КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Узелки на распуткуУзел 1. Причина степенных распределений
Узел 1.24 Зоопарк критических графов
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
Узел 1. Причина степенных распределений
Узел 1.2 Механизмы развитияУзел 1.3 Причины и экстремальные принципыУзел 1.4 Максимум специальных энтропийУзел 1.5 Мультипликативный закон сохраненияУзел 1.6 Когнитивные фракталыУзел 1.7 Вязкость сознания и число eУзел 1.8 Модель БернуллиУзел 1.9 Принцип микро-причинностиУзел 1.10 Случайно блуждающие ландшафтыУзел 1.11 Субстанции формы и содержанияУзел 1.12 Размерность Хаусдорфа и метрическая связностьУзел 1.13 Вне-пространственные фракталыУзел 1.14 Фракталы на графахУзел 1.15 Фрактальная размерность графов и сетейУзел 1.16 Фрактальность древовидных графовУзел 1.17 Фрактальная размерность и степенная статистикаУзел 1.18 Локальные и глобальные размерности графовУзел 1.19 Локальные и глобальные размерности графов (II)Узел 1.20 Локальные и глобальные размерности графов (III)Узел 1.21 Критические графы как фракталыУзел 1.22 Критические графы как фракталы (II)Узел 1.23 Возвращение к БернуллиИнтерлюдия. Две простые задачи
Узел 1.24 Зоопарк критических графов
Узел 1.25 Зоопарк критических графов (II)Узел 1.26 Режим стохастической самоподдержкиУзел 1.27 Растущие кластеры и размерность решетокУзел 1.28 Фрактальные и не-фрактальные решеткиУзел 1.29 Энтропия ростаУзел 1.30 Энтропия графов и пространствУзел 1.31 Игра в инверсию
Узел 2. Опус о числах и формах
.
Прологи
.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Узел 1.24 Зоопарк критических графов
 
Роман Уфимцев
8 января 2015 года, Калининград
В предыдущей нити, после долгих изысканий на частные темы, мы вернулись к модели Бернулли, которую до сих пор рассматривали как универсальный абстрактный прототип, порождающий степенную статистику. Мы разобрались с тем, как принципы этой модели трактуются применительно к устройству пространственных фракталов. Мы наблюдали образ, в котором пухнущее как тесто пустое пространство подвергается формообразующему действию "агентов дифференциации" - они своим бесконечно тонким плетением и образуют фракталы.
В этой нити автор намеревался исследовать приложение модели Бернулли к фракталам на графах, которые, как мы знаем, существенно отличаются от традиционных пространственных фракталов. Если последние можно понимать как результат взаимодействия "субстанции содержания" (пространства) и "субстанции формы" (агентов дифференциации), то фракталы на графах, не имеющие отношения к пространству, должны трактоваться с точки зрения модели Бернулли как-то иначе. Однако, любые "универсальные" закономерности или прототипы рано или поздно оказываются вовсе не универсальными. И модель Бернулли, при всех ее достоинствах, оказалась не всемогущей. Впрочем, обо всем по порядку.
Бернулли мне друг, но истина дороже
Мы подробно исследовали два класса фрактальных графов: графы со степенным распределением узлов по количеству связей (конкретно, масштабно-инвариантную сеть классической модели Барабаши-Альберта) и случайные критические графы, в которых степенным является распределение размеров компонентов. Это существенно разные типы фрактальных графов, и как мы сейчас увидим, их вообще следует рассматривать как совершенно разнородные типы фракталов.
С точки зрения модели Бернулли, генезис масштабно-инвариантной сети вполне прозрачен: он описывается одной из вариаций этой модели (см. IV: Источник городов - люди, источник людей - тоже люди). Напротив, развитие критических графов как систем со степенной статистикой с трудом сопоставляется с развитием степенных множеств в модели Бернулли. Однако, не эта трудность заставляет усомниться в ее применимости к критическим графам. Причина гораздо существеннее. В предыдущей нити автор позволил себе сделать серьезное заявление о том, что вообще для дискретных фракталов (как фрактальные графы) и для дискретного представления непрерывных пространственных фракталов свойственно не простое степенное распределение, а распределение Юла:
Уверенности в том, что это именно так, автору придала убежденность, что любые типы фракталов можно представить в рамках модели Бернулли, а эта модель генерирует именно распределение Юла. Автор был так уверен на этот счет, что ни разу не удосужился проверить, что и распределение размеров изолированных компонентов в критических графах тоже является распределением Юла. И лишь всерьез приступив к трактовке критических графов с точки зрения модели Бернулли, он вдруг обнаружил, что это совсем не так.
Возьмем классический критический граф Эрдеша-Реньи размером в 5000 узлов, и построим распределение размеров его изолированных компонентов:
Тут черная кривая - распределение Юла с показателем θ=5/2 (мы знаем, что именно таким показателем степени обладает структурная статистика критического графа Эрдеша-Реньи), а красная кривая - чистое степенное распределение в его дискретном виде:
где ζ(θ) - дзета-функция Римана от θ.
В уравнении мы видим "неудобную" дзета-функцию, которая возникает из-за необходимости соблюдения условия нормировки распределения:
Ее "неудобство" связано с тем, что закрытое значение этой функции известно только для крайне небольшого числа аргументов, например:
Но для θ=5/2 оно неизвестно, появление в уравнении распределения дзета-функции с таким "трудным" аргументом как-то контрастирует с простотой системы. Образно говоря, дзета-функция тут похожа на кактус, растущий посреди морковной грядки. И действительно, более внимательный анализ показывает, что размеры компонентов в критическом графе Эрдеша-Реньи имеют распределение, только близкое к чистому степенному - мы вскоре в этом убедимся.
Сомнений в том, какому распределению лучше отвечают опытные данные, не возникает. И это означает, что критические графы нельзя рассматривать в рамках модели Бернулли, потому что она не способна порождать дискретную форму простого степенного распределения.
Следует признать, что одна из идей, которая двигала автором на протяжении нитей этого узелка - о том, что модель Бернулли может служить универсальным прототипом для понимания происхождения степенных распределений - оказалось ложной. Она действительно позволяет увидеть механику развития фракталов в пространстве и таких фрактальных графов как масштабно-инвариантная сеть. Но критические графы как системы со степенной статистикой ей "не по зубам". (Возможно, смутное предчувствие этого обстоятельства и заставило автора дать критическим графам особое название - фракталы Эрдеша-Реньи.)
Вместе с этим оказывается не верной и другая идея, которой также долгое время придерживался автор - о том, что "правильным" дискретным аналогом степенного распределения является распределение Юла. Все оказывается не так просто: в критических графах мы видим распределение, близкое к чистому степенному в его дискретном виде.
Итак, в лице критических графов мы имеем системы, которые 1) являются фракталами, обладающими степенной структурной статистикой, но при этом 2) не представимые в терминах модели Бернулли и не демонстрирующие связанное с нею распределение Юла. Иными словами, мы обнаружили особый класс фракталов, требующих особого подхода. И нам придется его найти, имея в виду достоинства критических графов как модели для многих степенных феноменов, связанных с фазовыми переходами - хотя эта модель в исходном виде порождает только распределения с показателем θ=5/2. Мы вновь возвращаемся к критическим графам. В этом есть какая-то странность - ведь все, что мы о них до сих пор узнали (немало интересного) мы узнали, развивая идеи, навеянные именно моделью Бернулли. И вот теперь яблоко упало слишком далеко от яблони. Впрочем, опыт говорит, что исключения из правил, казавшихся надежными и универсальными, обозначают тропу к закономерностям еще более глубоким.
Эмерджентные фракталы
Яркое отличие критических графов как фракталов заключается в механизмах их развития. Развитие обычных фракталов можно рассматривать как повторяющееся на различных масштабных уровнях действие одного и того же генерирующего преобразования, например для кривой Коха
генерирующее преобразование заменяет прямые отрезки на кривую, образованную четырьмя сегментами:
В процессе построения фрактала это преобразование применяется ко все более мелким масштабным уровням фигуры, и в пределе мы получаем идеальный фрактал, кривую Коха. Совершенно аналогично может рассматриваться и развитие стохастических фракталов, например графика случайного блуждания:
Отличие только в том, что генерирующее преобразование имеет стохастический характер, превращая сегмент кривой в случайную ломаную линию:
Применение такого стохастического преобразования ко все более малым масштабам фигуры приводит к фрактальной кривой, соответствующей графику случайного блуждания.
В этих примерах, по мере применения генерирующего преобразования ко все более малым масштабным уровням фигуры, мы видим поэтапное утончение структуры фрактала - от более общих, крупных его черт к более тонким деталям. Фрактал возникает также, как из сперва бесформенного куска мрамора возникает статуя - сначала появляются ее общие контуры, а затем они утончаются, проявляются детали - и так до тех пор, пока статуя не предстанет перед нами в окончательном виде.
Но как-то совершенно иначе возникает фрактал критического графа: вот мы имеем "бульон" мелких компонентов, не имеющий фрактальных свойств, и даже небольшое добавление связей в этот бульон вдруг приводит к появлению фрактала: внезапно мелкие компоненты начинают лавинообразно склеиваться, возникает степенная статистика, и перед нами является фрактал. Обращаясь к "скульптурному" сравнению, дело выглядит так, будто скульптор, не задумываясь, собирает и случайно слепляет разбросанные по мастерской бесформенные куски глины, и неожиданно получается законченная во всех деталях статуя.
Появление фрактала тут оказывается эмерджентным феноменом: неожиданным качественным изменением структуры системы в результате небольшого количественного изменения некоторого параметра - в критическом графе это среднее количество связей у его узлов. Естественно, что модель Бернулли, в которой фрактальная система развивается поэтапно, в результате постоянного действия одного и того же генерирующего преобразования (в качестве него выступают размножения макро- и микро-объектов) годится для описания постепенного способа создания фрактальных "скульптур", но она не подходит для понимания эмерджентных фракталов.
Конечно, хорошо бы отыскать простую и достаточно универсальную модель появления таких фракталов, которая была бы проще для анализа, чем сами по себе критические графы. Однако, пока у нас ее нет, и мы вынуждены заняться последними - благо, что мы о них уже кое-что знаем.
Критические графы: что мы о них знаем, и наша задача
Исходным общим свойством критических графов мы примем условие Моллоя-Рида, которое можно записать так:
где Ф(x) - дискретное распределение узлов графа по количеству связей.
Это условие можно сформулировать и в ином виде. Возьмем некоторое распределение Ф'(x), которое связано с исходным следующим образом:
Постоянная C определяется из условия нормирования распределения Ф'(x). Тогда мы можем переписать условие Моллоя-Рида так:
Как мы знаем, Ф'(x) - это распределение узлов по количеству связей в крупнейших компонентах критического графа, и условие Моллоя-Рида приводит к требованию: среднее количество связей у узлов крупных компонентов равно 2. Поскольку существует сколько угодно дискретных распределений Ф'(x) со средним значением 2, существует столько же различных критических графов, различающихся распределением Ф(x).
Можно использовать и более удобную систему обозначений - как мы видели, и условия критического состояния графа и его фрактальная размерность выражаются через величины вида
Эти величины называются центральными моментами распределений Ф(x) и Ф'(x) различного порядка. Например, величина E' - момент первого порядка распределения Ф'(x), и в критических графах он равен 2:
Это просто более краткая формулировка условия, в соответствии с которым среднее количество связей у крупных компонентов критических графов равно 2 - моменты первого порядка равны среднему значению соответствующего распределения.
Далее, условие Моллоя-Рида в новой записи:
Фрактальная размерность графов, как мы знаем, определяется уравнением:
Отсюда, из условия Моллоя-Рида непосредственно следует, что фрактальная размерность полного критического графа равна 1 - и это другая формулировка условия критичности. Наконец, фрактальная размерность крупных компонентов критического графа
Все основные характеристики критических графов выражаются через центральные моменты, и можно думать, что и прочие, пока неизвестные нам характеристики - например, параметры точного распределения компонентов по размеру, также выражаются через них.
Нас интересует по возможности точная форма дискретного распределения размеров крупнейших компонентов - пока мы знаем лишь, что оно близко к степенному с показателем θ=5/2 почти для всех типов критических графов. Нас интересует форма этого распределения, поскольку оно является альтернативой распределению Юла и, возможно, играет такую же фундаментальную роль как и последнее. Как же подобраться к решению этой задачи?..
Прежде всего нам следует убедиться, что распределение размеров компонентов в критических графах действительно близко к степенному с показателем θ=5/2. Этот факт когда-то установили Эрдеш и Реньи для классического критического графа, затем к выводу о независиости этого θ от типа критического графа пришли Ньюман с соавторами. Нам будет полезно доказать эти выводы самостоятельно. Заодно мы познакомимся и с интересным исключением.
"Химические" критические графы
До сих пор мы рассматривали критические графы, в которых потенциально можно было встретить узлы с каким угодно большим числом связей - распределения были определены для всех x более 0 или единицы. Но критические графы могут иметь распределения степеней, лежащих в ограниченном диапазоне или вовсе принимающие только узко ограниченный ряд значений: например, x=1 и x=3. В таком графе узлы могут иметь только 1 или 3 связи. Мы назовем такие графы "химическими": узлы в них делятся на небольшое количество категорий, словно атомы различной валентности в каком-нибудь химическом веществе. И для образности разговора о таких графах можно провести следующую аналогию:
Узлы с одной связью - мы сопоставим их с атомами химического элемента, имеющим валентность 1 - то есть, способным присоединиться одной связью с другим атомом. Возьмем в качестве такого элемента водород H.
Узлы с 2 связями - атомы кислорода O.
Узлы с 3 связями - атомы азота N.
Узлы с 4 связями - атомы углерода C.
Различным "химическим" распределениям степеней узлов Ф(x) соответствуют различные пропорции "атомов химических элементов" в графе, так что мы можем даже прибегать к химической нотации. Например, критический граф, в котором имеется 3/4 узлов с одной связью и 1/4 узлов с тремя связями можно описать формулой NH3 - в таком графе на один "атом азота" приходится три "атома водорода". - и это, пожалуй, простейший содержательный пример критического графа - к нему мы сперва и обратимся в поисках точной формы распределения размеров компонентов.
Итак, в этом графе узлы с вероятностью 3/4 имеют 1 связь, и с вероятностью 1/4 - 3 связи:
Крупнейшие компоненты такого графа имеют другую "химическую формулу":
То есть, в крупных компонентах количество "атомов водорода" равно количеству "атомов азота".
Числовым опытом убедимся, что распределение компонентов по размеру действительно оказывается близким к степенному с показателем θ=5/2:
Заметим, что в распределении присутствуют только четные значения x - в данном графе могут присутствовать только компоненты с четным количеством узлов. А вот так выглядят самые малые из них:
Любопытно, что эти структуры соответствуют настоящим химическим веществам, распространенным соединениям водорода и азота - вообще, как мы далее увидим, наша химическая метафора является чем-то большим, нежели простая аналогия.
Заметим, что с ростом размера компонента относительная доля атомов азота увеличивается. При этом для каждого размера компонента она принимает строго определенное значение вне зависимости от его структуры. Например, в компонентах размера 4 имеется строго 1 атом азота, а в компонентах размера 10 - строго 4 атома азота. В пределе больших компонентов относительные доли атомов азота и водорода практически уравниваются, так что их "химический состав" можно описать формулой NnHn:
Это как раз соответствует тому обстоятельству, что Ф'(1) = Ф'(3) = 1/2. Легко убедиться, что среднее количество связей у узлов крупных компонентов почти равно 2 - а это как раз и является признаком того, что некоторый граф представляет собой крупный компонент критического графа.
Подбираемся к точной форме распределения
Итак, попробуем найти точную форму распределения размеров компонентов этого простейшего критического графа. И для этого представим, что мы выбрали произвольный атом водорода в этом графе и двигаемся по исходящей от него единственной связи:
Поскольку доля атомов водороде в графе равна 3/4, а доля атомов азота - 1/3, и при этом у атомов водорода по одной связи, а у атомов азота - по три, двигаясь по связи мы равновероятно придем к атому водорода или к атому азота:
Если мы приходим к атому водорода, наше путешествие заканчивается: выясняется, что мы находимся в компоненте минимального размера 2. Но если мы попадаем на атом азота, перед нами возникает развилка, и каждая из двух троп вновь равновероятно нас приводит или к атомам водорода или к атомам азота, и т.д.
Поставим вопрос: насколько далеко мы сможем продвигаться в этих условиях прежде чем мы по всем возможным тропинкам упремся в тупик, то есть, окажемся на атомах водорода?
Проницательный читатель заметит: это ничто иное как задача, решение которой от нас потребовало довольно длительной паузы в публикации "Узелков" - задача о распределении времен жизни колонии бактерий в ее простейшем варианте. Напомню условия этой задачи: пусть в нулевой момент времени у нас есть одна бактерия. В следующий час она с вероятностью 1/2 погибает, а с вероятностью 1/2 - плодится, превращаясь в две. В следующий час каждая из живых к этому моменту времени бактерий вновь равновероятно погибает или раздваивается, и т.д. Как будут распределены времена жизни колоний бактерий в этих условиях? Мы нашли ее точное решение, которое правда можно записать только в рекуррентном виде:
Это замечательно, но нас вообще-то интересует не насколько далеко мы продвинемся вдоль древовидной водородно-азотной молекулы, а каким окажется общее количество атомов в ней. Применительно к задаче о бактериях этот вопрос можно сформулировать так: нас интересует распределение колоний по количеству "бактерия-часов": скажем, если в течение одного часа жизни колонии жива только одна бактерия, то этот час прибавляет только 1 "бактерия-час" к ее общему багажу, а если их в течение часа жило 20, прибавка составляет 20 "бактерия-часов". Как же колонии распределятся по общему количеству "бактерия-часов"?
Ответ на этот вопрос - по возможности точный - мы и попробуем далее найти.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER