КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Узелки на распуткуУзел 1. Причина степенных распределений
Интерлюдия. Две простые задачи
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
Узел 1. Причина степенных распределений
Узел 1.2 Механизмы развитияУзел 1.3 Причины и экстремальные принципыУзел 1.4 Максимум специальных энтропийУзел 1.5 Мультипликативный закон сохраненияУзел 1.6 Когнитивные фракталыУзел 1.7 Вязкость сознания и число eУзел 1.8 Модель БернуллиУзел 1.9 Принцип микро-причинностиУзел 1.10 Случайно блуждающие ландшафтыУзел 1.11 Субстанции формы и содержанияУзел 1.12 Размерность Хаусдорфа и метрическая связностьУзел 1.13 Вне-пространственные фракталыУзел 1.14 Фракталы на графахУзел 1.15 Фрактальная размерность графов и сетейУзел 1.16 Фрактальность древовидных графовУзел 1.17 Фрактальная размерность и степенная статистикаУзел 1.18 Локальные и глобальные размерности графовУзел 1.19 Локальные и глобальные размерности графов (II)Узел 1.20 Локальные и глобальные размерности графов (III)Узел 1.21 Критические графы как фракталыУзел 1.22 Критические графы как фракталы (II)Узел 1.23 Возвращение к Бернулли
Интерлюдия. Две простые задачи
Узел 1.24 Зоопарк критических графовУзел 1.25 Зоопарк критических графов (II)Узел 1.26 Режим стохастической самоподдержкиУзел 1.27 Растущие кластеры и размерность решетокУзел 1.28 Фрактальные и не-фрактальные решеткиУзел 1.29 Энтропия ростаУзел 1.30 Энтропия графов и пространствУзел 1.31 Игра в инверсию
Узел 2. Опус о числах и формах
.
Прологи
.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Интерлюдия. Две простые задачи
 
Роман Уфимцев
23 ноября 2014 года, Калининград
Однажды, занимаясь темой четырех аристотелевских причин, которые в соответствии с нашей гипотезой различаются характерными формами распределений периодов между моментами-причинами и моментами-следствиями, автор решил с этой точки зрения проанализировать собственные труды. Построив распределение периодов между публикациями очередных Прологов, автор обнаружил явное логнормальное распределение, которое сопровождает так называемую целевую причинность. Очевидно, некая цель движет автором, хотя она и ему самому не вполне понятна.
Логнормальное распределение - распределение с "тяжелым хвостом". Это значит, что периоды между публикациями, обычно довольно небольшие, иногда оказываются неожиданно длительными. Вот и теперь, публикация 24-й нити Узелков уже почти на полтора месяца задерживается после публикации 23-й. У этой задержки есть причины. Исписано множество черновиков, но автор столкнулся с парой "крепких орешков", которые никак пока ему не даются. Может быть, со временем найдутся обходные пути, позволяющие продолжить дальше распутывать нити "Причины степенных распределений", но пока эти орешки кажутся буквально камнями преткновения, не преодолев которые, невозможно продолжать публикацию.
Автор решил изложить эти "орешки" в форме двух простых задач. Может быть, кто-то из читателей подскажет автору решение, а если нет, то эта публикация поможет самому автору организовать свои соображения.
1. Задача про кислородный полимер
Пусть у нас есть химический реактор, в который мы поместили очень много атомов кислорода. Атомы кислорода обычно имеют валентность 2, то есть, они присоединяются к другим атомам двумя связями. При этом настоящие атомы способны присоединяться сразу двумя связями к какому-то одному "визави", так что обычная молекула кислорода состоит из 2 атомов, которые связаны парой связей. Но представим, что у нас особые атомы кислорода, которые обязаны связываться с двумя разными атомами. Вопрос: если предположить, что атомы в реакторе соединяются совершенно случайно, без действия каких-либо химических или физических ограничений, каким окажется распределение молекул по размеру - то есть, по количеству входящих в них атомов?
Ясно, что все молекулы будут представлять собой кольца из атомов кислорода - в том числе и возможно очень большие, своего рода "кислородные полимеры". Однако, каким окажется распределение размеров этих колец?
Несмотря на простые условия, это неожиданно сложная задача - пока к ней нет правильного "ключа". Числовые симуляции не позволяют узнать больше следующего: даже при большом количестве атомов число молекул оказывается совсем небольшим, а разброс в их размерах - весьма существенным.
Это красивая задача, и ее решение позволило бы пролить свет на один интересный аспект теории критических графов, но это скорее было бы "вишенкой на торте". Вторая задача имеет куда более серьезное значение.
2. Задача про колонию бактерий
Мы имеем маленькую бактерию в не очень приятных для нее условиях, но все же позволяющих ей существовать. Известно, что в течение следующего часа с вероятностью 1/2 бактерия погибнет, и с той же вероятностью 1/2 она подвергнется делению, так что бактерий станет две. В следующий час, точно также, каждая из живых бактерий с вероятностью 1/2 погибает, и с вероятностью 1/2 подвергается делению, и т.д. Назовем временем жизни колонии бактерий период, в течение которого жива хотя бы одна бактерия. Вопрос: как распределяются времена жизни колоний, зарождающихся из одной-единственной бактерии?
Ясно, что с вероятностью 1/2 время жизни колонии составит всего 1 час: именно с такой вероятностью бактерия-родоначальница погибнет в течение первого же часа. Не трудно также подсчитать, что с вероятностью 1/8 время жизни колонии составит 2 часа. Однако, задача в том, чтобы найти общую форму распределения времен жизни.
Проницательный читатель может догадаться, что эта задача родственна задаче о временах возвращения случайного блуждания: количество живых бактерий случайно флуктуирует примерно также, как координата случайно блуждающей частицы. Как известно, времена возвращения случайного блуждания распределяются в соответствии со степенным распределением при показателе θ=3/2. Эта догадка указывает верное направление: числовые симуляции действительно демонстрируют распределение времен жизней близкое к степенному с показателем θ=3/2. Однако, задача состоит в выводе точной формы распределения. Например, как она изменится, если бактерия с вероятностью 9/10 погибает, а с вероятностью 1/10 "деcятирится", то есть, превращается в 10 бактерий? Мы по прежнему увидим распределение, похожее на степенное с показателем θ=3/2, но как изменятся нюансы?
Автор надеется решить в обозримые сроки хотя бы вторую задачу (самостоятельно или с помощью просвещенных читателей), решения будут опубликованы тут же.
Решение задачи 1: Степенное распределение с показателем θ=1
18 декабря 2014 года, Калининград
Как мы говорили, при простоте условий задачи о "кислородных полимерах", она оказывается неожиданно сложной для решения. Естественный подход, который первым делом приходит в голову - анализ структуры системы начиная с состояния, в котором между атомами кислорода в реакторе не установлено ни одной связи. Затем мы добавляем в систему связи, одну за другой, анализируя форму и размеры образующихся кластеров. Следуя этому подходу, не трудно установить, что вплоть до момента, когда в системе уже проведено более 80% связей, атомы кислорода объединяются только в нитевидные молекулы, появление кольцевых молекул маловероятно. При этом размеры этих молекул отвечают геометрическому/экспоненциальному распределению. Однако, дальнейший прямой анализ вероятностей появления колец, вероятностей слияния нитей в более крупные нити и т.д. оказывается непреодолимо сложным. Именно об этом затруднении мы говорили описывая условия этой задачи - для ее решения нужен "ключ".
Таким ключом является пересмотр ее условий: нас интересует наиболее вероятное количество и форма распределения размеров кольцевых молекул, если атомы кислорода будут соединяться между собой случайно. Но к совершенно случайному состоянию системы мы можем прийти и иным путем, нежели это описано в исходных условиях. Положим, например, что изначально все N атомов кислорода объединены в одну большую кольцевую молекулу. Затем позволим случайным атомам вырываться из этого кольца. Далее вырвавшийся атом может с некоторой вероятностью вернуться в кольцо, а может образовать независимую одноатомную молекулу. (В исходных условиях задачи невозможны ни одноатомные ни двухатомные молекулы, но чтобы найти решение нам придется разрешить появление таких молекул - это не должно существенно повлиять на качественную достоверность выводов.)
Важный вопрос - с какой вероятностью вырвавшийся атом возвращается обратно в кольцо, а с какой образует самостоятельную молекулу. Естественный ответ, имея в виду случайность механизма проведения связей: чем больше кольцо и чем больше в нем связей, тем вероятнее атом снова вернется в него - тем больше мест, куда он может встроиться. Конкретно, если в кольце имеется n атомов, в нем имеется n мест, куда может встроиться вырвавшийся атом. Отсюда вероятность возвращения атома в кольцо:
Соответственно, вероятность того, что атом образует самостоятельную молекулу:
Далее, вне зависимости, от того, что произойдет, мы снова случайно выбираем атом, он вырывается из связей, в которые был включен, и снова случайно присоединяется к одной из имеющихся кольцевых молекул или образует самостоятельную молекулу, и т.д. С течением времени система эволюционирует к совершенно случайному состоянию - такому же, к какому мы приходим при исходных условиях задачи.
Итак, мы пришли к видоизмененной модели: пусть у нас имеется набор из k объектов-молекул, образованных частицами-атомами. Мы случайно выбираем один из атомов в системе (естественно, что чем больше частиц в объекте тем вероятнее атом будет извлечен именно из него) и либо присоединяем его к объекту i с вероятностью
где ni - размер объекта i, а N - общее количество атомов в системе. Либо с вероятностью
атом образует новый объект с номером k+1. Вопрос: к какому среднему количеству объектов и распределению их размеров приходит система в результате достаточно длительной эволюции? Числовые симуляции свидетельствуют, что при любом исходном количестве и распределении размеров объектов система приходит в стохастически стационарное состояние, характеризующееся сравнительно небольшим количеством объектов и очень неоднородным распределением их размеров. Например, так выглядит эволюция системы, в которой всего имеется N=1000 атомов, начиная с состояния, в котором все атомы образуют 1000 одноатомных молекул:
На диаграмме отражена динамика изменения общего количества объектов в системе в течение эволюции длительностью в 1 млн. циклов времени. Ясно, что система стремится к стационарному состоянию, в котором в ней имеется примерно 10 объектов.
С точки зрения вероятности присоединения вырвавшегося атома к тому или иному объекту мы имеем модель с действием хорошо знакомого нам правила "богатый становится богаче": атом тем вероятнее присоединится к молекуле, чем больше уже в ней атомов. Модели на основе этого правила были в свое время подробно нами исследованы в так называемой теории дельта-процессов. Конкретно, мы подробно проанализировали так называемый дельта-мультипликативный процесс δM(1/M), который очень похож на нашу модель.
Этот процесс отличается от обсуждаемой модели только в одном пункте: мы не вырываем атом из уже имеющихся молекул, а добавляем его в систему извне - так что за каждый шаг времени общее количество атомов в системе увеличивается на единицу. В этих условиях развивается степенное распределение объектов по размеру с экстремальным показателем θ=1:
Формально при таком значении θ степенное распределение не сходится, поэтому удобнее ранговая форма распределения:
При этом если общее количество атомов в системе равно N, ожидаемое количество объектов k:
Прибегнем к небольшой хитрости: представим, что после каждой добавки нового атома в процессе δM(1/M) мы изменяем масштаб взгляда на систему таким образом, что ее общий размер остается прежним: пусть например до появления нового атома в ней было N атомов, а после - N+1. Перемасштабируем систему так, что и после появления нового атома мы по-прежнему будем видеть систему общим размером N. И будем поступать так каждый раз, так что перед нами всегда будет система с размером N. При таком перемасштабировании все объекты уменьшаются пропорционально: то есть, каждый объект видимо теряет в размере тем больше, чем больше в нем частиц-атомов. Но именно так происходит и в обсуждаемой нами модели: молекула тем вероятнее теряет вырывающийся атом, чем больше всего в ней атомов. Таким образом, масштабирующийся процесс δM(1/M) оказывается качественно и количественно аналогичным нашей модели, а значит, к ней применимы и результаты, полученные для процесса δM(1/M).
Значит, эти результаты являются решением (как минимум качественно верным) и исходной задачи о кислородных полимерах. То есть, если всего в реакторе имеется N атомов, то ожидаемое количество кольцевых молекул, которое мы получим равно
Распределение размеров колец формально является степенным с показателем θ=1, но точнее описывается экспоненциальным ранговым распределением:
Сравним этот вывод с результатом числовой симуляции работы "кислородного реактора". Например, вот ранговое распределение размеров кольцевых молекул, получившихся в реакторе, в котором всего N=1000 атомов:
Как видим, опытные результаты удовлетворительно (насколько это возможно в не-массовом стохастическом процессе) совпадают с теоретическими оценками.
Итак, первая задача решена, и результат во многих отношениях любопытный. Например, в свое время автор искал модель развития структуры Я-состояний - условно, так в нашей доктрине называются "кванты сознания". Структурные части Я-состояний отвечают такому же распределению по размерам как и кольцевые молекулы в "кислородном реакторе". Надо сказать, что в свое время автору не удалось найти подобную по элегантности модель развития структуры Я-состояний, и вот теперь она неожиданно нашлась.
Модель кольцевых молекул, из которых случайно вырываются атомы интересна еще в одном отношении - автор решил это зафиксировать на заметку.
Действительно, при любом исходном количестве и распределении размеров кольцевых молекул модель эволюционирует к одному и тому же состоянию, характеристики которого мы описали. В качестве исходного состояния мы можем взять одну единственную кольцевую молекулу, в которую включены все атомы системы, а можем, наоборот, начать с состояния, в котором все атомы образуют самостоятельные одноатомные молекулы. В любом случае система приходит к состоянию, в котором имеется k≈ln(N) молекул, где N - общее количество атомов кислорода в системе. Однако, последний вариант стартового состояния интересен тем, что первые этапы динамики модели демонстрируют степенной закон: а именно, если ход времени связать с событиями высвобождания и нового присоединения атомов кислорода, то общее количество молекул в системе на первых этапах снижается в соответствии со степенным законом:
Это опытная диаграмма изменения количества объектов в системе с течением времени - выше мы ее уже видели. Представление ее в двойных логарифмических координатах позволяет выявить ясный степенной закон "релаксации" количества объектов: вплоть до достижения стохастического равновесия, оно снижается по степенному закону с показателем θ≈0,9.
Автор делает заметку этого обстоятельства, потому что мы получили интересную по простоте модель степенной релаксации - загадочного явления, которое изредка встречается в некоторых физических феноменах (и часто встречается в социальных). В Прологах автор позволил себе некоторые спекуляции на эту тему.
Решение задачи 2: Рекурсивное около-степенное распределение
6 января 2015 года, Калининград
Обратимся сначала к первому варианту задачи про колонию бактерий: у нас есть одна бактерия, которая в один шаг времени с вероятностью 1/2 может превратиться в две, а может с той же вероятностью погибнуть. Если бактерия превратилась в две, то в очередной шаг времени каждая из них с вероятностью 1/2 превращается в две, и с вероятностью 1/2 погибает, и т.д. Вопрос: как распределяются времена жизни получающихся колоний бактерий. Связанный вопрос: каково среднее время жизни колоний?
Предварительно раздумывая над подходами к решению этой задачи автор предположил, что ее решение должно быть родственно решению задачи о временах возвращения случайного блуждания: действительно, количество живых бактерий случайно флуктуирует, и эти флуктуации с виду похожи на флуктуации координаты случайно блуждающей частицы. Моменты возвращения блуждающей частицы к точке старта тогда аналогичны моментам вымирания колонии бактерий. Известно, что времена возвращения случайно блуждающей частицы отвечают степенному распределению с показателем θ=3/2. Однако, более внимательное разбирательство выявляет существенное и весьма любопытное отличие судьбы колонии бактерий от истории случайно блуждающей частицы. Тут мы не будем углубляться в эту тему, заметим только, что разница в дисперсиях: каждое следующее положение случайно блуждающей частицы является относительно предыдущего случайной величиной с постоянной дисперсией. Напротив, количество живых бактерий в следующий момент времени является относительно предыдущего количества случайной величиной с изменяющейся дисперсией - чем больше живых бактерий, тем больше дисперсия. Это различие приводит к коренной разнице в распределениях времен жизни колоний и времен возвращения случайного блуждания.
Хотя условия задачи просты, прямой анализ вероятностей быстро приводит к пугающим дебрям вычислений. Это заставило автора искать обходные пути, и в этих поисках нашлось немало интересных фактов. Некоторые из них имеют важное, даже сущностное значение - мы о них еще поговорим. Однако, обходные пути позволяют найти только приблизительное решение задачи, а мы изначально требовали точное. Для его получения автору таки пришлось обратиться к прямому анализу вероятностей.
Итак, пусть в некоторый момент времени t у нас имеется n живых бактерий. Каждая из них в следующий момент времени с вероятностью 1/2 успешно раздвоится. Вероятность увидеть m успешных удвоений подчиняется обычному биномиальному распределению:
Если обозначить вероятности того, что в некоторый момент времени t имеется x живых бактерий как Ф(x), а вероятности в момент времени t-1 как Ф'(x), исходя из записанного биномиального закона получим следующие связи между элементами распределений Ф(x) и Ф'(x):
Обратим внимание, что в каждый момент времени может существовать только четное количество живых бактерий: 0, 2, 4, 6...
Эта система уравнений, по сути, задает рекурсивные отношения между распределениями Ф(x) и Ф'(x). Естественно, что они будут также верны и для пары распределений Ф'(x) и Ф''(x), где последнее - распределение количества живых бактерий в момент времени t-2. Это позволяет путем кропотливых, но не сложных подстановок получить связь между Ф(x) и Ф''(x) (запишем только результат для Ф(0) - это значение нас естественно интересует более всего):
Заметим, что связи между Ф(x) и Ф''(x) отличаются наличием интересных множителей (5/4)k. Далее, точно также, пускаясь в еще один цикл кропотливых подстановок и преобразований, мы можем получить и связь между Ф(x) и Ф'''(x):
Тут возникает множитель (89/64)k. Продолжая раскрывать рекурсивные отношения, на следующем шаге мы увидим множитель (24305/16384)k, затем - (1664474849/1073741824)k... Несмотря на быстро "ухудшающийся" вид этих множителей, анализ позволяет установить простое рекуррентное соотношение между ними:
Чуть далее мы еще поговорим об этой рекурсии и об интересной проблеме, которую она создает.
Теперь мы можем воспользоваться полученными результатами, чтобы получить ряд значений Ф(0) в каждый момент времени. Приняв, что в момент времени t=1 мы имеем Ф(0)=1/2, Ф(2)=1/2, получим:
Это ряд вероятностей, что колония бактерий вымерла к моментам времени t=1,2,3... Из этого ряда мы непосредственно можем получить и вероятности того, что колония бактерий прекратит свое существование именно в момент времени t=1, t=2, t=3 и т.д.:
Получив этот результат, автор обратил внимание на ряд чисел, образованный числителями вероятностей: 1, 1, 9, 1521... В известном онлайн-справочнике целочисленных последовательностей этот ряд имеет обозначение A187131, и он возникает при решении задачи, совершенно аналогичной нашей: возьмем бинарное дерево, растущее от одного ствола. Каждый узел в этом дереве может с вероятностью 1/2 превратиться в бинарную развилку, а с вероятностью 1/2 остаться тупиковой ветвью. Как распределяется высота таких бинарных деревьев? Ясно, что ответом является полученное нами распределение p(x).
Иными словами, наша задача о колонии бактерий более известна как задача о высотах бинарных деревьев, и уже решена. Впрочем, это не удивительно, принимая во внимание простоту ее условий.
Полученный ряд вероятностей и является точным ответом на поставленную задачу - он представляет собой распределение времен жизни колоний бактерий. Трудность однако в том, что в основе наших расчетов лежит рекурсивное соотношение, которое мы не раскрыли:
Не раскрыв эту рекурсию, мы и искомое распределение можем представить только в рекурсивном виде, конкретно:
Рекурсия
относится к классу нелинейных, квадратичных рекурсий - так называемых квадратичных отображений. Общий метод их раскрытия не известен, и даже может не существовать вовсе. Известно только несколько частных случаев квадратичных рекурсий, поддающихся раскрытию, часто тривиальных, например:
Ее раскрытая формула:
Существует ли раскрытая форма интересующей нас рекурсии - открытый и очень непростой вопрос, который ждет своего исследователя, однако автор склоняется к подозрению, что ее не существует, а значит полученное нами респределение времен жизни колоний бактерий может быть представлено только в рекурсивном виде - и это нечто интересное, потому что до сих пор мы не встречались с такими распределениями.
Рекурсивная форма полученного распределения не мешает нам исследовать его качественные свойства. Для этого найдем приближенное решение рекурсии Hi, преобразовав ее в дифференциальное уравнение, и решив его:
Из решения дифференциального уравнения мы получим приближенное раскрытие рекурсии Hi:
Из чего, в свою очередь мы получаем приблизительную форму распределения времен жизни колоний бактерий:
Сопоставим точную теоретическую форму распределения с опытными данными и полученным аналитическим приближением:
тут красные точки представляют точные теоретические значения p(x), черная кривая - аналитическое приближение, а зеленые точки - опытное распределение времен жизни, полученное числовыми симуляциями. Как видим, согласие между всеми наборами данных вполне удовлетворительное. В частности, аналитическое приближение в области больших x ведет себя точно также, как и точное распределение - мы видим степенной хвост, соответствующий показателю θ=2. То есть, распределение времен жизни колоний, преодолевших первые, самые "опасные" моменты жизни (скажем, первые 50 циклов времени), оказывается близким к степенному с замечательным показателем θ=2 - вполне можно говорить, что времена жизни долгоживущих колоний подчиняются закону Зипфа.
Поскольку асимптотическая форма распределения является степенной с показателем θ=2, среднее время жизни колоний является неопределенной величиной - как и вообще среднее значение степенных распределений с показателем θ=2. С первого взгляда это довольно контр-интуитивный результат, но он имеет глубокий смысл, который нам станет ясен чуть позже.
Тропа логики, по которой мы прошли, решая исходный вариант задачи, оказывается вполне пригодной и для решения более общей: пусть в начальный момент времени мы имеем одну бактерию. В следующий момент времени с вероятностью (k-1)/k бактерия погибает, а с вероятностью 1/k плодится с образованием k бактерий. Вопрос: какова точная форма распределения времен жизни колоний бактерий и каково асимпотическое распределение времен жизни достаточно зрелых колоний?
Выше мы полностью решили задачу для случая k=2 - хотя точный результат можно представить только в рекурсивном виде. Естественно, то же самое ограничение действует и для случая произвольного k. Обозначим как Ф(0)t=T долю колоний, которые оказываются вымершими к моменту времени T. Выполняется следующие рекуррентные соотношения:
При этом компоненты собственно распределения времен жизни колоний вычисляется как разности последовательных значений Ф(0):
Например, вот так выглядит сопоставление теоретических значений p(x) c данными числовых симуляций для случая k=10 (бактерии "десятирятся"):
Асимптотическое поведение выглядит сходным со случаем k=2: хвост распределения укладывается на степенную функцию с показателем θ=2. Однако, нам желательно проверить это аналитически для любых k. Для этого нам нужно приглядеться к рекурсии, лежащей в основе распределений Ф(x) и p(x):
Она сходится к значению 1 (что естественно, принимая во внимание, что Ф(0)t=T в пределе больших T стремится к единице). Перейдем от нее к другой рекурсии, которая начиная от значения A1=1/k сходится к 0:
Поскольку k - целое число, выражение в правой части рекурсии может быть раскрыто в многочлен, в котором мы запишем только первые три компонента:
При больших i величина Ai стремится к 0, поэтому мы можем пренебречь остальными компонентами многочлена, записав:
Отсюда, используя приближение рекурсии дифференциальным уравнением, получим:
Возвращаясь к рекурсии Gi, мы можем наконец записать раскрытое приближенное уравнение распределения p(x), действительное при больших x:
Как видим, асимптотическое поведение распределения вне зависимости от k оказывается степенным c показателем θ=2. По видимому, мы нашли еще одну и весьма богатую по возможностям модель происхождения закона Зипфа. Далее мы увидим, как модель колонии бактерий вообще оказалась на пути нашего исследования - это довольно занятно.
1
***
У.Р.,
С Рождеством Христовым!
ТБ *** (6.01.2015 19:27)
2
Вас также, ТБ
Спасибо за поздравление. С Рождеством Христовым!
Уфимцев Роман (6.01.2015 19:29)
3
Спасибо)
Много раз говорила вам "спасибо" за ваши работы, Роман. Но повторю еще раз: спасибо за ваш дар.
Очень любопытно было бы узнать ваш прогноз на грядущий год, поскольку ваши прогнозы, увы, сбываются ) Если вы не совсем забросили этот жанр, хоть бы черкнули заметку в несколько строк.
...Счастья и радости в вашем доме.
ТБ *** (6.01.2015 20:02)
4
Все будет не превосходно, но вполне хорошо. Во всяком случае гораздо лучше, чем некоторым нынче видится.
Пройдет год, и попробуйте меня опровергнуть. Если чего не знаешь - говори об этом обтекаемо :)
Если серьезно, будет год новых идей и новых трудов. Никакой депрессии, наоборот, общий азарт.
Ну, это принимая во внимание, что никакой я не прогнозист.
ур (6.01.2015 20:09)
5
Уже не рискну опровергать :)
Знакомство с вашими работами пятилетней давности (якобы о маркетинге, но не только) учит внимательно прислушиваться к вашим словам, сколь бы неожиданными они ни казались в текущий момент ))
Надеемся, что когда-нибудь вы адаптируете ваши последние труды для понимания гуманитариев, не знающих математики.
С уважением,
ТБ (7.01.2015 9:25)
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER