали, ведет свое род от той или другой геометрической фигуры: одни - от треугольника другие - от квадрата, и так далее. Только истинные числа как самый благородный язык ведет свой род не от фигур, но от простой линии.
Окончание этого отрывка выглядит темным, но со временем мы попробуем разобраться и с ним. А пока реконструируем первую часть учения, в которой описываются "языки величин". Только вместо "языков" мы будем говорить о более привычных нам народностях или расах, а вместо "величин" будем говорить о числах - то, что пифагорейцы не признавали иррациональные числа полноценными числами, можно отнести к их глубокой обиде на Гиппаса.
В соответствии с учением, каждая раса иррациональных чисел имеет своего родоначальника. Любое число расы можно получить умножив родоначальника и/или прибавив к нему некоторое рациональное число. Из этого следует, что, например, все числа расы с родоначальником √2̅ можно представить в виде
где A, B и C - какие-то целые числа (A и С могут быть со знаком минус, С не может быть равным 0). К этой расе, например, относятся следующие представители:
К ней же относятся и "перевернутые" экземпляры - их можно привести к нормальному виду:
Например,
В действительности, выбор родоначальника расы условен и греки выбирали его, исходя из соображений эстетики и некоторых других, о которых мы еще будем говорить. В качестве родоначальника можно взять любое число расы - и оно сможет породить всю остальную расу.
Но числа, относящиеся к расе √2̅ далеко не исчерпывают все многообразие иррациональных чисел. На самом деле, как известно нынешним математикам, существует бесчисленное количество рас. Греки знали только несколько "языков", но их выводы остаются вполне верными и сегодня.
В частности, ни одно число, принадлежащее расе √2̅ нельзя получить с помощью простых операций с числами расы √3̅ и/или рациональными числами. Простые арифметические операции с числами одной расы как правило приводят к числам той же самой расы. Единственное исключение: в особых условиях умножение или деление двух чисел одной иррациональной расы может привести к появлению рационального числа, например:
Далее, при простых операциях между числами разных иррациональных рас возникают числа смешанной расы, "числа-метисы", например:
В этих числах смешиваются и присутствуют параллельно "расовые признаки" исходных рас в форме множителей и/или слагаемых √2̅ и √3̅. Например, в числе может присутствовать √6̅ - это произведение √2̅*√3̅.
По сведениям Платона, греки знали об иррациональности корней чисел вплоть до 17 (исключая, естественно, корни из 4, 9 и 16 - это целые числа, равные 2, 3 и 4), но только 7 из них являются родоначальниками своих иррациональных рас:
√2̅ - родоначальник расы √2̅
√3̅ - родоначальник расы √3̅
√4̅ = 2, принадлежит расе рациональных чисел
√5̅ - родоначальник расы √5̅
√6̅ = √2̅*√3̅, метис
√7̅ - родоначальник расы √7̅
√8̅ = 2*√2̅, принаделжит расе √2̅
√9̅ = 3, принадлежит расе рациональных чисел
√1̅0̅ = √2̅*√5̅, метис
√1̅1̅ - родоначальник расы √1̅1̅
√1̅2̅ = 2*√3̅, принаделжит расе √3̅
√1̅3̅ - родоначальник расы √1̅3̅
√1̅4̅ = √2̅*√7̅, метис
√1̅5̅ = √3̅*√5̅, метис
√1̅6̅ = 4, принадлежит расе рациональных чисел
√1̅7̅ - родоначальник расы √1̅7̅
В этом ряду не хватает корня √1̅=1. Но мы вполне можем рассматривать это число как родоначальника семейства рациональных чисел.
Не трудно заметить, что родоначальниками являются лишь корни простых чисел. Простые числа - это числа, которые нельзя разложить на целые множители. К 19-му веку уже стало известно, что все корни целых чисел (если только они не являются квадратами, как 4, 9 и 16) - иррациональны. При этом еще пифагорейцы знали, что простых чисел бесконечное количество. Из этого следует, что существует бесконечное количество иррациональных рас, родоначальниками которых являются корни целых чисел - а греки точно знали только о семи из них.
Итак, мы разобрались с первой частью "Учения о языках чисел", но остается не совсем понятной вторая часть - там, где говорится о связи каждого иррационального "языка" с той или иной геометрической фигурой. Теперь мы попытаемся понять, что тут имели в виду (гипотетические) греки.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER