КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Узелки на распуткуУзел 1. Причина степенных распределений
Узел 1.23 Возвращение к Бернулли
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
Узел 1. Причина степенных распределений
Узел 1.2 Механизмы развитияУзел 1.3 Причины и экстремальные принципыУзел 1.4 Максимум специальных энтропийУзел 1.5 Мультипликативный закон сохраненияУзел 1.6 Когнитивные фракталыУзел 1.7 Вязкость сознания и число eУзел 1.8 Модель БернуллиУзел 1.9 Принцип микро-причинностиУзел 1.10 Случайно блуждающие ландшафтыУзел 1.11 Субстанции формы и содержанияУзел 1.12 Размерность Хаусдорфа и метрическая связностьУзел 1.13 Вне-пространственные фракталыУзел 1.14 Фракталы на графахУзел 1.15 Фрактальная размерность графов и сетейУзел 1.16 Фрактальность древовидных графовУзел 1.17 Фрактальная размерность и степенная статистикаУзел 1.18 Локальные и глобальные размерности графовУзел 1.19 Локальные и глобальные размерности графов (II)Узел 1.20 Локальные и глобальные размерности графов (III)Узел 1.21 Критические графы как фракталыУзел 1.22 Критические графы как фракталы (II)
Узел 1.23 Возвращение к Бернулли
Интерлюдия. Две простые задачиУзел 1.24 Зоопарк критических графовУзел 1.25 Зоопарк критических графов (II)Узел 1.26 Режим стохастической самоподдержкиУзел 1.27 Растущие кластеры и размерность решетокУзел 1.28 Фрактальные и не-фрактальные решеткиУзел 1.29 Энтропия ростаУзел 1.30 Энтропия графов и пространствУзел 1.31 Игра в инверсию
Узел 2. Опус о числах и формах
.
Прологи
.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Узел 1.23 Возвращение к Бернулли
 
Роман Уфимцев
12 октября 2014 года, Калининград
В предыдущей нити мы в основном завершили экскурс в тему фракталов на графах и сетях, достаточно разобравшись в ней. Достаточно с точки зрения нашей основной задачи: мы хотим вникнуть в фундаментальные причины развития степенных распределений и в деталях разобраться, как эти же причины приводят к развитию фракталов. Двигаясь к решению этой задачи, мы сначала нашли модель Бернулли - обобщенный механизм развития множества объектов, обладающего степенной статистикой. Затем мы исследовали, как эта модель описывает развитие традиционных пространственных фракталов, и увидели "тонкую механику" их развития. Но фракталы могут быть не только пространственными, и мы принялись за исследование гораздо менее изученных фракталов на графах и сетях. Тут нам пришлось внести собственное ясное и достаточно простое определение фрактальной размерности, поскольку известные альтернативы нас не удовлетворили. И с его помощью мы обнаружили "тонкую механику" развития уже графических и сетевых фракталов - хотя пока мы о ней не говорили обстоятельно. Этим мы и займемся в очередной нити, а заодно, на новом уровне понимания, немного приведем в порядок наши находки.
Модель Бернулли и распределение Юла
Итак, модель Бернулли. Она привлекательна своей предельной простотой и универсальностью. У нас есть множество макро-объектов, которые состоят из того или иного количества одинаковых микро-объектов. Макро-объекты могут размножаться: от каждого из них может отпочковаться новый макро-объект, содержащий некоторое минимальное стартовое количество микро-объектов. В свою очередь, и микро-объекты могут размножаться почкованием - при этом отпочковавшийся микро-объект остается в составе того же макро-объекта. Если вероятность того, что за некоторый период времени макро-объект породит еще один равна pmacro, а вероятность того, что за тот же период микро-объект даст отпрыска равна pmicro, то с течением времени развивается множество, в котором распределение макро-объектов по количеству содержащихся в них микро-объектов близко к степенному с показателем θ, определяемому уравнением
Если полагать, что каждый новорожденный макро-объект содержит только по одному микро-объекту, модель Бернулли вполне аналогична подробно исследованному нами в свое время дельта-мультипликативному процессу δM(k/M). Тогда же мы установили, что точное выражение результирующего распределения - так называемое распределение Юла:
где x (массы макро-объектов) - дискретная величина, которая может принимать значения 1,2,3... То есть, на самом деле модель Бернулли порождает не степенное распределение, а распределение Юла.
Распределение Юла является дискретной формой степенного распределения, и находится с последним в таких же отношениях, что и дискретное геометрическое с непрерывным экспоненциальным. Однако - и это важное отличие - распределение Юла имеет математически иную форму, нежели непрерывное степенное. Это различие существенно в области малых значений x, при больших же x кривая распределения Юла приближается к степенной функции:
Однако, не вполне верно говорить, что при больших x распределение Юла приближается к степенному, которое имеет уравнение
В действительности, даже в области хвоста они различаются на постоянный множитель Г(θ), хотя и имеют одинаковую степенную форму. Вот, например, непрерывное степенное распределение с θ=3 (красная кривая) и соответствующее ему распределение Юла (черная кривая):
Значения Ф(x) в распределении Юла в области хвоста в два раза больше соответствующих значений Ф(x) непрерывного степенного распределения, потому что Г(3) = 2. Интересно, что при θ=2 хвосты обоих распределений совпадают, поскольку Г(2) = 1:
Однако, если в области больших значений x еще иногда можно забывать о том, что мы имеем дело с распределением Юла, а не степенным, то когда мы начинаем говорить о "тонкой механике" развития фракталов и степенных распределений, нам необходимо опираться на точную форму распределения Юла, поскольку область малых значений x испытывает особенное влияние этой "механики" - мы далее увидим пример.
Мы полагаем, что модель Бернулли является универсальным прототипом происхождения около-степенной статистики - в зависимости от отношения pmacro/pmicro мы можем получить множество объектов с распределением Юла, близким степенному с любым показателем θ от 1 до бесконечности. Но конкретные воплощения абстрактного множества, которое развивается в модели Бернулли - это фракталы, а значит, мы должны считать: для фракталов свойственна не степенная статистика. В действительности, стохастические фракталы характеризуются статистикой Юла. Или, точнее, степенная статистика фракталов при любом их дискретном описании предстает перед нами как распределение Юла, и в некоторых случаях это имеет принципиальное значение. Например, фрактальные графы являются дискретными структурами. Дискретными же являются и любые прикладные представления фракталов.
(Мы тут оговариваемся "стохастические", потому что идеальные фракталы, наподобие ковра Серпинского, имеют статистику, которая не соответствует распределению Юла. Но, строго говоря, она не соответствует и степенному распределению. Дело в том, что размеры структурных элементов в идеальных фракталах могут принимать только некоторые значения. Распределение является дискретным, но с неоднородной дискретностью - мы уже об этом говорили - см. п. "Один упущенный момент в вопросе степенной статистики". Его следует отличать от степенного, и лучше особо именовать фрактальным распределением. Фрактальное распределение - это специфический дискретный вариант степенного. С практической точки зрения он не очень интересен, потому что идеальные фракталы не типичны для мира натуральных феноменов.)
Как мы видели, фракталы разделяются на два существенно различных класса - геометрические или пространственные фракталы, и фракталы на графах и сетях. В каждом случае абстрактные принципы модели Бернулли получают более конкретный и своеобразный смысл. Обобщим идеи, которые мы уже обсуждали в этой связи относительно фракталов в пространстве, и посмотрим, как соотносится модель Бернулли с нашими последними находками в области фрактальных графов и сетей.
К фракталам в пространстве
Применительно к пространственным фракталам мы уже пробовали "нащупать" конкретный смысл модели Бернулли, рассуждая о "субстанциях формы и содержания". Эти субстанции - непрерывный аналог макро- и микро-объектов исходной модели Бернулли, которые дискретны. Подобно тому, как отношение "плодовитостей" макро- и мкро-объектов определяет показатель степенной статистики, отношение плодовитостей "субстанции формы" и "субстанции содержания" определяет степенную статистику пространственных фракталов - так, несколько метафизически, мы сначала смотрели на дело. Затем мы нашли локальное определение размерности фракталов в пространстве, которое придало этой метафизике наглядное значение:
Разделим метрическое пространство размерности DM на одинаковые ячейки и при этом убудем считать, что непосредственными соседями каждой является AM других ячеек. Пространственный фрактал размерности D занимает только некоторые из этих ячеек. Если каждая не-пустая ячейка пространства имеет А не-пустых соседей, то справедливо данное равенство.
С точки зрения модели Бернулли локальные свойства фрактала выглядят так: у нас есть точка фрактала, совмещенная с точкой пространства. У совмещенных точек есть два сорта соседей: другие точки пространства и другие точки фрактала (также совмещающиеся с точками пространства). Мы приходим к модели Бернулли, если считать, что каждая точка "порождает" своих непосредственных соседей примерно также, как микро- и макро-объекты порождают другие объекты. Каждая точка пространства порождает AM, а каждая точка фрактала - А своих соседей:
При этом, если размерность структурных частей фрактала равна размерности метрического пространства, в котором расположен фрактал, распределение частей фрактала по размеру является степенной с показателем, подчиняющимся равенству
(Например, для ковра Серпинского структурными элементами, имеющими размерность размерность пространства, в котором располагается фрактал, являются его дыры. Мы говорили, о некотором парадоксе, связанном с этим: кажется, как раз дыры и не являются частями фрактала, а скорее, выемками из него. Но этот парадокс решается, если определять структуру фрактала инклюзивно, а не эксклюзивно, см. параграф Инклюзивная структура фракталов.)
Мы видим прямое сходство этого выражения с уравнением модели Бернулли:
Роль микро-объектов (или "субстанции содержания") выступают ячейки пространства, а роль макро-объектов как агрегатов, образованных микро-объектами, играют точки фрактала ("субстанция формы"). Эта сопоставление приводит к образу, который, кажется, выразительно и по сути точно изображает морфогенез пространственного фрактала. Вообразим пузырь, состоящий из ячеек пустого пространства. Эти ячейки плодятся как микро-объекты в модели Бернулли. Если бы этот пузырь был предоставлен сам себе, он бы геометрически "пух" как кусок теста:
В терминах модели Бернулли это ситуация, в которой макро-объект вообще не плодится, оставаясь единственным. Но содержащиеся в нем микро-объекты плодятся, и он геометрически растет.
Положим теперь, что пузырь не предоставлен сам себе, и кто-то внес в него "дифференцирующую инъекцию". Это инъекция активных агентов, которые дробят пространство пузыря на изолированные части. И при этом эти агенты также плодятся со временем, так что с ростом всего пузыря, его внутреннее пространство разбивается на все большее количество изолированных областей:
Размножаясь, агенты своими вереницами словно прокладывают сеть стенок в теле пузыря, и эта сеть собственно и является пространственным фракталом, а изолированные области пузыря - его структурными частями.
Расшифровывая этот образ, агенты - это размножающиеся точки фрактала, и именно они разбивают пространство на изолированные области. Они действительно в особом смысле составляют "субстанцию формы", поскольку выполняют дифференцирующую роль, структурируя пространство, придавая ему форму. Если агенты дифференциации плодятся быстро (субстанция формы плодовита), они дробят пространство пузыря на большее количество частей, и мы видим степенную статистику с более высокими показателями θ, а сами агенты образуют фрактал с более высокой размерностью D. Напротив, если агенты малопроизводительны, мы получаем статистику с более низкими показателями θ и фрактал с более низкой размерностью.
Однако, не всегда фрактал естественно представляется как сегментирующееся пространство. Хороший пример - фрактал, который образует график случайного блуждания:
Исходя из локального определения фрактальной размерности и на основе элементарных соображений (см. параграф Размерность Хаусдорфа графика случайного блуждания) можно установить, что для него D=3/2.
Этот фрактал лежит на двухмерной плоскости, но он не изолирует ее отдельные области (не считая того, что график в целом делит плоскость на две части). Более того, вообще не вполне ясно, какая степенная структурная статистика связана с этим фракталом. Чтобы разобраться в этом вопросе, нам нужно обратиться в теме, которую мы прежде только вскользь упоминали - о фрактальной размерности по направлениям.
Фрактальная размерность по направлениям
График случайного блуждания - хороший пример фрактала, размерность которого различается по разным направлениям. Это звучит странно с традиционной точки зрения, поскольку фрактальная размерность определяется как общая характеристика фрактала. Но мы опираемся на локальное определение фрактальной размерности, и оно позволяет увидеть, как общая размерность пространственного фрактала складывается из размерностей по отдельным пространственным направлениям - прибегая к нашему образу, активность "дифференцирующих агентов" различна по разным направлениям.
Припомним, как мы установили фрактальную размерность графика случайного блуждания. Мы представили его в виде "свечной диаграммы" и рассмотрели шесть равновероятных положений свеч относительно некоторой точки:
Число над каждым вариантом - количество непосредственных соседей у точки фрактала, при этом максимально возможное равно 4 (AM=4). Усредняя по всем вариантам, мы получим, что в среднем для точек фрактала количество непосредственных соседей A=3. Отсюда, исходя из
мы установим, что для этого фрактала D=3/2.
Теперь обратим внимание, выделенная точка при всех вариантах имеет двух соседей по вертикали, и меняется только количество соседей по горизонтали - справа и слева. Это наводит на мысль рассматривать отдельно размерность по вертикали DV и размерность по горизонтали DH, при этом можно записать
где AV и AH - среднее количество соседей точки по вертикали и горизонтали, AMV и AMH - количество соседей у ячеек пространства по вертикали и горизонтали, эти величины равны 2, DMV и DMH - метрическая размерность пространства по вертикали и горизонтали, эти величины равны 1.
Простой подсчет по вариантам позволяет установить, что AV=2, а AH = 1. Отсюда мы получаем, что размерность фрактала по вертикали DV=1, а размерность по горизонтали DH = 1/2. Общая размерность фрактала определяется как сумма размерностей по ортогональным направлениям, то есть, D = DV+DH=3/2.
"Срезав" график случайного блуждания по горизонтали мы должны увидеть фрактал с размерностью DV=1/2, и это действительно так: мы знаем, что точки пересечения графиком случайного блуждания некоторой горизонтальной линии является фракталом с размерностью D=1/2. C ним связана ясная степенная статистика: длины отрезков между точками пересечения распределены степенным образом с показателем θ=3/2:
И эту степенную статистику можно считать также принадлежащей графику случайного блуждания - его горизонтальному направлению, то есть, выполняется:
По аналогии, следует думать, что выполняется и аналогичное равенство по вертикальному направлению:
В соответствии с ним в этом фрактале по вертикальному направлению должна присутствовать степенная статистика с θV=2, то есть, статистика Зипфа. И она действительно присутствует, хотя и несколько виртуально, как вообще во фракталах с целочисленной размерностью. В нашей свечной модели графика случайного блуждания любой его вертикальный срез представляет собой отрезок некоторой длины, являющийся сплошным одномерным массивом точек фрактала:
Одномерные отрезки являются фракталами с целочисленной размерностью D=1 (также, например, как двухмерный квадрат является фракталом с целочисленной размерностью D=2). Мы уже обсуждали фракталы с целочисленной размерностью и видели, каким образом их структура скрывает степенную статистику с показателем θ=2 (см. параграф Фракталы каскадного дробления).
Теперь, после того, как мы выяснили показатели степенной статистики по отдельным направлениям θН и θV, мы можем определить и показатель совокупной степенной статистики θ, он определяется уравнением
Это равенство выглядит гораздо проще, если использовать не показатели частотных распределений, а ранговых:
Смысл и основание этого равенства в таком виде оказывается гораздо более понятным: если по одному направлению размеры структурных элементов фрактала подчиняются степенному ранговому распределению с β1, то размер элемента с рангом i пропорционален величине 1/iβ1. Точно также, размер этого элемента по другому, ортогональному направлению, пропорционален 1/iβ2 (тут мы обоснованно полагаем, что положение структурных элементов в обоих ранговых последовательностях одинаково). Тогда размер элемента по обоим направлениям равен 1/iβ1*1/iβ2=1/iβ12. То есть, β=β12.
В соответствии с полученным уравнением, совокупный показатель θ для графика случайного блуждания равен 4/3. Именно такой показатель имеет распределение площадей пазух (или "озер"), которые образуются при горизонтальном сечении графика случайного блуждания:
Так мы нашли структурную степенную статистику, свойственную фракталу в целом, по обоим направлениям. Заметим, что применяя уравнение
прямолинейно, не учитывая различия размерностей графика случайного блуждания по направлениям, мы бы получили не верный результат θ=7/4.
Вообще говоря, анизотропность фрактала (то есть, неоднородность его фрактальных свойств по различным направлениям) существенно все усложняет и запутывает. Автор не ставил себе целью разобраться в этом детально, мы хотели только убедиться, что модель Бернулли и локальное определение фрактальной размерности позволяет предсказывать показатели степенной статистики даже для анизотропных фракталов. Может быть, с графиком случайного блуждания как с фракталом связна и какая-то структурная статистика с показателем θ=7/4.
Тут остается еще много неясных вопросов, которые в силу своей специфичности выпадают из круга тем этого Узелка. Может быть, мы к ним еще вернемся, если появится достаточный повод.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER