КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Узелки на распуткуУзел 1. Причина степенных распределений
Узел 1.11 Субстанции формы и содержания
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
Узел 1. Причина степенных распределений
Узел 1.2 Механизмы развитияУзел 1.3 Причины и экстремальные принципыУзел 1.4 Максимум специальных энтропийУзел 1.5 Мультипликативный закон сохраненияУзел 1.6 Когнитивные фракталыУзел 1.7 Вязкость сознания и число eУзел 1.8 Модель БернуллиУзел 1.9 Принцип микро-причинностиУзел 1.10 Случайно блуждающие ландшафты
Узел 1.11 Субстанции формы и содержания
Узел 1.12 Размерность Хаусдорфа и метрическая связностьУзел 1.13 Вне-пространственные фракталыУзел 1.14 Фракталы на графахУзел 1.15 Фрактальная размерность графов и сетейУзел 1.16 Фрактальность древовидных графовУзел 1.17 Фрактальная размерность и степенная статистикаУзел 1.18 Локальные и глобальные размерности графовУзел 1.19 Локальные и глобальные размерности графов (II)Узел 1.20 Локальные и глобальные размерности графов (III)Узел 1.21 Критические графы как фракталыУзел 1.22 Критические графы как фракталы (II)Узел 1.23 Возвращение к БернуллиИнтерлюдия. Две простые задачиУзел 1.24 Зоопарк критических графовУзел 1.25 Зоопарк критических графов (II)Узел 1.26 Режим стохастической самоподдержкиУзел 1.27 Растущие кластеры и размерность решетокУзел 1.28 Фрактальные и не-фрактальные решеткиУзел 1.29 Энтропия ростаУзел 1.30 Энтропия графов и пространствУзел 1.31 Игра в инверсию
Узел 2. Опус о числах и формах
.
Прологи
.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Узел 1.11 Субстанции формы и содержания
 
Роман Уфимцев
28 июля 2014 года, Калининград
В предыдущей нити нашего разговора о степенных распределениях мы натолкнулись на интересную трактовку эволюции систем, демонстрирующих степенную статистику, как на результат изменения масштаба их наблюдения. В этой нити мы основательно разовьем эту идею и познакомимся с новым вариантом модели Бернулли, открывающим для нас новый класс непрерывных степенных феноменов.
Еще одна вариация модели Бернулли
В своем исходном виде модель Бернулли, с помощью которой мы пытаемся раскрыть мистерию степенных распределений, имеет дискретную природу: в ней толкуется о дискретных микро- и макро-объектах. Однако, тема степенных распределений, связанных со случайно блуждающими ландшафтами, навела автора на альтернативную идею: мы можем принципиально отказаться от дискретного подхода, и исследовать поведение системы, содержащей два типа непрерывной субстанции: "микро-субстанцию" и "макро-субстанцию". Это не очень удачные названия, и позже мы придумаем получше, но пока, чтобы подчеркнуть преемственность с дискретной моделью, будем ими довольствоваться.
Также, как в дискретной модели, микро-субстанция плодит микро-субстанцию - что, однако, выглядит не как почкование микро-объектов от других, а скорее как непрерывное раздутие кусков микро-субстанции. То же самое и с макро-субстанцией: она плодится непрерывно, а не дискретно. И этот момент существенно отличается от дискретной модели. Прежде всего тем, что в дискретной модели количество макро-объектов является целым числом, а тут мы должны допустить возможность не-целочисленного количества макро-объектов. Раз "макро-субстанция" плодится непрерывно, то между моментами времени, когда, скажем, в системе имеется 9 макро-объектов и 10 макро-объектов, будут моменты, когда их 9,5 и 9,6. В этих условиях мы уже не можем считать, что каждый макро-объект содержит некоторое количество микро-объектов. Вместо этого мы будем считать, что отдельные части или области непрерывной макро-субстанции обладают тем или иным объемом микро-субстанции.
Далее, в дискретной модели скорость роста количества микро- и макро-объектов мы характеризовали вероятностями pmicro и pmacro, с которыми за единицу времени каждый микро- и макро-объект системы может дать отпрыска. В непрерывной модели параметры pmicro и pmacro удобнее понимать как показатели при экспонентах уравнений роста объема микро- и макро-субстанции в системе:
Ключевое для дискретной модели Бернулли отношение вероятностей pmicro и pmacro в непрерывной модели можно заменить отношением логарифмов объемов микро- и макро-субстанции в каждый момент времени Vmicro и Vmacro, и это отношение связано с показателем степени θ результирующего распределения точно также:
Может показаться, что это причудливая и не представляющая интереса вариация модели Бернулли. Мы еще можем вообразить, что микро-объектов в каком-либо объекте так много, что их количество растет как непрерывная субстанция. Но как можно смотреть на совокупность макро-объектов системы как на непрерывное пухнущее тесто? Если слово "количество" к ним неприменимо?
Однако, как мы чуть далее увидим, этот вариант модели Бернулли позволяет нам увидеть в окружающем мире совершенно особый тип не дискретных, а непрерывных степенных феноменов. А полученное нами выражение имеет прямое отношение к центральной характеристике в теории фракталов - к размерности Хаусдорфа.
Размерность Хаусдорфа и метод ее оценки
Возьмем две геометрических фигуры: линию единичной длины и квадрат единичной площади. Приблизим их к себе в два раза: во сколько раз изменится длина линии и площадь квадрата? Ответ тут очевиден - длина линии увеличится в два раза, а площадь квадрата - в четыре. Заметим далее, что приближенный куб единичного объема предстанет перед нами таким, будто его объем увеличился в восемь раз. И тут ясно видна система: приблизившись к фигуре в 2 раза мы увидим, что она станет больше в 2D раз, причем D - это размерность фигуры. Линия одномерна и D=1, квадрат (и другие "нормальные" плоские геометрические фигуры) двухмерный и D=2, а для куба и других "нормальных" трехмерных тел - D=3.
Возникает естественный вопрос: существуют ли фигуры или тела, для которых размерность D не равна целому числу? Например, существует ли геометрическая фигура на плоскости, которая при приближении в два раза увеличивает свою площадь менее чем 4 раза?
Разумеется (когда вопрос природе задан просто и красиво, ответ на него обычно положительный) - это и есть фракталы. Например, ковер Серпинского - это фигура, линейное увеличение которой в два раза дает увеличение ее площади в 2ln(8)/ln(3)≈ 3,7 раз. Размерность D тут оказывается равной ln(8)/ln(3)≈1,89, что меньше размерности "нормальных" геометрических фигур на плоскости:
Собственно, величина D, вычисляемая исходя из прибавки размера фигуры или тела при изменении масштаба - это и есть размерность Хаусдорфа, которая для фракталов обычно (кроме одного особого случая) имеет не-целое значение. Формализуем эту величину. Пусть сначала мы наблюдаем фигуру с такого расстояния, что ее длина/размер/объем равен 1. Затем приблизимся к фигуре в k раз. Пусть от этого ее длина/размер/объем стал равен SF. Тогда размерность Хаусдорфа фигуры равна
На дело можно посмотреть иначе: мы не приближаемся к фигуре в k раз, а измеряем ее длина/размер/объем единицами все меньшего линейного размера: скажем приближение фигуры в три раза - это тоже самое, что взять для измерения ее длины/размера/объема единицу в три раза меньшей величины. Обозначив линейный размер единицы измерения как u = 1/k (если это квадратики, они имеют площадь 1/k2, если кубики - 1/k3, и т.д.), а количество необходимых единиц, чтобы перекрыть всю фигуру как N(u) мы придем к классическому определению размерности Хаусдорфа:
Предел очень малых единиц измерения (отрезков, квадратиков, кубиков) необходим, чтобы избавиться от фактора "удобства" или "неудобства" покрытия фигуры. Пусть, например, мы вычисляем размерность Хаусдорфа геометрического круга, покрывая его единицами площади уменьшающегося размера:
Оценка размерности фигуры, которая равна ln(N(u))/ln(1/u) вообще-то изменяется в зависимости от того, удачно или не очень квадратики накрывают круг (круг не слишком удобно покрывается квадратными плитками - много отходов). Однако, по мере уменьшения линейного размера покрывающих квадратиков - то есть, при устремлении u к нулю - оценка начинает приближаться к теоретическому значению 2:
Интуитивно это легко понять: чем мельче квадратные плитки, тем меньшая их доля уйдет в отходы при покрытии круга. В пределе бесконечно малых квадратных плиток мы можем считать, что отходов не будет вовсе.
Это следует иметь в виду: на практике оценки размерности Хаусдорфа натуральных объектов методом подсчета квадратиков погрешность вполне может достигать 20-30%. При этом погрешность изменяется систематично: либо оценка приближается к истинному значению размерности сверху либо снизу - в зависимости от специфики фигуры. Возможно, с этим обстоятельством связаны некоторые "эмпирические законы", которые получили известность в последнее время. Например, немало публикаций последних лет посвящены исследованию фрактальной размерности областей городской застройки в различных крупных городах. При этом на основе изучения исторических карт исследователи выясняют, что с ростом городов их фрактальная размерность постепенно увеличивается (в пределах 10-20%). Однако, более чем вероятно, что это увеличение является лишь артефактом применяемого исследователями метода оценки размерности Хаусдорфа.
Инклюзивная структура фракталов
С самого начала нашего разговора мы высказали мысль, что степенные распределения являются "душой" фрактальных структур. Размеры структурных частей фракталов подчиняются степенной статистике: мы это показывали на примере известных идеальных математических фракталов вроде ковра Серпинского:
Обычно идеальные математические фракталы строятся на основе пошагового повторения генерирующего преобразования ко все более малым масштабам фигуры. Эти шаги дискретны, так что структурные части, образующие фрактал, хорошо различимы. Например, в ковре Серпинского такими структурными частями мы можем считать квадратные дыры - их статистика вполне ясна из алгоритма построения фрактала: каждый этап построения добавляет во множество дыр в 8 раз больше по количеству и в 9 раз меньшей площади, чем добавленных на предыдущем этапе. Из этого прямо следует степенная форма распределения дыр по размерам:
(Показатель θ=ln(8)/ln(9). Вообще-то степенное распределение с таким показателем не сходится, но в данном случае за счет того, что площадь дыр S может принимать только некоторые значения: 1, 1/9, 1/81..., все в порядке.)
Впрочем, можно возразить, что дыры в ковре Серпинского не являются частями его структуры, а скорее наоборот, выемками из его структуры. То есть, полученная нами степенная статистика относится не ко фракталу, а его обращению, к "остаткам от его изготовления":
Чтобы говорить о структурной статистике самого фрактала, его тела, нам нужно иначе определить его структурные части. И тут нам нужно прибегнуть не к эксклюзивному, а к инклюзивному определению. Вот о чем речь: дыры не пересекаются, то есть, каждая точка в дырах эксклюзивна. Ни одна точка плоскости не может принадлежать одновременно двум дырам. Но определяя части собственно фрактала нам приходится прибегнуть к инклюзивной манере - точки тела фрактала могут одновременно принадлежать разным его частям. Пусть крупнейшая часть фрактала совпадает с ним целиком. Она образована 8 частями второго каскада. Каждая из них в свою очередь образована 8 частями третьего каскада, и т.д.:
Каждая часть фрактала в таком понимании - это, по сути, генерирующее преобразование, действующее на том или ином уровне масштаба. В данном случае каждое применение генерирующего преобразования делает в теле фрактала еще одну дырку, и не трудно заметить, что статистика площадей таким образом определенных частей совпадает со статистикой площадей дыр:
По видимому, степенная статистика выемок из тела фрактала - как дыры в ковре Серпинского - всегда совпадает со степенной статистикой структурных частей фрактала при инклюзивном их определении. Как мы увидим далее, это обстоятельство может дать новый метод оценки размерности Хаусдорфа, который имеет серьезные преимущества перед традиционным - как минимум, в некоторых случаях.
Инклюзивное определение структурных частей фракталов особенно полезно, когда мы обращаемся к особому классу фракталов, в которых выделить отдельные структурные части весьма сложно - если вообще о них можно говорить. Хороший пример - фрактал, который развивается, когда случайно блуждающая по плоскости частица закрашивает точки, в которых побывала:
Иррегулярная, хаотическая форма, в которой трудно выделить какие-то составные части. Но если мы не можем выделить отдельные части фрактала, как же мы можем связать с ним какую-то степенную статистику?
Решение дает традиционный метод оценки размерности Хаусдорфа покрытием квадратиками. Поместим наш фрактал в ограничивающий его квадрат:
Площадь этого квадрата сопоставима с площадью крупнейшей структурной части фрактала при инклюзивном его определении. Далее, покрываем фрактал квадратиками вдвое, вчетверо меньшего размера:
Мы это толкуем так: во фрактале имеется 1 структурная часть площадью 1, 4 части площадью 1/4, 13 частей площадью 1/16 - мы двигаемся точно также, как при оценке размерности Хаусдорфа. Ясно, что и результат - размерность D и показатель степени структурной статистики θ оказываются прямо связаны:
Тут D - размерность Хаусдорфа, а DM - метрическая размерность элементов, которыми мы покрываем фрактал. В данном случае у нас это квадратики, имеющие метрическую размерность 2. Конкретно, оценка размерности D для данного стохастического фрактала равна примерно 1,7, что соответствует показателю степени θ≈1,85.
Для идеальных фракталов, в которых размеры структурных частей могут принимать только некоторые дискретные значения - как в ковре Серпинского, эта формула выглядит иначе:
Например, размерность Хаусдорфа ковра Серпинского D=ln(8)/ln(3), метрическая размерность DM=2, отсюда показатель степени структурной статистики θ=ln(8)/ln(9).
Важно подчеркнуть: из метода получения этого показателя вовсе не следует, что в данном фрактале действительно имеется 1 часть площадью 1, 13 частей площадью 1/16 и т.д. В реальности это непрерывный фрактал, в котором нет отдельных структурных частей. Тем не менее, предельная оценка размерности Хаусдорфа надежно приводит нас к показателю степени, характеризующей структуру этого фрактала. То есть - и это главная мысль - степенная статистика может быть свойственна не только дискретным системам, но и непрерывным. И у нас теперь имеется достаточно надежный способ ее выделения. Это весьма интересная возможность, и она существенно расширяет наши способности в исследовании эмпирических степенных феноменов.
Альтернативный способ оценки размерности Хаусдорфа
Мы получили способ выделения степенной статистики на основе традиционного метода оценки размерности Хаусдорфа. Однако, в нашем распоряжении оказывается и противоположный по смыслу метод: зная степенную статистику феномена, мы можем оценивать его фрактальную размерность. Это удобно, если мы можем выделить дискретные структурные выемки во фрактале - как дыры в ковре Серпинского. В этом случае их степенная статистика совпадает со структурной статистикой тела фрактала. А зная показатель степени θ мы прямо получаем и размерность Хаусдорфа D.
Преимущество этого метода в том, что он не обладает изначальной погрешностью, которую несет метод покрытием квадратиками. Покрывая фрактал квадратиками, мы только в пределе получаем приближение к истинному значению D, но на практике возможности приближения к этому пределу обычно ограничены. Проиллюстрируем это примером: еще раз оценим фрактальную размерность следа блуждающей по плоскости чернильной частицы:
Оценка размерности Хаусдорфа традиционным методом приводит к значению D≈1,7:
Фрактал насыщен дырами, и статистика их площадей оказывается степенной с показателем θ≈2.
Отсюда, используя связь между θ и D
получим другую оценку фрактальной размерности: D≈2.
Итак, традиционный метод приводит нас к оценке D≈1,7, а новый - к оценке D≈2. Известное теоретическое значение фрактальной размерности следа блуждающей частицы равно именно 2. Таким образом, наш метод оказывается как минимум в данном случае более адекватным.
К слову, мы между делом обнаружили еще один механизм развития статистики Зипфа: возьмем большой луг и пустим по нему пастись случайно блуждающую овечку. Если луг так велик, что овечке никогда не приходится сталкиваться с его краями, среди опустошенных овечкой просторов будут оставаться островки травы, площадь которых распределится в соответствии с законом Зипфа (θ=2).
Возвращаемся к Бернулли: субстанции формы и содержания
Теперь, когда мы совершили небольшой, но необходимый экскурс в тему определения и методов оценки размерности Хаусдорфа, время вернуться к непрерывному варианту модели Бернулли. Напомню, что в ней, в отличие от дискретного варианта, речь идет о двух типах непрерывных "плодящихся субстанций": макро- и микро-. Отношение логарифмов их увеличивающихся в процессе эволюции модели объемов связано с показателем степени результирующей статистики системы θ точно также как отношение вероятностей pmicro и pmacro в дискретной модели:
Теперь вернемся к размерности Хаусдорфа и ее определению. Его можно записать иначе:
Смысл этого выражения таков: впишем фрактал в квадрат (или в куб, если он объемный) единичной площади. Теперь приблизим квадрат так, что его площадь окажется равной SM (она определится как количество покрывающих фрактал квадратков единичной площади). А площадь фрактала будет равной SF. Тогда отношение логарифмов SF и SM оказывается равным отношению размерностей Хаусдорфа фрактала D и метрической размерности единиц измерения площади DM. Разберем на примере:
Тут мы приблизили фрактал в 5 раз. При этом площадь ограничивающего его квадрата стала равной SM=25, а площадь, в которую укладывается сам фрактал SF=18. Отношение логарифмов SF и SМ равно примерно 0,9, значит отношение D/DM≈0,9.
Теперь совместим уравнения:
Это и есть прямая связь между непрерывной моделью Бернули и определением размерности Хаусдорфа. Непрерывная модель, в отличие от дискретной, порождает не множества объектов, отвечающих степенной статистике, а непрерывные фракталы, которые, как мы теперь знаем, также характеризуются степенной статистикой. И заметим, что в роли объема "микро-субстанции" Vmicro выступает метрическая площадь пространства, в котором развивается фрактал SM, а в роли объема "макро-субстанции" Vmacro - его собственная площадь SF. Эволюция непрерывной модели Бернулли выглядит как приближение фрактала к наблюдателю, вместе с которым нарастает объем "метрической субстанции" (микро-) и объем "фрактальной субстанции" (макро-), но скорости их прироста могут быть разными.
Впрочем, лучше прямо: тут следует говорить о "субстанции содержания" фрактала - это микро- или метрическая субстанция - и о "субстанции формы" - это макро- или фрактальная субстанция. Когда источником содержания явления является содержание, а источником формы - форма, развивается непрерывный фрактал. Относительная "плодовитость" содержания и формы явления определяет размерность Хаусдорфа фрактала и показатель степени его структурной статистики. И если "плодовитость" содержания и формы одинакова, развивается фрактал со статистикой Зипфа и целочисленной размерностью Хаусдорфа - такие фракталы мы называем когнитивными - как, например, след блуждающей чернильной частицы.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER