КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Узелки на распуткуУзел 1. Причина степенных распределений
Узел 1.21 Критические графы как фракталы
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
Узел 1. Причина степенных распределений
Узел 1.2 Механизмы развитияУзел 1.3 Причины и экстремальные принципыУзел 1.4 Максимум специальных энтропийУзел 1.5 Мультипликативный закон сохраненияУзел 1.6 Когнитивные фракталыУзел 1.7 Вязкость сознания и число eУзел 1.8 Модель БернуллиУзел 1.9 Принцип микро-причинностиУзел 1.10 Случайно блуждающие ландшафтыУзел 1.11 Субстанции формы и содержанияУзел 1.12 Размерность Хаусдорфа и метрическая связностьУзел 1.13 Вне-пространственные фракталыУзел 1.14 Фракталы на графахУзел 1.15 Фрактальная размерность графов и сетейУзел 1.16 Фрактальность древовидных графовУзел 1.17 Фрактальная размерность и степенная статистикаУзел 1.18 Локальные и глобальные размерности графовУзел 1.19 Локальные и глобальные размерности графов (II)Узел 1.20 Локальные и глобальные размерности графов (III)
Узел 1.21 Критические графы как фракталы
Узел 1.22 Критические графы как фракталы (II)Узел 1.23 Возвращение к БернуллиИнтерлюдия. Две простые задачиУзел 1.24 Зоопарк критических графовУзел 1.25 Зоопарк критических графов (II)Узел 1.26 Режим стохастической самоподдержкиУзел 1.27 Растущие кластеры и размерность решетокУзел 1.28 Фрактальные и не-фрактальные решеткиУзел 1.29 Энтропия ростаУзел 1.30 Энтропия графов и пространствУзел 1.31 Игра в инверсию
Узел 2. Опус о числах и формах
.
Прологи
.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Узел 1.21 Критические графы как фракталы
 
Роман Уфимцев
30 сентября 2014 года, Калининград
редакция 10 января 2015 года
Фрактальные свойства графов и сетей - увлекательный, но не простой для анализа предмет. Но мы должны в нем более-менее разобраться, потому что графы, обладающие фрактальной структурой, существенно расширяют наше представление о фракталах вообще. А фракталы, как не раз повторял автор - важнейшая (если не единственная) манифестация степенных распределений, которые мы встречаем в явлениях различной природы.
Из-за непосредственной связи между степенной статистикой и фракталами мы сперва обратили внимание на графы, которые характеризуются степенным распределениями узлов по количеству связей (или степенным распределением степеней - в литературе по теории графов количество связей у узла называют его степенью - но каламбур "степенное распределение степеней" не слишком вдохновляет). Такие графы и сети в последние годы пользуются повышенным вниманием исследователей, поскольку многие натуральные сети обладают именно такой статистикой. Мы подробно исследовали пример такого графа - масштабно-инвариантую сеть (модель Барабаши-Альберта) и действительно обнаружили, что она является фракталом, хотя и сильно отличающимся от традиционных геометрических фракталов. В частности, ее размерность логарифмически нарастает вместе с размером сети.
Но мы также обнаружили, что случайная растущая древовидная сеть, обладающая геометрическим распределением степеней узлов, также имеет фрактальную структуру. Это было неожиданным открытием, поскольку мы не ожидали увидеть фракталов с экспоненциальной/геометрической структурной статистикой. Теперь мы знаем: они существуют - даже только ради этого нам стоило заняться темой фракталов на графах.
Однако, распределение узлов по количеству связей - это далеко не единственный возможный тип структурной статистики. Еще один важный и интересный тип - распределение связных компонентов графа по количеству содержащихся в них узлов (распределение компонентов графа по размеру). Мы не обязаны считать графом только структуру, в которой от любого узла можно принципиально добраться до любого другого. Если это условие выполняется, мы имеем связный граф. Но это условие может и не выполняться, и тогда граф содержит несколько изолированных друг от друга компонентов. В частности, в предыдущей нити мы возобновили разговор о, наверное, самом известном и хорошо исследованном типе графов - случайных графах Эрдеша-Реньи. В общем случае эти графы представляют собой наборы изолированных компонентов различного размера.
Вообще, случайные графы Эрдеша-Реньи не имеют фрактальной структуры. Однако в строго определенных условиях - в момент фазового перехода - эти графы превращаются во фракталы, причем фракталом является как весь граф в целом, так и его крупнейшие связные компоненты. Как мы установили, глобальная фрактальная размерность системы в целом оказывается равной единице (это мы установили аналитически), а размерность крупнейшего компонента - 3/2 (это мы пока заметили лишь на числовых симуляциях).
Эти результаты предваряют для нас открытие общих закономерностей, которым подчиняются не только критические случайные графы Эрдеша-Реньи, но, вероятно, и все типы критических случайных графов. В этой нити мы обсудим те из них, которые касаются связи между фрактальными размерностями графов, размерностями их компонентов и степенной статистикой в распределениях компонентов по размеру.
Критические графы
Феномен критических состояний случайных графов был открыт и впервые исследован выдающимися венгерскими математиками Палом Эрдешом и Альфредом Реньи в конце 50-х годов прошлого века. Мы уже описывали суть этих состояний - в них постепенно насыщающийся связями граф переходит из состояния раздробленности на множество мелких изолированных частей в состояние, в котором почти все узлы графа объединяются в единый связный гигантский компонент. Структура и свойства графа точно в середине такого перехода радикально отличается от его свойств как до, так и после перехода. Он начинает демонстрировать степенную статистику с показателем θ=5/2 и превращается во фрактал.
Этот феномен очень интересен как модель фазовых переходов самой разной природы. Например, при переходе вещества из жидкого в кристаллическое состояние происходит нечто подобное тому, что происходит в случайных графах: по мере остывания вещества в жидкой фазе начинают появляться растущие кристаллизованные области - по мере снижения температуры они растут, пока не сливаются в один крупный кристалл. Точно посредине этого перехода структура вещества приобретает фрактальные свойства: отдельные кристаллизованные куски вещества приобретают степенное распределение по размерам.
Из-за правил своего построения (случайность и равновероятность наличия связи между любой парой узлов) графы Эрдеша-Реньи характеризуются пуассоновским распределением узлов по числу связей. Однако, критические состояния имеют случайные графы и с другими распределениями. Например, можно вообразить граф, в котором распределение узлов по числу связей является геометрическим с растущим средним значением. В какой-то момент этот граф также перейдет в критическое состояние и станет фракталом, хотя, как мы далее увидим, его фрактальные свойства будут несколько иными, чем в критическом графе Эрдеша-Реньи.
Несколько забегая вперед: в статье 2001 года Ньюман, Строгач и Уоттс ("Random graphs with arbitrary degree distributions and their applications"), а это настоящие авторитеты в науке о сложных сетях и графах, пришли к выводу, что вне зависимости от вида распределения узлов случайных графов по количеству связей (пуассоновское оно или нет) в критическом состоянии они становятся фракталами, компонентная статистика которых оказывается степенной с показателем θ=5/2. Это, кажется, действительно так.
Мы попробуем разобраться в этом вопросе, и покажем, что в критическом состоянии случайные графы, вне зависимости от типа их распределения степеней узлов, имеют общую глобальную размерность, равную единице (это и является условием критического состояния графа).
Глобальная размерность крупнейшего компонента в критическом состоянии равна
Кроме того, вообще глобальная размерность отдельных изолированных компонентов графа в критическом состоянии определяется выражением
где S - количество узлов в компоненте, а DS - размерность крупнейшего компонента.
Некоторые из этих результатов - например, условие критического состояния графа - уже известны (правда в несколько иной формулировке), а некоторые из результатов, которые мы будем далее обсуждать, являются новыми. Во всяком случае, автору пришлось их получать самому, когда он не смог отыскать их в литературе по критическим графам.
Фракталы Эрдеша-Реньи
В качестве содержательного примера мы будем исследовать фрактальные свойства критического графа Эрдеша-Реньи. Но вообще, в честь этих людей, назовем любые критические графы фракталами Эрдеша-Реньи.
В графе Эрдеша-Реньи распределение степеней узлов в полном графе является распределением Пуассона:
Тут А - среднее количество связей у узлов графа, и оно равно произведению N*p, где N - количество узлов в графе, а p - вероятность существования связи между любой конкретной парой узлов. Критическое состояние графа, то есть, фазовый переход, наступает в момент, когда A=1. При этом уравнение распределения степеней узлов приобретает минималистический вид (мы еще раз видим, как особая красота в математическом описании пророчит и особую красоту свойств системы - это уже можно назвать одним из принципов "когнитивной математики"):
при х = 0,1,2... Глобальная размерность графа, которая вычисляется исходя из распределения степеней узлов Ф(x) как
приводит в этих условиях к значению DG = 1.
В конце 90-х годов канадские исследователи Моллой и Рид установили ("A critical point for random graphs with given degree sequence", Molloy, Reed), что при распределении степеней узлов случайного графа Ф(x) критическое состояние наступает при выполнении условия:
Не трудно заметить, что это условие выполняется тогда и только тогда, когда глобальная размерность полного графа равна 1. Таким образом, условием критического состояния графа является DG = 1. Думаю, читатель согласится, что это гораздо более элегантная формулировка условия Моллоя-Рида.
Однако, условие DG = 1 относится к размерности всего графа, образованного множеством компонентов. Отдельные компоненты графа имеют собственные размерности, при этом, очевидно, максимальную имеет крупнейший компонент - он нас и интересует более всего:
(Еще раз: приведенное схематическое изображение компонентов графа условно. Мы знаем, что в общем случае узлы графов не находятся в каких-то точках пространства, и собирая узлы в "кучки" в соответствии с компонентами, которым они принадлежат, мы это делаем только ради иллюстрации. На этой иллюстрации изображен полноценный графический фрактал - хотя в действительности он не имеет определенного внешнего вида, поскольку не является пространственным фракталом. И при этом он, безусловно, обладает определенной структурой - ее мы и исследуем. Графы это сущности, имеющие структуру, но не имеющие внешнего вида.)
Чтобы установить глобальную размерность крупнейшего компонента как самостоятельного графа нам необходимо знать, какому распределению степеней отвечают его узлы - обозначим его как Ф'(x). Однако получить его из прямого анализа случайных графов чрезвычайно сложно - насколько известно автору, эту задачу еще никто не решил. Нам необходимо прибегнуть к какому-то эвристическому обходному пути. И как раз для критических графов такой путь находится: это соображение о том, что узел тем вероятнее становится частью крупного компонента чем больше у него связей. То есть, можно ожидать, что форма распределения Ф'(x):
где константа C определяется условием нормировки распределения. И при всей элементарности нашего соображения, опытные результаты для крупных компонентов разного типа критических графов прекрасно его подтверждают. Например, вот так выглядит предсказываемая форма Ф'(x) и результаты для опытного критического случайного графа Эрдеша-Реньи размером в 4 тыс. узлов:
Это уравнение Ф'(x) выполняется при двух условиях. Во-первых, оно справедливо только для крупных компонентов - то есть, для таких, которые имеют гораздо более крупный размер, чем остальные. В существенно до-критическом графе таких компонентов нет. С другой стороны, для того, чтобы наше простейшее соображение работало, необходимо, чтобы в крупных компонентах не было циклов. Если в компонентах есть циклы, то есть узлы, которые присоединялись к компоненту с образованием циклов. В этих условиях влияние каждой связи у некоторого узла меньше увеличивает вероятность присоединения к компоненту, и в существенно за-критическом графе количество связей у узла на нее вообще не влияет - она равна 1.
Оба эти условия выполняются как раз для критических графов: 1) в них происходит зарождение гигантского компонента, размеры которого существенно больше остальных, и 2) как установили Эрдеш и Реньи, как раз в критических графах в их структуре начинают появляться первые циклы, так что их влияние еще не значительно.
Как мы говорили, получение формы распределения Ф'(x) для случайных графов не только в критических состояниях - очень сложная задача, которая еще ждет своего исследователя, но по видимому, в общем случае оно имеет вид
где показатель α уменьшается по мере увеличения среднего количества связей у узлов графа. В критическом состоянии α = 1, а в за-критическом быстро снижается до 0, так что с развитием гигантского компонента оказывается Ф'(x)Ф(x).
Конкретно, для критического графа Эрдеша-Реньи:
И вычисляя размерность для графа с таким распределением степеней узлов, мы установим, что размерность крупнейших компонентов равна DS = 3/2.
Вообще, мы получаем следующее выражение для размерности крупнейших компонентов случайного графа, если он в целом характеризуется распределением степеней узлов Ф(x):
Условие Моллоя-Рида (или наше более эстетичное DG = 1) позволяет изобрести сколько угодно случайных критических графов. Рассмотрим пару примеров. Скажем, граф с геометрическим распределением степеней:
где x=1,2,3... Размерность его крупнейших компонентов DS = 7/4.
Еще один любопытный пример - случайный граф с линейно спадающим распределением:
где x=0,1,2,3. Размерность его крупнейших компонентов DS = 13/10. Распределение степеней узлов в них имеет симметричную форму:
А вот так выглядит крупный компонент этого критического графа - его вид интуитивно вполне соответствует оценке фрактальной размерности 1,3:
Для полноты картины можно упомянуть еще один граф, который формально удовлетворяет условию критичности. Это граф, в котором все узлы имеют ровно по 2 связи. Ясно, что компоненты в таком графе могут выглядеть только как кольца различного размера. Из нашего уравнения получается, что размерность крупных компонентов при этом DS = 1 - и это также соответствует их простой кольцевой структуре. Однако, как мы позже увидим (см. Задачу про кислородный полимер), распределение размеров компонентов в этом критическом графе отличается от степенного с показателем θ=5/2.
Кризис концепции и внезапная надежда
Исследуя некоторое время назад фрактальные свойства растущей масштабно-инвариантной сети, мы сделали неожиданное открытие: кроме графов, которые характеризуются степенным распределением узлов по количеству связей - как сама масштабно-инвариантная сеть - фрактальными свойствами обладает и растущий древовидный граф, в котором кажется нет никакой степенной статистики. Возьмем два узла, между которыми имеется связь. Затем начнем добавлять узлы в этот граф, при этом каждый новый узел равновероятно присоединяется к одному из уже имеющихся. В этих условиях развивается древовидный случайный граф, в котором распределение степеней узлов является геометрическим и отвечает уравнению
Эта находка поставила под сомнение идею, которая вдохновляла нас с самой первой нити этого Узелка: между степенными распределениями и фракталами имеется неразрывная, фундаментальная связь. Мы вдруг обнаружили фрактал, в котором не степенная, а геометрическая/экспоненциальная статистика. Иными словами, фрактал как структура обладающая самоподобием и свойством масштабной инвариантности, может характеризоваться распределениями, которые вовсе не являются самоподобными и не имеют свойства масштабной инвариантности. Что за парадокс!
Он имеет очень серьезные следствия. Например, может оказаться, что явления и структуры, которые принято противопоставлять фракталам, могут как раз ими и являться. А раз так, начинают колебаться основания той концепции, которая двигала автором еще в Прологах, и которую мы развиваем в Узлах на распутку: концепции о существовании двух дополняющих друг друга порядков. В ней физический порядок считается источником закономерностей, связанных с природой материи, а когнитивный порядок - проистекающих из природы сознания. В частности, мы полагали, что признаком действия физического порядка является наличие в явлении характерного масштаба и статистика экспоненциального рода, а признаком когнитивного порядка - масштабная инвариантность и степенная статистика. И в каком положении теперь оказывается эта стройная доктрина?
Собственно, это и привело нас к внимательному изучению критических графов. Скажем, граф Эрдеша-Реньи также в общем случае не имеет степенной статистики. Но в критическом состоянии она появляется. И именно в этот момент граф, прежде не имевший фрактальных свойств, становится фракталом.
Увы, и тут атрибутом фрактала оказывается степенная статистика, а значит, древовидный случайный граф остается "гадким лебедем", портящим всю картину... Он не имеет изолированных компонентов, да и по признаку Моллоя-Рида не является критическим графом: как мы установили, его глобальная размерность DG = 2.
И тут автору пришла в голову мысль: а что, если взглянуть на это досадное исключение не как на полный граф, а как на крупный компонент какого-то более обширного критического графа?
В самом деле, если положить, что Ф'(x)=1/2x, то, исходя из
легко установить, что ему соответствует
Если "гадкий лебедь" является компонентом критического графа, то сам этот граф должен обладать именно таким распределением степеней узлов. И что же? При таком Ф(x) случайный граф действительно оказывается критическим графом: его глобальная размерность оказывается равной единице - то есть, он удовлетворяет условию Моллоя-Рида.
Вот что получается: мы не видим в нашем "гадком лебеде" степенной статистики, но он совпадает со структурной частью критического графа, обладающего фрактальными свойствами и степенной статистикой. А значит он 1) сам является фракталом, и 2) все же обладает скрытой степенной статистикой - точно также как вообще компоненты критических графов.
И возможно - хотя это пока слишком смелая гипотеза - графы вообще являются фракталами только тогда, когда они - компоненты критических графов. И масштабно-инвариантная сеть, и прочие графы с явной степенной статистикой - тоже. А может быть - и это еще более смелая гипотеза - пространственные фракталы также обязательно являются компонентами критических пространственных систем... Но понять, что бы это значило, мы пока не в силах.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER