КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Узелки на распуткуУзел 1. Причина степенных распределений
Узел 1.8 Модель Бернулли
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
Узел 1. Причина степенных распределений
Узел 1.2 Механизмы развитияУзел 1.3 Причины и экстремальные принципыУзел 1.4 Максимум специальных энтропийУзел 1.5 Мультипликативный закон сохраненияУзел 1.6 Когнитивные фракталыУзел 1.7 Вязкость сознания и число e
Узел 1.8 Модель Бернулли
Узел 1.9 Принцип микро-причинностиУзел 1.10 Случайно блуждающие ландшафтыУзел 1.11 Субстанции формы и содержанияУзел 1.12 Размерность Хаусдорфа и метрическая связностьУзел 1.13 Вне-пространственные фракталыУзел 1.14 Фракталы на графахУзел 1.15 Фрактальная размерность графов и сетейУзел 1.16 Фрактальность древовидных графовУзел 1.17 Фрактальная размерность и степенная статистикаУзел 1.18 Локальные и глобальные размерности графовУзел 1.19 Локальные и глобальные размерности графов (II)Узел 1.20 Локальные и глобальные размерности графов (III)Узел 1.21 Критические графы как фракталыУзел 1.22 Критические графы как фракталы (II)Узел 1.23 Возвращение к БернуллиИнтерлюдия. Две простые задачиУзел 1.24 Зоопарк критических графовУзел 1.25 Зоопарк критических графов (II)Узел 1.26 Режим стохастической самоподдержкиУзел 1.27 Растущие кластеры и размерность решетокУзел 1.28 Фрактальные и не-фрактальные решеткиУзел 1.29 Энтропия ростаУзел 1.30 Энтропия графов и пространствУзел 1.31 Игра в инверсию
Узел 2. Опус о числах и формах
.
Прологи
.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Узел 1.8 Модель Бернулли
 
Роман Уфимцев
11 июля 2014 года, Калининград
Мы завершили предыдущую нить нашего разговора о степенных распределениях обсуждением простой модели, позволяющей понять, почему среди прочих в статистике натуральных феноменов чаще всего встречаются степенные распределения с зипфовским показателем θ≈2. Она действительно очень проста, и будет полезно еще раз, более ясно, ее описать. (Идею нам навеяла находка Якоба Бернулли, так что в его честь будем именовать этот механизм "моделью Бернулли".)
Пусть мы имеем множество макро-объектов, каждый из которых является агрегатом того или иного количества одинаковых микро-объектов. Положим, что за некоторый период времени каждый из макро-объектов может с вероятностью pmacro дать "отпрыска" - то есть, породить еще один объект множества. Новорожденный объект при этом образован некоторым стартовым количеством микро-объектов (пока оставим в стороне вопрос, откуда они берутся).
Далее, пусть за тот же контрольный период времени и каждый из микро-объектов может породить отпрыска с вероятностью pmicro. Поскольку каждый микро-объект является частью того или иного макро-объекта, новорожденные микро-объекты становятся частью того же макро-объекта, что и их родители.
В этих условиях, если новорожденные макро-объекты содержат достаточно большое количество микро-объектов (скажем, больше 5), с течением времени развивается множество, в котором распределение макро-объектов по их массе является степенным. При этом показатель степени распределения определяется выражением:
Если pmacro=pmicro, мы получаем θ=2, то есть, выполнение закона Зипфа.
Применительно к проблеме закона Зипфа в распределениях населения, равенство этих вероятностей приводит к неожиданному и даже экзотичному выводу: населенные пункты плодятся с такой же интенсивностью как и населяющие их люди. В этом отношении населенные пункты точно подобны людям. Но мы осмыслим этот странный вывод чуть позже. У модели есть другой недостаток: мы не учитываем, что в новообразованных населенных пунктах изначально должно быть какое-то минимальное количество жителей, и они должны откуда-то браться.
Чтобы проверить, является ли это серьезной проблемой, автор предпринял ряд численных экспериментов. Оказалось, что результат - степенное распределение с θ=2 - практически не меняется от того, откуда мы берем жителей для нового поселения: мы можем, например, забирать их из родительского населенного пункта. Или мы можем понемногу отнимать их от нескольких других населенных пунктов. Наконец, мы можем вообще считать их эмигрантами. Кроме того, и стартовое количество жителей в новом населенном пункте может варьировать (лишь бы оно не было слишком малым - скажем, менее 5 - и не было слишком большим) - нам нет необходимости требовать, чтобы в новообразованных поселениях было, например, ровно по 50 жителей. Все равно после достаточно длинной эволюции развивается множество, отвечающее закону Зипфа.
Таким образом, главное условие получения степенного распределения с показателем θ=2 - равенство вероятностей pmacro=pmicro, и если оно выполняется, все остальные детали имеют мало значения. Разве что макро-объекты должны быть существенно больше микро-объектов.
Пожалуй, теперь самое время серьезно поговорить о смысле равенства этих вероятностей. Разговор обещает быть интересным.
Странные выводы
Мы пришли к выводу, населенные пункты плодятся с такой же интенсивностью как и населяющие их люди. Аналогичные выводы мы можем сделать и для других известных эмпирических примеров статистики Зипфа (θ≈2):
Распределение объема собственности по членам общества: макро-объекты - люди, микро-объекты - денежные единицы. Получается, что денежные единицы плодятся с той же интенсивностью, что и члены общества.
Распределение сообществ или организаций о числу членов: макро-объекты - сообщества или организации, их члены - микро-объекты. Тут мы получаем нечто подобное выводу о населенных пунктах и их жителях.
Распределение фамилий по количеству носителей: макро-объекты - фамилии, микро-объекты - носители. Фамилии плодятся с той же частотой, что и их носители.
Классический случай закона Зипфа - распределение уникальных слов в некотором корпусе текста или речи по частоте их использования: макро-объекты - слова, микро-объекты - их экземпляры. Уникальные слова плодятся с той же вероятностью, что и их экземпляры.
Распределение военных конфликтов по числу жертв: макро-объекты - конфликты, микро-объекты - отдельные жертвы. Конфликты плодятся с той же частотой, что и жертвы.
Распределение озер России по площади: макро-объекты - озера, микро-объекты - единицы площади. Озера плодятся с той же частотой, что и единицы площади.
Или мы можем попробовать сделать подобные выводы об известных эмпирических примерах степенных распределений с показателем θ≈3:
Распределение научных статей по числу цитирований: макро-объекты - статьи, микро-объекты - их цитирования. Научные статьи плодятся в два раза чаще, чем их цитирования.
Распределение кратеров на Луне по площади: макро-объекты - кратеры, микро-объекты - единицы площади. Кратеры плодятся в два раза чаще, чем единицы их площади.
Этот ряд выводов можно продолжать для любых эмпирических примеров степенных распределений. Некоторые из них выглядят менее причудливо и кажутся серьезным поводом для размышлений, например "Фамилии плодятся с той же частотой, что и их носители". Другие же не лезут ни в какие ворота, скажем "Кратеры плодятся в два раза чаще, чем единицы их площади". Невозможно думать, что найденная нами модель полностью универсальна и пригодна для понимания источника степенной статистики во всех случаях. Тем не менее, странность, но не абсурдность некоторых из полученных нами выводов дает повод призадуматься. И как обычно, особенно нам интересны выводы для случая θ≈2.
В этих случаях макро- и микро-объекты характеризуются одинаковыми вероятностями размножения. Они ведут себя подобным образом и это наводит на мысль, что макро- и микро-объектам в этом случае следует приписывать одну и ту же природу. Если города с точки зрения вероятности их "размножения" ведут себя также как их обитатели, то резонно рассмотреть гипотезу, в соответствии с которой механизмы размножения у людей и у населенных пунктов имеют одинаковую суть. Конечно, не в физическом, а в каком-то специальном смысле.
Это само по себе интересное обстоятельство с точки зрения принципов логики: целое имеет ту же природу, что и части. Мы считаем молекулы принципиально отличными от составляющих их атомов, организмы - от составляющих их живых клеток, слова - от составляющих их букв, и т.д. Принципы правильного мышления требуют различать логические уровни строения мира, их смешение приводит к недоразумениям. Как же возможно хотя бы частное подобие природы населенного пункта и отдельного его жителя? Чтобы оценить странность этого обстоятельства, прибегнем к наглядности. Составим в один длинный ряд всех жителей страны и все ее населенные пункты:
В этом ряду соседствуют сущности двух разных логических уровней, и этим он похож на детский ребус. Тем не менее, мы можем сообщить о нем нечто содержательное: в любой промежуток времени каждый из объектов этого ряда может дать отпрыска с одинаковой вероятностью.
В этом ряду людей гораздо больше, чем населенных пунктов. Составим другой ряд, в котором наоборот, людей гораздо меньше, чем других объектов - единиц богатства, принадлежащего членам общества:
В этом ряду также смешаны объекты двух разных логических уровней, но каждый объект в нем также плодится с одной и той же вероятностью (закон Зипфа в распределении собственности).
Совместим оба ряда:
Теперь в нем смешаны объекты трех разных логических уровней: населенные пункты, их обитатели, и единицы собственности, принадлежащей этим обитателям. И вновь, каждый член этого ряда плодится с некоторой одинаковой вероятностью за единицу времени.
Далее в этот ряд мы можем добавить уникальные фамилии (закон Зипфа в распределении фамилий по числу носителей), ВУЗы и организации (закон Зипфа в распределении организаций по числу членов), и видимо еще много чего. Ряд превратится в настоящую логическую кашу, в которой рядом оказываются не только объекты различных уровней, но и разнородных классов. Но по-прежнему любой объект этого ряда будет иметь одинаковые шансы породить отпрыска за некоторый период времени.
Этому всему трудно найти разумное объяснение. Но все же существует один природный феномен, для которого смешение логических уровней и классов не является чем-то невозможным - это наше сознание. Лишь если населенные пункты, фамилии, конкретные люди, организации и денежные единицы являются тождественными по природе представлениями или фокусами внимания в нашем сознании, они как таковые оказываются в одном ряду и могут подчиняться одним и тем же "законам размножения".
Попробуем робко поспекулировать на эту тему.
Ребенок появляется в семье, когда коллективное сознание ее членов порождает новое представление, новый фокус внимания для своего нового члена. Иногда это представление создается совершенно произвольно, по воле участников. Иногда - с помощью природы, которая подстегивает. И возможно с новыми поселениями также: иногда они появляются после того, как совершенно произвольно у жителей поселения-родителя (или у группы поселений - у "семьи") сложится представление о новом поселении, о его необходимости. А иногда их подстегивают внешние стимулы. Но статистика Зипфа в данном случае заставляет думать, что процесс возникновения нового коллективного представления, нового фокуса внимания, развивается по одним и тем же законам - будь то идея нового человека или идея нового поселения.
Положим так, и содержание коллективного сознания можно представить рядом представлений или идей, связанных с теми или иными объектами мира - людьми, городами, фамилиями, денежными единицами, организациями, и т.д. Эти представления могут дробиться - скажем, одно превращается в два. Тогда, если дробление коллективных представлений приводит к объективному дроблению объектов - к возникновению новых поселений и фамилий, рождению новых людей - и если дробление представлений вне зависимости от их содержания происходит с одинаковой частотой или вероятностью, а сами они касаются объектов разного логического уровня, мы получаем статистику Зипфа.
Мы пришли ни много ни мало к фантастической гипотезе, которая утверждает основополагающее влияние законов "мира идей" на реальность, и в этом смысле она является идеализмом чистой воды. Это совершенно не смущает автора, но увы, все не так просто. Если бы любые идеи вели себя одинаково с точки зрения "размножения", статистика Зипфа была бы совершенно общим правилом для наблюдаемых феноменов мира (как минимум, связанных с человеком). Однако это не так. Мы не только встречаем тут и степенные распределения с иными показателями нежели θ=2, но видим и распределения не степенного вида. Это означает, что не всякие идеи или представления подчиняются одним законам, а случаи закона Зипфа лишь выделяют особый класс идей и связанных с ними сущностей: это люди, города, организации, денежные единицы, фамилии и т.д. Даже если наша гипотеза верна, нам еще потребуется понять, что особенного и родственного именно в этих сущностях, и почему идеи и представления, связанные с ними, ведут себя одинаково.
Даже и с этими "особыми сущностями" не так все однозначно. Как мы говорили, чаще всего распределения насленных пунтов по числу жителей отвечает закону Зипфа θ≈2. Но есть и систематические отклонения от общего правила. Например, для стран Скандинавии, особенно Швеции и Норвегии, степенное распределение имеет заметно более высокий показатель, порядка θ≈2,4. В этом случае pmacro (вероятность "размножения" населенного пункта) больше, чем pmicro (вероятность "размножения" жителя) примерно на 30%.
Напротив, имеются и противоположные примеры. Например, для США и Канады θ≈1,8, что соответствует примерно на 30% большей вероятности "размножения" жителей, чем населенных пунктов. Говорит ли нам это что-то об особом устройстве сознания скандинавов и северо-американцев? Пожалуй, но что именно?
Однако, поиграв с простой моделью, которую нам подсказало открытие Бернулли, взглянем на нее в более широком контексте, а заодно сделаем шаг назад к "энтропийным иероглифам".
Вариации модели Бернулли
Мы имеем макро-объекты, которые являются объединениями микро-объектов. В нашей простой модели за некоторый период времени каждый макро- и микро-объект может родить себе подобного отпрыска, при этом мы полагали, что вероятность этого события равна для всех макро- и микро-объектов (хотя в общем случае может различаться для объектов разного уровня). Это означает, что каждый период времени характеризуется некоторым относительным приростом количества макро- и микро-объектов.
Подчеркнем: и количество макро-объектов и количество микро-объектов прирастает относительно, а не абсолютно. Однако, это наводит на мысль, что можно рассмотреть другой вариант модели, в которой за тот же период времени количества увеличиваются не относительно - например, на 100% - а абсолютно - например, на 100 шт.
Пусть, например, за некоторый период времени количество макро-объектов в системе увеличивается на A штук, а количество микро-объектов прирастает на B штук - то есть, приросты не относительные, а абсолютные. При этом будем полагать, что прирост числа микро-объектов распределяется равномерно по всем объектам системы - то есть, в среднем они получают один и тот же абсолютный прирост массы. Проницательный читатель догадается, что в этих условиях развивается геометрическое/экспоненциальное распределение макро-объектов по массам.
Применительно к хорошо нами усвоенному примеру с городами и их населением, разница выглядит так: когда города с некоторой вероятностью порождают другие города, и обитающие в них люди с некоторой (может быть, другой) вероятностью порождают других людей, мы получаем степенную статистику. Но если бы города порождала страна (например, в среднем по одному в 5 лет), также, как и жителей этих городов (например, в среднем по одному в час), то мы бы увидели экспоненциальную статистику. Об этом удобно говорить в терминах источников: в первом случае источником городов являются другие города, а источником людей - другие люди. Во втором случае и источником людей и источником городов является страна - объект уровня целой системы.
(Источник порождает объект с определенной постоянной вероятностью за некоторый период времени. Или с одинаковой средней частотой - как курицы несут яйца в среднем раз в сутки.)
Для наглядности сведем оба варианта в таблицу:
Красная отметка обозначает относительный механизм прироста, а голубая - абсолютный. Можно заметить, что относительный механизм действует тогда, когда источником объектов выступают объекты того же уровня - например, люди являются источником других людей. А абсолютный механизм действует тогда, когда источником макро- или микро-объектов является "супер-объект". Например, если источником и людей и городов является страна.
Анализ варианта I мы уже провели - развивается степенное распределение, показатель θ которого зависит от отношения вероятностей порождения каждым микро- и макро-объектом своего отпрыска (за некоторый период времени):
Еще проще выглядит связь отношения вероятностей с логарифмом среднего геометрического значения случайной величины:
При анализе варианта II воспользуемся теми же обозначениями: пусть вероятность того, что "супер-объект" (страна) породит за некоторый период времени макро-объект (город) равна pmacro, а вероятность того, что страна породит микро-объект (человека) равна pmicro. Тогда разовьется геометрическое распределение (если минимальное население города 0):
В нем параметр λ - а он равен среднему арифметическому случайной величины - прямо зависит от отношения вероятностей:
Если параметр λ достаточно велик - когда вероятность порождения микро-объекта существенно больше вероятности порождения макро-объекта, распределение приближается к экспоненциальному:
Мы видим, что в обоих вариантах модели отношение вероятностей pmicro/pmacro (обозначим его как R) равно ключевой характеристике распределений: для степенного это логарифм среднего геометрическое значения R=ln(γ), а для геометрического/экспоненциального - среднее арифметическое значение случайной величины R=λ.
Итак, в обоих вариантах модели Бернулли отношение вероятностей R оказывается связанным с ключевыми характеристиками порождаемых распределений, и при этом оно в рамках модели имеет очень ясную трактовку. Любопытно выразить "энтропийные иероглифы" порождаемых распределений с помощью R:
Между выражением специальной энтропии степенного распределения (вариант 1) и "иероглифом" геометрического распределения (вариант 2) очевидно имеется сходство. Оно не полное, и тем не менее, это сходство наверняка связано со сходством двух вариантов модели. А различия в "иероглифах" обусловлены различием этих вариантов. (Нужно заметить, что эти "медитации" над выражениями специальной энтропии связаны с желанием автора подобраться к возможности записывать их прямо, глядя только на правила работы модели - мы говорили об этой интригующей возможности. Хотя пока до решения этой задачи далеко, модель Бернулли кажется тут удобной тропинкой.)
Эти два варианта - далеко не все возможности модели Бернулли. Меняя источники макро- и микро-объектов, мы можем получить и другие варианты. Например, пусть источником городов является страна (за некоторый период времени она может породить город с вероятностью pmacro), а источником людей - города (за тот же период времени каждый город может породить одного своего жителя с вероятностью pmacro):
Сможет ли догадаться читатель, какое распределение городов по количеству жителей разовьется в этом случае?
Ответ несколько противоречит интуиции - получается равномерное распределение - равновероятно будут попадаться города с разным числом жителей вплоть до некоторого максимального числа. Оно задается величиной pmicro*T, где T - возраст системы. Соответственно, уравнение частотного распределения:
Но его можно записать иначе, используя отношения вероятностей R и общее текущее количество макро-объектов (городов) N:
И выражение специальной энтропии для него:
Хм... Выясняется, что подобно тому, как степенное распределение является продуктом борьбы "давления энтропии" и "давления среднего геометрического значения", а геометрическое/экспоненциальное распределение - результат борьбы "давления энтропии" и "давления среднего арифметического", равномерное распределение тоже оказывается результатом борьбы двух давлений: "давления энтропии" - оно выражается в присутствии в "иероглифе" слагаемого H - и противостоящего ему "давления количества" - оно выражается в присутствии слагаемого ln(N).
"Давление количества" - очень любопытная вещь, которая способна пролить свет и на другие виды "давлений", а значит, и на таинственный смысл "энтропийных иероглифов"...
В Прологах изложена "теория дельта-процессов", в рамках которой проделан систематический анализ более десятка различных стохастических механизмов развития множеств, состоящих из объектов различной массы и характеризующихся различными распределениями. И обсуждаемые тут варианты модели Бернулли имеют прямые аналоги среди этих механизмов (они называются "дельта-процессами"), конкретно:
Вариант 1: аналогом является дельта-мультипликативный процесс δM(k/M)
Вариант 2: аналогом является дельта-аддитивный процесс δA(1)
Вариант 3: аналогом является дельта-аддитивный процесс δA(1/k)
Продолжение следует.
1
Мысли по поводу
Этот комментарий относится относится ко всему разделу, а не только к этой нити. У Вас очень интересный подход к рассмотрению вопроса степенных распределений и мне кажется, что он отражает истинное "положение дел". По ходу изучения Ваших заметок, у меня возникли мысли, которые надеюсь будут Вам интересны, а может даже и полезны. При рассмотрении экспоненциальных распределений вы выделили две силы характерные для его формирования: давление среднего и энтропия. Давление среднего направлено на уменьшение среднего значения распределения. Мне кажется, что давление среднего, скорее отражает стремление системы, описываемой данным распределением, сохранить какое-то определённое состояние. Например, есть дорога и она как система стремиться сохранить свою целостность, то есть сопротивляется износу. Следовательно, появление выбоины на каком-то участке дороги будет подчиняться экспоненциальному распределению. Если ввести ещё и понятие размера выбоины, и определить его как накопленный параметр от её появления (то есть появление выбоины несколько раз на одном малом участке дороге, равносильно её увеличению в эти несколько раз), тогда распределение выбоин по размеру (а значит и текущее состояние дороги) будет характеризоваться нормальным распределением. В общем своими путанными примерами, я пытаюсь сказать, что экспоненциальное распределение характеризует стремление системы сохранить своё первоначальное состояние (о чём, кстати, также говорит сфера применения экспоненциального распределения).
Егор (18.07.2014 8:32)
2
Да, хотелось бы разного типа слагаемые в выражениях специальной энтропии понять как различные "стремления" систем. Возможно, вы правы, и "давление среднего" действительно является каким-то аналогом инерции состояния системы - сопротивления его изменениям. Но тут надо еще разбираться - может быть, экспонента в дорожных выбоинах свидетельствует как раз об обратном - о том, что дорога как система не сопротивляется изменению своего состояния? Есть о чем поразмыслить.
Пока что у меня подозрение, что "давление среднего" - признак отсутствия в системе "микро-причинности", когда нижний структурный уровень (микро-уровень) системы пассивен, реактивен, и полностью управляется верхними структурными уровнями - об этом разговор будет в следующей нити. Вообще, по понятным причинам меня сейчас больше "донимает" давление среднего геометрического, компонент ln(G). Если понять его системный смысл, то мне кажется с давлением среднего арифметического будет разобраться легче.
По поводу вашего замечания к предыдущей нити - там действительно есть некоторая путаница, спасибо, что на нее указали. Разберемся с ней :)
Роман Уфимцев (18.07.2014 8:33)
3
Мысли по поводу. Продолжение
Далее, говоря о степенных, распределениях вы с помощью энтропийного иероглифа показали другую силу, которая приводит к их формированию - давление симметрии. Исходя из ваших заметок, я пришёл к выводу, что давление симметрии - это стремление к самовоспроизводству системы в соответствии с определённым эталоном или, другими словами, стремление развёртки идеи на различных уровнях материи. Получается,что экспоненциальные и степенные распределения находятся в следующей связи: экспоненциальное характеризует способность материи находится в определённом состоянии, а степенное характеризует идеи (эталона, состояния), сообщаться на различных уровнях. Если говорить об аналогиях, то можно сказать, что степенные распределения - это тип рельефа (равнины, горы, долины), а экспоненциальные - это локальный ландшафт (т.е. на равнине могут быть холмы или овраги и т.п.). Хотя эта аллегория не отражает суть полностью. При таком подходе возникает множество выводов и вопросов: например, степенной показатель (тета) может характеризовать тип среды в которой распространяется идея: вполне возможно что показатели < 2 характерны для распространения на материальных объектах природы (а 2 для распространения в нематериальной среде ( ну =2, как вы говорили характерен для социальных феноменов). Также возникает вопрос о пределе распространения, т.е. какое предельное количество каскадов характерно для той или иной идеи или это постоянное число. Как формируются эталоны, есть характерное распределение для этого процесса. Также надо отметить, что эти распределения характерны для статичных систем, поэтому, возникает вопрос о том характерны ли эти распределения для динамических процессов (в частности разного рода кризисов). Ну и вместе с этим, возникает вопрос о динамике развития фрактальных систем. В общем, как-то так)
Егор (18.07.2014 8:35)
4
Ответ на продолжение мыслей по поводу
Да, Егор, что-то такое чудится во всем этом.
Это очень "вилами писано" пока, но мне кажется пока так: компонент среднего арифметического в "энтропийном иероглифе" - это выражение "экономии материала", из которого строятся феномены, а компонент среднего геометрического - "экономии формы". Действие экономии материала связано с традиционными законами сохранения, а действие экономии формы - с какими-то еще неизвестными "законами сохранения формы". Воочию действие этих законов выглядит как развитие фракталов, которые являются очень экономичными структурами с точки зрения формообразования.
В принципе, это сходно с вашим взглядом.
Что касается показателя степени θ - да, есть впечатление, что он характеризует свойства среды, в которой развивается фрактал - поэтому я и говорил о "вязкости". Но все же точнее, мне кажется, считать этот показатель собственной характеристикой формы или идеи, а не субстанции, в которой она разворачивается - хотя это только предположение.
К слову, наверное есть какая-то связь между распространенностью статистики Зипфа (θ=2) и законами физики, описывающие дальние взаимодействия - они также имеют степенной вид с показателем 2.
Роман Уфимцев (18.07.2014 9:01)
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER