КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Узелки на распуткуУзел 1. Причина степенных распределений
Узел 1.19 Локальные и глобальные размерности графов (II)
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
Узел 1. Причина степенных распределений
Узел 1.2 Механизмы развитияУзел 1.3 Причины и экстремальные принципыУзел 1.4 Максимум специальных энтропийУзел 1.5 Мультипликативный закон сохраненияУзел 1.6 Когнитивные фракталыУзел 1.7 Вязкость сознания и число eУзел 1.8 Модель БернуллиУзел 1.9 Принцип микро-причинностиУзел 1.10 Случайно блуждающие ландшафтыУзел 1.11 Субстанции формы и содержанияУзел 1.12 Размерность Хаусдорфа и метрическая связностьУзел 1.13 Вне-пространственные фракталыУзел 1.14 Фракталы на графахУзел 1.15 Фрактальная размерность графов и сетейУзел 1.16 Фрактальность древовидных графовУзел 1.17 Фрактальная размерность и степенная статистикаУзел 1.18 Локальные и глобальные размерности графов
Узел 1.19 Локальные и глобальные размерности графов (II)
Узел 1.20 Локальные и глобальные размерности графов (III)Узел 1.21 Критические графы как фракталыУзел 1.22 Критические графы как фракталы (II)Узел 1.23 Возвращение к БернуллиИнтерлюдия. Две простые задачиУзел 1.24 Зоопарк критических графовУзел 1.25 Зоопарк критических графов (II)Узел 1.26 Режим стохастической самоподдержкиУзел 1.27 Растущие кластеры и размерность решетокУзел 1.28 Фрактальные и не-фрактальные решеткиУзел 1.29 Энтропия ростаУзел 1.30 Энтропия графов и пространствУзел 1.31 Игра в инверсию
Узел 2. Опус о числах и формах
.
Прологи
.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Узел 1.19 Локальные и глобальные размерности графов (II)
 
Роман Уфимцев
23 сентября 2014 года, Калининград
редакция 6 марта 2015 года
Графы и сети как стихия связей
Наши упражнения в расчете локальных и глобальных размерностей приводят к выводу, что определение локальной размерности графов можно (и нужно) сделать еще локальнее. Выше мы определяли ее для отдельных узлов графа, рассматривая количество непосредственных соседей узла z(1) и соседей второго колена z(2):
Локальная размерность узла DGi = z(2)/z(1) - например, в данном примере DGi=11/7. Глобальная размерность графа определяется нами как отношение (z1(2)+z2(2)+z3(2)+...)/(z1(1)+z2(1)+z3(1)+...) где суммы берутся по всем его узлам.
Однако, при расчете размерности графа исходя из известного распределения его узлов по количеству связей Ф(x), первым этапом является вычисление распределения узлов по количеству связей, к которым мы придем выбрав случайно одну из связей в графе и двигаясь по ней в одном из направлений G(x):
Например, тут выбрав одну из связей графа мы приходим в узел, который имеет 4 связи, и из них 4-1=3 являются связями к узлам второго колена для красного узла, от которого исходила исходная связь. С другой стороны, число 3 для данной связи характеризует коэффициент ее ветвления при движении в выбранном направлении - обозначим этот коэффициент как qj. Если мы рассмотрим все k связей, исходящие от некоторого узла, то сумма их коэффициентов ветвления и даст нам количество соседей второго колена для этого узла:
А средний коэффициент ветвления связей, исходящих из узла оказывается равным его локальной размерности
И это выражение наводит на мысль, что локальная размерность узла - еще не последний этап "локализации". Эта величина сама является усреднением коэффициентов ветвления отдельных связей, и действительно индивидуальная, предельно локальная или микро-размерность является атрибутом не отдельного узла графа, а его отдельной связи, и она равна коэффициенту ветвления связи при движении в избранном направлении:
Иными словами, локальная размерность в графах является атрибутом не узлов, как мы считали, а отдельных связей - причем каждая связь, имея два направления (если мы говорим о ненаправленных графах) имеет две локальных размерности.
Это концептуально важное изменение взгляда на графы: главными, сущностными элементами в них оказываются не узлы, а именно связи. Узлы - это лишь точки ветвления связей. Образно говоря, графы и сети - это стихия связей, а не узлов:
Локальная размерность является атрибутом отдельных связей графа, и мы ее можем усреднять относительно узла - усредняя локальные размерности связей, исходящих от этого узла - получая локальную размерность данного узла. А можем усреднять и по всем связям в графе, получая его глобальную размерность.
К сожалению, эти выводы в полной мере справедливы только для древовидных графов, не содержащих циклов - то есть, петель из связей. Циклы в структуре графа несколько все усложняют. Например, рассмотрим "квадратно-гнездовой" граф и одну из связей, исходящих из некоторого узла:
Локальная размерность связи по данному направлению кажется равна 3. Поскольку то же самое справедливо для всех связей графа, мы должны были бы считать, что и локальная размерность узлов, и глобальная размерность графа в целом равна 3. Это естественно не так, и причина ошибки в наличии циклов в структуре графа. Локальная размерность узла, которая равна z(2)/z(1) лишь тогда равна среднему локальных размерностей исходящих от него связей, когда эти связи не образуют циклов, когда движение по ним приводит только к ветвлению, но не слиянию траекторий. Например, в "квадратно-гнездовом" графе ветвление двух соседних связей, исходящих от узла, сопровождается слиянием в одном из узлов:
Опишем это так: в непосредственных окрестностях узла имеется 4 ветвления с коэффициентом 3. Но кроме того, в непосредственных окрестностях узла происходит 4 слияния с коэффициентом 2:
Если приписать каждой из "сущностей", находящихся в окрестностях узла, собственную размерность - ветвлениям с коэффициентом 3 размерность 3, а слияниям с коэффициентом 2 размерность -1, то локальная размерность узла равна сумме размерностей "сущностей", находящихся рядом с ним, деленной на количество исходящих из него связей.
Мы еще будем говорить об интересной роли слияний как "сущностей" с отрицательной размерностью в связи с информационным взглядом на структуру графов, а пока лишь заметим, что при наличии в структуре графа циклов глобальная размерность графа не равна простому среднему от локальных размерностей его связей (хотя и равна среднему локальных размерностей узлов).
Теперь нам становится понятным, почему локальная размерность определена только для узлов, имеющих хотя бы одну связь - потому, что вообще-то локальная размерность является атрибутом не узлов, а связей, и если в графе нет связей, понятие размерности для него неприменимо. Граф со строго нулевой размерностью - это молекула, образованная двумя узлами со связью между ними:
Кроме того, такой взгляд на вещи позволяет определить локальную и глобальную размерность на направленных графах - то есть таких, в которых связи имеют только одно направление, например:
тут мы имеем 3 направленные связи. Размерность двух из них равна 1, и одной - нулю. Глобальная размерность этого графа равна среднему: DG=2/3.
Формула глобальной размерности и примеры
Найдем общее уравнение глобальной размерности графа, если распределение его узлов по количеству связей - некоторое дискретное распределение Ф(x). Получим из него распределение G(x):
Среднее по распределению G(x) с вычетом единицы дает глобальную размерность графа, или
Познакомимся с оценками глобальной размерности графов при различных распространенных формах распределения узлов по количеству связей Ф(x).
Геометрическое/экспоненциальное распределение. В качестве параметра этих распределений удобно использовать среднее значение - то есть, среднее количество связей у узлов сети. Если оно равно A, то глобальная размерность графа:
Заметим, что при малых значениях A граф распадается на не связанные между собой куски. Данная оценка глобальной размерности относится не к отдельным кускам - внутри них распределение Ф(x) имеет другую форму - а к графу целиком. Какова размерность изолированных цельных кусков - отдельный интересный вопрос.
Биномиальное/пуассоновское распределение. Такие распределения узлов характерны для случайных графов Эрдеша-Реньи, которые строятся следующим образом: берется N узлов, а затем между каждой парой узлов с некоторой вероятностью p проводится связь. В этих условиях при больших N распределение Ф(x) оказывается пуассоновским:
В среднем каждый узел графа имеет по A = N*p связей, и глобальная размерность оказывается равной просто
Вновь обратим внимание, что это размерность случайного графа целиком - а он может состоять из изолированных кусков. Об их размерности мы поговорим чуть позже.
Степенные распределения. Тут мы будем говорить о чистых степенных распределениях, и для простоты математики обратимся к непрерывным приближениям дискретных распределений (и вместо сумм в выражении DG будем использовать интегралы). В зависимости от показателя степени θ степенное распределение имеет вид
при возможных значениях x от 1. При θ>3 предельная размерность графа
При θ ≤ 3 c ростом размера графа N его размерность бесконечно нарастает - мы видели это на примере масштабно-инвариантной сети. Если обозначить как X предельное значение x (а оно растет с ростом N), размерность графа:
Это выражение имеет особые формы при некоторых значениях θ, например:
Можно говорить и о форме степенного распределения, определенного для всех значений x ≥ 0:
Для нее при 3 > θ ≥ 5 предельная размерность графа
(При θ = 5 размерность обращаетcя в 0, а при еще больших значениях θ формально оказывается отрицательной, что конечно абсурд - тут следует еще разобраться, какое значение для структуры графа имеет показатель θ = 5.)
Условие фрактальности графа
Возьмем древовидный граф со строго детерминированной бинарной структурой:
Ясно, что локальная размерность любой его связи в любом направлении равна 2. Это значит, что и глобальная размерность графа - как мы ее определяем - тоже равна 2. Но имеет ли этот граф фрактальную структуру? Определенно, нет. В этом легко убедиться, используя определение фрактальной размерности графа методом растущего кластера. Возьмем некоторый узел графа (достаточно далекий от его вершины), и будем следить, как с ростом расстояния R от этого узла увеличивается количество доступных узлов S. Не трудно понять, что мы получим
Определение фрактальной размерности графа методом растущего относительно некоторого узла кластера выглядит так:
В пределе больших R величина ln(S(R))/ln(R) приближается к фрактальной размерности DG. Если же величина ln(S(R))/ln(R) не приходит с ростом R к какому-то постоянному значению, мы имеем дело с графом, структура которого не имеет фрактальных свойств. Например для нашего бинарного графа:
С ростом R эта величина постоянно растет, что означает отсутствие фрактальной структуры у графа:
Таким образом, хотя и локальные размерности узлов бинарного дерева и его общая глобальная размерность хорошо определены, конечны, и имеют ясный смысл, это не значит, что он имеет фрактальную структуру. Поэтому, если мы ставим во главе угла локальное определение размерности графов, нем необходимо дополнительное условие, обеспечивающее фрактальность его структуры.
Итак, еще раз взглянем на уравнение
Применим его к данному бинарному графу. Мы исследуем локальную размерность некоторой типичной связи (красная на диаграмме):
Узел, из которого она исходит, мы будем считать стартовым - у нас это вершина графа. Вдоль выбранной нами связи на расстоянии R=1 от стартового узла находится ровно один узел - и так, конечно, будет в любом графе, поскольку одна связь ведет к одному узлу. Иными словами, S(1) = 1. Подставляя эти значения в уравнение, получаем:
S'(1) - это разница между S(2) и S(1), то есть, S'(1)=S(2) - S(1). Ясно, что эта величина равна количеству исходящих траекторий от узла S(1). Или, иначе говоря, она равна коэффициенту ветвления выбранной нами связи - у нас он равен 2. Так мы и пришли к определению локальной размерности связи как ее коэффициента ветвления.
Теперь возьмем R=2. S(2) - это количество узлов, которое доступно от стартового узла за два шага. А если, образно, считать S(2) "мешком" с узлами - у нас в мешке 3 узла, то величина S'(2) - это количество исходящих из "мешка" связей (не считая входящей красной) - их в нашем примере 4. Если граф имеет идеально фрактальную структуру, должно выполняться соотношение:
Двигаясь также далее мы вообще увидим следующее:
С ростом R растет высота "мешка" с узлами и увеличивается их количество в мешке - оно равно S(R). Величина S'(R) равна количеству исходящих из "мешка" траекторий, и она условно соответствует ширине его основания. Если граф имеет фрактальную структуру, то для любого R выполняется
при этом константа равна локальной размерности исходной красной связи. Изобразим дело еще нагляднее:
Сравним мешок с пирамидой, которая содержит S(R) узлов. Если умножить площадь ее основания S'(R) на ее высоту R мы получим количество узлов в пирамиде, если бы она была прямоугольной, как многоэтажка. Но она обычно не прямоугольная, так что величина S(R) как правило не равна произведению R*S'(R). Отношение объема "прямоугольной пирамиды" к объему настоящей во фрактальном графе остается неизменным при любых R, и равно его фрактальной размерности. Это и есть фрактальная масштабная инвариантность как она проявляется в графах: образно говоря, форма пирамиды S(R) остается неизменной при любом масштабе R.
Для нашего бинарного графа
И мы видим, что отношение R*S'(R) к S(R) не остается постоянным, а растет пропорционально R - то есть, граф не является фракталом:
Сравним этот граф с "квадратно-гнездовым" метрическим графом, который имеет строго фрактальную структуру. Мы выше отмечали, что наличие в этом графе циклов несколько усложняет анализ локальных размерностей его отдельных связей, поэтому тут удобнее анализировать локальные размерности узлов. Все полученные нами соотношения выполняются и в этом случае. Разница только в том, что величина S(1) не обязательно равна 1 - конкретно тут она равна 4:
Для этого графа
И для любых R строго выполняется
То есть, "квадратно-гнездовой" граф имеет идеально фрактальную структуру с размерностью 2.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER