КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Узелки на распуткуУзел 1. Причина степенных распределений
Узел 1.12 Размерность Хаусдорфа и метрическая связность
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
Узел 1. Причина степенных распределений
Узел 1.2 Механизмы развитияУзел 1.3 Причины и экстремальные принципыУзел 1.4 Максимум специальных энтропийУзел 1.5 Мультипликативный закон сохраненияУзел 1.6 Когнитивные фракталыУзел 1.7 Вязкость сознания и число eУзел 1.8 Модель БернуллиУзел 1.9 Принцип микро-причинностиУзел 1.10 Случайно блуждающие ландшафтыУзел 1.11 Субстанции формы и содержания
Узел 1.12 Размерность Хаусдорфа и метрическая связность
Узел 1.13 Вне-пространственные фракталыУзел 1.14 Фракталы на графахУзел 1.15 Фрактальная размерность графов и сетейУзел 1.16 Фрактальность древовидных графовУзел 1.17 Фрактальная размерность и степенная статистикаУзел 1.18 Локальные и глобальные размерности графовУзел 1.19 Локальные и глобальные размерности графов (II)Узел 1.20 Локальные и глобальные размерности графов (III)Узел 1.21 Критические графы как фракталыУзел 1.22 Критические графы как фракталы (II)Узел 1.23 Возвращение к БернуллиИнтерлюдия. Две простые задачиУзел 1.24 Зоопарк критических графовУзел 1.25 Зоопарк критических графов (II)Узел 1.26 Режим стохастической самоподдержкиУзел 1.27 Растущие кластеры и размерность решетокУзел 1.28 Фрактальные и не-фрактальные решеткиУзел 1.29 Энтропия ростаУзел 1.30 Энтропия графов и пространствУзел 1.31 Игра в инверсию
Узел 2. Опус о числах и формах
.
Прологи
.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Узел 1.12 Размерность Хаусдорфа и метрическая связность
 
Роман Уфимцев
5 августа 2014 года, Калининград
Предыдущую нить нашего вьющегося и ветвящегося как побеги тыквы разговора о степенных распределениях мы завершили довольно темным соображением о каких-то "субстанциях формы и содержания". Хотя для автора эти термины имеют солидный интуитивный смысл, читатель может решить, что тут начинается впадение в сомнительные философии. Поэтому стоит прояснить предмет - тем более, что и самому автору это будет полезно.
Вновь о форме и содержании
Вспомним наше обсуждение "модели Бернулли", которая порождает множества макро-объектов, каждый из которых является совокупностью некоторого количества дискретных одинаковых микро-объектов. Она позволяет с большим или меньшим успехом моделировать степенные феномены - но только такие, в которых существуют четко различимые между собой части, которые мы можем принять в качестве макро-объектов. Например, в феномене степенного распределения населения по городам мы имеем ясно различимые между собой макро-объекты - отдельные населенные пункты. Микро-объектами естественно выступают населяющие их люди.
Однако, в мире есть множество систем и явлений, для которых дискретный подход кажется изначально негодным. И мы выяснили в предыдущей нити, что если структура этих явлений представляет собой фрактал, то даже не имея возможности уверенно различать в них отдельные дискртеные структурные части, мы можем выделять степенную статистику, связанную с явлением. Конкретно, выполняется соотношение
где D - размерность Хаусдорфа фрактала, DM - метрическая размерность пространства, в котором разворачивается фрактал, а θ - показатель степени его структурной статистики.
В исходном варианте модели Бернулли показатель степени в распределении множества макро-объектов по количеству содержащихся в них микро-объектов управляется соотношением вероятностей, с которой за некоторый период времени может дать отпрыска 1) каждый микро-объект множества, и 2) каждый микро-объект. Однако, эта модель допускает не-дискретную вариацию: в ней "количество макро-объектов" становится непрерывной величиной, допускающей не-целые значения. Такая вариация позволяет моделировать развитие фракталов, в которых невозможно надежно различать отдельные структурные части. Но возникает кое-какая сложность: как понимать ту величину, которая в дискретном варианте модели обозначает количество макро-объектов в системе? Так мы и пришли к представлению о неких "микро- и макро-субстанциях", которые есть непрерывные аналоги количества дискретных макро- и микро-объектов.
Отношение "плодовитости" макро- и микро-субстанции в развивающемся фрактале управляет показателем степени θ его структурной статистики и главной характеристикой фракталов (в классической традиции) - размерностью Хаусдорфа.
Но почему мы сравниваем взаимодействие макро- и микро-субстанции в развивающемся фрактале с метафизическим взаимодействием формы и содержания? Попробуем понять.
Представим себе огромный бесформенный ком сырой глины. Это - субстанция, лишенная формы. Разделим его на три куска - и пусть они также будут бесформенные. Однако, если говорить о степени бесформенности того что было до разделение и после - осталась ли она неизменной?
Это вопрос, на который можно отвечать по разному. Можно вообще не признавать смысла в разговорах о "степени бесформенности". Можно решить, что раз все куски одинаково бесформенные, то и в целом степень бесформенности не изменилась. В каждом из этих ответов есть свои резоны, но автор придерживается мнения, что разделив исходный ком на три части мы каким-то образом, может быть чуть-чуть, но уменьшили степень бесформенности системы.
Но что изменилось? - лишь количество частей в системе. Это значит, что увеличивая лишь количество частей в системе мы снижаем степень ее бесформенности, то есть, количество - это какая-то разновидность формы. Быть может, самая низшая или самая общая, и тем не менее.
Припомним наши рассуждения о "вязкости" глины, из которой лепятся фрактальные структуры. Слишком сухая глина рассыпается и из нее трудно слепить крупный кусок. Слишком влажная наоборот, неохотно дробится на мелкие кусочки. Эта "вязкость" и определяет манеру, в которой субстанция или содержание - глина - взаимодействует с формой. Если формы мало, глина влажная и очень вязкая. Если наоборот, формы много, глина сухая и охотно рассыпается на куски, умножая их количество.
Вязкость как характеристика взаимодействия содержания и формы во фракталах равна логарифму среднего геометрического значения масс макро-объектов в системе (масса - это количество содержащихся в них микро-объектов):
Но мы можем говорить и об особой непрерывной разновидности глины, которая не рассыпается на отдельные куски. И она также может быть более или менее вязкой. Вязкость "непрерывной глины" определяется отношением метрической размерности пространства DM, в котором развивается фрактал, и его размерностью Хаусдорфа D:
Тут возникает парадокс, который было смутил автора. Более высокая вязкость у непрерывной глины означает не меньшее, а наоборот, большее количество мелких деталей фрактала, его более высокую ажурность. Наоборот, меньшая непрерывная вязкость присуща более плотным, монолитным фракталам. Условно суть этого парадокса можно изобразить так:
С первого взгляда более похожи между собой формы A и D с одной стороны, и B и С - с другой. Однако, в действительности в отношении вязкости сходные пары A-С, B-D.
Привыкнуть к этому парадоксу позволит следующее соображение: формы в парах A-С, B-D сходны тем, как соотносится целое и части: в паре A-С целое более соразмерно частям (в дискретном варианте части - это отдельные объекты, а в непрерывном - отдельные ветви фрактала). А в паре B-D части много меньше целого (кроме крупнейшей центральной части). Например, слабо выраженные "отростки" в непрерывном варианте много меньше целого объекта.
Обобщая, торжественно запишем "метафизическое уравнение формы и содержания" (автор ухмыляется незаметно для читателя):
Если, скажем, активность формы совпадает с активностью содержания, когда форма точно согласована с содержанием, развиваются степенные множества, отвечающие закону Зипфа и когнитивные фракталы, для которых метрическая размерность совпадает с размерностью Хаусдорфа.
Теперь, несколько прояснив смысл спекуляций на тему философских категорий формы и содержания, обратимся к еще одному пониманию вязкости как отношения тонкой собственной связности пространства и внутренней связности фрактала, который в нем развивается.
Еще один метод оценки размерности Хаусдорфа
Говорят, что когда о какой-то вещи человек может говорить разными способами, это значит, что он ее очень хорошо знает. И обратное имеет эффект: усваивая разные описания одного и того же предмета, мы его начинаем понимать глубже, стереоскопичнее. Ну, и третье тоже справедливо: хорошо понимая цель, мы способны отыскать к ней множество разных путей.
В предыдущей нити мы разобрались с тем, какой смысл имеет главная характеристика фракталов - размерность Хаусдорфа. Мы обстоятельно разобрались с ее традиционным формальным определением, а также с построенным на его основе методом оценки фрактальной размерности для произвольных структур. Однако, тема размерности Хаусдорфа оказалась на самом пути наших поисков, и мы не стали довольствоваться единственным подходом. Мы познакомились с альтернативным, когда сначала оценивается степенная статистика, связанная с фракталом, а уж затем вычисляется фрактальная размерность.
Однако еще в ходе раздумий над предыдущей нитью автору пришла в голову идея еще одного подхода к оценка размерности фракталов. Сперва она показалась лишней и не стоящей упоминания, однако теперь, после некоторого размышления, автор решил, что о ней стоит поговорить.
Сперва о методе, который основан на этой идее. Он чрезвычайно прост (что является важным преимуществом), и элементарно реализуется на практике. Допустим, мы хотим оценить размерность Хаусдорфа плоской фигуры, представленной в цифровом формате - как набор нулей и единиц в прямоугольной матрице. Единицы соответствуют точкам занятым фигурой, а нули - пустым местам. С каждой ячейкой матрицы, содержащей единицу (то есть, представляющей точку в теле фрактала) мы делаем очень простой подсчет: мы считаем, сколько ячеек матрицы вокруг данной тоже заняты единицами:
Тут для зеленой ячейки соседними являются четыре красные (при обычном "квадратно-гнездовом" понимании соседства) и мы видим, что количество единиц, соседствующих с данной, равно 3. Таким же образом мы обходим все точки фрактала - то есть, все единицы в матрице. Размерность Хаусдорфа оценивается как среднее количество единиц-соседей для всех единиц-точек фрактала, деленное на 2.
Вот так, очень просто.
Например, оценим так размерность квадрата величиной 9 на 9 точек:
Из 81 точки этого квадрата 7*7=49 имеют по 4 соседа, 4*7=28 - по 3 соседа, и 4 точки - по 2 соседа. Среднее количество соседей для точек фигуры: (4*49 + 3*28 + 2*4)/81 ≈ 3,56. Делим на 2, получаем оценку D≈1,78. Но мы знаем, что настоящая размерность квадрата равна 2 - точность метода вроде бы не впечатляет. Но посмотрим, как быстро с ростом подробности представления квадрата улучшается точность оценки:
Если изображение квадрата имеет 100 точек в ширину и высоту, то оценка отличается от точного значения всего на 1% - это очень неплохо для такого маленького по нынешним временам цифрового изображения фигуры.
Испытаем эффективность метода на задаче, близкой к практической: возьмем изображение фрактала, размерность которого нам известна - пусть это будет треугольный ковер Серпинского, для которого D=ln(3)/ln(2)≈1,58:
Специально используем небольшое изображение размером порядка 400 точек в ширину - так мы проверим работоспособность метода в условиях исходных данных не очень высокого качества. И вот что мы получим:
Красная линия отмечает точное значение фрактальной размерности. Черная серия - оценка D традиционным методом покрытия квадратиками. Красная серия - оценка по новому методу при различном масштабировании исходной фигуры. Как видим, новый метод в целом точнее, и не имеет неприятного свойства только в недостижимом пределе приближаться к точному значению D.
Ах да, чуть не забыли: как же обоснован этот метод?
В тот момент, когда людям приходят в голову идеи, они кажутся очевидными, но часто это обманчивая очевидность. Тут именно такой случай. Чтобы обосновать этот метод оценки размерности Хаусдорфа или хотя бы приблизиться к обоснованию, поговорим на неожиданную, но весьма занятную тему.
Проблемы добрососедства
Элементарная задача: пусть мы имеем поле, образованное квадратными наделами. Мы совершенно случайно расставляем по наделам определенное количество домов - по одному на надел. Как зависит среднее количество соседей у домов в зависимости от размера поля и общего количества домов на нем?
(Соседскими мы считаем только дома, находящиеся на наделах, имеющих протяженную общую границу. Соседство по диагонали не считается. Например, тут мы имеем 5 домов с нулевым числом соседей и 2 дома, имеющих по одному соседу. Среднее количество соседей у домов: (5*0 + 2*1)/7 = 2/7.)
Беглый числовой опыт не оставляет сомнений: если обозначить количество наделов как M, а количество домов - как F, то среднее количество соседей у каждого дома равно
То есть, среднее количество соседей растет линейно с количеством домов на поле. Это довольно неочевидный результат - до тех пор, пока мы не нашли ключ к этой задаче. Как же нам к ней подобраться?
Попробуем ее упростить, предположив, что поле вытянуто в линию:
Как распределятся расстояния между домами? Нам знакомы подобные задачи. Не трудно заметить, что при любом размещении домов по наделам среднее расстояние между домами останется неизменным и равным (M-F)/F. То есть, мы имеем случайную систему с фиксированным средним значением. Как мы знаем, в этом случае мы получим геометрическое распределение вероятностей расстояний между домами:
Нас интересует вероятность нулевых расстояний между домами, и она оказывается равной просто F/M. У каждого дома есть два расстояния до соседних - справа и слева. Каждое из них с вероятностью F/M нулевым, значит, в среднем дома имеют по 2*F/M соседей.
Кажется, мы близко подобрались к решению исходной задачи. Представим прямоугольное поле наделов как свернутую ленту:
Развернув ленту, мы перейдем к уже решенной задаче. Значит, если говорить о "вертикальных" соседствах (то есть, о соседях сразу сверху и сразу снизу на поле), в среднем каждый дом имеет по 2*F/M таких соседей. Но мы можем свернуть поле в ленту и иначе:
Так мы выясним, что "горизонтальных" соседей у каждого дома также в среднем 2*F/M. Значит, с учетом и "вертикальных" и "горизонтальных соседей", в среднем количество соседей у каждого дома:
Прекрасно! Мы решили занятную задачку, но какое она имеет отношение к обоснованию нового метода оценки размерности Хаусдорфа? Вот тут в чем дело - сравним два выражения:
Первое - легкое видоизменение формулы среднего количества соседей у случайно расставленных на плоскости домов, которое мы только что доказали. А второе должно выполняться, если верен наш новый метод.
Мы упоминали вот эту вариацию традиционного определения размерности Хаусдорфа:
Тут SM можно понимать как площадь поля (количество наделов), а SF - как количество домов на поле (дома - это квадратики, накрывающиеина фрактал). Метрическая размерность в данном случае DM=2. Если наш метод верен, то D=A/2. Делая подстановки, получим второе выражение.
В чем же дело, в чем причина различия? Конечно, в том, что если дома на поле являются точками фрактала, то их расположение на поле не является совершенно случайным. Разница очень серьезная. Вот, например, как растет среднее количество соседей с ростом количества домов на поле в 1000 наделов (черная кривая- случайная расстановка домов, красная - фрактальная):
Скажем, чтобы каждый дом имел в среднем по два соседа при случайной расстановке нужно 500 домов. А при их фрактальной расстановке - всего 32 дома!
Впрочем, фрактальная расстановка оказывается тут не рекордной. Если поставить четыре дома квадратиком, то вне зависимости от величины надела каждый из них будет иметь по 2 соседа. То есть, мы имеем дело со своего рода шкалой расстановок:
Пусть мы имеем поле площадью в M наделов и нам требуется расставить дома так, чтобы в среднем каждый из них имел по A соседей. Тогда имеется три основные возможности:
Если мы будем расставлять дома совершенно случайно, нам потребуется порядка M1=M домов. Имеется в виду, что с ростом M количество необходимых домов F растет пропорционально M.
Если расстановка домов образует фрактал, то нам потребуется порядка Ma домов, где показатель a принимает значения от 0 до 1 в зависимости от необходимого A. Для расстановок на плоскости, например, a = A/4.
Наконец, если мы расставляем дома строго упорядочено, по определенной схеме, потребуется некоторое фиксированное количество домов вне зависимости от размера поля.
С этой точки зрения фрактальные расстановки - это градации между полностью упорядоченными и полностью случайными. При этом, глядя на эту шкалу, точно посредине между порядком и случайностью находятся фракталы, для которых a=1/2. В зависимости от метрической размерности, это фракталы с D=1/2 (при DM=1), D=1 (при DM=2), D=3/2 (при DM=3). Им всем соответствует одна и та же степенная статистика с θ=3/2.
Пока оставим это наблюдение в качестве повода для дальнейших размышлений.
Все это интересно, но все же: как обоснован наш новый метод?
Нам всего лишь нужно доказать, что в общем выполняется уравнение
где A - среднее количество соседей у точек, включенных в тело фрактала - средняя внутренняя связность фрактала, AM - количество связей у ячеек метрического пространства - собственная связность пространства (например, при "квадратно-гнездовом" понимании соседства каждая ячейка плоскости соседствует с четырьмя другими, значит связность пространства AM=4), D - его фрактальная размерность, а DM - метрическая размерность пространства, в котором существует фрактал.
Тут автору приходится признаться: пока, после некоторых попыток, ему удалось получить только громоздкое и неполное обоснование. Хотя в нем всплыли некоторые любопытные вещи, оно не соответствует критериям простоты, которой мы стараемся тут придерживаться. А формула, которую требуется доказать, проста и красива - значит, и ее доказательство должно быть ей под стать. Одно автор может сказать уверенно: формула верна, и простое доказательство ей будет найдено.
А пока невинно развлекемся, представив, что мы уже обосновали этот метод.
Размерность Хаусдорфа графика случайного блуждания
Мы уже говорили об одном фрактале, связанном с графиком случайного блуждания: точки пересечения этим графиком некоторой планки образуют фрактальное множество, имеющее размерность D=1/2. Но и сам график случайного блуждания в целом является фракталом на плоскости:
Какова его размерность Хаусдорфа?
Использовать для оценки классический метод покрытия квадратиками? Это кажется длинным и не очень интересным путем. Применить метод предварительной оценки степенной статистики? Это кажется интереснее, хотя с первого взгляда не ясно, какие структурные части графика должны тут выделяться. Поэтому попробуем применить наш новый метод - назовем его методом метрической связности.
Вообще-то для начала стоит определиться с тем, что понимать под "графиком случайного блуждания". Традиционно мы понимаем под этим кривую из прямолинейных сегментов, в которой каждый сегмент соединяет два соседних отсчета случайного блуждания - как на рисунке слева:
Однако нам будет удобнее другое представление, которое в ходу у биржевиков: "свечной график". Он состоит из свечей двух типов: восходящие и нисходящие - из рисунка смысл построения свечей вполне ясен. У биржевиков, однако, свечи изображаются маленькими прямоугольничками, а нам их следует считать отрезками линий. Построенный таким образом из отрезков график с точки зрения количества точек (а значит, и размерности) в пределе аналогичен обычному:
Для наглядности все же используем прямоугольные свечи и для простоты будем считать, что все свечи одинакового размера - то есть, перемещения блуждающей частицы одинаковы (это не обязательное упрощение, но позволяет предельно прояснить нашу логику). Возьмем точку в некоторой свече. Существует 6 равновероятных возможностей того, каковы соседние свечи и как они расположены:
Число над каждым вариантом - это количество соседей у точки, расположенной в середине свечи. Если пренебречь точками, расположенными на краях свеч - а ничто не мешает нам так растянуть график по вертикали, чтобы доля таких точек была очень мала - то в среднее количество соседей у точки по всем вариантам: A = (2+2+3+3+4+4)/6 = 3. Опираясь на связь
установим, что размерность Хаусдорфа графика случайного блуждания равна 3/2.
Не правда ли, изящный вывод? Даже несмотря на то, что он опирается на пока не доказанную нами формулу.
К слову, автор знает, что среди читателей "Узелков" немало людей, занимающихся биржевыми операциями. На основе изложенной логики не трудно построить индикатор, который оценивает кратковременные значения размерности Хаусдорфа для биржевых диаграмм. Известно, что диаграммы цен в первом приближении являются графиками случайного блуждания. Локальные отклонения размерности Хаусдорфа от значения 3/2 могут служить признаками перемен в состоянии рынков.
1
"Но что изменилось? - лишь количество частей в системе."
А размер частей? Либо по другому, отношение размера куска к размеру неделимой части элемента из которых состоит кусок.
Читатель (11.08.2014 18:46)
2
Да, верное замечание
Но тут такая логика (очень спекулятивная). Форма вещи не должна зависеть от ее размера: мы смотрим на кувшин с разного расстояния. У него разный видимый размер, но форма остается неизменной.
Это очень спекулятивно, потому что превращение бесформенной вещи в три других обычно (но не всегда) связано с тем, что вещи становятся меньше исходной. И на это можно глядеть как на оборотную сторону увеличения их количества.
Есть еще одна возможность: может быть, определенное, не однородное дробление не изменяет "степени бесформенности" - увеличение количества как-то компенсируется неоднородностью частей. Эти интересные вопросы, я собираюсь посвятить вопросу "исчисления формы" отдельный Узелок.
Роман Уфимцев (11.08.2014 21:23)
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER