КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Узелки на распуткуУзел 1. Причина степенных распределений
Узел 1.28 Фрактальные и не-фрактальные решетки
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
Узел 1. Причина степенных распределений
Узел 1.2 Механизмы развитияУзел 1.3 Причины и экстремальные принципыУзел 1.4 Максимум специальных энтропийУзел 1.5 Мультипликативный закон сохраненияУзел 1.6 Когнитивные фракталыУзел 1.7 Вязкость сознания и число eУзел 1.8 Модель БернуллиУзел 1.9 Принцип микро-причинностиУзел 1.10 Случайно блуждающие ландшафтыУзел 1.11 Субстанции формы и содержанияУзел 1.12 Размерность Хаусдорфа и метрическая связностьУзел 1.13 Вне-пространственные фракталыУзел 1.14 Фракталы на графахУзел 1.15 Фрактальная размерность графов и сетейУзел 1.16 Фрактальность древовидных графовУзел 1.17 Фрактальная размерность и степенная статистикаУзел 1.18 Локальные и глобальные размерности графовУзел 1.19 Локальные и глобальные размерности графов (II)Узел 1.20 Локальные и глобальные размерности графов (III)Узел 1.21 Критические графы как фракталыУзел 1.22 Критические графы как фракталы (II)Узел 1.23 Возвращение к БернуллиИнтерлюдия. Две простые задачиУзел 1.24 Зоопарк критических графовУзел 1.25 Зоопарк критических графов (II)Узел 1.26 Режим стохастической самоподдержкиУзел 1.27 Растущие кластеры и размерность решеток
Узел 1.28 Фрактальные и не-фрактальные решетки
Узел 1.29 Энтропия ростаУзел 1.30 Энтропия графов и пространствУзел 1.31 Игра в инверсию
Узел 2. Опус о числах и формах
.
Прологи
.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Узел 1.28 Фрактальные и не-фрактальные решетки
 
Роман Уфимцев
7 марта 2015 года, Калининград
В предыдущей нити автор начал выбираться из ловушки - из ошибочного вывода о том, что во всех регулярных решетках целочисленной размерности рост кластера с расстоянием (рост количества доступных узлов, находящихся в пределах расстояния R шагов от заданного) отвечает уравнению:
где D - размерность решетки, С - постоянная, зависящая от локальной геометрии решетки.
Привлекательность этого уравнения в его красоте и в том, что оно позволяет описывать фрактальные графы, поскольку в нем размерность D может быть и не целочисленной. Однако, оно не верно или, по крайней мере, не соответствует росту кластера во многих регулярных решетках.
Автор предпринял попытку найти правильное универсальное и пригодное для использования с нецелочисленными размерностями уравнение роста кластера S(R), однако, все, что удалось получить к завершению предыдущей нити - универсальное уравнение порождающей функции для S(R):
К сожалению, нет никакого общего и пригодного в данном случае способа преобразования производящей функции в исходное уравнение S(R) - хотя на основании производящей функции мы можем вычислить любое конкретное значение этой функции.
Однако - и это своего рода везение - сразу после публикации предыдущей нити автору удалось найти общее уравнение S(R). Вот оно:
(Не будем тут углубляться в вопрос, как оно нашлось, но получив порождающую функцию данной функции S(R), можно убедиться, что она совпадает с приведенной выше.)
Синим цветом выделены так называемые гипергеометрические функции 2F1 - это специальная математическая функция, имеющая в данном случае четыре аргумента и - что для нас очень важно - допускающая нецелочисленные значения первого аргумента -D или 2-D.
Это уравнение, конечно, выглядит сложнее, чем ошибочное. Смысл гипергеометрических функций несколько труднее для понимания, нежели смысл гамма-функций, входящих в ложное уравнение. Для того, чтобы в нем немного разобраться, обратимся к случаю C=2: мы видим, что в этом случае общее уравнение упрощается до чистой гипергеометрической функции:
Это, видимо, не случайно. Как мы знаем, значению C=2 соответствуют "квадратно-гнездовые" графы различных размерностей (квадратные, кубические, гиперкубические, и т.д.) - а они единственные, которые существуют в пространствах любых целочисленных размерностей, и потому, видимо, играют какую-то особую роль в идеальном мире чисел и форм. (Наряду с еще одним уникальным семейством графов - но о нем позже.)
Последнее нужно пояснить. Вообще, в пространстве некоторой целочисленной размерности могут сущестовать различные супер-регулярные решетки, отличающиеся локальной геометрией. Вот, например, четыре варианта (а это, разумеется, не все возможности) в двух измерениях:
Случай C=2 интересен тем, что он наверняка существует в пространствах всех целочисленных размерностей более 1 - нам легко понять, как квадратная решетка превращается в кубическую - мы ее просто дублируем вдоль третьей пространственной размерности. Таким же образом мы можем перейти и от кубической решетки к гипер-кубической - мы просто дублируем граф размерности 3 вдоль четвертой пространственной оси, и т.д. Отметим, что ни с одной другой геометрией сети эта процедура - переход к варианту более высокой размерности дублированием вдоль новой оси координат - 1) не сохраняет постоянную C, и 2) не сохраняет анизотропность решетки, в них одно или несколько пространственных направлений по геометрической структуре начинают отличаются от остальных - а это, вообще-то, не очень хорошо. Например, превратим таким образом двухмерный граф с C=3/2 в трехмерный граф:
Для него постоянная C=1, и в нем одно направление по геометрии отличается от остальных - граф очевидно "слоистый".
Но в действительности дело не в высших размерностях, а наоборот, в случае D=1:
Подставив значение D=1 в наше новое универсальное уравнение S(R) мы получим:
И только при C=2 мы в данном случае получаем результат, совпадающий с фактическим ростом кластера S(R). Таким образом, одномерный граф тоже является "квадратно-гнездовым", и других вариантов в одномерном случае нет.
"Приручение" формулы Деллано и гипергеометрическая функция
Возьмем ряд чисел 1, 3, 9, 27, 81... В нем каждый следующий член ровно в 3 раза больше предыдущего. Это - геометрический ряд чисел, как и любой другой, в котором выполняется условие:
где z - постоянное отношение между соседними членами. Теперь возьмем ряд факториалов: 1, 2, 6, 24, 120... В нем отношение соседних членов не остается постоянным - оно растет вместе с их номерами:
Собственно, ряд факториалов - один из простейших примеров гипергеометрического ряда. В общем случае в гипергеометрических рядах отношение соседних членов равно некоторой рациональной функции от их номера:
Заметим множитель z/(i+1). Его для удобства принято всегда добавлять, даже если в фактическом отношении соседних членов гипергеометрического ряда его не видно. Для этого, например, отношение членов ряда факториалов можно переписать так:
Хотя возможных вариантов гипергеометрических рядов, очевидно, бесчисленное множество, наибольший интерес представляют ряды, в которых отношение соседних членов выглядит так:
Гипергеометрическая функция 2F1 - это просто сумма по всем возможным членам гипергеометрического ряда, начиная от какого-то y(0) (иногда возможных членов бесконечное количество, иногда - нет):
Двойка в обобзначении функции 2F1 означает количество множителей в числителе отношения y(i+1)/y(i) - у нас их, кроме обязательного z, два: (i+a) и (i+b). Единица в обозначении функции означает, что в знаменателе один не-обязательный множитель (i+с).
Теперь сделаем шаг к нашей теме. В предыдущей нити мы говорили об открытии Анри Деллано, благодаря которому мы знаем общее уравнение растущего кластера для любых целочисленных размерностей в "квадратно-гнездовом" случае C=2:
Выражение выглядит как сумма ряда величин y(i), и легко увидеть, что отношение соседних членов в этом ряду соответствует критериям гипергеометрического ряда:
То есть,
Обратим внимание, что в уравнении
суммируется только D+1 первых членов ряда с номерами от 0 до D. Дело в том, что все следующие члены равны нулю: при i = D следующий член ряда, имеющий номер D+1 оказывается нулевым, а значит, ряд завершается:
Далее, заметим, что по определению наша гипергеометрическая функция симметрична относительно аргументов -D и -R:
Но это значит, что мы можем поменять местами аргументы D и R, так что для записи "в стиле Деллано" получим
Теперь количество членов суммы определяется не размерностью D, а расстоянием R - и это нас устраивает, потому что расстояния на решетках всегда целочисленные. А вот размерность D теперь может быть и не целочисленной - достаточно в этом уравнении в соответствующем месте перейти от факториалов к гамма-функциям:
Вот так мы "приручили" формулу Деллано и теперь можем с ее помощью вычислять S(R) в "квадратно-гнездовых" графах любой размерности, не только целочисленной. (Вообще говоря, этот трюк с заменой D и R мы могли бы обосновать и без всяких разговоров о гипергеометрических функциях, но с их помощью он становится очевидным).
Теперь, в общей формуле есть вторая гипергеометрическая функция:
Проделывая с ней аналогичный трюк, мы получим альтернативную запись нашего общего уравнения S(R) - в форме суммы:
Итак, мы достаточно разобрались с тем, как на самом деле растут кластеры в супер-регулярных решетках различной размерности, и теперь приступаем к главной причине, по которой мы уделили этому вопросу особое внимание...
Революция в сознании: не все регулярные решетки - фракталы!
Главная проблема, которая сподвигла автора на поиск точной формулы роста кластеров в регулярных решетках - решение проблемы с критерием фрактальности графов, который выглядит следующим образом:
(это уравнение - чуть видоизмененная формы условия, которое мы обсуждали некоторое время назад. Мы его модифицировали: теперь мы включаем в растущий кластер и исходный узел, а раньше не включали.)
Как мы знаем, это условие выполняется точно, если рост кластера соответствует уравнению
Рассматривая простейшие для анализа регулярные графы-решетки, мы исходили из простой мысли, что их фрактальная размерность должна быть равна метрической размерности пространства, в котором они разворачиваются. Например, плоский "квадратно-гнездовой" граф должен иметь фрактальную размерность 2, поскольку он изоморфен плоскости, на которой располагается. Далее, трехмерный аналог этой решетки разворачивается в трех измерениях и поэтому сам должен являться фракталом с размерностью 3, и т.д.
Проблема, столкновение с которой стало для автора сюрпризом, заключалась в том, что рост кластера в трехмерном "квадратно-гнездовом" графе не соответствует этому уравнению. Не соответствует ему и четырехмерный "квадратно-гнездовой" граф, и т.д. Более того, выясняется, что вообще в точности этому уравнению соответствует узкий класс регулярных решетчатых графов.
Конкретно, оказывается, что условию фрактальности точно соответствуют все супер-регулярные графы с размерностью D=2:
Ему отвечают также и одномерные регулярные графы:
Но этому уравнению не соответствует ни один супер-регулярный граф более высокой размерности - и это странно и неожиданно.
Мы уже говорили о дилемме, которая тут возникает. Либо мы должны, тем не менее, считать суперегулярные графы (например, "квадратно-гнездовые" решетки) всех размерностей идеально фрактальными графами - и тогда наше условие фрактальности графов не верно. Либо мы должны признать, что действительно не все трехмерные (четырехмерные, и т.д.) супер-регулярные решетки являются идеальными фракталами.
И тот и другой вариант решения проблемы ломает некоторые устоявшиеся у нас представления. Действительно, трудно понять, например, почему двухмерная "квадратно-гнездовая" решетка является идеально фрактальным графом, а ее трехмерный аналог - нет. И тем не менее, дело обстоит именно так. Автор выбирает второй способ решения дилеммы, потому что логика, которая стоит за условием фрактальности графов настолько проста и прозрачна, что автор не может ставить ее под сомнение. И остается признать: если граф не соответствует этому условию, он действительно не является идеальным фракталом.
Итак, супер-регулярные решетки в пространствах размерности 3 и выше, рост кластеров в которых отвечает полученному нами выше уравнению S(R) с гипергеометрическими функциями, не являются идеальными графами-фракталами. Значит ли это, что вообще в пространствах размерности 3 и более не может быть регулярных графов, имеющих идеально фрактальную структуру? Это было бы просто нелепо!
Да, это было бы нелепо. И поэтому находится как минимум один пример регулярной решетки в трехмерном пространстве, являющейся идеально фрактальной - да еще какой! Это граф, повторяющий структуру алмаза:
В предыдущей нити мы его лишили звания супер-регулярного графа, а ряд его значений S(R) 1, 5, 17, 41, 81... не подчиняется общей для других трехмерных решеток формуле. Однако, он точно подчиняется уравнению
при значении C=4/3. "Алмазный" граф является идеальным трехмерным фракталом - и это замечательно, поскольку теперь у нас есть контрпример трехмерным решеткам "попроще", которые идеальными фракталами не являются.
Есть еще кое-что замечательное в этом примере. Он подсказывает нам, что из себя представляют идеально фрактальные решетки и в пространствах более высокой размерности.
От алмазов к гипер-алмазам
Среди прочих двухмерных решеток одна кажется особенно похожа на трехмерный "алмазный" граф:
Это самая ажурная регулярная решетка, возможная на плоскости, обладающая наименьшим возможным значением геометрической постоянной C=3/2.
Точно также, решетка алмаза является самой ажурной регулярной решеткой в трехмерном пространстве. Сравнивая эти решетки становится виден некий общий принцип их строения: в структуре двухмерной решетки можно разглядеть треугольные секции, а в решетке алмаза - секции, имеющие форму тетраэдра. Равносторонний треугольник с одной стороны и тетраэдр с другой - это полигоны, играющие особую роль в двух- и трехмерной геометрии соответственно. Равносторонний треугольник - фигура, обладающая минимально возможным на плоскости числом одинаковых сторон - тремя. Тетраэдр - многогранник, обладающий минимально возможным количеством одинаковых сторон (граней) в трехмерном пространстве - четырьмя. При этом его грани представляют собой равносторонние треугольники.
По аналогии, в четырехмерном пространстве также существует многогранник с такими же экстремальными свойствами, он называется пентахороном (или 4-симплексом). Он имеет 5 одинаковых трехмерных сторон/граней, каждая из которых представляет собой трехмерный тетраэдр. Вряд ли возможно вообразить пентахорон, но мы можем быть уверены, что из пентохоронов мы можем выстроить структуру, являющуюся четырехмерным аналогом алмазной решетки - самый ажурный регулярный четырехмерный граф, "гипер-алмаз". В нем каждый узел имеет связи с 5 другими узлами, и мы можем предположить, что он также отвечает условию идеальной фрактальности, так что рост кластера в нем подчиняется уравнению
Так ли это на самом деле или мы снова излишне обобщаем - покажет время, но если наш ход мысли правильный, то точно также существует пятимерный аналог алмазной решетки, шестимерный, и т.д. При этом если они все являются идеально фрактальными графами, уравнение роста кластера в "алмазных" графах любой размерности в общем подчиняется уравнению:
Поскольку эти графы, видимо, являются самыми ажурными из возможных в своем пространстве, величина C=(D+1)/D обозначает нижнюю возможную границу структурной постоянной C при каждой размерности пространства D, которую мы вообще можем увидеть в регулярных графах (и идеально фрактальных, и не относящихся к таковым). Например, в двухмерном пространстве минимальное значение C=3/2, в трехмерном пространстве - С=4/3, и т.д.
Являются ли алмазные и гипер-алмазные графы единственным примером идеально фрактальных регулярных графов размерности более 2?
Это интересный вопрос. Автор склоняется к мнению, что так вполне может оказаться. Однако, пока твердого ответа на него нет - тут можно поломать голову и потренировать пространственное воображение. Для "затравки" - некоторые теоретические значения S(R) для трехмерных идеально фрактальных графов при различных значениях C:
С=2: 1, 7, 25, 61, 121,.. (Расхождение с ростом кластера в простой трехмерной "квадратно-гнездовой" решетке в четвертом элементе ряда: тут 61, в "квадратно-гнездовой" - 63. Далее расхождение увеличивается.)
C=8/3: 1, 9, 33, 81, 161,..
C=3: 1, 10, 37, 91, 181,..
C=4: 1, 13, 49, 121, 241,.. (Расхождение с ростом кластера в графе, в котором узлы расположены в центрах сфер, уложенных в плотнейшую возможную укладку, уже в третьем элементе ряда: там 55, а тут - 49.)
Шансы тут невелики, но если удастся придумать трехмерный регулярный граф (регулярный - значит такой, в котором все узлы неотличимы друг от друга), в котором рост кластера соответствует одному из этих рядов, то мы найдем еще один пример идеально фрактального трехмерного графа, кроме "алмазного".
У трехмерной алмазной решетки есть интересное свойство, которое в контексте нашего разговора кажется не случайным: она имеет двухмерные проекции, совпадающие с тремя основными регулярными фрактальными решетками на плоскости:
Это интересный факт: проекции идеально фрактального графа сами являются идеальными фракталами.
Подведем итог. Шок и разочарование, которое пережил автор, когда вдруг обнаружил, что уравнение роста кластеров в идеально фрактальных графах
не согласуется с реальной картиной во многих регулярных решетках сменились удивлением: мы обнаружили факт, который противоречит здравому смыслу: какими бы простыми и регулярными не были решетки размерности более 2, почти все они не являются фракталами в строгом смысле слова. А вот решетки размерности 2 и 1 - являются. По видимому, только одно уникальное семейство графов является идеально фрактальным в пространствах любой целочисленной размерности - это "алмазные" графы. Разве это не удивительно?
Как бы то ни было, теоретическое основание, на котором мы строили наше исследование фрактальных сетей и графов, подвергшись критическому пересмотру устояло и стало от этого еще крепче. И, между прочим, мы приближаемся к какому-то новому пониманию фрактальности как свойства пространственных форм или вне-пространственных графов. Оно, как и традиционное, содержит в себе представление о самоподобии, но не самоподобие играет в нем центральную роль, а кое-что иное...
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER