КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Узелки на распуткуУзел 1. Причина степенных распределений
Узел 1.6 Когнитивные фракталы
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
Узел 1. Причина степенных распределений
Узел 1.2 Механизмы развитияУзел 1.3 Причины и экстремальные принципыУзел 1.4 Максимум специальных энтропийУзел 1.5 Мультипликативный закон сохранения
Узел 1.6 Когнитивные фракталы
Узел 1.7 Вязкость сознания и число eУзел 1.8 Модель БернуллиУзел 1.9 Принцип микро-причинностиУзел 1.10 Случайно блуждающие ландшафтыУзел 1.11 Субстанции формы и содержанияУзел 1.12 Размерность Хаусдорфа и метрическая связностьУзел 1.13 Вне-пространственные фракталыУзел 1.14 Фракталы на графахУзел 1.15 Фрактальная размерность графов и сетейУзел 1.16 Фрактальность древовидных графовУзел 1.17 Фрактальная размерность и степенная статистикаУзел 1.18 Локальные и глобальные размерности графовУзел 1.19 Локальные и глобальные размерности графов (II)Узел 1.20 Локальные и глобальные размерности графов (III)Узел 1.21 Критические графы как фракталыУзел 1.22 Критические графы как фракталы (II)Узел 1.23 Возвращение к БернуллиИнтерлюдия. Две простые задачиУзел 1.24 Зоопарк критических графовУзел 1.25 Зоопарк критических графов (II)Узел 1.26 Режим стохастической самоподдержкиУзел 1.27 Растущие кластеры и размерность решетокУзел 1.28 Фрактальные и не-фрактальные решеткиУзел 1.29 Энтропия ростаУзел 1.30 Энтропия графов и пространствУзел 1.31 Игра в инверсию
Узел 2. Опус о числах и формах
.
Прологи
.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Узел 1.6 Когнитивные фракталы
 
Роман Уфимцев
16 июня 2014 года, Калининград
В предыдущей нити мы получили выражение специальной энтропии для степенных распределений - это величина, стремление которой к максимуму, по видимому, является ультимативной причиной развития степенных распределений. Оно (при условии, что минимальное возможное значение случайной величины, распределенной степенным образом равно 1) выглядит так:
где θ - показатель степени распределения.
Мы выяснили, что простым механизмом, который ярко и просто выражает суть этого "энтропийного иероглифа" является система, в которой объекты случайно обмениваются параметрами с соблюдением мультипликативного закона сохранения. При этом среднее геометрическое значение параметра объектов в системе прямо связано с показателем степени θ результирующего степенного распределения.
Однако, этот механизм, при его простоте и ясности, трудно применить к пониманию развития реальных степенных распределений. Скажем, не трудно вообразить как, например, населенные пункты обмениваются какими-то мультипликативными "факторами привлекательности", произведение которых для каждого населенного пункта образует его "популяционный потенциал". Но гораздо труднее объяснить, почему в системе сохраняется неизменным геометрическое среднее популяционных потенциалов всех населенных пунктов, и почему оно обычно равно числу e (это условие, при котором степенное распределение населенных пунктов по числу жителей соответствует закону Зипфа θ=2, что мы обычно видим на практике.) По видимому, в этом всем есть нечто, пока нам недоступное. В надежде распутать узелок, потянем за другую нить.
Структура сознания: все дело в ней
Как мы говорили, степенные распределения являются неотъемлемыми спутниками фракталов. Благодаря Бенуа Мандельброту мы знаем, как широко фракталы распространенны в феноменологическом мире, и можно думать, что фрактальная структуризация явлений и является основным поставщиком степенной статистики. Однако, мы не можем просто объявить причиной степенных распределений фрактальность явлений, потому что тогда сама фрактальность требует объяснений. Поясним это на нашем примере с населением городов.
Допустим, степенные распределения населения городов обусловлены тем, что страны как единые социально-географические системы являются фракталами, то есть они организованы самоподобно на различных масштабных уровнях. Глядя, например, на стохастический фрактал масшатбно-инвариантной сети, в его структуре действительно можно разглядеть нечто подобное структуре связей между населенными пунктами страны:
Узлы с большим количеством связей похожи на крупные города, служащие транспортными и информационными хабами. Узлы с малым количеством связей напоминают малые деревни, которые связаны только со своими районными центрами. И тут, кажется, можно увидеть какое-то фрактальное самоподобие: отношения деревни к районному центру подобно отношению районного центра к областному, и т.д.
Увы, эта аналогия очень упрощает реальную картину: если взглянуть на настоящую сеть транспортных путей и потоков между населенными пунктами какой-либо страны, то она вовсе не является строго древовидной, как масштабно-инвариантная сеть. Есть страны - как, например, Россия - в которой схема информационных и транспортных потоков больше похожа на древовидную. А есть страны - как Германия - в которой потоки образуют скорее плотную паутину не имеющую одного выраженного центра. В этих условиях говорить о самоподобии транспортной и информационной сети страны уже нельзя - и тем не менее, мы видим степенные распределения городов по числу жителей, притом не зависящие от культурных, экономических и географических особенностей страны.
Нам остается вернуться к мысли, что все дело в неизменности структуры коллективного сознания людей, и именно она навязывает населенным пунктам степенную статистику. То есть, фрактал тут следует искать не в географическом и административном устройстве страны, а в коллективном сознании ее обитателей. По какой-то пока неведомой нам причине структура предпочтений или организация внимания жителей страны является фрактальной. И уж это обуславливает развитие транспортных путей и административного деления страны в формы, иногда сходные с древовидными фракталами или иерархиями.
Идея о фрактальной организации сознания важна и интересна сама по себе, ведь по большому счету, о структуре человеческого сознания до сих пор не было известно ничего внятного. Мы пришли к ней, вдумчиво пытаясь разобраться в причинах степенной демографической статистики, но скорее всего, начни мы с другого примера - например, со степенного распределения компаний по объемам продаж - мы пришли бы к тому же выводу: виной всему фрактальное устройство коллективного сознания.
Так мы, разбираясь с причинами степенных распределений, неожиданно оказываемся исследователями структуры сознания. И мы не намерены лишь поэтически рассуждать на эту тему, а собираемся исследовать "фрактал сознания" методами точного анализа, опираясь на данные опытных наблюдений.
Приняв в работу гипотезу о фрактальной организации сознания (а точнее мы пока ее сформулировать не можем), она перестает казаться экзотической или фантастической. Действительно, как мы знаем, фракталы можно понимать как результат действия некоторого генерирующего преобразования на различных масштабных уровнях. Мышление и восприятие человека кажется действует одинаково вне зависимости от масштаба вещей, о которых мы мыслим или которые воспринимаем. В нашем сознании одинаково легко умещается и муравей и кит, и они могут соседствовать друг с другом как равные для нашего сознания существа. Также, как мы мыслим над планировкой своей комнаты, мы можем мыслить над планировкой целого города - не считая каких-то нюансов. Можно сказать, что наше сознание масштабно-инвариантно: наша мышление и восприятие одинаково обращается с вещами любого масштаба. А генерирующим преобразованием выступают шаблоны мышления и восприятия, которые действуют одинаково вне зависимости от того, думаем ли мы о ките или о муравье.
Но наше сознание - не просто какой-то фрактал. Как мы видели, в зависимости от типа фрактала его статистические характеристики различаются. Для всех традиционных фракталов характерна степенная статистика, но показатель степени различен для разных их типов. И тут у нас появляется возможность не просто констатировать фрактальность сознания, но и уточнить тип фракталов, в которые оно организуется. Мы говорили, что в подавляющем большинстве случаев, если мы в каком-либо социальном явлении встречаем степенное распределение, его показатель оказывается близким 2 - действует закон Зипфа. Естественно предположить, что фрактал именно с такой статистикой лучше всего отражает универсальную структуру сознания. А если у него имеются какие-то особые свойства по сравнению с другими фракталами, резонно полагать, что эти свойства являются необходимыми для организации сознания.
Вот наш ближайший план: мы исследуем свойства фракталов, структура которых отвечает закону Зипфа, фокусируясь на тех свойствах, которые уникальны для этого типа. Именно в них мы будем искать подсказки, касающиеся не только тайны организации человеческого сознания, но и загадки "популяционного потенциала", а также причин выполнения для него мультипликативного закона сохранения.
Когнитивные фракталы
Фракталы, структурная статистика которых соответствует степенному распределению с показателем θ=2, во многих отношениях действительно уникальны (как и сами распределения с показателем 2). В "Прологах" мы даже дали им особенное наименование - когнитивные фракталы. Эти свойства тесно взаимосвязаны друг с другом и поэтому перед автором возникает некая дилемма, с чего начать.
Пожалуй, полезно начать, казалось бы, с несущественных вещей (но это лишь с первого взгляда). Как мы говорили, в случае, если случайная величина имеет минимальное значение 1, степенное распределение этой величины соответствует уравнению:
И именно при показателе θ=2 это уравнение приобретает предельно простую, лаконичную форму:
Говорит ли это о какой-то особенности показателя θ=2? Может быть, это случайное совпадение?
Далее, эта лаконичность передается и "энтропийному иероглифу", который вообще для степенных распределений выглядит как
При показателе степени θ=2 он также обращается в свою минимальную, самую лаконичную форму:
И эта особенная простота и элегантность математического представления самого распределения и выражения специальной энтропии для него - только частные примеры. Подкованный в теме степенных распределений читатель согласится с автором, что и в других математических аспектах (например, не в частотном, а ранговом представлении распределений), показатель θ=2 упрощает выражения до эстетически прекрасных, лишенных всего лишнего форм.
Нужно совершенно не иметь математической интуиции и не понимать роли математики в описании мира, чтобы думать, что эта эстетичная простота и лаконичность не наделяет степенные распределения с показателем θ=2 какими-то фундаментальными уникальными свойствами. Вспомним нашу гипотезу о том, что "энтропийные иерогилифы" в каком-то сжатом, закодированном виде описывают сущность соответствующих распределений. И если в "иероглифе" степенных распределений в общем случае три слагаемых, то при θ=2 их становится только два: кажется, при показателе 2 степенные распределения очищаются от всего лишнего и предстают перед нами в своей кристально чистой сути.
Впрочем, это все же лирика, хотя и со смыслом. Обратимся к более конкретным вещам.
Масштабная инвариантность, самоподобие, самоафинность
Степенные распределения - единственный вид распределений, обладающий свойством масштабной инвариантности. Хорошей иллюстрацией этому свойству являются фракталы. Как мы говорили, если в качестве объектов множества взять некоторые структурные части фрактала - например, дыры в ковре Серпинского, то распределение этих частей по размеру (длине, площади и т.д.) является степенным:
Примем, что площадь центральной дыры в ковре равна 1. Тогда площади дыр второго каскада фрактала равны 1/9, третьего - 1/81 и т.д. Отвлекаясь от геометрической формы фрактала, его самоподобие и связанную с ним масштабную инвариантность можно выразить так: отношение количества дыр на двух соседних каскадах фрактала неизменно для всех его структурных уровней. Например, количество дыр на втором каскаде больше числа дыр на первом в 8 раз (8 против 1) и при этом дыры меньше в 9 раз (1/9 против 1). Но и количество дыр на третьем каскаде больше числа дыр на втором в те же 8 раз (64 против 8), и дыры меньше тоже в 9 раз (1/81 против 1/9). Ясно, что такие же отношения количества и размеров действуют и на всех других соседних каскадах.
Таким же свойством обладают все множества, отвечающие степенным распределениям. Возьмем, например, объекты, параметры которых (размеры) лежат в диапазоне от С до C*d. Количество объектов, лежащих в этом диапазоне при степенном распределении равно:
Количество объектов, имеющих в A раз больший параметр (размер):
И отношение количеств:
Получается, что в степенном множестве объектов размера в А раз большего чем некоторый заданный С всегда в Aθ-1 раз меньше вне зависимости от конкретного С, то есть, вне зависимости от масштаба - это и есть масштабная инвариантность степенных распределений.
Масштабная инвариантность фракталов опирается на их самоподобие. Говоря о степенных распределениях полезно различать самоподобие и самоафинность. Разницу между этими концепциями упрощенно можно проиллюстрировать так:
Подобие означает тождественность изменений масштаба фигуры по всем осям, а афинность допускает неравномерное изменение масштаба фигуры: в данном случае с уменьшением размера фигур их высота уменьшается быстрее, чем ширина. Пусть "ширина" фигуры - это величина параметра степенного распределения, размер объектов, а "высота" - величина, обратная их количеству. Тогда при уменьшении "ширины" в A раз "высота" уменьшается в Aθ-1 - то есть, имеется афинность, а не подобие. И только при θ=2 изменения "ширины" и "высоты" происходят точно одинаково, распределение оказывается строго самоподобным.
Именно при θ=2 мы имеем самоподобие в строгом смысле и правило масштабирования распределения становится очень простым: объектов в A раз большего размера всегда в A раз меньше. Например, городов с населением в 200 тыс. человек (плюс-минус скажем 5%) в два раза меньше, чем городов с населением в 100 тыс. человек (плюс-минус те же 5%). Аналогичное правило должно действовать и в других масштабах: скажем, населенных пунктов с 10 тыс. жителей в два раза больше, чем поселений с 20 тыс. жителей, и т.д.
Из этого следует очень любопытный вывод: взяв случайно любого гражданина страны мы равновероятно обнаружим жителя любой из размерных категорий населенных пунктов, потому что в каждой размерной категории населенных пунктов обычно живет одинаковое количество граждан. Действительно, городов с населением в 100(±5%) тыс. в два раза больше, чем городов с населением в 200(±5%) тыс. Это значит, что абсолютное число жителей в обоих категориях одинаково. И то же самое верно относительно любой размерной категории. (Обратим внимание, что категории задаются в виде некоторого числа и относительного отклонения от него: 200±5% тыс., а не абсолютного: 200±10 тыс.)
Итак, 1) самоподобие в строгом смысле и 2) равновероятность встречи жителя населенного пункта любого масштаба (для удобства ограничимся частной формулировкой этого свойства) - это два уникальных свойства фракталов и степенных распределений с показателем θ=2.
Фракталы каскадного дробления
Когда-то, в то время, когда автор только начинал искать механизмы развития степенных распределений с показателем θ=2, первой обнаруженной им надежной моделью стал механизм каскадного дробления континуума. Его суть проста: возьмем лист бумаги и подвергнем его нескольким каскадам дробления:
Теперь если мы учтем куски, получающиеся на всех этапах дробления, то статистика их размера будет соответствовать степенному распределению с показателем θ=2 - вне зависимости от того, на сколько частей на каждом этапе мы дробим каждый кусок. Важный момент - суммарная площадь кусков бумаги на каждом этапе дробления остается неизменной. И это имеет прямое отношение к свойству, выделенному нами выше: пусть каждый кусок бумаги соответствует населенному пункту страны, а площадь куска пропорциональна количеству жителей в нем. Тогда, взяв случайного жителя страны, мы равновероятно обнаружим его из любого каскада дробления, потому что суммарная площадь кусков на каждом каскаде одинакова - то есть, суммарное число жителей в каждой размерной категории городов одинаково.
Картина каскадного дробления является хорошей иллюстрацией и к строгому самоподобию когнитивных фракталов: структурных частей, которые в A раз меньше должно быть ровно в A больше. Действительно, можно заметить, что куски бумаги, лежащие на втором каскаде в 4 раза меньше, чем цельный лист на первом каскаде. И их ровно в 4 раза больше.
Говоря об известных фракталах, таких как ковер Серпинского, условие строгого самоподобия обычно не выполняется:
Например, тут дыр второго уровня в 8 раз больше, чем дыр первого уровня (она одна). Но их площадь в 9 раз меньше. Однако, есть и исключения, например, кривая Гильберта, которая строится следующим образом:
Если в качестве структурных частей принимать "вилки", которые появляются на каждом этапе построения фрактала, то распределение их по площадям будет степенным с показателем θ=2. И тут легко увидеть прямую связь с механизмом каскадного дробления - по сути, каждый этап построения кривой Гильберта аналогичен очередному этапу каскадного дробления куска бумаги:
Важной величиной в теории фракталов является их размерность Хаусдорфа. Для большинства известных фракталов размерность Хаусдорфа является дробной - иногда даже говорят, что фракталы это объекты с дробной размерностью. Но это не верно: кривая Гильберта как раз является фракталом с целочисленной размерностью Хаусдорфа - она равна 2. И это еще одно уникальное свойство когнитивных фракталов (и связанных с ними степенных распределений): их размерность Хаусдорфа всегда целочисленна.
Каскадный механизм развития когнитивных фракталов наводит на весьма любопытные гипотезы. В частности, применительно к фрактальности гео-социальных систем, автор выдумал теорию "когнитивных волокон", о которой мы тут пока лишь упомянем - о ней уже было рассказано в "Прологах".
В заключение стоит отметить, что каскадное дробление может быть не упорядоченным, а стохастическим, случайным: количество и размеры кусков дробления могут случайно варьировать - и это не скажется на результате. Все равно развивается степенное распределение с показателем θ=2:
Проблема среднего значения
Читатель может припомнить усмешку автора над отчетами правоохранительных органов, с тревогой сообщающих о "росте среднего размера взяток". Эти отчеты вызывают улыбку, потому что у нас есть все основания предполагать: подобно распределению богатства среди граждан, которое обычно является степенным с показателем около 2, также распределяются и взятки по величине - как мы говорили, такие распределения весьма характерны для различных сторон социальной жизни. Но попробуем посчитать среднее значение случайной величины, если она обладает степенным распределением с показателем θ:
Анализируя результат, мы увидим, что определенное среднее значение существует только для степенных распределений с показателями θ более 2. Для распределений с показателями от 2 и меньше среднее значение обращается в бесконечность - по сути, оно не существует. На практике это выглядит так, что чем больше данных в анализируемой выборке, тем больше оказывается среднее значение величины. Пусть, например, полиция зафиксировала 10000 фактов взяток. Если мы проанализируем только часть этих фактов, средняя величина взятки может оказаться равной 1000 рублей, а если проанализируем все факты - 5000 рублей. То есть, результат зависит не от реального положения дел, а от того, сколько данных мы собрали и проанализировали. Если полиция стала лучше работать и количество выявленных взяток увеличилось, посчитанное среднее также увеличится - и это не говорит нам ничего о ситуации с коррупцией, а только лишь о качестве работы самой полиции.
И все же, как бы автор сам уже не привык к мысли о том, что у случайной величины может вообще не существовать среднего значения, он не перестает этому удивляться: разве не странно, что не имеет смысла вопрос о том, сколько в среднем жителей живет в населенных пунктах страны? Разумеется, если мы поделим общее население страны на количество населенных пунктов, мы получим какую-то цифру - также поступает полиция, высчитывая средний размер взятки. Но эта цифра ничего нам не скажет о каком-то характерном количестве жителей в человеческих поселениях, она будет зависеть в первую очередь от размера страны и количества учтенных населенных пунктов - чем их больше, тем больше результат мы получим. Можно сказать, что вовсе не существует характерного количества жителей в человеческих поселениях, также как не существует характерного достатка у граждан, не существует характерной посещаемости у веб-сайтов, характерного количества пострадавших в террористических актах и т.д.
Заметим, что показатель θ=2 оказывается и тут особенным: он лежит ровно на водоразделе степенных распределений, обладающих определенным средним значением и распределений, у которых среднее значение обращается в бесконечность, то есть, отсутствует. И с этим водоразделом прямо связано еще одно уникальное свойство распределений с показателем θ=2.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER