КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Узелки на распуткуУзел 1. Причина степенных распределений
Узел 1.22 Критические графы как фракталы (II)
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
Узел 1. Причина степенных распределений
Узел 1.2 Механизмы развитияУзел 1.3 Причины и экстремальные принципыУзел 1.4 Максимум специальных энтропийУзел 1.5 Мультипликативный закон сохраненияУзел 1.6 Когнитивные фракталыУзел 1.7 Вязкость сознания и число eУзел 1.8 Модель БернуллиУзел 1.9 Принцип микро-причинностиУзел 1.10 Случайно блуждающие ландшафтыУзел 1.11 Субстанции формы и содержанияУзел 1.12 Размерность Хаусдорфа и метрическая связностьУзел 1.13 Вне-пространственные фракталыУзел 1.14 Фракталы на графахУзел 1.15 Фрактальная размерность графов и сетейУзел 1.16 Фрактальность древовидных графовУзел 1.17 Фрактальная размерность и степенная статистикаУзел 1.18 Локальные и глобальные размерности графовУзел 1.19 Локальные и глобальные размерности графов (II)Узел 1.20 Локальные и глобальные размерности графов (III)Узел 1.21 Критические графы как фракталы
Узел 1.22 Критические графы как фракталы (II)
Узел 1.23 Возвращение к БернуллиИнтерлюдия. Две простые задачиУзел 1.24 Зоопарк критических графовУзел 1.25 Зоопарк критических графов (II)Узел 1.26 Режим стохастической самоподдержкиУзел 1.27 Растущие кластеры и размерность решетокУзел 1.28 Фрактальные и не-фрактальные решеткиУзел 1.29 Энтропия ростаУзел 1.30 Энтропия графов и пространствУзел 1.31 Игра в инверсию
Узел 2. Опус о числах и формах
.
Прологи
.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Узел 1.22 Критические графы как фракталы (II)
 
Роман Уфимцев
5 октября 2014 года, Калининград
редакция 6 марта 2015 года
В предыдущей нити мы плотно занялись очень интересным и важным примером графов, обладающих фрактальной структурой - критическими графами. Критические графы состоят из многих изолированных компонентов, распределение размеров которых имеет степенной вид. Мы познакомились с условием критичности графа: его глобальная размерность должна быть равна 1. При этом в общем случае собственная размерность отдельных компонентов графа имеет большее значение. Например, случайный граф Эрдеша-Реньи в критическом состоянии имеет общую размерность DG = 1, а размерность его крупных компонентов при этом DS = 3/2.
Мы уже говорили, что критические графы являются прекрасной моделью систем, претерпевающих фазовый переход. Механизм развития фрактальности в них очень напоминает механизмы, действующие в веществах на границах фаз (например, в переходе между жидким и твердым состоянием), в магнитных материалах при их намагничивании, в потоках газов и жидкостей при их переходе из ламинарного в турбулентное состояние, и многие другие. Во всех этих случаях физические системы приобретают фрактальные свойства, и модель критических графов кажется тут перспективным описанием сути явлений. Однако, еще более перспективным кажется их использование для описания биологических и социальных явлений, поскольку для живого мира и мира людей критические состояния и фазовые переходы - это не аномальные, не редкие состояния. Наоборот, можно полагать, что жизнь как состояние материи и само сознание возможны только как перманентные критические состояния. Модель критических графов в этом отношении чрезвычайно гибка. Она не привязана к геометрическому пространству, что позволяет ее применять для описания явлений, для которых пространственная проекция не имеет первостепенного значения - как, например, семантические или социальные сети. Но она способна моделировать и явления, разворачивающиеся в геометрическом пространстве. Если компоненты критических графов имеют конечные размерности - как в графе Эрдеша-Реньи - они вполне могут представлять и пространственные феномены. Единственный, и существенный недостаток критических графов как модели развития степенных феноменов - показатель θ=5/2, который является общим для степенных распределений размеров компонентов в почти всех типах критических графов. Может быть, нам удастся найти способ обойти это ограничение.
Итак, мы продолжаем их исследование.
Условие для компонентов критического графа
Граф может быть критическим графом лишь в том случае, если выполняется условие Моллоя-Рида, то есть, DG = 1. Можно сформулировать и условие, при котором связный граф может являться компонентом некоторого критического графа. Оно очень простое: для этого среднее количество связей у узлов графа должно быть равно 2. Это следует из условия Моллоя-Рида и из связи между уравнением распределения степеней в критическом графе Ф(x) и распределением степеней в его крупных компонентах Ф'(x):
Например, этому условию соответствуют крупные компоненты критического графа Эрдеша-Реньи, распределение степеней в которых:
Под занавес предыдущей нити мы обнаружили, что случайный древовидный граф с геометрическим распределением степеней 1/2x, который явился для нас "досадным" примером фрактального графа не имеющего степенной статистики, может рассматриваться нами как компонент критического графа. Это возможно потому, что при этом распределении степеней среднее значение равно как раз двум. Это открытие пока не позволяет нам найти в этом графе степенную статистику (а она должна быть), но внушает уверенность, что мы вскоре преодолеем эту концептуальную трудность.
Далее, у нас возникла мысль, что и другой пример фрактального графа, который мы интенсивно исследовали, масштабно-инвариантная сеть, обладая эксплицитной степенной статистикой (степенным распределением узлов по количеству связей) может быть также компонентом какого-то критического графа. И вновь эта идея оказалась верной. В масштабно-инвариантной сети, статистика которой описывается распределением
узлы имеют в среднем как раз по 2 связи. Таким образом, масштабно-инвариантная сеть может рассматриваться как крупный компонент критического графа со следующим распределением степеней:
Однако, хотя уравнения распределений степеней в масштабно-инвариантной сети и у компонента данного критического графа одинаковы, и они имеют одинаковые глобальные размерности, различается размещение хабов в их структуре:
В масштабно-инвариантной сети обычно ясно выделяется ее вершина - первый узел при ее построении. Обычно он имеет больше всего связей, и непосредственно соседствует с другими узлами, имеющими много связей.
В случайной же сети с тем же распределением степеней узлов хабы очевидно не склонны группироваться вместе. Некоторые исследователи утверждают, что последняя структура больше похожа на натуральные сети со степенным распределением узлов по числу связей.
Теперь мы готовы вернуться к вопросу, который нас и привел к погружению в тему фрактальных размерностей графов.
Степенная статистика и фрактальная размерность графов
Фракталам свойственна степенная статистика, и их главной характеристикой является их фрактальная размерность. Мы давно установили твердую связь между размерностью пространственных фракталов D и показателем их степенной статистики θ:
DS тут это собственная размерность структурных элементов, размеры которых составляют степенную структурную статистику фрактала.
Обратившись к фракталам на графах, мы попробовали обобщить этот результат и на них в форме
Тут DG - фрактальная размерность графа, а DS - собственная фрактальная размерность крупнейшего структурного элемента в системе, распределение которых является степенным с показателем θ.
Некоторое время мы искали действительно пригодное определение размерности графов и методы ее вычисления. Мы его отыскали, и теперь смысл величин DG и DS в этом уравнении видится следующим образом: DG - это глобальная размерность графа как мы ее сейчас определяем. DS - по-прежнему, собственная размерность крупнейшего структурного элемента графа.
Первый подробно исследованный нами пример фрактального графа - масштабно-инвариантная сеть. Статистика, которая нас интересует в масштабно-инвариантной сети - распределение узлов по количеству связей. В этом конкретном случае DS - это локальная размерность самого богатого узла сети, обычно ее вершина. Нам известна и глобальная размерность масштабно-инвариантной сети, и локальная размерность ее вершины, так что мы можем проверить нашу гипотезу:
Поскольку статистика узлов по числу связей в масштабно-инвариантной сети является степенной с θ=3 наша гипотеза в пределе больших N подтверждается (именно в пределе большой сети показатель приближается к значению 3).
Однако, уже когда мы занимались масштабно-инвариантной сетью, в наше поле зрения попали и критические графы, которые также 1) являются фракталами, и 2) демонстрируют степенную статистику (в размерах изолированных компонентов). Теперь мы твердо установили, что, например, для критического графа Эрдеша-Реньи, его общая глобальная размерность DG=1, а собственная размерность крупнейшего компонента DS=3/2. А еще мы знаем, что распределение компонентов по размеру является для этого графа степенным с показателем θ=5/2. И мы вдруг видим, что для критических графов выполняется в некотором смысле противоположное соотношение:
Так мы приходим к еще одной коррекции нашего "основополагающего" соотношения между размерностью и степенной статистикой фракталов: в числителе выражения следует помещать большую из величин DS и DG, а меньшую - в знаменатель.
Критическое дополнение от 10 января 2015 года
Увы, "трюк" с переменой мест числителя и знаменателя в "основополагающем соотношении" работает только для критического графа Эрдеша-Реньи (и для некоторых других), но не в общем случае. Будучи завороженный его простотой, автор выдал желаемое за действительное: поскольку глобальная размерность критического графа равна единице, а размерности крупнейших компонентов зависят от его типа, в соответствии с этим ложным "основополагающим соотношением" для разных типов критических графов должен различаться показатель степени θ в распределении размеров их компонентов. И этот вывод оказался настолько заманчивым, что используя числовые симуляции автор убедил себя, что так оно и есть.
Но это не так. В практически всех типах критических графов показатель θ равен значению 5/2. Это еще один урок: чем более серьезный и претендующий на универсальность вывод мы делаем, тем тщательнее его следует проверять. И хотя эстетика гипотезы является очень ценным ориентиром, одной лишь красоты гипотезы недостаточно, чтобы быть в ней вполне уверенным.
Далее, чтобы не переписывать тексты полностью - а в остальных отношениях они сохраняют свою содержательную ценность - автор будет делать замечания, где сделанные выводы не верны.
Что касается "основополагающего соотношения" - то его поиски нам придется продолжить.
Из этой коррекции следует, что экстремальным случаем является ситуация, когда DS = DG. Показатель степени θ в этом случае принимает минимально возможное значение 2. Как мы знаем, именно этот показатель соответствует закону Зипфа, а фракталы, которые обладают такой статистикой мы особо именуем когнитивными фракталами.
Показатель θ=2 следует считать минимально возможным показателем степенной структурной статистики в любых стохастических фракталах - и в пространственных и во фракталах на графах. Он соответствует случаю, когда размерность фрактала равна размерности его структурных элементов. (В идеальных математических фракталах как ковер Серпинского или кривая Коха значение θ может быть еще меньшим.)
Снова о фрактальном графе без степенной статистики
В предыдущей нити автор описал "концептуальную драму", которая разворачивается в результате открытия нами графических фракталов, не имеющих степенной статистики. Первым обнаруженным нами графом, имеющим очевидные фрактальные свойства, но не обладающим степенной статистикой был случайный древовидный граф с геометрическим распределением степеней узлов Ф(x)=1/2x:
Еще раз убедимся, что он имеет фрактальную структуру, а заодно познакомимся с еще одним свойством фрактальных графов. Мы уже формулировали условие фрактальности графа, из которого следует идеализированное уравнение роста кластера в графах-фракталах (на практике оно выполняется точно только при DG=2, но тут у нас именно этот случай):
Если с ростом расстояния R от некоторого узла графа количество доступных узлов (размер растущего кластера) S(R) нарастает в соответствии с этим уравнением, то он является фракталом с размерностью DG. С - константа, зависящая от локальной структуры графа.
Из него следует еще одно свойство структуры фрактальных графов: если обозначить как z(R) количество соседей у узлов графа, находящихся от них ровно на расстоянии R, то выполняется:
Случайный древовидный граф с Ф(x)=1/2x имеет фрактальную размерность DG=2, и при этом значении DG выражение z(R) приобретает особенно простой вид:
Константа C равна среднему количеству непосредственных соседей у узлов графа, то есть z(1). При распределении степеней узлов Ф(x)=1/2x оно равно 2. Окончательно получаем:
А вот опытная (усредненная по узлам) зависимость z(R) для изображенного выше графа, состоящего всего из 96 узлов, и ее сравнение с теоретической зависимостью:
Как видим, вплоть до R=5 совпадение опытных результатов с теоретической кривой прекрасное. При больших расстояниях начинает сказываться ограниченность размера графа, но строя подобные графы большего размера мы могли бы как угодно продлевать линейный участок. Безусловно, этот граф является фракталом, хотя с ним и не связана какая-то очевидная степенная структурная статистика.
Мы обнаружили также, что на этот граф можно смотреть ка на крупный компонент другого случайного графа, распределение степеней узлов в котором отвечает уравнению:
Случайный граф с таким распределением узлов является критическим: его структура представляет собой совокупность изолированных компонентов, которые отвечают степенному распределению по размерам:
Граф с Ф(x)=1/2x является крупным компонентом этого графа, и выступает структурным элементом последнего. Поскольку размерность критических графов равна 1, а размерность крупнейшего структурного элемента равна в данном случае 2, из полученного нами выше уравнения
мы установим, что показатель θ в распределении размеров компонентов критического графа должен быть равен 3. И это, кажется, подтверждается опытными результатами:
Критическое дополнение от 10 января 2015 года
Легко обмануться, когда хочется - в результате числовых симуляций автор разглядел распределение с показателем θ=3. В реальности размеры крупных компонентов распределены с показателем θ=5/2 (о малых компонентах речь особая - кажется, именно они укладываются на показатель θ=3):
В том, что это именно так, мы позже убедимся аналитически. Это ставит под удар важное для нас уравнение
но автор подозревает, что дело не в его принципиальной ложности, а в том, что мы не вполне верно понимаем составляющие его величины. В этом еще предстоит разобраться.
Критический граф в целом является фракталом и имеет явную степенную статистику. Но и его крупные компоненты сами по себе также являются фракталами, и их степенную статистику мы не видим - вот концептуальная проблема, с которой мы столкнулись. Решить ее можно присмотревшись к генезису крупных компонентов критического графа.
Преодоление концептуальной драмы
Возьмем крупнейший компонент критического графа и проследим историю его развития. От финального состояния, когда крупнейший компонент представляет собой связный граф (III), мы двигаемся к "началу времен" вплоть до момента начала его развития, когда он представляет собой простое множество изолированных узлов (I). Эти выделенные узлы со временем объединятся в крупнейший компонент критического графа. По мере насыщения системы связями, выделенные узлы начинают сливаться в микро-компоненты, затем в компоненты побольше, и так вплоть до финала, когда мы имеем связный граф, готовый крупнейший компонент:
(Мы отслеживаем эволюцию графа при постепенном увеличении количества связей в нем. В месте с этим растет среднее число связей у узлов графа A.) Легко понять, что судьба выделенных узлов аналогична судьбе узлов всего графа, и подобно тому, как при насыщении связями полного графа наступает критическая фаза (III), то же самое происходит и с выделенными узлами. В какой-то момент они образуют критическое множество изолированных кусков, обладающее степенным распределением по размерам (II).
Однако - и это интересное обстоятельство - критическая фаза для выделенных узлов наступает чуть раньше, чем для полного графа: в критической фазе полного графа крупнейший компонент уже слит воедино, а в критической фазе для выделенных узлов он еще рассыпан на изолированные куски. Находясь в собственном критическом состоянии под-граф, образованный выделенными узлами, обладает теми же свойствами, что и критические графы вообще: его компоненты имеют степенное распределение по размерам. Эти компоненты играют роль структурных элементов, из которых собирается критический компонент полного графа.
Оценить показатель степени θ этого распределения можно зная размерность целого: это у нас крупнейший компонет полного графа в его критическом состоянии (III), и размерность его крупнейшей составной части: это крупнейший компонент в состоянии (II). Предполагая, что состояния (II) и (III) близки друг другу - а в критической фазе все изменения в структуре графа происходят быстро и лавинообразно, следует думать, что эти размерности одинаковы. Из этого в соответствии с уравнением
следует, что показатель θ должен быть равен 2 при любом распределении степеней узлов в критическом графе и в его крупных компонентах.
Это неожиданный результат, и автор уделил внимание его проверке на числовых симуляциях различных случайных графов. Тут становятся заметна ограниченность вычислительных возможностей обычного компьютера: чтобы получить уверенную статистику требуется анализировать большие графы, а это вычислительно весьма затратно. Тем не менее, кажется наши выводы подтверждаются. Вот ранговое распределение размеров составных частей крупнейшего критического компонента для классического графа Эрдеша-Реньи общим размером в 5 тыс. узлов:
А это - структурные части графа Ф'(x)=1/2x (он является компонентом критического графа Ф(x)=1/(ln(2) x 2x)):
Заметим, что это ранговые распределения, и в обоих случаях показатель степени близок -1. Это означает, что в частотной форме распределения мы получим θ=2.
Итак, мы преодолели концептуальную проблему: видимое отсутствие степенной статистики в некоторых графах, имеющих фрактальную структуру. Оказалось, что она скрыта в распределении размера их составных частей - это становится ясным при анализе их генезиса:
При этом показатель равен 2 - то есть, выполняется закон Зипфа. И это, по видимому, справедливо для структурных частей крупных компонентов всех случайных критических графов, вне зависимости от их Ф(x). Это очень любопытно, поскольку открывает новый взгляд на причины распространенности закона Зипфа. Однако, важнейшим результатом, которого мы достигли, интенсивно исследуя фрактальные свойства графов - "основополагающее" уравнение, которое связывает размерность фракталов любого рода - и геометрических и графических - с их степенной статистикой:
И мы только что получили с его помощью нетривиальный результат.
Критическое дополнение от 10 января 2015 года
Так мы с помощью ложного или, как минимум, не верно понятого уравнения обнаружили некоторую закономерность. Может, она иллюзорна, но по меньшей мере ее не следует сбрасывать со счетов - как и "основополагающее уравнение". Кажется, в нем все-таки что-то есть...
Теперь мы можем вернуться к модели Бернулли, и понять ее смысл в контексте фрактальных графов.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER