КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Узелки на распуткуУзел 1. Причина степенных распределений
Узел 1.20 Локальные и глобальные размерности графов (III)
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
Узел 1. Причина степенных распределений
Узел 1.2 Механизмы развитияУзел 1.3 Причины и экстремальные принципыУзел 1.4 Максимум специальных энтропийУзел 1.5 Мультипликативный закон сохраненияУзел 1.6 Когнитивные фракталыУзел 1.7 Вязкость сознания и число eУзел 1.8 Модель БернуллиУзел 1.9 Принцип микро-причинностиУзел 1.10 Случайно блуждающие ландшафтыУзел 1.11 Субстанции формы и содержанияУзел 1.12 Размерность Хаусдорфа и метрическая связностьУзел 1.13 Вне-пространственные фракталыУзел 1.14 Фракталы на графахУзел 1.15 Фрактальная размерность графов и сетейУзел 1.16 Фрактальность древовидных графовУзел 1.17 Фрактальная размерность и степенная статистикаУзел 1.18 Локальные и глобальные размерности графовУзел 1.19 Локальные и глобальные размерности графов (II)
Узел 1.20 Локальные и глобальные размерности графов (III)
Узел 1.21 Критические графы как фракталыУзел 1.22 Критические графы как фракталы (II)Узел 1.23 Возвращение к БернуллиИнтерлюдия. Две простые задачиУзел 1.24 Зоопарк критических графовУзел 1.25 Зоопарк критических графов (II)Узел 1.26 Режим стохастической самоподдержкиУзел 1.27 Растущие кластеры и размерность решетокУзел 1.28 Фрактальные и не-фрактальные решеткиУзел 1.29 Энтропия ростаУзел 1.30 Энтропия графов и пространствУзел 1.31 Игра в инверсию
Узел 2. Опус о числах и формах
.
Прологи
.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Узел 1.20 Локальные и глобальные размерности графов (III)
 
Роман Уфимцев
27 сентября 2014 года, Калининград
редакция 6 марта 2015 года
В предыдущей нити мы сформулировали условие, которое должно выполняться в идеально фрактальном графе для любых значений R:
На его основании можно вывести общее уравнение S(R) для идеально фрактальных графов. Сначала, имея в виду, что S'(R) = S(R+1)-S(R) получим рекурсивное уравнение:
Раскрывая рекурсию, получим:
Наконец, обозначим как C = S(1)/DG и перейдем от факториалов к гамма-функциям:
Мы вывели уравнение, которое связывает количество доступных узлов S(R) - растущий кластер - с ростом расстояния R от некоторого узла в идеально фрактальном графе.
Оно является дискретным аналогом уравнения роста площади/объема некоторой пространственной фигуры с ее линейным размером - например, рост объема сферы с увеличением ее радиуса:
где DM - метрическая размерность пространства. Легко убедиться, что оно также подчиняется условию фрактальности, если в качестве S'(R) понимать производную непрерывной функции S(R):
Однако, в действительности идеализированному дискретному уравнению S(R) точно подчиняются только некоторые графы. В частности, двухмерные регулярные решетки, имеющие фрактальную размерность 2:
В этом есть какая-то странность, но уже трехмерные регулярные решетки, которые вроде бы представляют собой графы-фракталы с размерностью 3, и должны точно также подчиняться условию фрактальности как и двухмерные графы, не соответствуют уравнению
в точности - рост кластеров в них только приближенно ему следует. Простейший пример - трехмерная "квадратно-гнездовая" решетка:
Вот что в ней происходит:
Тут есть два возможных объяснения. Возможно, нам еще требуется уточнить условие фрактальности графов, которое пока у нас выглядит так:
Оно должно приводить к правильному уравнению объема растущих кластеров в регулярных решетках различной размерности и строения, которое на самом деле выглядит так:
где 2F1 - гипергеометрическая функция.
Второе возможное объяснение выглядит гораздо причудливее - может быть, регулярные решетки в трех (и большем количестве измерений) по какой-то причине не являются идеальными фрактальными графми, в отличие от двухмерных.
В чем тут дело еще предстоит разобраться, а пока нам достаточно того, что уравнение
с хорошей точностью описывает свойства графов-решеток при размерностях менее 4-5, и передает качественные особенности роста кластеров в этих решетках. В частности, некоторые особенности внешнего вида дискретных зависимостей S(R) при их представлении в двойных логарифмических координатах - сейчас мы об этом поговорим.
При больших R наше идеализированное уравнение приближается к обычной степенной зависимости:
В действительности в регулярных решетках предельная степенная форма выглядит иначе:
Однако, это не важно в контексте текущего разговора.
Но это приближение выполняется тем хуже, чем меньше R и чем больше фрактальная размерность DG отличается от единицы (в большую или меньшую сторону). Разницу между точным выражением для S(R) и степенным приближением хорошо видно на диаграммах зависимостей ln(S(R)) от ln(R) которые мы использовали для проверки фрактальности графов методом растущего кластера. Мы ошибочно полагали, что если граф является фракталом, эта зависимость должна быть линейной, что соответствует степенной связи между S(R) и R. Однако, оказывается, что даже в идеально фрактальном графе зависимость ln(S(R)) от ln(R) должна выглядеть линейно только в пределе больших R, а для малых мы должны видеть отклонения от чистой степенной зависимости:
Тут приведены сравнения точного вида зависимостей ln(S(R)) от ln(R) при различной фрактальной размерности графа (черные кривые) со степенными приближениями. Как видим, чем больше размерность отличается от единицы, тем более кривые различаются - особенно в начальных участках. Серой штриховкой обозначены зоны существенного отклонения кривых. Заметим: по оси X у нас отложены логарифмы R. Это значит, например, что при DG=2 примерно вплоть до R≈7 мы не увидим удовлетворительной линейности зависимости ln(S(R)) от ln(R), а при DG=4 - и вовсе, вплоть до R≈20 она будет существенно нелинейной.
На практике это означает, что мы попросту можем не заметить фрактальных свойств графов, потому что сети и графы, в которых можно отслеживать рост кластеров с радиусами более 20 вообще не часто встречаются, и они сложны для числовых симуляций из-за своего большого размера. Мы можем не заметить фрактальности, поскольку график зависимости S(R) от R не будет выглядеть достаточно линейным в двойных логарифмических координатах, а ведь построение таких графиков - излюбленный инструмент исследователей фракталов и степенных законов - читатель тут может поверить автору.
Это наше открытие - весьма тревожный звоночек всем, кто судит о фрактальности или степенных законах по разного рода графикам, построенным в двойных логарифмических координатах. Далее мы еще об этом поговорим, и автор покажет свою собственную ошибку, связанную с этой проблемой.
Опыт, сын ошибок трудных
Мы немало времени посвятили выяснению фрактальной размерности масштабно-инвариантной сети и подобной ей случайной древовидной сети. До того, как мы получили в свое распоряжение понятие локальной и глобальной размерности, мы использовали метод растущего кластера. Нам удалось выяснить вид зависимости ln(S(R)) от ln(R) для вершины сети. Несколько видоизменяясь в зависимости от размера сетей, она выглядит следующим образом:
С первого взгляда график состоит из трех сегментов, различающихся поведением. У нас имеется начальный нелинейный сегмент, центральный линейный и снова нелинейный хвост. Нелинейный хвост имеет ясное объяснение - он является простым следствием конечного размера сети. Когда с ростом R количество узлов в растущем кластере перестает интенсивно расти, это значит, что добрались до краев сети. Несколько менее внятное объяснение автор дал начальному нелинейному участку - мы назвали его "областью локальных нарушений фрактальности", решив, что эти нарушения связаны с малозначимой локальной топологией графа. Действительно, даже в идеальном "квадратно-гнездовом" графе, во фрактальности которого мы вполне уверены, на диаграмме зависимости ln(S(R)) от ln(R) виден подобный нелинейный сегмент - хотя и менее выраженный:
"Разобравшись" таким образом с нарушениями линейности, по оставшимся линейным участкам графиков мы получили следующие оценки фрактальной размерности для масштабно-инвариантной и случайной сети соответственно:
Полагаю, читатель понимает, что эти оценки не верны: то, что мы именовали "областями локальных нарушений фрактальности" есть ничто иное как натуральное поведение зависимости ln(S(R)) от ln(R) если выполняется условие
Например, сравнивая теоретическое чистое фрактальное поведение - в новом смысле - с кривыми (опять же теоретическими) для масштабно-инвариантных сетей различного размера мы увидим совершенно другую картину:
Теперь у нас есть всего два сегмента - начальный, где кривые почти совпадают, и хвост, где начинает сказываться ограниченность размера сети. (Чуть худшее совпадение кривых наблюдается для случайной сети - но тоже существенно лучшее, чем при простой степенной зависимости S(R).) Новая оценка размерности этих сетей - как она видится из вершины - оказывается одинаковой и для масштабно-инвариантной и для случайной сети, и равна локальной размерности вершин этих графов (мы ее вычислили, как только получили в свое распоряжение определение локальной размерности):
Нам осталось только сравнить вид теоретической зависимости ln(S(R)) от ln(R) с опытными данными. Вот сравнение для масштабно-инвариантной сети в 10 тыс. узлов:
И для случайной сети такого же размера:
Совпадение в начальных участках вполне удовлетворительное - опытные данные даже лучше соответствуют теории, чем кривая, которую мы строили на основании формального анализа этих сетей (опиравшегося на некоторые упрощения и приближения).
Ревизия: метрическая связность и фракталы в пространстве
Теперь мы можем внести и некоторые дополнения и в определение размерности пространственных фракталов методом метрической связности.
В этом методе мы дробим пространство на одинаковые метрические ячейки - например, дробим плоскость на квадратики. Фрактал, лежащий в этом пространстве присутствует только в некоторых ячейках - о такой ячейке мы говорим как о точке пространства, содржащей точку фрактала. Положим, что каждая ячейка пространства непосредственно соседствует с AM других ячеек (это число зависит от наших предпочтений: например, при делении плоскости на квадратики мы можем считать, что каждая ячейка соседствует с 4 другими, а можем взять и 8 - если считать соседства по диагоналям). Если ячейка пространства содержит точку фрактала и имеет A не-пустых соседей (других точек фрактала, расположнных в соседних метрических ячейках), то выполняется равенство
где D - размерность фрактала, а DM - метрическая размерность пространства.
Ясно, что это локальное определение размерности, а потому необходимо дополнительное условие, обеспечивающие фрактальность пространственной фигуры. Таким условием является требование, в соответствии с которым данное равенство должно выполняться при любом размере ячеек, на которые мы дробим пространство.
Возьмем некоторую точку и построим вокруг нее окружность (или, если фрактал лежит в трехмерном пространстве, шар) радиуса R. Обозначим как M(R) количество ячеек пространства, находящихся в пределах окружности, и как F(R) - количество ячеек пространства, содержащих точки фрактала. Будем считать, что на расстоянии R=1 находятся непосредственные соседи данной точки пространства. Тогда обобщением локального определения размерности является выражение
При R=1 мы из него получаем локальное определение:
Наоборот, при больших R зависимость приближается к степенной с показателем -(DM - D):
что соответствует классической точке зрения, в которой полагается, что
где CF и CM - некоторые постоянные. Значит,
Однако, при устремлении R к нулю мы приходим с этим выражением к абсурдному результату:
Иное дело - наше новое выражение F/M:
Если классическое описание вещей опирается на степенные выражения
то у нас вместо степенных функций используются комбинации гамма-функций:
И это, как мы видим, позволяет избавиться от некоторых неясных моментов (вроде обоснования определения размерности методом метрической связности) и абсурдных выводов.
Снова о случайных графах Эрдеша-Реньи
Особый интересный пример степенной структурной статистики фрактальных графов - это распределение связных компонентов графа по количеству содержащихся в них узлов. Простейший пример - случайные графы Эрдеша-Реньи - мы уже к ним пробовали подступиться. Наиболее интересная их особенность - существование трех структурно различных состояний этих графов - до-критического, критического и за-критического:
До тех пор, пока среднее количество связей у узлов графа z(1) меньше 1, он находится в до-критическом состоянии, в котором его структура образована множеством небольших компонентов - связных кусков - почти все из которых имеют форму ожерелья с небольшим количеством "веток". Если z(1) более 1, то большую часть узлов поглощает один крупнейший компонент - его называют гигантским компонентом. И кроме него остается небольшое число маленьких ните- и древовидных мелких компонентов: это закритическое состояние. Самое интересное происходит, когда z(1)=1 - в этот момент происходит быстрое слияние мелких компонентов, и зарождается гигантский компонент - это критическое состояние графа. Его особенность в том, что в критическом состоянии система демонстрирует степенную статистику - она становится фракталом. В этот момент распределение изолированных компонентов по количеству входящих в них узлов становится степенным с показателем θ=5/2. Это очень интересное состояние, которое наблюдается только в весьма узком диапазоне значений z(1), близких к единице - ни до ни после перехода случайный граф не демонстрирует степенной статистики. При этом во всех трех структурных состояниях распределение узлов графа по количеству связей остается пуассоновским - хотя с разными средними значениями z(1).
Какова же глобальная размерность графов Эрдеша-Реньи в различных состояниях?
Выше мы получили простой ответ, который, однако, относится к графу целиком:
(тут A - среднее количество связей у узлов графа, то есть, среднее количество непосредственных соседей у его узлов z(1)). Это замечательное по простоте выражение, но оно не дает нам ответа на вопрос какова глобальная размерность отдельных связных компонентов графа, и конкретно, крупнейшего связного компонента.
Кое-что о ней можно сказать из общих соображений. В до-критическом состоянии компоненты как правило имеют нитевидную структуру с небольшим числом веточек (тут мы опираемся на основополагающее исследование Эрдеша и Реньи, которые детально изучили структуру случайных графов в различных состояниях). Такую структуру имеет и до-критический крупнейший компонент. Ясно, что при такой структуре его глобальная размерность должна быть близка 1.
Далее, обратимся к за-критическому состоянию. В нем почти все узлы графа включаются в один гигантский компонент. Значит, его глобальная размерность приближается к глобальной размерности всей системы - а она нам известна: она линейно растет с ростом z(1).
Итак, мы знаем, какова размерность крупнейшего компонента в до-критическом состоянии системы (достаточно далеко от него) и за-критическом. Но какова она точно в критическом состоянии? Чтобы найти ответ на этот вопрос, сначала прибегнем к числовым симуляциям:
Тут синие точки обозначают опытные оценки глобальной размерности случайного графа целиком - как видим, они отлично укладываются на черную теоретическую кривую, что не удивительно. Красные точки - результаты оценки глобальной размерности крупнейшего компонента в системе. Мы видим, что при z(1) существенно меньше 1 размерность действительно приближается к единице, а при z(1) существенно больше 1 - приближается к размерности всей системы, которая растет линейно. В точке z(1) находится переход между двумя закономерностями, и результаты опытов позволяют уверенно утверждать: в критическом состоянии системы глобальная размерность крупнейшего компонента равна точно 3/2 - далее мы получим этот результат и аналитически. Вот что получается: в критическом состоянии системы ее общая глобальная размерность DG=1, а размерность крупнейшего компонента DS=3/2. При этом для нас важно, что в критическом состоянии фракталом становится как весь случайный граф, так и его крупнейший компонент - но это разные фракталы, поскольку они имеют разную глобальную размерность.
Научный поиск - это тоже своего рода случайный, и притом весьма запутанный граф (можно даже оценить его размерность). Мы было поверили утверждениям, которые встречаются в статьях, посвященных фрактальным свойствам графов, что размерность графа Эрдеша-Реньи в критическом состоянии равна 2. В частности, это утверждается в статье "Fractal dimensions of percolating networks" (Cohen, Havlin). Причем речь идет о "химической размерности", как ее именуют авторы - это, по сути, размерность графа, определяемая методом растущего кластера. Однако, стараясь проверить этот вывод опытными оценками фрактальной размерности крупнейшего компонента критического графа, автор неизменно получал результат существенно меньше 2. Например, вот пара типичных результатов для двух разных узлов:
Складывалось стойкое впечатление, что различающиеся от узла к узлу оценки размерности имеют в качестве среднего величину 1,5. И вот теперь мы получили подтверждение, что это действительно так.
А как же размерность 2, о которой говорят Коген и Хавлин (а это именитые исследователи)? Может быть, они ошибаются (а они делают вывод на основе аналогии между критическими графами и так называемыми перколяционными кластерами - и аналогия может быть обманчива). Но скорее всего, они говорят о каком-то собственном понимании размерности, а их в теории графов имеется множество, и отношения между ними запутанные.
В конце концов, мягко упрекая исследователей графов в чехарде с определениями размерности, автор внес и свою лепту в эту путаницу нашим определением локальных и глобальных размерностей. Впрочем, тут у нас есть оправдание - в отличие от прочих определений размерности, наши очень просты и поддаются точному вычислению для многих типов графов.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER