КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Узелки на распуткуУзел 1. Причина степенных распределений
Узел 1.26 Режим стохастической самоподдержки
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
Узел 1. Причина степенных распределений
Узел 1.2 Механизмы развитияУзел 1.3 Причины и экстремальные принципыУзел 1.4 Максимум специальных энтропийУзел 1.5 Мультипликативный закон сохраненияУзел 1.6 Когнитивные фракталыУзел 1.7 Вязкость сознания и число eУзел 1.8 Модель БернуллиУзел 1.9 Принцип микро-причинностиУзел 1.10 Случайно блуждающие ландшафтыУзел 1.11 Субстанции формы и содержанияУзел 1.12 Размерность Хаусдорфа и метрическая связностьУзел 1.13 Вне-пространственные фракталыУзел 1.14 Фракталы на графахУзел 1.15 Фрактальная размерность графов и сетейУзел 1.16 Фрактальность древовидных графовУзел 1.17 Фрактальная размерность и степенная статистикаУзел 1.18 Локальные и глобальные размерности графовУзел 1.19 Локальные и глобальные размерности графов (II)Узел 1.20 Локальные и глобальные размерности графов (III)Узел 1.21 Критические графы как фракталыУзел 1.22 Критические графы как фракталы (II)Узел 1.23 Возвращение к БернуллиИнтерлюдия. Две простые задачиУзел 1.24 Зоопарк критических графовУзел 1.25 Зоопарк критических графов (II)
Узел 1.26 Режим стохастической самоподдержки
Узел 1.27 Растущие кластеры и размерность решетокУзел 1.28 Фрактальные и не-фрактальные решеткиУзел 1.29 Энтропия ростаУзел 1.30 Энтропия графов и пространствУзел 1.31 Игра в инверсию
Узел 2. Опус о числах и формах
.
Прологи
.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Узел 1.26 Режим стохастической самоподдержки
 
Роман Уфимцев
6 февраля 2015 года, Калининград
С первого взгляда критические графы могут показаться хотя и интересным, но каким-то весьма частным примером идеальных феноменов, обладающих степенной статистикой. Распределение размеров изолированных компонентов критических графов практически для всех их типов близко к степенному с одним и тем же показателем θ=5/2. Один и тот же показатель, и никакой очевидной возможности получать другие показатели, например самый интересный для нас θ=2 - почему же мы так много внимания им уделяем?
Во-первых, критические графы обладают каким-то "волшебством", в котором хочется разобраться - хотя это оказалось не просто даже для простейшего их типа. Развитие критических графов - замечательный (а может, и лучший) пример превращения количества в качество - постепенное количественное насыщение графа связями в какой-то момент приводит к качественному изменению его структуры. Возможно, это диалектическое превращение имеет прямое отношение к загадке степенных феноменов и фракталов.
Однако, критические графы интересны еще в одном отношении. Исследование их универсальных свойств приводит к любопытной идее, которая при своей простоте может оказаться весьма значимой с точки зрения поиска причин феноменологической распространенности фрактальных структур. В этой нити мы несколько отдохнем от "математических заплывов" (хотя и вполне плодотворных), которыми занимались в последнее время, и поговорим об этой идее, опираясь больше на аналогии и качественные наблюдения.
Критические графы и режим самоподдержки
Вообразим себе день засушливого лета, над высохшим от многодневного зноя лесом висит предгрозовое марево... Разворачивается сухая гроза. Удары молний поджигают лес, и он вспыхивает как солома. Лесные пожары стремительно распространяются по сухому лесу, достигая катастрофических масштабов.
Теперь та же сухая гроза, но в каменистом предгорье. Оно покрыто кустами, но покров не сплошной. Удары молний зажигают кусты, но огонь быстро гаснет, не находя себе достаточной пищи.
Мы имеем одно и то же явление в двух разных режимах, и их удобно рассматривать в рамках классической кибернетической диаграммы:
"Вход" - это состояние системы в некоторый момент времени, "выход" - ее состояние в следующий момент времени. Скажем, в нашем случае состояние можно характеризовать объемом горящей растительной массы. Поскольку любая растительная масса выгорает, для поддержки горения необходимо наличие положительной обратной связи: горящие растения зажигают другие. Чем интенсивнее эта обратная связь, тем быстрее разрастается пожар. Однако, если силы обратной связи недостаточно, чтобы компенсировать затухание, огонь быстро иссякает. Таким образом, пожар в сухом лесу эта система с сильной положительной обратной связью (режим I). В этих условиях мы увидим экспоненциальный рост объемов горящей растительной массы - пожары становятся катастрофическими. Напротив, возгорание в каменистом предгорье - это режим со слишком слабой обратной связью (II), и мы увидим экспоненциально снижающийся объем горения - пожары быстро затухают.
Естественный вопрос: что происходит, если система находится в промежуточном состоянии, точно между режимами I и II? В этом режиме действие обратной связи недостаточно сильно, чтобы каждое возгорание приводило к катастрофическому пожару, но оно достаточно сильно, чтобы возгорания не потухали немедленно. В этом случае объем горящей массы оказывается примерно постоянной величиной - система оказывается в самоподдерживающемся состоянии:
Это, конечно, не значит, что любой удар молнии будет приводить к появлению очагов огня, которые будут сохранять объем горящей массы постоянным. Речь идет о среднем поведении очагов возгорания: некоторые из них будут гаснуть, другие - распространяться и увеличиваться. Однако, в среднем, объем горящей массы в этих очагах будет оставаться неизменным. Это и есть важный признак особого, критического состояния системы, и он имеет прямое отношение к теории критических графов.
Вспомним нашу модель колонии бактерий. Мы берем бактерию, которая в течение следующего часа может с вероятностью 1/2 удвоиться (если повезет), и с той же вероятностью 1/2 может погибнуть (если ей не повезет). Если бактерия удвоилась, то в течение следующего часа каждая из двух может с вероятностью 1/2 вновь удвоиться, и с вероятностью 1/2 - погибнуть, и т.д. Мы детально исследовали, что происходит с колониями бактерий в этих условиях. Мы знаем точную форму распределения времен жизни колоний, мы знаем и точную форму их распределения по количеству проживаемых "бактерия-часов". А истории жизни колоний, изображенные в форме древовидных диаграмм, оказываются ничем иным как компонентами простейшей разновидности критических графов.
Заметим теперь, что если каждая бактерия с вероятностью 1/2 удваивается, и с вероятностью 1/2 погибает, то в среднем в каждый следующий момент времени в колонии должно быть столько же живых бактерий, сколько и в предыдущий момент. Иными словами, колонии находятся в самоподдерживающемся, критическом режиме. Стоит чуть-чуть уменьшить вероятность успешного раздвоения, и колонии начинают быстро вымирать - это суб-критический режим. Стоит немного увеличить эту вероятность, колонии начинают бесконечно расти экспоненциальными темпами - супер-критический режим. И очень интересно, что грань между суб- и супер-критическими режимами весьма тонка. Убедимся в этом на простых числовых опытах.
Проследим судьбу 1000 колоний бактерий, в каждой из которых в начальный момент времени имеется по 10 живых бактерий. Усредняя количество живых бактерий по всем колониям, посмотрим, как меняется это среднее с течением времени:
Как видим, несмотря на флуктуации, среднее количество живых бактерий действительно остается неизменной величиной - это признак критического режима. Однако, увеличим вероятность успешного деления бактерии всего на 1% - от 1/2 до 0,505, и мы увидим экспоненциальный рост среднего:
Напротив, уменьшим вероятность успешного деления бактерий на 1% и мы увидим экспоненциальный спад среднего (для наглядности в этом случае начинаем со 100 бактерий в каждой колонии):
Опираясь на принцип самоподдержки, мы легко найдем и другие варианты критических режимов существования колоний бактерий. Например, если бактерии не делятся, а троятся - то есть, каждая бактерия может превратиться в три, для возникновения критического режима успешное "растроение" бактерий должно происходить с вероятностью ровно 1/3, а с вероятностью 2/3 бактерия должна гибнуть. В этом случае среднее количество живых бактерий в колониях будет оставаться неизменным, и система окажется в критическом режиме.
Далее, кроме этих простейших примеров колоний бактерий в самоподдерживающихся режимах, можно придумать сколько угодно других. Если каждая живая в некоторый момент времени бактерия с вероятностью Ф'(x) превращается в x бактерий (с вероятностью Ф'(0) погибает, с вероятностью Ф'(1) остается жить, с вероятностью Ф'(2) превращается в две, и т.д.), то единственное условие, при котором в среднем количество живых бактерий в колониях будет оставаться неизменным, выглядит очень просто:
То есть, каждая живая бактерия в следующий момент времени сменяется ровно одной живой бактерией - это и приводит к самоподдерживающемуся режиму колоний.
Посмотрим теперь, как это условие связано с критическими графами. Сместим распределение Ф'(x) так, чтобы значению Ф'(0) в исходном варианте соответствовало значение Ф'(1) в сдвинутом, значению Ф'(1) - значение Ф'(2) в сдвинутом, и т.д. Тогда наше условие изменится следующим образом:
Из этого прямо следует условие для сдвинутого варианта распределения:
Это ничто иное как условие, которому должно соответствовать распределение степеней узлов в крупных компонентах критических графов - в любой их разновидности. Переходя к распределению степеней узлов полного критического графа Ф(x) мы получаем условие критичности графов Моллоя-Рида:
В другой, более осмысленной формулировке это условие выглядит так:
Фрактальная размерность полного критического графа DG обязательно равна единице. Этот факт имеет полезный в контексте нашего разговора интуитивный смысл. Как мы знаем, полные критические графы представляют собой наборы изолированных древовидных компонентов (появление циклов вероятно, но их как правило оказывается не более 1, и можно ими пренебречь):
Фрактальная размерность отдельных компонентов графа зависит от формы распределения Ф(x) и от размера компонента - чем он больше, тем больше размерность. Однако в целом размерность критического графа равна 1. Точно такую же размерность имеет граф, образованный одной или несколькими бесконечными нитями узлов:
Применительно к колониям бактерий этот граф соответствует ситуации, в которой каждая живая бактерия не плодится и не погибает. Естественно, что количество живых бактерий в каждой колонии при этом остается строго неизменным. Это тоже режим самоподдержки - но не стохастический, соблюдающийся только в среднем по всем колониям, а строгой самоподдержки, выполняющийся для каждой колонии индивидуально. Или, применительно к аналогии с лесными пожарами, это ситуация, в которой огонь двигается по узким полосам лесных посадок, не ослабевая но и не усиливаясь. Так становится видна связь между фрактальной размерностью полного критического графа - она должна быть равна 1 - и сутью режима самоподдержки.
Нас, конечно, больше интересует именно стохастическая самоподдержка. Именно в этом режиме 1) колонии бактерий демонстрируют около-степенную статистику во всех своих основных проявлениях, и 2) порождают фрактальные структуры (их истории, представленные в виде древовидных графов, представляют собой фракталы как по отдельности, так и в совокупности).
Идея, к которой мы хотим присмотреться, состоит в том, что аналогичные режимы стохастической самоподдержки могут быть причиной развития фрактальных структур и степенных распределений во многих натуральных случаях. Можно выдвинуть и еще более смелую гипотезу: если мы видим любого рода сложную систему в квази-стабильном состоянии (в том особом смысле, который иллюстрируется моделью колонии бактерий или аналогией с лесными пожарами), у нас есть основания полагать, что она находится в стохастически самоподдерживающемся состоянии, и мы должны находить в ней 1) около-степенную статистику, и 2) фрактальную структуру. Попросту, фракталы и степенные распределения являются признаками сложных систем, находящихся в самоподдерживающихся режимах.
С первого взгляда эта гипотеза напоминает известную теорию самоорганизующейся критичности, в соответствии с которой сложные системы могут самопроизвольно эволюционировать к критическим состояниям. В этих состояниях системы приобретают фрактальную структуру и степенную статистику. Однако, наша гипотеза имеет иной смысл: она не утверждает, что критическое состояние, в котором и возникает режим стохастической самоподдержки, является результатом самоорганизации системы. Она утверждает только, что если система по какой-то причине оказывается в квази-стабильном состоянии (приходя к нему самопроизвольно или с внешней помощью), то в ней действует режим самоподдержки, в котором сохраняется неизменным некоторый критический параметр системы - в случае колоний бактерий таким параметром является среднее количество живых бактерий в колониях.
Итак, нам вполне ясна суть режима самоподдержки в модели колонии бактерий и в критических графах. Однако, эти модели способны демонстрировать статистику только с некоторыми конкретными показателями. Времена жизни колоний в самоподдерживающихся режимах имеют около-степенное распределение с показателем θ=2, а их распределение по количеству "бактерия-часов" является близким к степенному с показателем θ=3/2. В критических графах распределение компонентов по размеру характеризуется показателем θ=5/2. В поисках других показателей мы должны обратиться к другим моделям самоподдерживающихся режимов.
Перколяция
Хотя, вникая в суть режима самоподдержки, мы одновременно использовали аналогию с лесными пожарами и модель растущей колонии бактерий, они не вполне сопоставимы. Модель растущих колоний бактерий не отражает важных свойств реальной природной среды, подверженной случайно возникающим пожарам - в ней мы не учитываем пространственный фактор. Но для реальных лесных пожаров взаимное пространственное положение очагов горения имеет большое значение.
В нашей модели для любой живой бактерии вероятность погибнуть или удвоиться в следующий момент времени является постоянной величиной, независящей от истории других бактерий, от состояния других колоний. Но совсем иначе обстоит дело для некоторой ячейки лесной среды. Если она загорается, вероятность передать пламя на соседние ячейки зависит от конфигурации уже выгоревших участков. Простейшая модель, в которой можно учесть этот фактор, выглядит следующим образом. Разобьем природное пространство на квадратные ячейки. Каждая ячейка может содержать горючую растительность или быть пустой, каменистой. Положим, что случайно загоревшаяся "лесная" ячейка может передать пламя на четыре непосредственно соседствующих с ней "лесных" ячейки. Естественно, что если "лесную" ячейку окружают только четыре каменистые ячейки, пламя не сможет распространяться. Нас интересует, при какой плотности растительности (то есть, при какой доле "лесных" ячеек) среда будет находиться в критическом состоянии, так что случайно возникающие пожары будут оказываться в режиме самоподдержки.
Плотность растительности будет тем выше, чем выше вероятность p, с которой каждая конкретная ячейка является "лесной". Если эта вероятность мала, то связные области растительности, по которым может распространяться огонь, не велики:
В этих условиях случайно возникающие очаги возгорания будут быстро затухать - это суб-критический режим. Если вероятность p достаточно велика, то лесной покров сливается в один массив, и случайное возгорание в одной из его точек приведет к катастрофическому пожару, в котором практически вся среда выгорит:
Это супер-критическое состояние среды.
Полагаю, читатель видит тут прямую аналогию со случайными графами: если вероятность наличия связей между узлами мала, случайный граф распадается на множество небольших связных компонентов. Если она велика, почти все узлы сливаются в один гигантский компонент. И только при строго определенной вероятности соединения между узлами (при строго определенном количестве связей в графе) наступает критическое состояние, в котором распределение компонентов по размеру оказывается около-степенным, и граф становится фракталом.
Действительно, существует строго определенная вероятность p, при которой среда оказывается в критическом состоянии. В ней распределение площадей непрерывных лесистых областей (а значит, и площадей пожаров) становится около-степенным, и каждая из них превращается в пространственный фрактал (тут мы выделили крупнейшую непрерывную лесистую область):
А вот как выглядит типичное опытное распределение размеров непрерывных лесистых областей:
Мы действительно видим около-степенное распределение с показателем θ ≈ 1,9. Но какова точная форма этого распределения или хотя бы при какой вероятности p система оказывается в критическом состоянии?
Поразительно, но точный ответ даже на последний вопрос неизвестен. И это несмотря на то, что мы говорим о простейшей модели бурно развивающейся и очень востребованной с практической точки зрения теории перколяции. Масштабными числовыми симуляциями получена только оценка этой вероятности: p≈0,592746...
"Перколяция" означает проникновение или промокание. Если представить, что наша ячеистая среда - это кусок горной породы, а заполненные ячейки - пустоты в породе, то по мере увеличения количества пустот наступает момент, когда появляется канал, связывающий противоположные стороны куска породы - и он начинает пропускать жидкость, это так называемый порог перколяции. В данном примере "квадратно-гнездовой" породы он, вне зависимости от размера куска, наступает, если 59,27...% ячеек образуют пустоты (и это верно только для двух-мерного случая).
Теория перколяции - действительно активно развивающаяся, но еще весьма молодая область математики и теории вероятностей. В ней исследуются процессы перколяции и критические феномены на решетках самой разной структуры - квадратных, кубических, треугольных, гексагональных, на решетках различной пространственной размерности и т.д. И весьма любопытно, что в очень многих, даже самых простых случаях до сих пор нет точных результатов, лишь приблизительные оценки. Например, точные пороги перколяции известны только для нескольких решеток - простейшая "квадратно-гнездовая" к их числу не относится.
Разумеется, и точные формы распределений компонентов по размеру также остаются неизвестными. Известно лишь, что в критических состояниях они близки к степенным с показателями, зависящими от специфики модели. В общем, в теории перколяции еще полно работы. (Автор уговаривает себя не приниматься за эту теорию, хотя не уверен, что уговорит.)
К слову, критические графы могут рассматриваться как особый случай перколирующих систем в пространстве с бесконечной размерностью. Возможно мы еще об этом поговорим, но суть в том, что критические графы как правило образованы только древовидными компонентами, они не содержат циклов. Напротив, перколяционные компоненты если их представить как графы содержат множество циклов:
Но чем выше размерность пространства, тем меньше вероятность появления циклов, и для бесконечно-мерного пространства она становится минимальной - то есть, почти все компоненты в критическом состоянии приобретают древовидную форму. Это обстоятельство существенно упрощает анализ, хотя и в теории критических графов многие вещи известны только приблизительно. (Мы внесли тут свою посильную лепту, найдя точную форму распределения компонентов по размеру для простейшей разновидности критического графа - "водородно-азотного" критического графа.)
Итак, перколяционная модель лесных пожаров перед нами. В ней есть критическое состояние, в котором должен действовать режим стохастической самоподдержки. Чтобы прояснить его, попробуем прямую аналогию с моделью колоний бактерий: выберем ячейки перколяционных кластеров, имеющие только по одному соседу - это будут аналоги бактерий-прародительниц. Предположим, что именно в них происходят возгорания. На следующем шаге пламя перекидывается на их непосредственных соседей, а они сами гаснут, далее - на соседей соседей, и т.д. По аналогии с моделью колоний бактерий мы могли бы ожидать, что в среднем в каждый момент времени количество горящих ячеек должно оставаться постоянным - кажется, именно этого требует режим самоподдержки.
И что же? В реальности все оказывается совершенно не так. В критическом состоянии среднее количество горящих ячеек с течением времени растет:
Мы видим, что с течением времени среднее количество горящих ячеек растет примерно пропорционально квадратному корню от времени. Кажется, наша стройная картина про стохастически самоподдерживающиеся пожары оказывается ложной.
В чем же дело - ведь связь критических состояний и режимов самоподдержки интуитивно вполне осмыслена? Дело в критическом параметре. Только в колониях бактерий его роль играет среднее количество живых бактерий. В случае перколяционной модели пожаров роль критического параметра играет какая-то другая величина. Мы ошибались, думая что это средняя текущая площадь горения - как мы видим, даже в критическом состоянии она растет примерно пропорционально квадратному корню от времени. Есть какой-то другой критический параметр, который в этих условиях остается постоянным.
Какой именно? - это очень любопытный вопрос, потому что он имеет прямое отношение к сути критического состояния в данном случае. И возможно, пойми мы что это за параметр, мы поймем саму суть феномена перколяции на "квадратно-гнездовой" решетке.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER