КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Узелки на распуткуУзел 1. Причина степенных распределений
Узел 1.31 Игра в инверсию
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
Узел 1. Причина степенных распределений
Узел 1.2 Механизмы развитияУзел 1.3 Причины и экстремальные принципыУзел 1.4 Максимум специальных энтропийУзел 1.5 Мультипликативный закон сохраненияУзел 1.6 Когнитивные фракталыУзел 1.7 Вязкость сознания и число eУзел 1.8 Модель БернуллиУзел 1.9 Принцип микро-причинностиУзел 1.10 Случайно блуждающие ландшафтыУзел 1.11 Субстанции формы и содержанияУзел 1.12 Размерность Хаусдорфа и метрическая связностьУзел 1.13 Вне-пространственные фракталыУзел 1.14 Фракталы на графахУзел 1.15 Фрактальная размерность графов и сетейУзел 1.16 Фрактальность древовидных графовУзел 1.17 Фрактальная размерность и степенная статистикаУзел 1.18 Локальные и глобальные размерности графовУзел 1.19 Локальные и глобальные размерности графов (II)Узел 1.20 Локальные и глобальные размерности графов (III)Узел 1.21 Критические графы как фракталыУзел 1.22 Критические графы как фракталы (II)Узел 1.23 Возвращение к БернуллиИнтерлюдия. Две простые задачиУзел 1.24 Зоопарк критических графовУзел 1.25 Зоопарк критических графов (II)Узел 1.26 Режим стохастической самоподдержкиУзел 1.27 Растущие кластеры и размерность решетокУзел 1.28 Фрактальные и не-фрактальные решеткиУзел 1.29 Энтропия ростаУзел 1.30 Энтропия графов и пространств
Узел 1.31 Игра в инверсию
Узел 2. Опус о числах и формах
.
Прологи
.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Узел 1.31 Игра в инверсию
 
Роман Уфимцев
1 мая 2015 года, Калининград
Причудливая тропа размышлений о фрактальных графах привела нас к теме комплиментарных пар распределений. В частности, оказалось, что однородному распределению в особом смысле комплиментарно степенное распределение с показателем θ=2 - то есть, зипфовское распределение. Это интересный факт, который в конечном итоге приводит нас к идее, которую мы и попробуем сформулировать в этой нити. Она не проста для понимания, поскольку требует пересмотра наших представлений об отношениях между познаваемой природой и познающим разумом. Но, возможно, эта идея существенно приближает нас к главной цели этого Узла - к разгадке тайны степенных распределений.
Макрокосм и микрокосм
Вообразим себя средневековым метафизиком и геометром, который решил "поверить алгеброй" одну из древних философских идей - концепцию о макрокосме и микрокосме. Полагаю, читатель знаком с нею, но в простейшем понимании это концепция, в соответствии с которой человек представляет собой "микро-космос", который в своих ключевых свойствах и законах является отражением "макро-космоса" - вселенной вокруг нас (впрочем, конечно существует и мистическая трактовка, в соответствии с которой, наоборот, внешний макро-космос отражает внутренний микро-космос). Скажем, вот вполне характерная цитата из Сенеки:
Какое место в мире занимает Бог, такое в человеке — дух, какое в мире — материя, такое в нас — тело.
Можно также припомнить загадочное высказывание, приписываемое признанному патриарху всех тайных учений, Гермесу Трисмегисту. Оно несет ту же мысль:
То, что внизу, — подобно тому, что вверху. А то, что вверху, — подобно тому, что внизу. И это надо знать для того, чтобы обрести познание наичудеснейшего Единого.
Ясно: "то, что внизу" - это микрокосм, а "то, что вверху" - макрокосм. (Надо сказать, что и в наше время наука подспудно продолжает соглашаться с древними, может только не так явно. В частности, современные исследователи человека полагают, что люди создают в своем сознании "карту мира" - эдакую локальную информационную копию внешнего мира - на которую, собственно, и опираются в своем мышлении и поведении. По сути, они тут недалеко ушли от Сенеки и Гермеса Трисмегиста.)
"Как же это может быть?" - подумал однажды наш метафизик и геометр - "Ведь мир вокруг велик, а наше тело мало. А мировая Душа несравненно больше человеческой. Как же они могут отражать друг друга? И к поиску ответа на свой вопрос он прибегнул к геометрии.
(К слову, как нам не хватает простоты мышления древних - они еще не знали тогда, что философские вопросы слишком сложны и запутаны, чтобы в них можно было разбираться средствами математики. А сегодня мы об этом знаем, и поэтому философия и учения о сознании человека представляют собой просто какие-то словесные карнавалы.)
И он начал дело с того, что на листе бумаги начертил окружность - самую идеальную из геометрических фигур на плоскости:
Содержание окружности от назначил микрокосмом, а бесконечную плоскость за ее границами - макрокосмом. И проблема, которую предстояло ему решить, состояла в следующем: как содержание окружности может отражать содержание всей бесконечной плоскости вокруг нее? Как конечное может отражать бесконечное?
Далее его логика была следующей: в окружности есть особая точка - ее центр. Эта особая точка отражает нечто особое во вне - но в окружающей бесконечой плоскости, кажется, нет никаких особых точек! Раз так, то центральная точка должна отражать нечто такое, чего на бесконечной плоскости нет. А на ней нет только границы - которая находится где-то бесконечно далеко.
Так мы вместе с геометром пришли к первому и ключевому выводу: центр микрокосма отражает бесконечно далекие границы макрокосма: то есть, центр окружности отражает все бесконечно удаленные точки внешней плоскости.
А что отражают точки, находящиеся, наоборот, на краю окружности? Ответив на первый вопрос, мы легко найдем ответ и на второй: эти точки отражают сами себя, потому что они одинаково принадлежат и микрокосму и макрокосму:
А далее геометр и метафизик немедленно пришел к простому и прекрасному правилу, связывающему точки микрокосма с точками макрокосма:
Восхищенный своим открытием, он решил, что это знание не должно попасть в руки непосвященных. Он записал его в тайной тетради, спрятал среди древних фолиантов, и занялся другими делами.
Свойства инверсии
Сегодня преобразование пространства, в котором с каждой точкой на расстоянии r от некоторого центра сопоставляется точка на расстоянии R = 1/r называется инверсией по окружности единичного радиуса. Наиболее яркая черта этого преобразования - оно словно "выворачивает" пространство наизнанку: точки, которые находились рядом с центром оказываются очень далеко, и наоборот. А точки, которые находились на расстоянии 1 от центра остаются на своих местах. Однако, этого было бы недостаточно для старинного и глубокого интереса геометров к этому преобразованию - ну, просто "выворачивание наизнанку" - что с того?
В действительности инверсия имеет немало неожиданных и замечательных свойств. Раз уж мы о ней заговорили, познакомимся с некоторыми из них. (Читатель может сам немного поэкспериментировать с инверсией с помощью графического онлайн-приложения - это будет полезно, чтобы получить интуитивное представление о ее действии.)
Во-первых, она на самом деле "выворачивает" пространство и содержащиеся в нем формы:
А вот три наиболее интересных свойства инверсии:
I. Преобразование инверсии преобразует окружности в окружности - замечательное свойство! При этом ни одна из них не должна касаться центра инверсии. Если касается, то...
II. Окружности, касающиеся центра инверсии, преобразуются в бесконечные прямые, и наоборот: любые бесконечные прямые преобразуются в окружности, касающиеся центра инверсии. С учетом первого свойства можно сказать, что для инверсии прямые - это окружности бесконечного радиуса.
III. Если фигура не является кругом, преобразование инверсии не сохраняет ее общую форму, но все локальные углы в фигуре сохраняются.
Используя эти свойства, с помощью инверсии можно получить очень красивые доказательства некоторых геометрических теорем - именно это сперва и привлекло к ней внимание геометров.
Интересный пример - проследите соответствия между деталями внешней и внутренней фигуры:
Инверсия может происходить не только на плоскости, но и в пространстве - вот впечатляющий пример, позволяющий ощутить "дух" трехмерной инверсии:
Отметим, что преобразование инверсии в строгом смысле не столько ставит в соответствие "макрокосм" и "микрокосм", сколько преобразует все пространство: область внутри инвертирующей окружности становится областью вне ее, и наоборот. Поэтому инвертируя, например, бесконечную шахматную доску мы получим бесконечную же инверсную доску - и где находится инвертирующая окружность в данном случае не важно:
Естественно, что применяя к полученному результату преобразование инверсии еще раз мы вернемся к исходной шахматной доске.
Однако, в наши дни интерес к инверсии проявляют уже не геометры, а физики. Дело в том, что всем известным законам физики, которые действуют в нашем мире, по-видимому можно поставить в соответствие законы, действующие в инверсном. Так, мы считаем, что лучи света распространяются прямолинейно и с постоянной скоростью. А если мы живем в инверсном мире, они распространяются по круговым траекториям и скорость света замедляется по мере приближения луча к "центру мира" - и у нас нет никакой возможности определить, как дело обстоит на самом деле.
Забавный пример "игры в инверсию" - теория полой Земли:
В соответствии с этой шуточной теорией (хотя и только отчасти шуточной), мы живем не на поверхности шарообразной планеты, а на стенках планетарной полости. В центре расположен сгусток, содержащий звезды. Вокруг него вращаются Солнце и Луна, лучи перемещаются по круговым траекториям, и т.д. - и в этом мире все выглядит также, как в "нормальном". Подробнее - в статье из журнала "Наука и жизнь".
Далее общепринятая логика такова: раз мы не можем определить, в каком именно мире мы живем - в "нормальном" или инверсном, это не должно иметь значения. Значит, мы вольны выбирать такую картину мира, которая кажется удобнее. Скажем, "нормальный" мир, в котором лучи распространяются прямолинейно и с постоянной скоростью вроде бы выглядит проще инверсного - давайте и будем считать, что мы живем в "нормальном" мире.
Но кажется автору, что в этой логике все же что-то не так.
Соприкосновения двух миров и закон Зипфа как артефакт
Когда у нас есть две альтернативные теории, вполне объясняющие наблюдаемые феномены, рекомендуется делать выбор в пользу простейшей из них - это принцип бритвы Оккама. Однако, вопрос в том, что считать простотой, и как не перепутать простоту и привычность теории. Если подумать, то между "нормальной" и инверсной космологией нет никакой разницы в отношении простоты, но "нормальная", безусловно, привычнее. Бритва Оккама тут нам не советчик, и следует воспользоваться другим эмпирическим правилом, сходным с принципом недостаточной причины: если у нас нет оснований выбрать ту или иную альтернативную теорию, их следует считать одинаково правдоподобными. Например, можно рассматривать версию, что они могут быть одновременно или попеременно верны.
Что, если мы живем не в "нормальном" и не в инверсном мире, а одновременно в обоих?
Если так, мы это смогли бы заметить только тогда, когда "нормальный" и инверсный мир соприкасаются. Это должно приводить к особым нарушениям "нормальных законов" и возникновению трудно- или неудобно объяснимых аномалий. При этом нарушения не обязаны быть какими-то фантастически редкими событиями - они могут быть вполне распространены, но ускользать от нашего внимания или иметь какое-то сложное и неверное объяснение.
Полагаю, внимательный читатель догадывается, куда мы клоним. В предыдущей нити мы обнаружили, что статистика Зипфа - степенное распределение с показателем θ=2 - является обращением или инверсией однородного распределения. И вот как этот факт выглядит в рамках геометрической инверсии:
Пусть на расстоянии от 0 до s от центра инверсии однородно распределены точки. То есть, распределение точек по расстояниям от центра является однородным. Если дальняя точка находится точно на расстоянии s от центра и всего имеется n точек, ранговая форма их распределения по расстояниям:
Далее, в результате инверсии точки на расстоянии r от центра становятся точками на расстоянии 1/r от центра. Самая дальняя точка преобразуется в точку на расстоянии a=1/s. Установим, что ранговое распределение точек по расстояниям от центра после инверсии:
И это ничто иное как ранговая форма закона Зипфа, то есть, степенного распределения с показателем θ=2. Таким образом, однородное распределение точек по расстоянию от центра инверсии преобразуется в зипфовское распределение (и наоборот).
Мы знаем, что однородное распределение является распределением максимальной энтропии и оно есть выбор природы "по умолчанию". Это значит, что при отсутствии каких-либо условий и ограничений, распределение некоторой натуральной случайной величины должно быть однородным. Поэтому, хотя чистые однородные распределения встречаются в натуральной феноменологии и не так часто (законы материального мира диктуют немало условий и ограничений), мы не удивляемся им.
Однако, глядя на однородное распределение из инверсного мира мы будем видеть степенное распределение с показателем θ=2. Если допустить, что мы одновременно обитаем и в "нормальном" и в инверсном мире, то наблюдение статистики Зипфа в каком-либо явлении может означать, что именно в нем происходит соприкосновение "нормального" и инверсного мира. То есть, закон Зипфа - это артефакт наблюдения инверсного мира из "нормального" (или наоборот).
Эта гипотеза буквально выворачивает наизнанку здравый смысл, но она дает вполне исчерпывающее объяснение загадочной распространенности и универсальности закона Зипфа. Ультимативной причиной оказывается принцип максимума энтропии - который, правда, должен действовать не в том мире, из которого мы наблюдаем результаты его действия.
Ткач и энтропия
Впрочем, автор пока не совсем уверен, что мы нашли настоящую причину распространенности степенных распределений и закона Зипфа. Но эта гипотеза, как минимум, полезное упражнение для воображения. А еще она приводит к идее, масштаб которой куда шире проблемы степенных распределений. Вот о чем речь: хотя мы выше говорили о "нормальном" и инверсном мире, это не вполне верно - мир, конечно, един. Однако, у единого мир может быть два лика, и тут возникает очень любопытная идея. Вообразим, что натуральный мир похож на лоскут ткани, у которой есть лицевая сторона и изнанка. С какой бы стороны мы не смотрели на лоскут, мы видим одну и ту же ткань, но стороны выглядят по разному: если на лицевой стороне изображены бордовые цветы на бежевом фоне, на изнанке мы увидим, наоборот, бежевые цветы на бордовом фоне:
Эти стороны - видимые манифестации одного и того же лоскута ткани, и они являются противоположностями друг друга: можно сказать, что каждая сторона является инверсией другой.
Положим теперь, что мастер, соткавший эту ткань, придерживался некоторых правил при ее изготовлении - и мы желаем их понять. Скажем, он соблюдал особую закономерность узора и подбора нитей различных цветов. Но что в результате? Узор на ткани выглядит одинаково с любой стороны (с точностью до зеркального отражения), а вот цвета на лицевой и изнаночной стороне различаются. В простейшем случае, если использовались нити всего двух цветов - бордовые и бежевые - два цвета меняются местами. Но если нитей разного цвета было больше, цветовые отношения между лицевой стороной ткани и ее изнанкой оказываются не такими тривиальными. То есть, глядя на любую сторону ткани мы смогли бы понять замысел ткача относительно форм, которые он хотел изобразить, но его замысел относительно цвета мы смогли бы ясно разглядеть лишь глядя на лицевую сторону ткани. Иными словами, в закономерностях плетения лоскута есть те, которые очевидны с любой точки зрения на него, а есть те, которые хорошо заметны только с определенной. (Конечно - это важно заметить - и глядя на изнанку ткани можно установить закон подбора цветных нитей, но сделать это гораздо труднее, чем при взгляде на лицевую сторону.)
Настоящие ткачи всегда помнят о том, какая сторона ткани будет лицевой, а какая - изнанкой. Но если наш мир похож на ткань, то Мастер, создавший ее, мог и не предпочитать одну сторону другой. Если так, то ткань нашего мира не имеет лицевой стороны и "изнанки", обе стороны равноценны и равноправны. Тогда одни и те же закономерности, одни и те же предпочтения Мастера явным образом проявляются то на одной, то на другой стороне ткани, и если в какой-то момент на одной стороне "ткани мира" мы наблюдаем простую и ясную закономерность, на обратной стороне тем временем мы можем видеть странную и сложную для объяснения феноменологию.
Теперь вернемся к принципу максимума энтропии. Он утверждает, что статистика максимально возможной энтропии - выбор природы "по умолчанию". Образно говоря, это основное или исходное правило, которое использует Мастер, создавая ткань нашего мира. Но это правило применяется не к самой ткани, а к одной из ее сторон - и если на одной стороне мы увидим ясные следы действия этого правила, но на другой - нечто совершенно иное. Конкретно, если две стороны "ткани мира" связаны как прямое и инверсное пространство, и на одной из ее сторон рукой Мастера выткана статистика максимальной энтропии - то есть, однородное распределение - на другой мы увидим степенное распределение с законом Зипфа, а он, как мы знаем, весьма не тривиален с точки зрения принципов максимума энтропии. Но взглянем на другой участок ткани, и мы сможем увидеть обратную картину: Мастер занялся другой стороной ткани и распределения меняются местами.
Артикулируем суть идеи ясно: может быть, энтропия должна пониматься не как характеристика мира в его субстанциональной сути, не как характеристика самой "ткани мира" - а ведь именно так энтропия понимается в естественной науке. Может быть, энтропия характеризует только ту или иную сторону "ткани мира", а значит, является атрибутом взаимодействия субстанции мира и наблюдателя. Или, говоря философскими терминами, энтропия - не онтологическая, а гносеологическая категория. Если так, то находит свое объяснение и загадочная двойственность принципа максимума энтропии - который с одной стороны говорит нам о том, как устроен мир, а с другой (в лице принципа недостаточной причины Якоба Бернулли) - говорит о том, как нам следует строить свои описания мира.
Впрочем, принцип максимума энтропии - только одно из правил, которыми широко пользуется Мастер, создающий ткань нашего мира. Существуют и другие - например, законы сохранения. И если наш мир имеет два лика, две манифестации, находящиеся друг с другом в инверсных отношениях (а может, их и больше), то эти законы также могут являться перед нами двояко - иногда как законы сохранение энергии, импульса и т.д. в своем классическом виде, а иногда - как специфичные нарушения классических законов. Это случается тогда, когда мы глядим на "изнанку мира", в то время, когда стройные "узоры" законов сохранения сплетены на другой его стороне.
Постскриптум к этой нити: вежливый диалог с природой
Изложенные в этой нити мысли - особенно идея гноселогического характера энтропии - заставляют заняться серьезным переосмыслением традиционных представлений об отношениях между познаваемым объектом и познающим субъектом. Вместо классического образа естествоиспытателя, разглядывающего в большое увеличительное стекло засушенную бабочку (которой уже все равно, разглядывают ее или нет) мы получаем картину живого диалога между исследователем и природой, в котором нет объекта и субъекта, а есть два активно реагирующих друг на друга участника. Принцип максимума энтропии и другие естественнонаучные аксиомы оказываются не свойствами сушеных бабочек, а чем-то вроде правил вежливости и хорошего тона в беседе человека и природы. Когда природа хочет быть вежливой и понятной, она демонстрирует стремление к максимуму энтропии. Наоборот, когда исследователь желает быть вежливым в этом диалоге, он придерживается родственного принципа недостаточной причины Бернулли - все очень чинно и вежливо.
Ну, а если мы не понимаем, скажем, почему мы видим в феномене степенное распределение? Это, скорее всего значит, что мы неверно начали разговор с природой, и нам следует заглянуть в окошко на другой стороне.
Продолжение следует.
1
Роман, а когда будет продолжение?
ТБ (12.07.2015 20:25)
2
:)
Роман Уфимцев (12.07.2015 22:07)
3
Спасибо, вопрос
Уже около пол года жду продолжения :) Понемаю что ето большой труд. Скажите только не забросили ли ето?
Любомир (Україна) lubomyr.ivanitskiy@gmail.com (2.02.2016 18:24)
4
Время покажет, забросил ли я эту тему или нет. В любом случае продолжение будет другим, на другую основную тему.
Я, вероятно, не вполне понятно все тут расписал, но со степенными распределениями мне стало более-менее ясно. Они естественны примерно так же, как естественно, что орел и решка на монете выпадают одинаково часто.
Другие темы возникли, куда более серьезные, к которым подступиться не легко.
Роман Уфимцев (2.02.2016 22:23)
5
Спасибо за ответ
Спасибо за ответ. Я тоже интересуюсь данной тематикой и вообще вопросы мироустройства - это то что занемает все мое свободное время. Я пишу дисертацию по комп'ютерной лингвистике, и там фигурирует закон Зипфа. По этому благодарю за вашы работы, благодаря им очень много для себя почерпнул. Удачи и успеха вам
Любомир (Україна) lubomyr.ivanitskiy@gmail.com (3.02.2016 10:38)
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER