КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Узелки на распуткуУзел 1. Причина степенных распределений
Узел 1.5 Мультипликативный закон сохранения
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
Узел 1. Причина степенных распределений
Узел 1.2 Механизмы развитияУзел 1.3 Причины и экстремальные принципыУзел 1.4 Максимум специальных энтропий
Узел 1.5 Мультипликативный закон сохранения
Узел 1.6 Когнитивные фракталыУзел 1.7 Вязкость сознания и число eУзел 1.8 Модель БернуллиУзел 1.9 Принцип микро-причинностиУзел 1.10 Случайно блуждающие ландшафтыУзел 1.11 Субстанции формы и содержанияУзел 1.12 Размерность Хаусдорфа и метрическая связностьУзел 1.13 Вне-пространственные фракталыУзел 1.14 Фракталы на графахУзел 1.15 Фрактальная размерность графов и сетейУзел 1.16 Фрактальность древовидных графовУзел 1.17 Фрактальная размерность и степенная статистикаУзел 1.18 Локальные и глобальные размерности графовУзел 1.19 Локальные и глобальные размерности графов (II)Узел 1.20 Локальные и глобальные размерности графов (III)Узел 1.21 Критические графы как фракталыУзел 1.22 Критические графы как фракталы (II)Узел 1.23 Возвращение к БернуллиИнтерлюдия. Две простые задачиУзел 1.24 Зоопарк критических графовУзел 1.25 Зоопарк критических графов (II)Узел 1.26 Режим стохастической самоподдержкиУзел 1.27 Растущие кластеры и размерность решетокУзел 1.28 Фрактальные и не-фрактальные решеткиУзел 1.29 Энтропия ростаУзел 1.30 Энтропия графов и пространствУзел 1.31 Игра в инверсию
Узел 2. Опус о числах и формах
.
Прологи
.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Узел 1.5 Мультипликативный закон сохранения
 
Роман Уфимцев
11 июня 2014 года, Калининград
Мы приступаем к выяснению формы специальной энтропии для степенных распределений. Как мы говорили, степенные распределения могут быть заданы для диапазона случайных величин, который не может начинаться с нуля. Необходимо полагать некоторое минимально возможное значение для того, чтобы степенное распределение сходилось. Выбирая единицу измерения случайной величины таким образом, что минимально возможное значение равно 1, мы получим уравнение степенного распределения:
Используя метод расстояния Кульбака-Лейблера мы получим следующее выражение специальной энтропии:
Мы видим новый интегральный компонент. Он имеет отношение к среднему геометрическому случайной величины. Пусть у нас есть три числа x1, x2 и x3. Тогда их среднее арифметическое A и среднее геометрическое G вычисляется соответственно как
Полезно понимать среднее арифметическое ряда чисел как показатель их средней аддитивной способности - то есть, как их средняя "сила" в операциях сложения (и вычитания). Тогда среднее геометрическое - показатель их средней мультипликативной способности, которая проявляется в операциях умножения (и деления).
Переход от вычисления среднего арифметического значения дискретного ряда чисел к вычисилению среднего для непрерывно распределенной случайной величины выглядит так:
По аналогии можно сделать переход от логарифма среднего геометрического дискретного ряда чисел к логарифму геометрического среднего непрерывно распределенной величины:
Это и есть новый интегральный компонент в выражении специальной энтропии - он равен логарифму среднего геометрического значения случайной величины:
Это - "энтропийный иероглиф" степенных распределений, и теперь перед нами стоит задача его расшифровки.
Второй тип законов сохранения
Прежде всего заметим, что в специальной энтропии степенных распределений отсутствует слагаемое, связанное со средним (арифметическим) значением случайной величины - то есть, отсутствует "давление среднего". Но присутствует слагаемое ln(G), и разумно считать его проявлением какого-то другого давления, противодействующего росту энтропии. По причинам, которые станут ясны позже, мы его назовем "давлением симметрии".
Мы видели на примере некоторых механизмов, порождающих экспоненциальные распределения, что "давление среднего" может быть реализовано как жесткое требование к неизменному среднему значению A. Для этого механизм должен быть изолированным, а при обмене объектов энергией или массой (или другой статистической величиной) должен выполняться закон сохранения, и их общее количество - неизменным. Тогда средняя энергия или масса объектов остается строго неизменной. Аналогично, "давление формы" может быть реализовано, если механизм обеспечивает неизменность среднего геометрического G энергий или масс объектов системы.
По прямой аналогии с соответствующим экспоненциальным механизмом, мы можем построить степенной, в котором выполняется это требование. Пусть изначально у нас есть множество молекул, каждая из которых обладает некоторой энергией γ. Затем молекулы начинают случайно обмениваться энергией, но при этом выполняется не аддитивный закон сохранения, а мультипликативный. То есть, если при обычном законе сохранения сумма энергий молекул до и после взаимодействия остается неизменной, у нас остается неизменной произведение энергий молекул до и после взаимодействия:
В этих условиях, после некоторого периода эволюции, система придет в состояние, характеризующееся степенным распределением молекул по энергиям
в котором показатель степени определяется средним геометрическим значением энергий молекул γ.
Следует сказать, что "мультипликативный закон сохранения" не имеет ничего общего с классическими законами сохранения. По видимому, все известные природные величины, которые склонны сохраняться в разных условиях - массы, энергии, импульсы, заряды и т.д. - сохраняются аддитивно. Поэтому только очень условно можно говорить о молекулах, обменивающихся энергией мультипликативно. Более того, мультипликативный закон сохранения противоречит обычным законам сохранения: пусть, например, до взаимодействия молекулы имели энергию 3 и 4, а после мультипликативного обмена - 2 и 6. Мультипликативный закон сохранения выполняется: 3*4 = 2*6, но с традиционной точки зрения, энергия не сохраняется: 3+4 ≠ 2+6.
Из этого следует несколько предположений. Во-первых, если степенное распределение демонстрирует материальная система, подчиняющаяся классическим законам сохранения, она не может быть изолированной. Степенные распределения - это распределения открытых материальных систем, необходимо обменивающихся с миром аддитивными ресурсами. Во-вторых, "мультипликативная энергия" или какая-то другая величина, подчиняющаяся мультипликативному закону сохранения, имеет не-материальную природу, поскольку материя, как мы ее знаем, находится под властью аддитивных законов сохранения.
Гипотеза о существовании величин, подчиняющихся мультипликативным законам сохранения позволяет разглядеть в распространенности степенных распределений фундаментальную причину. Однако, такие законы сохранения более чем непривычны для нашего здравого смысла. Они, вероятно, действуют повсюду, где степенные распределения типичны, но увидеть их ясно, в чистом виде - это вызов для рассудка, привыкшего к максиме "сколько тут убыло - там столько прибыло", к которой сводятся нормальные законы сохранения.
Размышляя на эту тему, автор обратился к своему любимому примеру - к распределениям населенных пунктов некоторой географической общности по количеству жителей. Какой мультипликативный закон сохранения может быть причиной степенных распределений в этом случае? Далее - спекуляции на эту тему.
Факторы привлекательности
Итак, очень часто населенные пункты различных стран и их отдельных провинций характеризуются степенным распределением по количеству жителей, причем показатель степени обычно близок 2, то есть выполняется так называемый закон Зипфа (см. примеры в Прологах).
В поисках правдоподобного объяснения этому явлению, нам следует уделить основное внимание не естественному приросту (или убыли) населения деревень и городов, а миграции населения - именно она является главным фактором, формирующим популяционные распределения. Это значит, что такие механизмы как масштабно-инвариантная сеть или тиронный механизм, о которых мы говорили во второй нити этого Узла, описывающие только развитие степенных распределений в результате естественного прироста объектов, не могут служить для исчерпывающего объяснения феномена. Кроме того, следует думать, что степенная форма популяционных распределений имеет ту же причину, что и степенные распределения других социальных единиц - например, ВУЗов по количеству студентов. Ясно, что о "естественном приросте" количества студентов у ВУЗа говорить можно только очень условно. Тут должны присутствовать другие механизмы, которые удерживают степенную форму распределений даже в условиях случайных (или не случайных) перетоков абитуриентов и студентов.
Во-первых, нам следует принять принципиальную открытость "гео-социальной системы", то есть некоторой страны или провинции, в отношении общего количества населения. Конкретно, не существует никакого "закона сохранения населения" - люди эмигрируют из страны и наоборот, происходит естественная прибыль и убыль населения. Система обменивается своей статистической величиной - в данном случае, населением - с окружением. При этом политические или географические препятствия вряд ли способны сыграть какую-то заметную роль.
Далее, население города или деревни все-таки является материальной величиной, подчиняющейся аддитивным правилам. Собственно количество населения не может быть той самой мультипликативной величиной, подчиняющейся мультипликативному закону сохранения. Следует думать, что существует какая-то другая, не-материальная характеристика каждого населенного пункта, популяционный потенциал - то есть, "правильное" или "ожидаемое" количество его жителей. Если популяционный потенциал выше фактического населения, город притягивает мигрантов и в нем возникают благоприятные условия для естественного роста населения. Наоборот, если популяционный потенциал ниже фактического населения, его жители начинают разъезжаться, а естественный прирост населения сменяется убылью.
Популяционный потенциал - мультипликативная характеристика населенного пункта и следует предположить, что также, как в механизме обмена "мультипликативной энергией", города могут обмениваться мультипликативными компонентами, множителями своих популяционных потенциалов. Речь идет вот о чем: пусть населенный пункт A имеет потенциал в 10 тыс. жителей, а пункт B - в 100 тыс. жителей. Они каким-то образом вступают во взаимодействие, в результате которого пункт А сохраняет потенциал только в 5 тыс. жителей, а пункт B - увеличивает его до 200 тыс. Произошел обмен с действием мультипликативного закона сохранения: 10 000 * 100 000 = 5 000 * 200 000 - тут можно говорить, что пункт A передал пункту B множитель 2. В действительности нам вовсе нет нужды предполагать такой прямолинейный парный обмен, но для простоты картины пока будем смотреть на дело именно так.
Заметим, что при такой коллизии суммарное население пунктов A и B возрастает на 140 тыс. жителей - система явно не может быть замкнутой. Или иначе, передача множителя от пункта A к пункту B вовсе не означает передачи населения только от пункта A к пункту B - ее далеко недостаточно. Увеличение суммарного населения на 140 тыс. должно компенсироваться другими населенными пунктами системы или вообще извне.
Но что, собственно, могли произойти при такой коллизии? Населенный пункт A по какой-то причине стал неблагоприятным или не привлекательным местом для его обитателей. Наоборот, пункт B стал более привлекательным для жизни. При этом и уменьшение привлекательности и ее увеличение выражается не в абсолютных числах, а как относительное уменьшение или увеличение потенциала по сравнению с текущим. Это ключевой момент: факторы привлекательности имеют не аддитивное, а мультипликативное действие.
Это обстоятельство не трудно понять: пусть деревня A потеряла фактор привлекательности - например, в ней закрылась школа. Закрытие затрагивает вовсе не некоторое определенное количество семей, а долю общего населения деревни. Например, в деревне из 2 тыс. жителей это событие затронет 200 человек, а в древне с 4 тыс. жителей - уже 400. Это очевидное соображение, потому что существует некоторая доля молодых семейных жителей сельской местности, которых волнует наличие школы поблизости, и если деревня больше, то и взволнованных жителей пропорционально больше. Таким образом, потеря фактора привлекательности приводит не к абсолютному, а относительному снижению популяционого потенциала.
Аналогично действует и появляющийся фактор привлекательности: пусть, например, мимо поселка, до которого можно было прежде добраться только по проселочной дороге, прошла хорошая трасса. Привлекательность поселка увеличивается не абсолютно, а относительно: транспортная доступность умножает силу других факторов привлекательности, а не добавляет к ним некоторую фиксированную добавку. Если для деревушки в 100 жителей появление дороги может увеличить ее потенциал на 10 чел., то для живого поселения в хорошем месте и так обладающего немалым популяционным потенциалом, абсолютная прибавка будет куда более значительной, хотя составит те же 10%. Тут также играет роль и вместимость населенного пункта: в случае увеличения его привлекательности, дополнительная вместимость скорее пропорциональна его текущему населению, нежели является абсолютной цифрой.
Далее мы подходим к важному моменту. Пусть деревня A потеряла фактор привлекательности из-за закрытия школы. Но это, к сожалению, не значит, что взамен появится школа в другом населенном пункте. Или пусть мимо поселка прошла новая трасса, увеличив его привлекательность. И это вовсе не означает, что где-то в другом месте дорога наоборот была уничтожена. То есть, реальные факторы привлекательности не дрейфуют от населенного пункта к другому также парно как дрейфует энергия между молекулами. Скорее тут следует видеть некий общий пул факторов привлекательности, которому они передаются и у которого забираются.
Второй момент заключается в том, что мы не можем назначить каждому фактору привлекательности некоторую определенную "силу" - например, наличие школы: +10% потенциала, наличие хорошей дороги: +20% потенциала и т.д. Если хорошие дороги становятся нормой и протянуты почти к каждому населенному пункту - как в Германии - роль этого фактора нивелируется. А между тем, популяционное распределение Германии и, например, Ирана, весьма сходны.
Дело в том, что привлекательность того или иного фактора оценивается людьми сугубо субъективно, исходя из текущих условий жизни, социального и культурного ландшафта, политических, экономических, климатических и прочих обстоятельств. Этот ландшафт постоянно меняется, и это приводит к постоянной переоценке субъективной ценности тех или иных факторов привлекательности. Однако, при всей текучести и многообразии нечто в этой субъективной расстановке остается неизменным и универсальным для подавляющего числа социумов - по видимому, именно это является причиной универсальности закона Зипфа в популяционных распределениях. Эта ничто иное как неизменность законов человеческого сознания, которое организуется в соответствии с какими-то устойчивыми принципами вне зависимости от частных обстоятельств жизни человека и социума. Какими именно? - в этом нам и нужно разобраться.
У нас у же есть подсказка - перечисляя типичные примеры степенных распределений, наблюдающихся в социальных системах, мы упоминали степенное распределение веб-сайтов по количеству посетителей и научных статей по количеству цитирований. Тогда мы обобщили эти примеры как проявления тенденции коллективного внимания к степенному распределению между альтернативными фокусами. Но если такая тенденция существует, ее действие можно видеть и в степенном распределении популяционных потенциалов между населенными пунктами той или иной страны. Популяционный потенциал можно понимать как объем коллективного внимания, которое общество фокусирует на некотором населенном пункте. Исходя из тех же причин, из которых пользователи интернета выбирают тот или иной веб-сайт, жители страны выбирают для жительства тот или иной населенный пункт - и это, видимо, не просто фигуральная аналогия.
Все рассуждения о факторах привлекательности и их мультипликативной природе вполне правдоподобно распространяются и на случай веб-сайтов, и на научные статьи, и на ВУЗы. С некоторыми изменениями та же идея вполне пригодна для объяснения распределения богатства среди граждан, объемов продаж - среди предприятий и т.д. Случайный обмен мультипликативными факторами во всех этих случаях, как мы знаем, приводит к развитию и устойчивости степенных распределений.
Теперь к настоящей загадке
Второй, гораздо более интересный и сложный вопрос: как мы видели в выражении специальной энтропии для степенных распределений, показатель степени распределения прямо зависит от геометрического среднего популяционного потенциала объектов системы (будем так обозначать ту самую "мультипликативную энергию", которой обмениваются объекты). Чаще всего - и это своего рода загадка -степенные распределения в социальных явлениях характеризуются показателем θ=2 - это закон Зипфа. Пожалуй, в 90% случаев, когда социальная система демонстрирует степенное распределение, им оказывается распределение с показателем, близким 2. Интересно, что выражение специальной энтропии как раз при таком показателе избавляется от постоянного слагаемого и "энтропийный иероглиф" приобретает элегантный вид:
Еще интереснее, что среднее геометрическое G, необходимое для развития закона Зипфа оказывается равным основанию натуральных логарифмов, числу e. Именно этому замечательному числу должно быть равно среднее геометрическое популяционного потенциала населенных пунктов, веб-сайтов, научных статей и т.д. И объяснение этому найти очень не просто.
(Как мы говорили, степенное распределение не предполагает нулевых значений случайной величины, должно существовать некоторое минимальное возможное xm. Если принять xm=1, то для выполнения закона Зипфа среднее геометрическое распределения должно быть равным числу e. При произвольном xm необходимо, чтобы среднее геометрическое было равно xm*e.)
Попробуем пойти прямолинейно и рассмотреть появление в системе еще одного объекта - например, нового населенного пункта. Если считать, что среднее геометрическое популяционных потенциалов городов остается неизменным и равным числу e, нам приходится предположить, что новоявленный населенный пункт должен иметь изначальный потенциал равный числу e - в ином случае появления новых населенных пунктов со временем бы изменило среднее геометрическое значение популяционного потенциала в системе. Но даже если предположить, что новоявленные населенные пункты не строго, а только в среднем несут потенциал e, мы сталкиваемся с большой проблемой: как это возможно объяснить, не прибегая к каким-то метафизическим изыскам?
Поясним проблему. Пусть в стране имеется n населенных пунктов, популяционные потенциалы которых равны d1, d2, d2... Тогда, исходя из требования к среднему геометрическому потенциалов G=e, выполняется условие
Если появляется еще один населенный пункт, то выражение изменяется:
Если предполагать, что появление нового населенного пункта не изменило потенциалы старых, следует, что новый населенный пункт имеет потенциал e: dn+1 = e.
Этот прямолинейный подход бесперспективен еще и тем, что в действительности новоявленные поселения, веб-сайты, ВУЗы и т.д. очень различаются по своему стартовому состоянию. Скажем, новые деревни могут зарождаться естественно, от избушки охотника - к хутору, затем к небольшому поселку, и т.д. А могут возникать единомоментно как крупная фактория. Кроме того, населенные пункты могут не только появляться, но исчезать - и объяснить, почему исчезающее поселение обязательно несет потенциал, равный числу e (а только так среднее геометрическое потенциалов в системе будет оставаться неизменным при уменьшении числа поселений), почти невозможно.
По видимому, решение загадки неизменности среднего геометрического потенциалов (а значит, и мультипликативных законов сохранения), следует искать начиная с другого конца.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER