КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Узелки на распуткуУзел 1. Причина степенных распределений
Узел 1.7 Вязкость сознания и число e
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
Узел 1. Причина степенных распределений
Узел 1.2 Механизмы развитияУзел 1.3 Причины и экстремальные принципыУзел 1.4 Максимум специальных энтропийУзел 1.5 Мультипликативный закон сохраненияУзел 1.6 Когнитивные фракталы
Узел 1.7 Вязкость сознания и число e
Узел 1.8 Модель БернуллиУзел 1.9 Принцип микро-причинностиУзел 1.10 Случайно блуждающие ландшафтыУзел 1.11 Субстанции формы и содержанияУзел 1.12 Размерность Хаусдорфа и метрическая связностьУзел 1.13 Вне-пространственные фракталыУзел 1.14 Фракталы на графахУзел 1.15 Фрактальная размерность графов и сетейУзел 1.16 Фрактальность древовидных графовУзел 1.17 Фрактальная размерность и степенная статистикаУзел 1.18 Локальные и глобальные размерности графовУзел 1.19 Локальные и глобальные размерности графов (II)Узел 1.20 Локальные и глобальные размерности графов (III)Узел 1.21 Критические графы как фракталыУзел 1.22 Критические графы как фракталы (II)Узел 1.23 Возвращение к БернуллиИнтерлюдия. Две простые задачиУзел 1.24 Зоопарк критических графовУзел 1.25 Зоопарк критических графов (II)Узел 1.26 Режим стохастической самоподдержкиУзел 1.27 Растущие кластеры и размерность решетокУзел 1.28 Фрактальные и не-фрактальные решеткиУзел 1.29 Энтропия ростаУзел 1.30 Энтропия графов и пространствУзел 1.31 Игра в инверсию
Узел 2. Опус о числах и формах
.
Прологи
.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Узел 1.7 Вязкость сознания и число e
 
Роман Уфимцев
28 июня 2014 года, Калининград
Предыдущая нить привела нас к обсуждению уникальных свойств степенных распределений с показателем θ=2. В частности, мы увидели, что лишь для степенных распределений с показателями θ больше 2 можно говорить об определенном среднем значении случайной величины. Для показателей θ от 2 и менее среднее значение обращается в бесконечность, то есть, фактически отсутствует (не имеет смысла высказывание: "в среднем случайная величина равна бесконечности"). Показатель θ=2 лежит на водоразделе распределений, имеющих конечное среднее, и распределений, для которого среднего существует.
Как видим, в отличие от распределений экспоненциального класса - экспоненциального и нормального - для степенного распределения арифметическое среднее значение не является универсальной, "аутентичной" характеристикой. Разумеется, не случайно в "энтропийный иероглиф" распределений экспоненциального класса входят слагаемые, связанные со средним значением, а в "иероглиф" степенных - нет. Зато в него входит слагаемое, связанное со средним геометрическим значением случайной величины - именно среднее геометрическое является для степенных распределений "родной" характеристикой. Обозначим среднее геометрическое случайной величины как γ. Оно прямо связано с показателем степени степенного распределения:
Для особенного показателя θ=2 среднее геометрическое значение должно быть равно основанию натуральных логарифмов, числу e. Это число мы находим буквально в сердцевине когнитивных фракталов и закона Зипфа. И, если наша гипотеза о фрактальной организации сознания верна, это число играет какую-то основательную роль для нашего мышления и восприятия - оно характеризует среднюю геометрическую "мощность" фокусов внимания или каких-то других "единиц сознания".
Характерная пропорция дифференциации и вязкость сознания
Среднее геометрическое значение прямо связано с показателем степени степенного распределения, но если показатель θ скорее описывает общую, совокупную форму распределения и соответствующего фрактала, то среднее геометрическое γ позволяет разглядеть детальные особенности строения фрактала. Обсудим это на примере "гео-социальных" фракталов, которые из себя представляют страны и их население.
Распределение населенных пунктов какой-либо страны или провинции по числу жителей обычно отвечает закону Зипфа, то есть, мы имеем показатель θ около 2. Но для обобщенности разговора не будем пока это акцентировать. Пусть у нас имеется страна, в которой есть n населенных пунктов. Эти пункты распределяются степенным образом с каким-то показателем θ. Этому показателю соответствует некоторое значение среднего геометрического γ. Если обозначить население городов как d1, d2, d3,.., то получается
или, прологарифмировав
Это весьма примечательное и содержательное выражение, смысл которого мы проясним, если возьмем случай γ=e, то есть, самый интересный для нас (неудивительно видеть, что именно в этом случае выражение оказывается самым простым):
В правой части мы видим n - общее количество населенных пунктов страны. А левая часть состоит из слагаемых, каждое из которых соответствует тому или иному населенному пункту. При этом каждое слагаемое делает некоторый вклад в общую сумму n. - тем больший, чем больше жителей в соответствующем населенном пункте. Например, вклад города с числом жителей в 500 тыс. человек равен ln(500000)≈13. И эта цифра имеет интересный смысл: существование именно такого количества населенных пунктов обеспечивает город с полумиллионным населением - именно таков вклад этого города в общее количество населенных пунктов страны.
Большой город оправдывает или обеспечивает существование 13 других населенных пунктов - и тут естественно предположить, что их следует рассматривать в качестве непосредственных спутников или отпрысков города - в реальности это означает, что они должны быть с ним прямо связаны транспортными и информационными связями:
Пусть среди этих населенных пунктов есть поселок с 500 жителями. Он, в свою очередь, оправдывает существование еще ln(500)≈6 населенных пунктов:
Продолжая таким же образом "раскрывать" и другие населенные пункты мы получим древовидный фрактал, который по своим статистическим характеристикам будет аналогичен реальным гео-социальным фракталам.
Конечно, все конкретные числовые оценки тут условны - мы исходим из того, что минимально населенные пункты имеют по 1 жителю. Это не реалистично. Но мы можем скорректировать выводы взяв другой нижний порог. Например, если принять, что минимальная популяция населенного пункта составляет 15 человек, то для выполнения условия θ=2 среднее геометрическое населения городов должно равняться γ = 15*e.
Тогда полумилионный город оправдывает существование еще ln(500000)/(ln(15*e))≈4 населенных пунктов - и это уже, кажется, неплохо согласуется с типичным административным дроблением, когда областной центр с полумилионным населением опирается на несколько крупных районных центров. Поселок с населением в 500 человек в этом случае оправдывает существование еще 2 поселений (очевидно, небольших деревень и хуторов) - и это тоже выглядит похожим на реальность.
Посмотрим теперь, что происходит при росте населенного пункта начиная от 1 жителя:
До тех пор, пока его население очень мало (1-2 жителя или 1-2 минимально возможных населений если мы считаем невозможными поселения с 1 жителем), этот населенный пункт не создает условий или не дает оправдания появления новых населенных пунктов. Однако когда население оказывается порядка e (2-3 человека), у него появляется один отпрыск. Далее, когда его население достигает величины e2, появляются условия для появления еще одного отпрыска, и т.д.
Пожалуй, самое интересное тут происходит, когда у объекта появляется первый отпрыск. Условия, при которых это происходит, по сути, является генерирующим преобразованием, порождающим когнитивный фрактал, для которого θ=2:
Ключевое значение тут имеет пропорция между "весом" родового объекта и "весом" отпрыска: они соотносятся как e:1. Эта характерная пропорция дифференциации, разделения объектов в системе, и если полагать, что когнитивные фракталы являются типичными структурами сознания, то в основании развития этих структур лежит дифференциация фокусов внимания или других "единиц сознания" в пропорции e:1.
Если характерная пропорция дифференциации другая (то есть, генерирующее преобразование имеет другие параметры), мы получим фракталы с другими значениями показателя θ. Скажем, для развития степенного распределения с показателем θ=3 (описывающего, например, структуру масштабно-инвариантной сети) характерная пропорция выглядит как √e̅:1:
Такое преобразование приводит к развитию фрактала, в котором больше мелких частей, отпрыски объектов ближе по "весу" к ним самим:
Характерная пропорция дифференциации (термин излишне длинный - ему надо поискать замену) - это, образно говоря, свойство "глины", из которой лепится фрактал. Если она излишне суха, то из нее трудно слепить крупные куски - они крошатся. Так возникают распределения с большим параметром θ. Если она излишне влажна, то она тягуча и липка и неохотно разделяется на отдельные куски - возникают распределения с малыми показателями θ. Но если "глина" имеет оптимальную влажность, появляется фрактал с θ=2. Именно из такой "глины" слеплено наше сознание:
Этот образ подсказывает нам хороший термин для замены "характерной пропорции дифференциации" - вязкость. Сухая глина имеет низкую вязкость, влажная - высокую. Мы будем говорить о вязкости субстанции, из которой формируется фрактал, принимая ее равной среднему геометрическому значению веса его частей. Например, для когнитивных фракталов с θ=2 вязкость равна числу e. Для субстанции, из которой лепятся масштабно-инвариантные сети вязкость равна √e̅, и т.д.
Метафора глины оптимальной влажности напомнила автору об одной заметке, вычитанной много лет назад. Она была посвящена теме температурных условий, при которых достигается максимально возможное разнообразие химических соединений. Тут действует две противостоящих тенденции. Если температура слишком низкая, то возникают энергетические барьеры, не позволяющие образовываться сложным типам молекул. Если температура наоборот, слишком высокая, то слабые связи, которые обычны в сложных молекулах становятся неустойчивыми и молекулы распадаются на более простые.
Авторы заметки утверждали, что максимальное разнообразие возможных химических соединений достигается при температурах, лежащих в диапазоне от 30 до 40 градусов Цельсия. И неудивительно, отмечали авторы, что именно в таком диапазоне лежит температура тела млекопитающих - самых сложных материальных феноменов в известной нам части Вселенной.
Если это так, то этот факт скорее, наоборот, удивителен. И он лишний раз нам напоминает о вездесущих экстремальных принципах - в данном случае Природа выбрала для своих самых совершенных и сложных материальных созданий температурные условия, предоставляющие ей максимальные возможности.
Хорошо, но что же особенного и экстремального в вязкости, равной числу e?
Нечто подсказывает автору, что эта вязкость способствует какому-то максимально возможному разнообразию и сложности содержания сознания - также, как температура в 36 градусов способствует максимальным химическим возможностям материи. Но это пока лишь туманная догадка.
Дискретный и непрерывный рост
Число e, по мнению автора, самое загадочное и интересное из всех, как бы это странно не звучало. На протяжении "Прологов" оно то и дело "всплывало" в разных контекстах, что не удивительно, ведь степенные распределения, отвечающие закону Зипфа были одной из главных тем - а число e, как мы видим, имеет к ним непосредственное отношение.
Теперь мы понимаем это число как "оптимальную" вязкость субстанции, из которой формируются когнитивные фракталы или, еще смелее, как характерную вязкость сознания. Естественно искать подсказки о причинах этого в особенных свойствах числа e, которых немало. И одно из таких свойств автор подробно еще не рассматривал, хотя именно с ним связано возможно первое явление числа e на научной исторической сцене.
В 17-м веке Якоб Бернулли, блестящий математик, исследователь, обладающий удивительной широтой мысли, занялся одной актуальной по тем временам задачей. Задача касалась процентного дохода и его величины в зависимости от схемы начисления процентов. Задача действительно была актуальной, поскольку в то время происходило зарождение банковской системы. Ее суть заключалась в следующем: Пусть мы вложили в рост 1 золотой. И наш заемщик обязан через год вернуть его с процентом интереса, например, 100%. Ясно, что через год мы получим обратно 2 золотых.
Но что, если мы потребуем, чтобы можно было забрать свой вклад не только через год, но и через полгода? Тогда разумно положить, что если мы забираем сумму через полгода, наш интерес должен составить половину от 100%, то есть, 50%. Значит, через полгода мы можем получить 1,5 золотых. Если мы эту сумму вновь поместим в рост на полгода с интересом в 50%, то к концу года мы получим 1,5*150% = 2,25 золотых. Результат оказался больше, чем если бы мы просто отдали золотой в рост на год с интересом в 100%. Причина понятна: вторую половину года в росте находится уже не 1 золотой, в 1,5.
Далее, если разбивать интерес 100% на 4 части и иметь возможность фиксировать прибыль поквартально, то через год мы получим 1,25*1,25*1,25*1,25 = 2,44... золотых: еще больше. Естественно думать, что и далее разбивая интерес, мы еще больше увеличим результат. Бернулли задался вопросом о пределе - он достигается, если интерес разбит на бесконечное число частей. Несложный анализ позволяет записать величину суммы, которую мы получаем через год:
где n - количество фиксаций роста. Скажем, если выплата процента одна и происходит в конце года, n=1 и мы получим результат 2 золотых. Вычисления Бернулли (а в те времена хороший математик был обязан быстро и хорошо считать) показали, что с ростом n результат сходится к некоторому числу, несколько меньшему, чем 3. Сегодня это число обозначается как e, а само открытие Бернулли называется вторым замечательным пределом:
Разовьем наше интуитивное понимание этой темы наглядным образом. Пусть утром прекрасного солнечного летнего дня у нас есть росток с одним листом площадью 1. В течение дня лист впитывает энергию солнца, преобразует ее в питательные вещества и накапливает их, скажем, в корневой системе. С наступлением ночи начинается другая фаза: накопленные вещества пускаются в рост растения. При этом положим интенсивность солнца и накопления такими, что лист площадью 1 накапливает за день ровно столько питательных веществ, чтобы к утру его площадь увеличилась на 100%, то есть, в два раза:
Тогда на второй день растение будет впитывать солнце уже листом площади 2 и накопленных веществ хватит, чтобы за следующую ночь площадь листа вновь удвоилась и стала равной 22=4. Так рост продолжается и далее: 8, 16, 32,...
Но рассмотрим теперь альтернативный механизм роста. Его особенность в том, что преобразуя солнечный свет в питательные вещества, растение пускает их в рост листа немедленно, а не отложенно. Ночью же растение просто отдыхает. В этом случае к утру второго дня площадь листа составит не 2, а e, к утру третьего дня - не 22, а e2, и т.д.:
Заметим, что при этом не изменилась ни интенсивность солнечного света, ни качество преобразования энергии в площадь листа. Изменилось только то, что в первом случае механизм чередует этапы накопления ресурсов и роста, а во втором они совмещены. Или, как еще можно охарактеризовать разницу, в первом случае рост дискретный, а во втором - непрерывный. И, как мы видим, дискретный рост, который характеризуется мультипликатором 2 соответствует непрерывному росту с мультипликатором e.
Воодушевленный этим обстоятельством, автор решил нарисовать схему начала формирования фрактала с вязкостью, равной числу e:
Из нее следовало: от одного этапа развития к другому масса родового объекта растет как ek, а общее количество объектов фрактала растет как 2k. Применительно к городам и их населению это звучит так: удвоение количества населенных пунктов гео-социальной общности (например, стране или отдельной провинции) сопровождается увеличением населения ее столицы (или любого из ее населенных пунктов) в e раз.
И это оказался ошибочный вывод: на самом деле при удвоении количества городов население каждого увеличивается в среднем в два раза. То есть, если изображать развитие фрактала со статистикой Зипфа в упорядоченном и идеализированном виде, то правильнее делать это так:
Однако, среднее геометрическое значение масс объектов в такой идеализированной схеме равно 2, а не числу e. Это один из парадоксов, которые частенько всплывают в связи со степенными распределениями. Его причина в несколько различных математических свойствах идеальных фракталов - как на этой схеме - и стохастических, которые мы встречаем в реальности.
Если количество населенных пунктов растет как первый вид растений - дискретно, с разделенными этапами накопления и роста, то население городов растет как растение второго вида, с одновременным накоплением и ростом, непрерывно. Но, как мы видели, растения обоих видов развиваются в одинаковых условиях среды и при одинаковом "КПД", и это наводит на определенные размышления.
Вообще-то, рост населения также происходит дискретно: люди не плодятся непрерывно, этап "накопления ресурсов" (взросления, обустройства семьи и т.д.) однажды и дискретно приводит к рождению новых людей. Но по сравнению с "рождением" новых поселений - что происходит много реже, чем рождаются люди - они плодятся почти непрерывно. И получается так, что интенсивность поглощения ресурсов среды и эффективность их усвоения и для плодящихся людей и для "плодящихся" населенных пунктов оказывается одинаковой. Проясним это простой моделью.
Возьмем населенный пункт с достаточно большим числом жителей d (d гораздо больше единицы). Пусть в каждый цикл времени с некоторой вероятностью p каждый отдельный житель может "раздвоиться", то есть, дать отпрыска. Но точно с такой же вероятностью в каждый цикл времени может раздвоиться, то есть, дать отпрыска, и сам город. В этом случае вне зависимости от вероятности раздвоения p, к тому времени, когда город даст одного отпрыска - новый населенный пункт - число его жителей увеличится в среднем в e раз:
(Тут следует особо заметить, что мы говорим о среднем геометрическом умножения населения, а не о "твердой" цифре. То есть, любой населенный пункт за период от момента, когда у него появился один отпрыск и до момента, когда у него появился еще один увеличивает свое население в А раз. В общем случае А - случайная величина, имеющая среднее геометрическое значение, равное числу e.)
Обратим внимание на два условия: 1) число жителей города должно быть велико - чем их больше, тем ближе рост населения ближе к непрерывному. 2) вероятность раздвоения для каждого конкретного жителя за некоторый период времени равна вероятности раздвоения города. Этих двух условий достаточно. И хотя эта простая модель оставляет за кадром вопрос о том, откуда берутся жители новообразованного населенного пункта, ее достаточно, чтобы объяснить происхождение закона Зипфа в популяционных распределениях: дело в том, что 1) жителей в любом населенном пункте существенно больше единицы, и 2) населенные пункты плодятся с той же вероятностью ("плодовитостью"), что и люди.
Последний пункт кажется весьма странным, но он и является ключевым: микро-объекты с точки зрения "размножения" находятся в точно таких же условиях, что и макро-объекты. Если это так, и если макро-объекты гораздо больше микро-объектов, из которых они сложены, происходит развитие фрактальной структуры с вязкостью e и соответствующей закону Зипфа.
Мы говорили, что фракталы, имеющие статистику Зипфа, обладают в отличие от других самоподобием в строгом смысле слова. Теперь мы обнаружили еще одно неожиданное понимание этого самоподобия: макро-объекты таких фракталов подобны микро-объектам в смысле условий дифференциации или размножения.
Рассмотрим еще c точки зрения нашей простой модели случаи вязкости, не равной числу e (то есть, степенных распределений с показателем θ, отличным от 2). Пусть вероятность раздвоения микро-объекта за некоторый период времени равна pmicro, а вероятность раздвоения макро-объекта - pmacro. Тогда отношение этих вероятностей связано с фрактальной вязкостью γ:
и с показателем степени распределения:
При pmicro=pmacro вязкость равна числу e и показатель θ=2 - этот случай мы рассмотрели выше. А, например, для фрактала с θ=3 вероятность раздвоения макро-объекта должна быть в два раза выше вероятности раздвоения микро-объекта: pmicro/pmacro = 1/2.
И тут можно обнаружить занятный парадокс. Припомним модель масштабно-инвариантной сети, которая как раз является фракталом, для котрого θ=3. Макро-объектами в ней являются узлы сети, а микро-объектами - связи, которыми каждый узел связан с остальными. Но каждый новый узел, появляющийся в сети, привносит в нее 1 макро-объект - самого себя - и два микро-объекта, две связи (одна связь приходится на него самого, а вторая - на тот узел, к которому он присоединится). То есть, на каждый новый макро-объект приходится два новых микро-объекта. Это можно трактовать как отношение вероятностей pmicro/pmacro = 2 - ведь в системе связи появляются в два раза чаще, чем узлы. Но в действительности, это отношение прямо обратное, оно равно 1/2. Парадокс объясняется тем, что на самом деле описанная простая модель принципиально не соответствует механизму масштабно-инвариантной сети. Чуть позже мы познакомимся с подходящей ее вариацией.
1
Замечание)
Должен отметить небольшую несостыковку, в предыдущей нити вы говорили о полном самоподобии фракталов при использовании распределения Зипфа, то есть количество населённых пунктов с население А в 2 раза больше чем количество населённых пунктов с населением 2А. Здесь же вы пришли к выводу, о том что при население различается в е раз, значит количество населённых пунктов с населением А в 2 раза больше, чем количество населённых с населением еА.
Вполне, возможно я где-то упустил нить ваших рассуждений или неправильно понял.
Егор (17.07.2014 14:53)
2
Да, ошибка
В действительности при увеличении количества населенных пунктов в два раза население каждого увеличивается тоже в среднем в два раза.
Однако, верно и то, что за период появления нового отпрыска у города среднее геометрическое увеличение его населения равно числу e. Но из этого вовсе не следует, что когда все города дадут по одному отпрыску (то есть, их количество удвоится), население каждого увеличится в среднем в e раз. Это ошибочный вывод, благодарю что его заметили :)
Текст поправлю, это ошибка не критичная для общей логики.
Роман Уфимцев (18.07.2014 12:19)
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER