КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Узелки на распуткуУзел 2. Опус о числах и формах
Узел 2.4 Души геометрических форм
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
Прологи
.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Узел 2.4 Души геометрических форм
 
Роман Уфимцев
26 марта 2015 года, Калининград
Иррациональная душа квадрата
Люди, получившие современное школьное образование, воспринимают арифметику и геометрию как разные предметы - они преподаются раздельно. Но для пифагорейцев геометрия как наука о формах и арифметика как наука о числах были едины. Они понимали мир как числовую гармонию, но она виделась им не только как согласие чисел, но и согласие геометрических форм и объемных геометрических тел. Это обстоятельство поможет нам понять, что имели в виду (гипотетические) греки, когда утверждали, что каждый "язык" иррациональных чисел - то есть, каждая раса или семейство - ведет свой род от той или иной геометрической фигуры.
Вновь обратимся к иррациональному числу √2̅. Главное арифметическое свойство этого числа: при умножении на самого себя оно дает 2:
А его главное геометрическое свойство: оно есть отношение длины диагонали квадрата к его стороне:
Эти свойства придают смысл числу √2̅ - арифметический и геометрический соответственно. Но из двух смыслов именно геометрический более полный, потому что он включает в себя и арифметический. Из того, что число √2̅ равно отношению длины диагонали квадрата к длине стороны прямо следует, что √2̅* √2̅=2, но из арифметического смысла геометрический смысл никак не следует - просто потому что арифметика не содержит в себе понятий о фигурах и формах.
Простое геометрическое построение позволяет получить из геометрического смысла числа √2̅ его арифметический смысл:
Таким образом, более глубоким, фундаментальным является геометрический смысл числа √2̅. И есть нечто неслучайное в том, что его иррациональность была открыта Гиппасом на основе геометрического анализа квадрата. Число √2̅ оказывается каким-то весьма глубоким образом связано с квадратом. Образно говоря, квадрат - это колыбель этого числа. Не это ли имели в виду наши гипотетические греки, когда говорили о том, что каждый иррациональный "язык" ведет свой род от той или иной геометрической фигуры? Раса числа √2̅ очевидно ведет свой род от квадрата.
Но посмотрим на дело под другим углом зрения. Попробуем ответить на необычный вопрос: с каким числом ассоциируется квадрат как геометрическая фигура? Скорее всего, читателю придет в голову число 4, ведь у него четыре вершины, четыре стороны. Но является ли этот ответ наилучшим или полным?
Четыре точки могут образовывать не только квадрат, но и любой четырехугольник:
Поэтому в типичном определении квадрата - "четырёхугольник, у которого все углы и стороны равны" - кроме указания на число вершин 4, приходится вносить уточнения о равенстве сторон и равенстве углов. Но никаких уточнений не потребуется, если мы определим квадрат как фигуру, в которой внутренние линии (диагонали) соотносятся с внешними (сторонами) в пропорции √2̅ - нам даже не потребуется уточнять количество вершин в этой фигуре! - такой фигурой может быть только квадрат.
Вопреки здравому смыслу, который привычно связывает с квадратом число 4, определение этой фигуры с помощью иррациональной пропорции √2̅ оказывается более кратким, простым, элегантным. И вот что получается: не только суть числа √2̅ самым полным образом определяется с помощью идеи квадрата, но и напротив - суть квадрата как формы наилучшим образом определяется через число √2̅.
Нужен только один маленький шаг, который могли сделать наши гипотетические греки: суть или идея квадрата как фигуры и суть или идея числа √2̅ есть одно и то же.
И теперь мы можем ответить на вопрос: являются ли иррациональные числа математическими абстракциями или они все-таки даны нам в непосредственном опыте. Если нам в опыт дан квадрат - то нам в опыте дано и число √2̅. Оно дано нам не как количество, не как отношение количеств, а как суть геометрической формы квадрата, как гештальт, как душа этой фигуры.
Тут мы должны отставить как несущественные споры о том, даны ли нам в опыте квадраты или "идеальные квадраты только у нас в голове". Точно также мы можем поставить под сомнение возможность видеть в мире количества или пропорции - о них также легко сказать, что они "только у нас в голове". Если в мире мы можем видеть квадраты, мы можем и видеть число √2̅: оно является нам в облике уникальной фигуры, имеющей форму квадрата. Иррациональные числа даны нам в опыте как формы.
Неверно думать, что число √2̅ - это и есть квадрат. Но квадрат есть самый выразительный образ невыразимого в конечном числовом виде иррационального числа. Квадрат - это самая яркая метафора числа √2̅. А оно само есть alogos, "немая" сущность, которую невозможно выразить ни в каком конечном виде. Оно - несказанная, иррациональная душа, платоновская Идея квадрата, которую мы переживаем, интуитивно ощущаем в каждом квадрате.
Иррациональные ядра фигур
Как мы говорили, некоторые иррациональные числа - например, √2̅ - входят в целые расы рациональных чисел, и выбор родноначальника расы довольно условен. Считать ли именно число √2̅ - отношение длины диагонали квадрата к длине его стороны - "душой" квадрата или некоторое другое число, принадлежащее расе √2̅ - это нужно определить из дополнительных соображений.
Такие соображения может подсказать вопрос об иррациональном числе, которое является "душой" окружности. Наверное, даже человек гуманитарного образования не задумываясь назовет это число - его приходилось заучивать на школьных уроках геометрии. Конечно, это число π, отношение периметра окружности (длины ее дуги) к диаметру:
Иррациональность числа π была доказана только в 18 веке, и вплоть до этих времен число π не выходило за пределы геометрии, где оно определяет свойства окружности. Развитие математического анализа позволило обнаружить связи числа π с другими иррациональными числами, но до сих пор появление этого числа в математических формулах почти гарантировано означает присутствие идеи окружности, ее образа, в вычислениях.
Отношение периметра окружности к ее радиусу равно 2π - очевидно, это число относится к расе π. Мы будем называть его иррациональным ядром окружности как фигуры.
Вернемся теперь к квадрату. Мы можем говорить и об иррациональном ядре квадрата, подразумевая под этим то же самое - отношение периметра к радиусу фигуры, при этом под "радиусом" тут понимается радиус описанной вокруг квадрата окружности:
Для квадрата это отношение равно 4√2̅ - в этом, очевидно, иррациональном числе, принадлежащем расе √2̅, присутствует также и число 4, которое мы привычно связываем с квадратом.
Таким же образом мы можем вычислять и иррациональные ядра для других равносторонних многоугольников, и так находить их иррациональные "души" - этим далее мы и займемся.
Треугольные души
Иррациональное ядро равностороннего треугольника равно числу 3√3̅, относящемуся к расе √3̅, так что иррациональное число √3̅ можно считать "душой" этой фигуры:
Это отражается в том, что и другие геометрические характеристики фигуры - например, высота или радиус вписанной окружности - находятся в иррациональных пропорциях с ее периметром или длиной стороны:
Кончено, эти пропорции являются числами расы √3̅, так что фигура является простейшим образом или метафорой иррационали √3̅.
В паре с равносторонним треугольником интересно рассмотреть равносторонний шестиугольник. Его "иррациональное" ядро оказывается рациональным числом 6 и в этом смысле фигура уникальна среди других равносторонних многоугольников. Но другие пропорции, характеризующие шестиугольник, раскрывают его "душу" - это то же число √3̅. Например, если длина стороны фигуры равна 1, то длина большей диагонали AB равна 2, а меньшей AC - √3̅:
Родственность треугольника и шестиугольника вполне ясна:
Говоря фигурально, шестиугольник является "развитием идеи" треугольника, более полным воплощением или более раскрытой метафорой иррационали √3̅.
Если мы выделим меньшие диагонали шестиугольника, длина которых находится в отношении √3̅ к длине стороны фигуры, то получим один из древнейших символов, которому придавали сакральное значение в том числе и пифагорейцы:
Легко заметить в структуре получившейся звезды исходные равносторонние треугольники. Так, в различных фигурах, в разных обличиях перед нами предстает иррациональ √3̅. Будучи, как все иррациональные числа, невыразимой в своей числовой природе, она обретает "плоть", видимое воплощение в различных геометрических фигурах, которые оказываются очевидно сходными, родственными друг другу.
Впрочем, на роль ярчайшего образа числа иррационали √3̅ есть и другой претендент. Это не двух-мерная, а трех-мерная геометрическая фигура ("тело") - куб. Если сторона куба равна единице, то его большая диагональ - √3̅:
Куб оказывается телом, близким по духу равносторонним треугольнику и шестиугольнику - и это легко заметить, взглянув на куб в ровной изометрической проекции:
Сечение куба через три вершины образует равносторонний треугольник, а в целом его контур оказывается равносторонним шестиугольником. Не удивительно, что многие геометрические пропорции куба являются числами расы √3̅ (но только пропорции куба как трехмерного тела, а не пропорции его квадратных граней - там царит иррациональ √2̅).
Подводя итог, число √3̅ "плодовитее" на геометрические образы, чем число √2̅. Его суть богаче и разнообразнее проявляется в наблюдаемых формах, но между всеми проявлениями, несомненно, видна родственность. Эти фигуры - словно три разных портрета одной и той же личности - иррационального числа √3̅ - или, скорее, два портрета и одна статуя.
Золотая душа пентаграммы
Среди прочих плоских геометрических фигур, одной из них Пифагор и его последователи придавали исключительное значение - это равносторонний пятиугольник:
Связанная с этой фигурой пентаграмма - может быть, один из самых древних и загадочных символов в истории человечества, который ассоциируется с магией и тайными знаниями. Этому эзотерическому флеру вокруг пентаграммы, конечно, в немалой степени поспособствовали пифагорейцы, любившие срывать свои открытия от непосвященных. Как бы то ни было, в этой фигуре эстетическое чутье ощущает какую-то особую внутреннюю силу.
Пятиугольник имеет диагонали только одного типа, и отношение длины диагонали к длине стороны пятиугольника равна иррациональному числу
Это - золотое сечение, так что причины пиетета пифагорейцев перед пентаграммой проясняются - пропорции золотого сечения издревле придавали священный смысл. Но мы знаем еще, что это рациональное число, представляющее расу √5̅ - "иррациональнейшее из иррациональных", оно представляется в виде удивительно красивой бесконечной цепной дроби, которая сходится медленнее всего среди всех прочих иррациональных чисел:
За эти заслуги - а о свойствах золотого сечения написаны целые книги - пожалуй, не число √5̅, а именно золотое сечение следует считать родоначальником расы √5̅.
Иррациональное ядро пятиугольника, определяемое как отношение периметра фигуры к радиусу описанной окружности, равно
Загадка семиугольника
Вообще, для равностороннего n-угольника иррациональное ядро определяется выражением
Для всех многоугольников, рассмотренных нами до сих пор, величина sin(π/n) оказывалась иррациональным числом, выразимым с помощью квадратных корней целых чисел. Эти корни мы полагали иррациональными "душами" соответствующих фигур. Однако для семиугольника ситуация оказывается другой. Число sin(π/7) иррационально, но его нельзя связать ни с одним целочисленным корнем. "Душа" семиугольника не является корнем целого числа, и этим обусловлена одна важная особенность семиугольника.
Еще Гаусс выяснил, что семиугольник нельзя построить с помощью линейки и циркуля (в отличие, например, от пятиугольника). То есть, проводя только линии и окружности, и отмеряя расстояния только циркулем, нельзя построить эту фигуру. Это самым глубоким образом связано с тем, что "душа" этой фигуры не является квадратным корнем какого-то целого числа - ведь как установили математики, с помощью циркуля и линейки можно строить лишь отрезки, находящиеся в целочисленных пропорциях к данному или являющиеся корнями этих пропорций. Раз пропорции семиугольника не относятся к "расе корней", и всю фигуру построить невозможно.
Эти нюансы обращают наше внимание на очень интересное качество таких простейших геометрических фигур как равносторонние многоугольники: некоторые из них являются "менее геометрическими", чем прочие. Тут мы подразумеваем под "геометричностью" исконный смысл слова геометрия как искусства разметки земельных участков. Древние землемеры использовали только натянутые веревки в качестве линеек, и те же веревки, привязанные с одного конца к колышку в качестве циркуля. С помощью этих инструментов нет никакой возможности отмерять семиугольный участок (можно лишь опираясь на рациональные приближения иррационального числа sin(π/7)).
Образно говоря, равносторонний семиугольник отстраненнее от земли, он находится с пространством нашего мира в более "прохладных отношениях". Эта фигура буквально более абстрактная, нежели квадрат или пятиугольник. Любое его материальное изображение или воплощение - заведомо лишь приближение, потому что правильный семиугольник геометрически построить невозможно:
И в этом он не одинок: в действительности, существует бесконечное количество правильных многоугольников, которые также "негеометричны", например 9-, 11-, 13-, 14-, 19-угольники, и прочие.
"Геометричными" являются только многоугольники, число сторон в которых кратно 2 и/или одному из так называемых простых чисел Ферма, которых известно только пять: 3, 5, 17, 257, 65537. При этом множители не могут повторяться (кроме множителя 2). Например, 15-угольник "геометричен", потому что 15=5*3, а 14-угольник - нет, потому что 14=7*2, а число 7 не является числом Ферма. 9-угольник также не "геометричен", поскольку 9=3*3, а множители Ферма не должны повторяться.
Только ядра "геометричных" многоугольников выражаются через квадратные корни целых чисел.
Иррациональное ядро многоугольника определяется синусом угла π/n, который двояко представлен в каждом многоугольнике:
При этом число π само является иррациональным, а значит, и числа π/n - они входят в расу числа π. Само же число π является иррациональной "душой" окружности, сферы и прочих подобных форм. Таким образом, выражение ядра 2n*sin(π/n) демонстрирует связь между душой окружности и душой равностороннего n-угольника. Звучит метафизически? О да!
Квадрат, восьмиугольник, шестнадцатиугольник...
Конечно, мы не собираемся последовательно перебирать все возможные многоугольники, но рассматриваем те, которые помогают нам лучше понять роль иррациональной "души" этих фигур, ее связь с видимыми геометрическими свойствами. В этом отношении интересны ряды многоугольников, в которых каждый следующий имеет вдвое больше сторон, чем предыдущий. Иррациональные ядра фигур в таких рядах имеют интересную систематичность. Например, вот ядра ряда многоугольников со количеством сторон 4, 8, 16, 32,...:
Еще проще и нагляднее выглядит другая характеристика фигур - отношение длины малой диагонали к длине стороны многоугольника:
Это отношение образует "матрешкообразный" ряд:
Иррациональные "души" этих фигур словно вложены друг в друга как матрешки, причем самой маленькой матрешкой является ядро квадрата, число √2̅:
Аналогичный ряд "матрешкообразных" пропорций образуют 6-, 12-, 24-, 48-угольник, и т.д.:
Точно также в качестве первой матрешки мы можем взять иррациональное ядро любого равностороннего многоугольника и построить на его основе подобный же ряд, в котором каждый следующий член соответствует многоугольнику с удвоенным количество сторон, скажем, для 7-, 14-, 28-угольников и т.д.
Такого рода простое отношение между ядрами или "душами" многоугольников возможно только при удвоении количества сторон. Ни утроение ни "упятирение" не приводит к какой-то простой связи между ядром или "душой" исходной фигуры и произведенной фигурой. Говоря иначе, многоугольники, количества сторон в которых соотносятся кратно 2 "душевно" более близки, чем прочие.
1
Очень интересный узелок
Когда то интересовался числами и пытался понять их природу. Встречал мнения, что иррациональные числа - двумерные.
Денис (30.03.2015 17:41)
2
Возможно, имелось в виду как раз существование различных непересекающихся семейств иррациональных чисел. Каждое из них содержит по меньшей мере столько же чисел, сколько всего существует рациональных. Располагая каждое семейство на отдельной числовой оси, и размещая оси рядом, мы получим подобие числовой плоскости.
Роман Уфимцев (30.03.2015 19:39)
3
Не смог найти ту статью
Возможно это и имелось в виду.
Не работает http://www.metaphor.ru/ подскажите, когда стоит ожидать его восстановления? Сейчас перечитывают многие вещи там и ловлю гештальты :)
Денис (8.04.2015 23:45)
4
Кажется, метафору починили.
Роман Уфимцев (9.04.2015 23:17)
5
Да, уже часа 2 как читаю :) Спасибо!
Возвращаясь к теме данного узелка.
Как Вы считаете, есть ли смысл в следующем предположении.
Что если √2̅ это некий коэффициент искривления при переходе материи (или вещества) из одномерного пространства в двух-мерное. Или из двух-мерного в трех-мерное.
Диагональ квадрата, кроме того, еще является равнодействующим вектором, двух примыкающих к ней сторон. Т.е. диагональ передает суть, мы можем применить 2 перпендикулярные силы F или одну F*√2̅, по диагонали. Суть будет та же.
Мне вообще кажется, что √2̅ это такой кирпичик двух-мерного пространства. Некая "искривленная единица" аналог того, что мы обычно подразумеваем под единицей (или цифрой 1) в натуральном ряду. Который является одномерным пространством, состоящий из точек, тех самых "единиц". Двух-мерное пространство, в таком случае должно состоять из "вытянутых точек", а точнее из бесконечного числа диагоналей квадратов. Стороны этих квадратов образуют симметричные точки на осях x и y.
Денис (10.04.2015 2:02)
6
Кирпичик двух-мерного пространства
Да, что-то такое тут есть. И квадрат, который тут рассматривается как образ, метафора корня из 2, тоже в некотором смысле "кирпичик двухмерного пространства" (хотя пространство можно покрывать и не только квадратными кирпичиками). Но и квадрат и диагональ, которую нарисовали вы - это только разные образы, метафоры этой иррационали. Их может быть сколько угодно, ее суть и смысл неисчерпаемы никаким конечным списком свойств или образов.
Но вы пожалуй правы в том, что корень из 2 как-то особо связан именно с двухмерным пространством. А корень из 3 - может быть с трехмерным. А вот четырехмерному не повезло :)
Роман Уфимцев (10.04.2015 12:18)
7
На счет семиугольника
"То есть, проводя только линии и окружности, и отмеряя расстояния только циркулем, нельзя построить эту фигуру."
Случайно наткнулся на анимацию построения семиугольника циркулем - https://mir-s3-cdn-cf.behance.net/project_modules/disp/b5b70b20220985.562e7b00f0edf.gif
Денис (28.06.2017 12:00)
8
Анимация построения семиугольника циркулем
Данное построение неточное, точность ≈ 0,2 %
См., например, википедию.
Александр (28.09.2018 22:56)
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER