КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Узелки на распуткуУзел 1. Причина степенных распределений
Узел 1.27 Растущие кластеры и размерность решеток
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
Узел 1. Причина степенных распределений
Узел 1.2 Механизмы развитияУзел 1.3 Причины и экстремальные принципыУзел 1.4 Максимум специальных энтропийУзел 1.5 Мультипликативный закон сохраненияУзел 1.6 Когнитивные фракталыУзел 1.7 Вязкость сознания и число eУзел 1.8 Модель БернуллиУзел 1.9 Принцип микро-причинностиУзел 1.10 Случайно блуждающие ландшафтыУзел 1.11 Субстанции формы и содержанияУзел 1.12 Размерность Хаусдорфа и метрическая связностьУзел 1.13 Вне-пространственные фракталыУзел 1.14 Фракталы на графахУзел 1.15 Фрактальная размерность графов и сетейУзел 1.16 Фрактальность древовидных графовУзел 1.17 Фрактальная размерность и степенная статистикаУзел 1.18 Локальные и глобальные размерности графовУзел 1.19 Локальные и глобальные размерности графов (II)Узел 1.20 Локальные и глобальные размерности графов (III)Узел 1.21 Критические графы как фракталыУзел 1.22 Критические графы как фракталы (II)Узел 1.23 Возвращение к БернуллиИнтерлюдия. Две простые задачиУзел 1.24 Зоопарк критических графовУзел 1.25 Зоопарк критических графов (II)Узел 1.26 Режим стохастической самоподдержки
Узел 1.27 Растущие кластеры и размерность решеток
Узел 1.28 Фрактальные и не-фрактальные решеткиУзел 1.29 Энтропия ростаУзел 1.30 Энтропия графов и пространствУзел 1.31 Игра в инверсию
Узел 2. Опус о числах и формах
.
Прологи
.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Узел 1.27 Растущие кластеры и размерность решеток
 
Роман Уфимцев
2 марта 2015 года, Калининград
Математика - остросюжетная наука. Исследование идеального, прототипического устройства мира - а именно им занимается математика - полно сюрпризов, даже ловушек. И, пожалуй, самая частая их разновидность - ловушка видимого однообразия. Мир математических сущностей, чисел и форм, кажется вселенной абсолютного порядка. Но это странным образом не соответствует действительности. Мир чисел и форм совсем не похож на строго упорядоченную конструкцию, которую мог бы создать инженер. Он скорее похож на творение художника, в котором порядок переплетен с эстетичным беспорядком, а любое правило может быть нарушено по прихоти создателя.
В подобную ловушку видимой простоты и однообразия попался и автор, и по своему это замечательная ловушка. В предыдущей нити мы слегка затронули так называемую модель перколяции - один из самых интересных механизмов развития фракталов и степенной статистики. Размышляя над нею, автор обратился к уже давно полученным им результатам, которые казались вполне надежными - тем более, что они касаются довольно простых вещей. Но внезапно обнаружилось, что мир чисел и форм "надул" автора - можно сказать, с мастерской легкостью.
Теперь автор обязан выбраться из ловушки и исправить свою ошибку - это будет поучительно. А заодно это даст нам возможность убедиться в том, что мир чисел и форм устроен с неисчерпаемой премудростью.
Ловушка красоты и излишнего обожания обобщения
Вернемся к тому моменту, когда мы, поговорив о пространственных фракталах, обратились к теме фракталов на сетях и графах. (Мы сперва назвали их вне-пространственными, но это не вполне верно. Фракталы на графах и сетях являются обобщением пространственных фракталов - любой пространственный фрактал можно представить в виде графа, но существуют фрактальные графы, не имеющие пространственных аналогов.)
Важнейшей характеристикой фракталов является их размерность. Для формального определения и практической оценки размерности пространственных фракталов обычно применяется так называемый метод покрытия квадратиками. Однако в общем случае он оказывается не пригоден для фракталов на сетях и графах. Перед нами встала задача отыскать альтернативный способ определения фрактальной размерности, который был бы пригоден не только для пространственных, но и вне-пространственных фракталов.
Перебрав несколько используемых в теории фрактальных графов методов, мы уверенно остановились на методе определения и оценки фрактальной размерности графов методом растущего кластера. Его суть очень проста. Возьмем граф, который по своей организации повторяет "квадратно-гнездовую" решетку на плоскости, и выберем в нем какой-то узел (все равно какой - на бесконечной решетке все узлы равноправны):
За один шаг можно перебраться к четырем непосредственным соседям избранного узла - будем говорить, что в пределах расстояния R=1 от избранного узла находится 5 узлов - четыре соседа и сам исходный узел. Далее, в пределах расстояния R=2 находится 13 узлов, и т.д. Ясно, что ростом R количество доступных узлов растет - будем обозначать его как S(R). Это обстоятельство и дало название методу: доступные узлы называются кластером, и он с ростом расстояния R растет.
Легко подсчитать, что в общем виде зависимость S(R) выглядит так:
(Отметим, что раньше мы не включали в растущий кластер исходный узел, так что получалось S(R) = 2R(R+1). Теперь по методическим соображениям мы будем включать в растущий кластер и исходный узел.) Не трудно заметить, что на больших расстояниях действительно приближение:
Теперь обратимся к другому графу, который подобно "квадратно-гнездовому" раскладывается на двухмерную плоскость:
Не трудно подсчитать, что в этом графе при больших R объем растущего кластера также растет пропорционально квадрату расстояния:
Точно также - пропорционально квадрату расстояния - растет площадь окружности на плоскости:
Показатель степени 2 во всех этих случаях, конечно, указывает на размерность. Однородные и регулярные графы, которые раскладываются на плоскости должны иметь размерность 2, такую же как сама плоскость - и это отражается в одинаковой степенной зависимости S(R) для этих графов и для окружности на плоскости.
Однако, в отличие от чистой степенной зависимости S(R) для окружности на плоскости, зависимости S(R) для рассматриваемых графов являются степенными только асимптотически, при больших R. Точная форма для такого рода графов (если все узлы в них неотличимы друг от друга):
где C зависит от локальной геометрии графа (по видимому, минимально возможное значение C для регулярных графов на плоскости равно 3/2):
Теперь посмотрим на случай одномерного графа, который может иметь только одну конфигурацию:
Для него зависимость S(R) = 2*R + 1, то есть, она имеет форму:
где C=2.
Сравнивая вид общих зависимостей S(R) для одномерного и двухмерного случая, возникает подозрение, что для трехмерных регулярных графов она должна иметь вид
Проще всего проверить эту формулу на квадратной трехмерной решетке:
Начиная двигаться от некоторого узла, мы установим, что S(1) = 7. Для того, чтобы наша гипотетическая формула была верна, постоянная C для данного трехмерного графа должна быть равна 1:
Если так, то S(2) должно быть равно 25:
И, подключив пространственное воображение, можно убедиться, что это действительно так.
Замечательно! Кажется, мы нашли общий принцип, и теперь легко можем записать общую формулу растущего кластера для регулярных решеток в пространстве любой размерности, например, для четырехмерных решеток она должны выглядеть так:
Подбираясь к общей формуле, пригодной для всех размерностей, запишем это уравнение иначе:
Обозначив как D размерность графа, мы можем теперь записать общее уравнение, которое справедливо для всех рассмотренных случаев:
Осталось добавить только последние штрихи. По определению, R в этом уравнении может быть только целым числом, а вот размерность D - поскольку мы интересуемся фрактальными графами - может быть не только целым числом. Поэтому нам нужно перейти от факториалов, аргументом которых могут быть только целые числа, к гамма-функциям, аргументы которых могут быть и не целочисленными: (x-1)! = Г(x):
И еще кое-что. С гамма-функцией тесно связана бета-функция, и она явно просится стать составной частью нашего общего уравнения:
Нам нужно только включить в уравнение еще один множитель Г(D), и для этого достаточно перейти от постоянной C к новой постоянной C'. Получим замечательный по красоте результат:
Кроме красоты, у такой записи есть и еще одно приятное преимущество: теперь, например, зависимость S(R) для двухмерной и трехмерной "квадратно-гнездовой" решетки выглядит одинаково (различается только размерность D) - постоянная C' в обоих случаях равна 2:
Неизменность постоянной отражает общность "квадратно-гнездового" структурного принципа обеих решеток, и мы можем предположить, что и для четрехмерной "квадратно-гнездовой" решетки C'=2, так что для нее
Хотя вообразить четырехмерную решетку очень трудно, для нее точно S(1) = 9. Квадрат (одна ячейка "квадратно-гнездовой" двухмерной решетки) граничит с 4 другими квадратами, один куб (ячейка трехмерной решетки) граничит с 6 другими, а один гиперкуб (так называется чеырехмерная ячейка) граничит с 8 другими гиперкубами. Значит, на расстоянии 1 от заданного гиперкуба находится в общей сложности 9 гиперкубов. И что же? - также получается и в соответствии с нашей формулой:
И вот, кажется мы получили универсальную форму зависимости S(R), верную для всех измерений, и для любых однородных решеток, и она выглядит весьма привлекательно:
Естественно ожидать, что она выполняется и не только для целочисленных размерностей, но и для дробных, так что она годится для анализа фрактальных графов, размерности которых могут быть нецелочисленными. (Совершенно иначе к этой же формуле мы уже в свое время приходили).
Вот путь, по которому автор забрел в ловушку. Формула очень красива, и первые проверки, самые доступные, подтверждают ее точность. У автора не осталось сомнений, что она выполняется универсально.
Но это не так, и если бы автор даже в сравнительно простом случае трехмерной "квадратно-гнездовой" решетки проверил не только значения S(1) и S(2) - как он сделал - то обнаружил бы, что уже в значении S(3) между этой формулой и реальностью возникает расхождение. По этой формуле в пределах расстояния 4 мы должны иметь
61 узел, но в реальности их 63.
Когда автор вдруг обнаружил расхождение, это стало для него легким шоком - миру чисел и форм хотелось возмущенно крикнуть: "Зачем эти сложности?! Почему бы не подчиняться красивой универсальной формуле?"
Но он ей не подчиняется, и у этого видимо есть очень серьезные причины - если мир идеального отказался тут от красоты и простоты, то только ради красоты и простоты в чем-то большем, нежели объемы растущих кластеров в регулярных решетках.
Нам предстоит найти правильную универсальную (по возможности) формулу S(R) для регулярных решеток любой размерности, но прежде убедимся, что масштаб заблуждений автора еще серьезнее...
Регулярные и супер-регулярные решетки
Казалось бы, по сравнению с трехмерными (а тем более, четырехмерными) решетками, двухмерные очень просты, и в нашей формуле для двухмерного случая не может быть ошибки:
Выше мы заявили, что она выполняется для всех двухмерных решеток, в которых все узлы одинаковы - то есть, неотличимы друг от друга. Например, в "квадратно-гнездовой" или сотовой решетке все узлы расположены симметрично и регулярно, все они равнозначны.
И это тоже не верно (прямо расстройство какое-то!). Рассмотрим регулярную двухмерную решетку, в которой узлы очевидно равноценны:
Объем растущего кластера в этом графе образует ряд 1, 4, 9, 17, 28, 41, 57, 76, 97, 121 ... - и он не подчиняется двухмерной формуле ни при каком значении C, точнее подчиняется не вполне точно.
Суть проблемы становится ясна при сопоставлении этого ряда, например, с рядом растущего кластера в простом квадратно-гнездовом графе: 1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145... Запишем ряд приростов между очередными членами этого ряда: 4, 8, 12, 16, 20, 24... Очевидна ясная система - приросты равномерно растут. Построим еще один ряд - приростов приростов: 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4... То есть, объем растущего кластера в двухмерном "квадратно-гнездовом" графе характеризуется постоянным приростом приростов объема кластера, и эта величина равна 4. Ясно, что она равна второй производной от S(R), которая является константой:
Тут у нас эта константа равна 4, что соответствует тому обстоятельству, что для "квадратно-гнездового" графа постоянная C=2.
Теперь построим ряд приростов и приростов приростов для нашего "проблемного" графа, и мы сразу увидим, в чем трудность: приросты: 3, 5, 8, 11, 13, 16, 19, 21, 24... Приросты приростов: 2, 3, 3, 2, 3, 3, 2, 3, 3...
Приросты приростов не являются строго постоянной величиной - они "хромают". Их среднее значение равно (2+3+3)/3 = 8/3, что соответствует постоянной C=4/3. Однако из-за "хромоты" уравнение
точно только частично: в истинном ряду значений S(R) 1, 4, 9, 17, 28, 41, 57, 76, 97, 121... каждое третье значение отклоняется от теоретического на 1/3. Это не большое и не существенное отклонение, но все же наше общее уравнение оказывается в данном случае не вполне точным.
Конечно, вся проблема в "хромоте" приростов приростов, которую общее уравнение не предусматривает. Это "хромота" связана с особенностью структуры графа, в которой рост кластера происходит с какими-то регулярными "рывками". Таких рывков мы не видим ни в квадратно-гнездовом, ни в других регулярных двухмерных графах, которые точно отвечают общему уравнению. Чем же они отличаются от этого, "хромающего" графа?
По видимому, ключевое различие в том, что рисунок "хромающего графа" будто бы образован двумя разными типами плиток, заполняющих плоскость:
С другой стороны, "правильные" графы, подчиняющиеся общей формуле, образуют покрытие плоскости одним сортом плиток:
Рост кластеров в таких графах не "спотыкается" о неоднородность их локальной структуры, и он происходит в точном соответствии с общей формулой.
Итак, мы внесли еще одно уточнение: мы сосредотачиваемся только на "сверх-регулярных" графах, в которых не только все узлы одинаковы, но и строго регулярна топологическая структура - в том особом смысле, который иллюстрирует сопоставление графа с плоскостью, покрытой плитками.
Это уточнение - а мы принимаем его и для графов других размерностей - позволяет решить проблему с одним интересным регулярным трехмерным графом. Но сперва нам нужно вывести правильную трехмерную формулу роста кластера.
Правильная (?) трехмерная зависимость S(R)
Ошибки излишнего обобщения можно было бы избежать, если бы автор в свое время не поленился прямо найти формулу S(R) хотя бы для трехмерного "квадратно-гнездового" графа - а это не так трудно. Задача подобна следующей: сколько кубиков содержится в каждой из ряда форм:
Можно заметить, что каждую из форм можно разрезать на плоские слои:
Каждый из слоев представляет собой растущий кластер на двухмерной квадратно-гнездовой решетке, а его общую формулу мы знаем:
где C в данном случае равно 2. Каждая трехмерный кластер радиуса R состоит из одного двухмерного кластера радиуса R и пар кластеров всех меньших размеров. Например, трехмерный кластер радиуса 2 представляет собой сумму двухмерных кластеров S(2) + 2*(S(1) + S(0)). Имея в виду, что объем двухмерных кластеров вычисляется как S(R) = C*R(R+1)+1, мы легко получим и общую формулу объема трехмерного кластера:
И вот что мы имеем: мы наивно и ошибочно предположили, что объем трехмерных кластеров определяется уравнением
А в действительности оно выглядит не так просто:
Для "квадратно-гнездового" случая C=2, и тогда обе формулы дают одинаково правильный результат для S(0), S(1), S(2) - благодаря этому автор и угодил в ловушку. Но уже для S(3) неверная формула дает результат 61, а верная - правильное значение 63.
Является ли полученная нами формула для трехмерного случая универсально верной для всех типов однородных трехмерных графов?
Допустив раз ошибку излишнего обобщения, автор уже опасается допустить еще одну. Оставим ответ на этот вопрос открытым, хотя быстрая проверка нескольких супер-регулярных трехмерных решеток не обнаруживает в этой формуле дефекта. Например, рассмотрим граф, в котором узлы расположены в центрах соприкасающихся шаров, уложенных следующим образом:
Каждый шар касается 8 других - 4 в вышерасположенном слое и 4 в нижерасположенном. Таким образом, в нашем графе каждый узел имеет связи с 8 другими узлами. Рост кластера в таком трехмерном графе полностью соответствует полученному нами уравнению с постоянной C=3.
Еще один пример - плотнейшая укладка шаров в пространстве:
Если мы разместим узлы графа в центрах шаров, и проведем связи только между соприкасающимися шарами-узлами, мы получим граф, в котором каждый узел соединен с 12 другими узлами. Рост кластера в таком графе также подчиняется нашей формуле при постоянной C=5.
По аналогии с двухмерными плитками одного сорта, которые мы должны видеть в рисунке двухмерного супер-регулярного графа, объем супер-регулярного трехмерного графа должен быть, по идее, образован "кирпичами" одного сорта. Например, в случае "квадратно-гнездовой" трехмерной решетки это кубические "кирипичи".
Другие (наряду с кубом) примеры возможных "кирпичей":
В этой связи любопытен пример регулярной трехмерной решетки, которая оказывается "неправильной". Это граф, повторяющий структуру кристалла алмаза:
Для нее ряд значений S(R) выглядит так: 1, 5, 17, 41, 81.., и он не соответствует полученной нами общей формуле. Дело в том, что его структуру нельзя выложить с помощью многогранных "кирпичей" одного сорта - хотя это не очевидно с первого взгляда.
Впрочем, отличие супер-регулярных графов, которые подчиняются нашим формулам и просто регулярных, которые не подчиняются им - это пока открытый вопрос.
Четвертая, пятая (и прочие) размерности и подарок Анри Деллано
Таким же образом, каким мы вывели трехмерную формулу S(R), мы можем получить универсальные (увы, условно) формулы для всех прочих целочисленных размерностей: 4-й, 5-й, и т.д. Вот, например:
Они становятся все сложнее и сложнее, но даже не в этом печаль. Проверить двухмерную формулу для разного типа решеток очень просто имея листок бумаги и ручку. Чтобы проверить трехмерную формулу для разного типа трехмерных графов, нужно хорошее пространственное воображение. Но как проверять четырех и пятимерную формулы? Представить или изобразить даже четырехмерные графы почти невозможно. Как нам проверить эти формулы?
К счастью, есть одна лазейка, которая правда касается только "квадратно-гнездовых" графов - зато любой, какой угодно высокой размерности. Благодаря ей мы знаем, как в них растут кластеры.
Эта лазейка по-своему удивительна. Речь идет о наблюдениях, которые на рубеже 20-го века сделал французский офицер и математик-любитель Анри Деллано. В свободные между маневрами минуты он занимался странной и "непрактичной" задачей - он вычислял, сколькими способами можно попасть из нижней левой точки квадратной решетки некоторого размера в ее верхний правый угол если можно передвигаться только вверх, вправо или по диагонали. Скажем, вот все 63 возможные траектории на решетке 3x3 ячейки:
Сначала черкая траектории на бумаге, а затем и выведя общую формулу, Деллано получил ряды чисел, которые в его честь называются числами Деллано:
Рассмотрим, например, ряд чисел, выделенных зеленым (а можно было бы выделить и столбец - таблица симметрична относительно диагонали). Он соответствует траекториям в решетках разной ширины и высотой в две ячейки:
Но этот ряд чисел - ничто иное как ряд значений S(R) в двухмерном "квадратно-гнездовом" графе, который отвечает уравнению
Далее, ряд чисел, выделенный розовым - это ряд значений S(R) в трехмерном "квадратно-гнездовом" графе, и его уравнение мы только что получили - с учетом того, что для такого графа C=2, оно выглядит так:
Следующий, голубой ряд - это ряд значений S(R) для четырехмерного "квадратно-гнездового" графа, и не трудно убедиться, что он точно соответствует полученной нами четырехмерной формуле при C=2:
Также мы можем двигаться и далее вверх по строкам таблицы чисел Деллано, и с ее помощью проверять формулы S(R) для любых размерностей.
Почему числа Деллано отражают размер растущего кластера в квадратно-гнездовых графах любой размерности - отдельный вопрос (любопытный, но не слишком сложный). Интереснее другое: с виду полученные нами уравнения для решеток различной размерности выглядят очень по-разному, притом усложняясь с ростом размерности. Связь с числами Деллано позволяет тут увидеть общность: общая формула этих чисел для различного размера решеток известна и выглядит следующим образом:
Это сумма, в которой тем больше слагаемых, чем больше размерность решетки. Тем не менее, формула элегантно выглядит и выполняется для всех целочисленных размерностей D - хотя и только для "квадратно-гнездовых" решеток. Это вроде бы дает нам надежду, что и для других решеток (с другими постоянными C) можно отыскать подобные уравнения, а затем и найти общую формулу.
Это, наверное, возможно, но и так мы не достигнем нашей главной цели - нам нужно, чтобы общая формула S(R) могла использоваться не только с целочисленными значениями размерности D. И тут, очевидно, уравнение-сумма, количество слагаемых в котором определяется D (и потому может быть только целочисленным) принципиально не годится.
Хотя находка Анри Деллано очень помогла нам, мы должны поискать общую формулу, совершив "маневр", зайдя к задаче с другой стороны.
Общее уравнение на марсианском языке
Порождающая функция
Сперва об одном очень полезном математическом инструменте - о порождающей функции (мы уже использовали их для решения задачи о точной форме распределения размеров компонентов простейшего критического графа.)
Возьмем какой-то бесконечный ряд чисел - скажем, для простоты и определенности, ряд 1, 4, 9, 25, 36... - ряд квадратов целых чисел. Запишем его в виде функции:
y(i) - обыкновенная числовая функция, и ее уравнение в компактном виде содержит информацию о всех членах бесконечного ряда 1, 4, 9, 25, 36... Зная эту функцию мы легко и однозначно найдем любой номерной член этого ряда.
Однако, функция y(i) - далеко не единственная, которая может "кодировать" этот ряд. Возьмем следующую функцию:
Эта функция (при x ≥ 1 она обращается в бесконечность, так что мы будем рассматривать только значения x от 0 до 1) представляет собой многочлен, в котором ряд коэффициентов при соответствующих степенях x совпадает с рядом, который мы хотим закодировать: 1, 4, 9, 25, 36... Вполне ясно, что эта функция также содержит в себе информацию обо всем ряде, как и исходная функция y(i) - хотя эта информация представлена иначе: члены ряда словно "зашиты" в саму запись функции H(x) в виде бесконечного многочлена.
Конечно, функция, имеющая бесконечную запись неудобна. Но при 0 ≤ x < 1 она сворачивается в компактный вид:
И вот теперь между исходной дискретной функцией y(i) и непрерывной функцией H(x) не видно ничего общего, хотя они содержат информацию об одинаковом бесконечном ряде квадратов.
Функция H(x) именуется порождающей функцией ряда 1, 4, 9, 25, 36..., и на нее можно смотреть как на "потусторонний" образ исходной функции y(i). Или другая метафора: исходная функция y(i) выражает наш ряд на простом, земном языке, а порождающая функция H(x) - на каком-то "марсианском".
Зачем же нам нужен "марсианский язык"? Дело в том, что некоторые свойства ряда 1, 4, 9, 25, 36... (и других) трудно, а то и невозможно передать на человеческом языке. Зато на "марсианском" они формулируются очень просто - и мы сейчас увидим это.
Мы видели, что перевести функцию y(i) на "марсианский язык" не трудно. Но как же сделать обратный перевод? Как порождающая функция H(x) "порождает" ряд 1, 4, 9, 25, 36...? Для этого нужно перейти к ее представлению в форме бесконечного многочлена - тогда мы увидим наш ряд в коэффициентах соответствующих членов. Тут используется стандартная процедура, применяемая при преобразовании функций в степенные многочлены (при разложении в ряд Тейлора). Конкретно, i-ый коэффициент многочлена (а значит и i-ый член исходного ряда) вычисляется следующим образом:
Найдем, например, третий член ряда, то есть, значение y(3). Для этого возьмем третью производную порождающей функции H(x) и поделим на 3! = 6:
В полученном результате приравняем x=0, и мы получим значение 9 - это и есть третий член исходного ряда 1, 4, 9, 25, 36... Не очень простая процедура? Пожалуй, но следует помнить, что мы переводим с марсианского языка...
S(R) на "марсианском языке"
Итак, мы получили вроде бы достаточно универсальные уравнения S(R) для различных целочисленных размерностей D:
Но, 1) они выглядят довольно по-разному, и мы не видим, как их записать в общем виде, и 2) мы не понимаем, как их можно обобщить для дробных размерностей. Но попробуем "перевести их на марсианский язык", то есть построить порождающие функции для зависимостей S(R) различной размерности. Переводим:
и мы вдруг обнаружим, что порождающая функция для всех размерностей D выглядят одинаково:
Более того: в этом уравнении нам ничто не мешает использовать дробные значения размерности D. Кажется, мы нашли, что искали - общее уравнение растущего кластера, пригодное для всех размерностей и коэффициентов C.
Увы, оно написано нами на "марсианском языке". Это не сама универсальная зависимость SD(R), а только ее порождающая функция... И перевести ее "на человеческий язык" не так просто.
1
Какая лиричная глава получилась)
Т (3.03.2015 15:21)
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER