КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Узелки на распуткуУзел 1. Причина степенных распределений
Узел 1.13 Вне-пространственные фракталы
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
Узел 1. Причина степенных распределений
Узел 1.2 Механизмы развитияУзел 1.3 Причины и экстремальные принципыУзел 1.4 Максимум специальных энтропийУзел 1.5 Мультипликативный закон сохраненияУзел 1.6 Когнитивные фракталыУзел 1.7 Вязкость сознания и число eУзел 1.8 Модель БернуллиУзел 1.9 Принцип микро-причинностиУзел 1.10 Случайно блуждающие ландшафтыУзел 1.11 Субстанции формы и содержанияУзел 1.12 Размерность Хаусдорфа и метрическая связность
Узел 1.13 Вне-пространственные фракталы
Узел 1.14 Фракталы на графахУзел 1.15 Фрактальная размерность графов и сетейУзел 1.16 Фрактальность древовидных графовУзел 1.17 Фрактальная размерность и степенная статистикаУзел 1.18 Локальные и глобальные размерности графовУзел 1.19 Локальные и глобальные размерности графов (II)Узел 1.20 Локальные и глобальные размерности графов (III)Узел 1.21 Критические графы как фракталыУзел 1.22 Критические графы как фракталы (II)Узел 1.23 Возвращение к БернуллиИнтерлюдия. Две простые задачиУзел 1.24 Зоопарк критических графовУзел 1.25 Зоопарк критических графов (II)Узел 1.26 Режим стохастической самоподдержкиУзел 1.27 Растущие кластеры и размерность решетокУзел 1.28 Фрактальные и не-фрактальные решеткиУзел 1.29 Энтропия ростаУзел 1.30 Энтропия графов и пространствУзел 1.31 Игра в инверсию
Узел 2. Опус о числах и формах
.
Прологи
.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Узел 1.13 Вне-пространственные фракталы
 
Роман Уфимцев
10 августа 2014 года, Калининград
Подбираем "хвост": обоснование метода метрической связности
В предыдущей нити мы познакомились с очень незатейливым методом оценки размерности Хаусдорфа, основаном на вычислении среднего количества соседей у точек фрактала. Он опирается на тождество, которое мы оставили недоказанным:
где A - средняя внутренняя связность фрактала (то есть, среднее количество соседей у точек, входящих во фрактал), AM - собственная связность ячеек пространства, в котором он разворачивается фрактал, D - его размерность Хаусдорфа, и DM - метрическая размерность пространства.
Хотя это тождество позволяет создать практический метод оценки размерности фракталов, который проще в реализации и, как правило, точнее широко применяемого традиционного метода покрытия квадратиками, в своем исходном смысле оно принципиально не может быть верным. Во многих фракталах составляющие их точки вообще теоретически не соседствуют друг с другом. Например, в канторовой пыли, которая получается в пределе следующего построения:
В пределе мы имеем "точечную пыль", образованную изолированными точками. Каждая из них имеет 0 соседей, а значит Значит, A/AM = 0. Из нашего тождества следует, что и размерность фрактала должны быть равна 0. Естественно, это не так, его размерность D=ln(4)/ln(3).
Чтобы избавиться от этого недоразумения, нам следует иначе определить соседство и связанность точек фракталов. Сделаем это так:
Будем считать соседями некоторой точки другие точки фрактала, которые находятся от нее не далее некоторого небольшого расстояния, входящие в ее ближний круг. (Ясно, что увеличивая радиус круга в общем случае будет увеличиваться и число соседей - мы должны брать минимальный осмысленный радиус.) Метрической связностью пространства AM мы будем считать максимальное число соседей, которые могут вместиться в ближний круг точки. Например, для применявшегося нами ранее "квадратно-гнездового" понимания пространства в ближний круг точки может войти максимум 4 соседа:
Конечно, нам даже не обязательно задавать зону соседства как круг (хотя это самое разумное решение, чтобы количество соседей точки не зависело от поворота фрактала). Например, в практических приложениях зону соседства можно определять квадратом, который вмещает максимум 8 соседей, то есть, AM=8.
Переопределив таким образом понятие соседства и связности, докажем наше тождество и подберем "хвост", оставшийся с предыдущей нити.
Представим пространство, в котором существует фрактал, как однородно плотное множество ячеек (не важно, как организованных относительно друг друга). Некоторые из них покрывают (содержат) точки, принадлежащие фракталу:
Выберем некоторую точку, принадлежащую фракталу, и построим вокруг нее окружность радиуса X. Ясно, что с увеличением X будет нарастать и общее количество пространственных ячеек внутри окружности - обозначим его как M(X), так и количество ячеек, содержащих точки фрактала - обозначим его как F(X).
Из определения размерности Хаусдорфа следует, что для фракталов выполняется равенство
Возьмем производную этого выражения по X:
Из этого несложными преобразованиями и подстановками получим:
Возьмем такое значение X=x, что в окруженную область попадает только одна точка:
Тогда M(x)=1 и F(x)=1, значит, получим
или, переходя к дифференциалам
Возьмем минимальное действенное или осмысленное увеличение X, при котором в круг попадают непосредственные соседи нашей точки:
Прирост ΔM тогда равен общему количеству соседствующих с точкой ячеек пространства AM, а прирост ΔF - количеству ячеек, содержащих точки фрактала, то есть, соседей по фракталу: ΔF=A. Из чего следует
Вот обещанное простое и эстетичное доказательство нашего симпатичного тождества и обоснование нового метода оценки размерности Хаусдорфа. Выглядит элементарно, но его поиски стоили черновику автора многих исчерканных страниц.
Одно методическое предупреждение и иллюстрация к нему
Почему мы уделяем столько внимания "соседскому" методу оценки размерности Хаусдорфа? Доказательству этого красивого, но вроде бы не имеющего прямого отношения к степенным распределениям тождества между размерностью фракталов и количеством соседей у их точек?
Конечно, у нас не было задачи лишь изобрести новый метод - хотя он оказался весьма неплох, и еще пригодится на практике. Дело в том, что это тождество и основанный на нем метод имеет самое непосредственное отношение к "тонкой механике" развития фракталов - а их мы считаем структурами, связанными со степенными распределениями самым глубочайшим образом. Всякий раз, когда мы видим степенное распределение, феномен обязательно имеет фрактальную структуру - даже если мы ее не можем наблюдать воочию.
О том, как полезно, исследуя фракталы, понимать их "тонкую механику", можно увидеть на одном хорошем примере. Он особенно хорош тем, что учит "держать ухо востро", когда мы исследуем или моделируем фракталы вычислительными методами.
Речь пойдет о фрактале, который мы уже обсуждали: он образован точками, в которых график случайного блуждания пересекает некоторую планку. Такой фрактал имеет размерность Хаусдорфа D=1/2, а распределение расстояний между точками пересечений является степенным с показателем θ=3/2:
Исследуем его тем же методом, которым выше мы воспользовались для доказательства нашего тождества. Возьмем точку, принадлежащую этому фракталу и построим вокруг нее соседский круг радиусом X:
Количество пространственных ячеек, попадающих в круг равно двойному радиусу: AM=2*X, но сколько из них заняты точками фрактала - то есть, чему равно количество соседей A? Это интересный вопрос, ответ на который нужно искать из известного нам распределения расстояний между точками фрактала:
(Мы тут используем степенное распределение в записи, допускающей значения x от 0 до бесконечности.)
Оно позволяет установить, с какой вероятностью справа или слева от нашей точки появится минимум 1 сосед:
Обратим внимание, что и справа и слева соседей может быть больше, чем 1, однако мы не будем это учитывать - сейчас увидим, почему.
Кажется, в целом отрезке длиной 2*X бесконечно больше точек, чем одна-две (ну, или немного больше), которые будут принадлежать фракталу. Значит, A/AM=0. Однако, устремим X к нулю - так и положено, ведь мы должны говорить о соседях самого ближнего круга (устремляя X к нулю, мы можем спокойно считать, что справа или слева может быть максимум по одному соседу - другие просто "не влезут"):
То есть, каждая точка фрактала с каждой стороны имеет в среднем по 1/2 соседа, значит, в среднем 1. И в соответствии с нашим тождеством
размерность фрактала D=1/2 (поскольку тут DM=1) - и это действительно так. Мы еще раз убедились, что наше тождество верно.
Но только теоретически. Попробуем проверить все вычислительной симуляцией случайного блуждания, построим на ее основе фрактал из точек пересечения нулевой планки, и посмотрим: действительно ли в среднем каждая его точка имеет по 1 соседу?
Моделируя в числовых опытах случайное блуждание, мы вынуждены прибегать к дискретному механизму. В простейшем виде он выглядит так: устанавливаем частицу на нулевую планку. Затем в каждый цикл времени прибавляем к координате частицы случайное число. Результат - новое положение частицы. И так цикл за циклом. Моменты пересечения нулевой планки фиксируются как моменты смены знака координаты блуждающей частицы. В этих условиях периоды между пересечениями планки являются целыми числами, равными числу циклов работы вычислительной модели. Точки пересечения стартовой планки оказываются лежащими в том или ином дискретном отрезке временной оси, соответствующим циклам работы модели:
Так сколько же в среднем соседей будут иметь эти точки-отрезки?
Результат не утешительный: он существенно отличается от теоретического значения 1 и составляет примерно 0,6. Это значит, что если бы мы использовали для оценки размерности на новый метод, мы бы получили оценку D≈0,3, то есть, не верную.
Причина такого расхождения в том, что в действительности наш простой метод симуляции случайного блуждания не годится для того, чтобы строить фрактал из точек пересечения планки. И это поучительный пример того, как не слишком продуманные вычислительные симуляции приводят к ложным выводам. Простейшее дискретное блуждание, которое элементарно реализуется вычислительными средствами, годится для того, чтобы получить правдоподобный образ "настоящего" непрерывного случайного блуждания, но оно существенно отличается от "настоящего" в одном принципиальном моменте: дискретное случайное блуждание вообще-то не является фракталом. Фракталы самоподобны, а дискретные симуляции - нет. И вот как это приводит к недооценке количества соседей у точек пересечения планки:
Тут красная кривая - график "настоящего" случайного блуждания, а черные точки и пунктир - его дискретная модель. Фиксируя положение блуждания только в некоторые дискретные моменты мы упускаем ситуации, когда случайное блуждание пересекло планку и вернулось обратно в пределах одного цикла времени (эти моменты отмечены стрелками) - мы попросту не заметим эти пересечения. Именно это и приводит к недооценке количества соседств у точек фрактала.
Что же делать в такой ситуации? Разве мы можем отказываться от вычислительных симуляций различных стохастических фракталов - без них мы практически лишаемся "лаборатории". Конечно, нет. Но всегда следует помнить о том, что наши вычислительные модели неизбежно дискретны по своей сути, и когда мы пытаемся с их помощью моделировать непрерывные природные или математические феномены, следует сверять результат с теорией. (Это своего рода парадокс: в естественной науке обычно теории проверяют опытом, а тут следует поступать наоборот: результаты "опыта", то есть вычислительного моделирования, менее достоверны, чем хорошая теория.)
Конкретно, в данном случае, чтобы свести к минимуму негативный эффект от дискретизации случайного блуждания, следует уменьшать до предельных вычислительных возможностей сам шаг дискретизации. И вот результат:
Это график оценки размерности Хаусдорфа нашим новым методом для фрактала, полученного на основе вычислительной симуляции случайного блуждания при различных степенях "уплотнения" дискретизации u. Как видим, при отсутствии "уплотнения" (u=1) оценка D≈0,29 - та самая ложная оценка вероятности соседств, которую мы вначале получили. Однако, при увеличении дискретизации на 1-2 порядка оценка размерности оказывается близкой к точному значению 1/2. Черная кривая - теоретическое предсказание оценки размерности при различных плотностях дискретизации.
Снова возвращаемся к Бернулли - с трофеем
Главное достижение предыдущей и этой нити нашего разговора - теперь уже доказанное тождество:
Оно очень ценно тем, что устанавливает буквальную связь между размерностям фрактала D и пространства DM с одной стороны, и связностью точек фрактала и пространства - с другой. При это "размерность" - существенно более абстрактная и трудная для интуиции характеристика, нежели "среднее число соседей". Имея в руках такой "трофей", нам становится гораздо легче понять суть непрерывной модели Бернулли и связь с дискретным ее вариантом:
Разберемся в этой связи. Дискретная модель Бернулли описывает развитие системы, образованной дискретными макро-объектами, которые содержат то или иное количество микро-объектов. За некоторый период времени с вероятностью pmicro каждый микро-объект в системе может раздвоиться (или, то же самое, дать отпрыска), и с вероятностью pmacro может дать отпрыска каждый макро-объект. Отношение этих вероятностей управляет показателем степенной статистики θ, которое в результате разовьется в этой растущей системе:
Непрерывная модель Бернулли описывает развитие не дискретного множества, а фрактала. Возьмем некоторую точку фрактала и ее соседей. Ее соседи - непосредственно соприкасающиеся с ней точки или ячейки пространства (на иллюстрации их 6). Некоторые из них пусты, а некоорые содержат другие точки фрактала (у нас тут их 4). Отношение общего количества соседских ячеек пространства AM к количеству не-пустых ячеек A управляет показателем степени статистики фрактала θ также, как отношение вероятностей pmicro/pmacro в дискретной модели:
Заметим, что по аналогии с дискретным вариантом мы можем смотреть на дело так: каждая ячейка пространства "плодится" и окружает себя AM другими ячейками, и каждая точка фрактала "плодится" и окружает себя A другими точками. Аналогом дискретных микро-объектов тут являются ячейки пространства, а аналогом макро-объектов - точки фрактала. Обратим внимание на интересный контраст с дискретной моделью: в ней макро-объекты содержат микро-объекты, а тут - наоборот: ячейки пространства, которые выступают аналогами микро-объектов, могут содержать точки фрактала, являющиеся аналогами макро-объектов.
Вне-пространственные фракталы
Но между дискретной и непрерывной моделью есть интересное отличие: дискретная модель может порождать степенную статистику с любым допустмым показателем θ (от 1 до бесконечности) - он зависит от отношения вероятностей pmicro/pmacro, а оно может быть любым. Но иначе дело обстоит в непрерывной модели: по определению точек фрактала среди соседей не может быть больше ячеек пространства. Это значит, что отношение AM/A не может быть меньше 1. Из этого в свою очередь следует, что показатель степени статистики фрактала не может быть больше 2.
Это ограничение не выглядит натуральным - хотя причины его вполне ясны. Действительно, кажется точек фрактала не может быть больше, чем точек самого пространства. Из этого следует, в частности, что размерность фрактала D не может быть больше метрической размерности DM пространства, в котором он существует.
Есть расхожее, но не верное определение фракталов, приписываемое известному их исследователю Фальконеру (а иногда самому Мандельброту, отцу фрактальной геометрии): "Фрактал - это объект, размерность Хаусдорфа которого строго больше его топологической размерности". Топологическая размерность DT - это размерность непрерывных "деталей", имеющихся в полностью развернутом фрактале. Например, во фрактале, образованном точками, в которых случайное блуждание пересекает нулевую планку, нет ни единого цельного отрезка - он весь состоит из точек. Значит, его топологическая размерность равна 0. А, скажем, в ковре Серпинского остаются непрерывные отрезки:
значит, его топологическая размерность DT=1. Не трудно понять, что требование превосходства собственной размерности фрактала над его топологической размерностью аналогично требованию, в соответствии с которым собственная размерность фрактала D строго меньше его метрической размерности DM - то есть, меньше размерности пространства, в котором он существует. Однако, ни то ни другое требование не является для фракталов абсолютным, потому что, например, для когнитивных фракталов DM=D. И их топологическая размерность также равна их собственной размерности D. Эту исключительную особенность когнитивных фракталов можно схематически изобразить так:
Однако, вспомним масштабно-инвариантную сеть, которая характеризуется степенной статистикой с θ=3 - ее структура очевидно имеет фрактальные свойства:
Но если это фрактал, то его метрическая размерность в два раза меньше его фрактальной размерности: DM/D = 1/2 (тут, разумеется, мы говорим не о пространственном изображении масштабно-инвариантной сети, а о ней как об абстрактной сетевой структуре). Переводя это на наш "соседский" язык, у каждой точки масштабно-инвариантой сети в соседях в два раза больше других точек, чем ячеек пространства. Это очевидный нонсенс, если мы говорим о фракталах, существующих в нормальном пространстве. И нам остается только признать, что масштабно-инвариантная сеть - это вне-пространственный фрактал.
Так мы приходим к гипотезе о существовании целого класса вне-пространственных - то есть, невозможных в нормальных пространствах - фракталов, обладающих парадоксальными свойствами:
Их размерность Хаусдорфа выше метрической и ниже топологической - хотя далеко не очевидно, что такое метрическая или топологическая размерность для фракталов, существующих вне пространства. Их отличительная черта: показатели степени их структурной статистики θ выше 2. И когнитивные фракталы - которые еще могут существовать в нормальном пространстве - оказываются на водоразделе между миром обычных классических фракталов и загадочным, темным миром вне-пространственных фрактальных структур.
Чтобы подчеркнуть драматизм этой гипотезы, вспомним наше несколько свободное толкование фракталов как продуктов взаимодействия "субстанции формы" и "субстанции содержания". У всех нормальных пространственных фракталов "субстанции формы" меньше, чем "субстанции содержания". У когнитивных фракталов и той и другой одинаково. А у вне-пространственных "субстанции формы" больше, чем "субстанции содержания". Они словно ближе к платоновской сфере вечных идей или форм, чем все, что мы можем увидеть в материальном и пространственном мире вокруг себя.
Впрочем, обойдемся без лишних философских спекуляций. В конце концов, перед нами конкретный пример такого вне-пространственного фрактала - масштабно-инвариантная сеть. В ней нет ничего темного. Но это - дискретный фрактал, а можно ли вообразить непрерывный аналог масштабно-инвариантой сети? Или все вне-пространственные фракталы обязательно дискретны?
Каждый из ответов открывает очень любопытные перспективы...
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER