КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
II. Идентификация степенного закона
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
II. Идентификация степенного закона
 
Идентификация степенных законов в натуральных или искусственных системах не так проста. Стандартная стратегия опирается на свойство степенной функции, с которым мы познакомились выше: гистограмма величины, соответствующей степенному распределению выглядит как прямая линия в двойных логарифмических координатах. Однако, простое построение гистограмм такого рода, и выяснение того, выглядят ли они при этом прямой линией в большинстве случаев – плохая практика.
Рис.3. (a) Гистограмма набора 1 миллиона случайных чисел, описанного в тексте - они имеют степенное распределение с показателем α=2,5. (b) Та же самая гистограмма в двойных логарифмических координатах. Заметим, как зашумлена правая часть распределения. Это происходит из-за того, что число значений, попадающих в корзины в этой части распределения становится небольшим и статистические флуктуации становятся относительно большими. (с) Гистограмма, использующая "логарифмические корзины". (d) Кумулятивная гистограмма тех же данных, другое название "диаграмма ранг/частота". Кумулятивное распределение также имеет форму степенной функции, но с показателем α-1=1,5.
Взглянем на рис.3. В качестве данных тут использован искусственно сгенерированный набор чисел: миллион случайных чисел, представляющих множество, которое имеет степенное вероятностное распределение p(x) = Cx с показателем α = 2,5.1 На рис.3 (a) показана обычная гистограмма случайных чисел, полученная их разложением по корзинам одинаковой величины 0,1. То есть, в первую корзину складываются случаи, при которых случайные числа лежат в промежутке от 1 до 1,1, во вторую - случаи чисел в промежутке от 1,1 до 1,2, и т.д. При линейных координатах гистограммы это приводит к красивому гладкому виду кривой.
1 Такой набор чисел можно получить используя так называемый метод преобразования. Если мы сгенерируем набор случайных чисел r, которые равномерно распределены на промежутке
тогда
является случайным числом, имеющим степенное распределение в диапазоне
с экспонентой α. Заметим, что должен существовать нижний предел этого диапазона xmin, поскольку степенное распределение перестает сходиться при x стремящемся к 0 - см. раздел II.А
Как мы видели выше, чтобы выявить степенную форму распределения лучше построить гистограмму в логарифмических координатах, и когда мы это сделаем для нашего набора данных, мы увидим характерную форму степенного распределения в виде прямой линии, рис.3 (b). Однако, этот график в некотором смысле не очень хорош. Конкретно, правая часть распределения зашумлена из-за статистических флуктуаций. В этой области степенное распределение истощается, так что в корзины попадает мало случаев (или их не попадает вовсе). Это приводит к тому, что относительные флуктуации количества случаев в корзинах становятся значительными, и возникает шум на диаграмме. Один из способов решить эту проблему – просто отбросить данные хвоста распределения. Но в этих данных часто содержится ценная информация и, более того, как мы увидим в разделе II.А, многие распределения соответствуют степенному распределению только в своём хвосте, так что есть опасность вместе с водой выплеснуть и ребёнка.
Альтернативное решение – варьировать размер корзин. Для этого мы сначала должны нормализовать число случаев по ширине корзин, в которые они попадают. То есть, число случаев в корзине шириной Δx должно быть поделено на Δx, чтобы получить число случаев на каждый единичный интервал величины x. После этого нормализованное число случаев в среднем перестаёт зависеть от ширины корзин и мы получаем возможность изменять ширину корзин по своему усмотрению. Чаще всего корзины устраивают таким образом, что каждая следующая шире предыдущей в определенное число раз - это так называемые логарифмические корзины. Для нашего случая, к примеру, мы можем выбрать множитель 2 и устроить корзины, которые перекрывают интервалы от 1 до 1,1, от 1,1 до 1,3, от 1,3 до 1,7 и т.д. (то есть, ширина корзин увеличивается: 0,1, 0,2, 0,4 и т.д.). Благодаря этому корзины в хвосте распределения получат больше вхождений, чем при фиксированной ширине корзин, и это уменьшит статистические ошибки в хвосте. Кроме того, мы получаем дополнительный полезный результат: на логарифмической шкале логарифмические корзины выглядят так, будто они имеют одинаковую ширину.
Именно логарифмические корзины мы применили для построения гистограммы на рис.2(b), поэтому расстояния между точками, представляющими отдельные корзины, одинаковы на логарифмической шкале:
Рис.2
На рис.3 (с) мы сделали то же самое для наших искусственно сгенерированных данных. Как видим, прямая линия степенного закона на этой гистограмме выглядит гораздо яснее, она просматривается по меньшей мере на порядок дальше, чем на рис.3 (b).
Но даже с логарифмическими корзинами в хвосте распределения остается некоторый шум (хотя его становится гораздо меньше). Предположим, что начало самой первой корзины находится в точке xmin, а отношение размеров соседних корзин равно a. Тогда корзина с номером k захватывает промежуток от xk−1 = xminak−1 до xk = xminak, и ожидаемое число случаев, которые попадут в эту корзину равно:
Таким образом, если α > 1, число случаев, попадающих в корзины уменьшается с ростом номера корзины k, и с приближением к хвосту распределения статистический шум усиливается. Как мы увидим в следующем разделе, большинство натуральных степенных распределений имеют показатель α, лежащий в промежутке между 2 и 3, поэтому шум в хвостах распределений - нормальное явление.
Другой, и во многих отношениях гораздо более предпочтительный способ анализа данных - вычисление кумулятивной функции распределения. Вместо того, чтобы строить простую гистограмму, мы строим диаграмму вероятности P(x) того, что что значение величины больше или равно некоторому x:
Диаграмма, которую мы получаем таким образом, не является простым представлением распределения данных, но она, тем не менее, весьма полезна. Если распределение соответствует степенному закону p(x) = Cx−α, тогда кумулятивная функция распределения P(x):
То есть, эта функция также соответствует степенному закону, но с показателем α − 1, что на единицу меньше исходного показателя. Таким образом, если мы построим диаграмму P(x) в двойных логарифмических координатах, мы тоже получим прямую линию, но с меньшим наклоном.
Заметим, что для построения P(x) нам не нужно раскладывать данные по корзинам. По своему определению, кумулятивная функция распределения задана для каждого конкретного значения x, и её можно строить как совершенно нормальную функцию без раскладывания по корзинам. Это снимает вопрос о том, какого размера должны быть корзины. Кроме того, это гораздо более бережный подход: раскладывание данных по корзинам усредняет, смешивает конкретные значения, попадающие в одну корзину, и мы теряем информацию, заключенную в индивидуальных значениях величины. Кумулятивное распределение не теряет информации индивидуальных значений - они все будут представлены на диаграмме.
На рис.3(d) наши сгенерированные данные представлены в виде кумулятивного распределения, и мы вновь видим красноречивую прямую линию степенного закона, хотя и имеющую меньший наклон. Такого рода кумулятивные распределения ещё называют диаграммами ранг/частота по причинам, описанным в Приложении А. Говорят также, что кумулятивные распределения, соответствующие степенному закону, отвечают закону Зипфа или распределению Парето - в честь двух учёных, впервые начавших использовать этот тип распределений. Поскольку степенные кумулятивные распределения подразумевают и степенную форму обычного распределения p(x), "закон Зипфа" и "распределение Парето" - это по существу синонимы "степенного распределения". (Закон Зипфа и распределение Парето различаются в том, каким образом строится диаграмма кумулятивного распределения - Зипф использовал диаграммы, в которых x - на горизонтальной оси, а P(x) - на вертикальной. Парето поступал наоборот. Это приводит к множеству путаницы в литературе, хотя результаты, конечно, при этом не отличаются.2)
2 См. этот материал - в нем приводятся разъяснения этого вопроса и смежных тем.
Мы знаем точное значение показателя α для нашего сгенерированного набора данных, поскольку сами его установили, но на практике приходится определять этот показатель для опытных данных. Один из способов это сделать - подобрать к представленному в двойных логарифмических координатах распределению наиболее близкую прямую линию, используя обычный метод наименьших квадратов. К сожалению, известно, что этот метод в случае аппроксимации степенной функции дает систематическую погрешность в определении показателя α [20], поэтому на него не следует полагаться. Например, аппроксимация методом наименьших квадратов прямой линии на рис.3(b) дает α = 2,26 ± 0.02, что явно расходится с известным нам точным значением α = 2,5.
Альтернативный простой и надёжный метод определения степенного показателя - использование формулы:
Тут xi , i= 1 ... n – опытные замеры величины x, а xmin - минимальное значение x. (Как будет показано в следующем разделе, на практике xmin обычно соответствует не самому малому опытному значению x, а самому малому значению, при котором ещё выполняется степенной закон.) Ожидаемая погрешность σ при использовании формулы (5) равна:
Вывод обеих формул дан в Приложении B
Используя формулы (5) и (6) к нашему набору данных, мы получим оценку показателя α = 2,500 ± 0,002, что хорошо согласуется с известным точным значением 2,5.
A. Примеры степенных законов
Далее мы рассмотрим кумулятивные распределения дюжины различных величин физических, биологических, технологических и социальных систем различного рода. Все они следуют степенному распределению по меньшей мере в некоторой части диапазона. Широкая распространенность степенного закона в натуральных явлениях заставляет многих исследователей задумываться, существует ли какой-то единый и простой общий механизм, действующий в системах самого разного рода. На роль такого механизма предложено несколько кандидатов, в том числе и так называемые "самоорганизующаяся критичность" и "высоко оптимизированная толерантность". Однако, здравый смысл подсказывает, что на самом деле существует множество различных механизмов получения степенных законов, и к разным натуральным случаям применимы разные описательные механизмы. Мы ещё поговорим об этом в разделе IV.
Рассмотрим примеры по очереди.
(Использованы кумулятивные распределения, иначе именуемые "диаграммами ранг/частота". Параметры распределений рассчитывались так, как описано в Приложении B. Данные в заштрихованных областях исключались из рассмотрения при расчете показателя степени, результаты - в таблице 1. Источники данных даны в тексте.)
a. Частота слов
Частоты слов в тексте романа "Моби Дик" Германа Мелвилла.
Эстоуп [8] заметил, что частоты, с которой используются слова, соответствуют степенному распределению, что было более детально изучено и подтверждено Зипфом [2]. На диаграмме - кумулятивное распределение количества раз, с которым появляются в английском тексте те или иные слова, конкретно, в тексте романа "Моби Дик" Германа Мелвилла3. Схожие распределения наблюдаются и в других языках.
3 Самые часто встречающиеся слова в данном случае, по порядку, “the”, “of”, “and”, “a” и “to”. То же самое верно для большинства английских письменных текстов. Однако, интересно, что это не верно для устной речи. Самые частотные слова в английской устной речи, по порядку, “I”, “and”, “the”, “to” и “that” [21].
b. Цитирования научных статей
Число цитирований научных статей, которые были опубликованы в 1981 году, сделанных с момента публикации до июня 1997 года.
Что впервые было замечено Прайсом [11], число цитирований, сделанных на те или иные научные статьи, соответствует степенному распределению. Данные взяты из "Индекса научного цитирования", составленного Реднером [22] для статей, опубликованных в 1981 году. Диаграмма представляет кумулятивное распределение числа цитирований статей, сделанных с момента публикации статей до июня 1997 года.
c. Веб-сайты по хитам пользователей
Число хитов 60 тыс. пользователей интеренет-провайдера AOL, полученных веб-сайтами в течение одного дня 1 декабря 1997 года.
Кумулятивное распределение числа "хитов", полученных веб-сайтами (то есть, серверами, а не отдельными веб-страницами) в течение одного дня, совершенных некоторым подмножеством пользователей интернет-провайдера AOL. Сайтом, получившим с большим отрывом больше всего хитов является yahoo.com. Данные исследования Адамика и Губермана [12].
d. Книги по числу проданных экземпляров
Число экземпляров самых продаваемых книг в США в период с 1895 по 1965 год.
Кумулятивное распределение общего числа экземпляров 633 самых продаваемых книг (более 2 млн. экз.), проданных в США между 1895 и 1965 годом. Данные кропотливо собирались на протяжении нескольких десятилетий Элис Хакетт, редактором журнала Publisher’s Weekly [23]. Самой продаваемой книгой в течение исследованного периода оказалась "Ребенок и уход за ним" Бенджамина Спока (Библия, которая очевидно была ещё более продаваемой книгой, в действительности не может считаться одной книгой - имеется множество различных переводов, версий и изданий, поэтому она была исключена Хакетт из статистики.) Сегодня доступны и существенно более полные данные по продажам книг, нежели были собраны Хакетт, но к сожалению, стоимость этой статистики выходит за рамки возможностей автора. Было бы очень интересно увидеть диаграмму продаж книг на основе современных источников.
e. Телефонные звонки
Число звонков, полученных в течение одного дня абонентами американской телефонной компании AT&T.
Кумулятивное распределение числа звонков, полученных в течение одного дня 51 млн. абонентов американской телефонной компании AT&T. Данные Айелло и пр. [24]. Максимальное число звонков, полученных одним абонентом составило 375746, или 260 звонков в минуту (очевидно, этот номер обслуживался одновременно многими лицами). Подобные же распределения обнаружены для числа звонков, совершенных абонентами, а также числа электронных писем, которые отправляются или получаются пользователями электронной почты [25,26].
f. Магнитуда землетрясений
Магнитуда землетрясений в Калифорнии в период между январем 1910 и маем 1992 года. Магнитуда пропорциональна логарифму максимальной амплитуды землетрясения, поэтому распределение соответствует степенному закону при линейной горизонтальной шкале.
Кумулятивное распределение силы землетрясений по шкале Рихтера, произошедших в Калифорнии в период между январем 1910 и маем 1992 года, по записям "Каталога землетрясений Беркли". Шкала Рихтера определяется как десятичный логарифм максимальной амплитуды сдвигов, зафиксированных во время землетрясения, поэтому горизонтальная шкала диаграммы, взятая линейной, по существу является логарифмической шкалой амплитуды. То есть, степенной закон в распределении землетрясений описывает отношение между их амплитудой и частотой появления. Данные Национального центра геофизических данных.
g. Диаметр лунных кратеров
Диаметр лунных кратеров. Вертикальная шкала обозначает число кратеров соответствующего размера на квадратный километр поверхности Луны.
Кумулятивное распределение диаметров кратеров на Луне. Эта диаграмма отражает не общее число кратеров разного размера на всей поверхности Луны, а усреднённое приведённое число кратеров на квадратный километр лунной поверхности. По этой причине вертикальная шкала имеет значения менее 1, чего мы не видим на других диаграммах - это означает, что в среднем на квадратный километр кратеры соответствующего диаметра встречаются менее одного раза. По данным Ньюкума и Иванова [4].
h. Интенсивность солнечных вспышек
Пики интенсивности гамма-излучения солнечных вспышек, измеренная с орбиты Земли в период с февраля 1980 по ноябрь 1989 года.
Кумулятивное распределение пиков интенсивности гамма-излучения вспышек на Солнце. Наблюдения проводились в период между 1980 и 1989 годом с помощью инструмента Hard X-Ray Burst Spectrometer, расположенного на борту спутника Solar Maximum Mission, который был запущен в 1980 году. Для измерения интенсивности гамма-излучения в спектрометре применялся цезиево-иодидный сцинтилляционный детектор, и горизонтальная ось диаграммы откалибрована по числу сцинтилляций в секунду, зафиксированных в детекторе. Данные Центра космических полётов Годдарда НАСА. Также см. Лу и Гимильтона [5].
i. Интенсивность военных конфликтов
Интенсивность военных конфликтов, определенная как число жертв конфликта на 10000 человек населения участвующих сторон.
Кумулятивное распределение интенсивности 119 конфликтов, произошедших в период между 1816 и 1980 годом. Интенсивность определяется как число погибших в конфликте представителей всех участвовавших в нём стран деленное на общее население этих стран и умноженное на 10000. Например, интенсивность Первой и Второй Мировой войны составила 141,5 и 106,3 погибших в боях на каждые 10000 человек населения. Самой интенсивной войной за рассматриваемый период оказалась небольшая, но крайне жестокая война между Парагваем и Боливией, проходившая в 1932-1935 годах, её интенсивность оставила 382,4. Данные Смолла и Сингера [27]. См. также Робертса и Туркотта [7].
j. Богатство богатейших людей
Совокупное богатство богатейших персон США по данным 2003 года в долларах.
Кумулятивное распределение совокупного богатства богатейших жителей США. Величина богатства определяется как общая стоимость собственности персоны в долларах по текущим рыночным ценам за вычетом долгов. Например, по результатам 2003 года богатейший человек США Вильям Гейтс обладал совокупной собственностью, оценивающейся в 46 млрд. долларов. Большая часть этой суммы образована стоимость акций компании, которую он основал, Microsoft. Заметим, что совокупное богатство не обязательно связано с количеством денег, которые данная персона могла бы при желании потратить: если бы Билл Гейтс захотел бы продать все свои акции компании Microsoft, или хотя бы избавиться от значительной части этих акций, это наверняка бы привело к падению их рыночной стоимости. Данные журнала Форбс, 6 октября 2003 года.
k. Частота фамилий
Частота фамилий в США по данным 1990 года.
Кумулятивное распределение частот повторения 89000 самых распространенных фамилий в США, по официальным данным переписи, датирующимся 1990 годом. Подобные распределения наблюдаются для фамилий и в некоторых других культурах, например, в Японии [28], но не во всех. В частности, корейские фамилии по всей видимости имеют экспоненциальное распределение [29].
l. Население городов
Население городов и посёлков США по данным 2000 года.
Кумулятивное распределение населённых пунктов США по числу жителей по официальным данным переписи 2000 года.
Не многие натуральные распределения соответствуют степенному закону на всем диапазоне, особенно часто от него отклоняются самые малые замеры. Как было отмечено в предыдущем разделе, для любого положительного показателя α функция p(x) = Cx−α расходится при x стремящемся к 0. Таким образом на практике распределения должны отклоняться от степенного закона для значений ниже некоторой планки xmin. В нашем примере с искусственно сгенерированным набором чисел мы просто отсекали все значения меньше xmin, так что для этой области оказывалось p(x) = 0. Но в большинстве натуральных примеров отсечение минимальных значений не такое крутое. Мы видели примеры распределений, в которых маленькие значения величины постепенно более или менее отклоняются от степенного закона, и ему ясно подчиняются лишь большие значения. В этих случаях иногда говорят, что распределение такой-то величины имеет "степенной хвост".
Определение значения показателя α для таких распределений - не совсем тривиальное дело, поскольку оно требует суждения о том, какой должна быть взята планка xmin, ниже которой данные не учитываются - это не всегда можно сделать однозначно и точно. Однако, когда эта планка установлена, показатель α может быть рассчитан на основе формулы (5)4. (Заметим, что при этом мы должны брать правильное значение n в формуле: n - это не общее число замеров в опытных данных, а лишь число замеров, которые включаются в расчёт, то есть с исключением тех значений, которые оказываются ниже планки xmin.)
4 Иногда также отсекается и часть хвоста, потому что по той или иной причине возникает ограничение на максимальное значение замеряемой величины. Пример - эффект ограниченного размера, возникающий в критических феноменах - см. раздел IV.E. В этом случае формула (5) должна быть соответствующим образом модифицирована [20].
В таблице 1 приведен список оценок значения показателя степени для каждого из рассмотренных примеров (с величиной погрешности и значением xmin, использованным в расчетах). Обратим внимание, что приведенные величины погрешности охватывают только статистическую погрешность в оценке α, они не учитывают какие-либо погрешности, связанные с тем, что степенная функция может быть не слишком подходящей моделью для описания данных или с тем, что расчетное значение показателя α зависит от выбора xmin.
Таблица 1. Параметры распределений в рассмотренных выше примерах. Значения степенного показателя были рассчитаны на основе метода максимального правдоподобия по формуле (5), см. также Приложение B. Исключение - размер лунных кратеров (g), для которых были доступны только кумулятивные данные. Для этого случая показатель вычислялся методом наименьших квадратов и его следует принимать условно. Числа в скобках - величина стандартной погрешности в последних цифрах степенных показателей.
По мнению автора, идентификация некоторых рассмотренных распределений как степенных не совершенно надёжна. Хотя степенные законы кажутся великолепной моделью для многих приведённых примеров, можно сделать замечание, что распределения веб-хитов и частоты фамилий могут иметь два различных степенных режима, имеющих несколько разные показатели5. Далее, данные по числу проданных экземпляров книг охватывают слишком небольшой диапазон - чуть более одного порядка по горизонтальной оси. Тем не менее, можно уверенно утверждать, что степенные распределения наблюдаются в натуральных языках, демографии, коммерции, информационных и компьютерных дисциплинах, геологии, физике и астрономии, и это уже само по себе удивительно.
5 В литературе встречаются гораздо более смелые утверждения о соответствии степенному закону различных величин, например, о том, что ему отвечают распределения масштабов блэкаутов - аварийных отключений электроэнергии [30,31]. Однако, автор считает их недостаточно обоснованными, чтобы включать в эту статью.
B. Распределения, не соответствующие степенному закону
Как мы видим, степенные распределения удивительно широко распространены, однако они являются не единственной формой "широких" распределений. Поскольку могло сложиться впечатление, что все интересные распределения являются степенными, позвольте подчеркнуть, что существует немало натуральных величин, обладающих скошенными влево распределениями, которые тем не менее не являются степенными распределениями. Вот несколько примеров:
Рис.5. Кумулятивные распределения некоторых величин, распределения которых охватывают несколько порядков, но при этом не соответствуют степенному закону. (a) Число наблюдений североамериканских птиц, принадлежащих 591 виду по данным North American Breeding Bird Survey 2003. (b) Число записей в адресных книгах электронной почты 16881 пользователей большой университетской компьютерной системы [33]. (c) Площади лесных пожаров, произошедших на федеральных землях США между 1986 и 1996 годом. Заметим: горизонтальные оси диаграмм (a) и (с) - логарифмические, а на диаграмме (b) - линейная.
(a) Распространённость видов птиц в Северной Америке - разброс этой величины охватывает более пяти порядков, но скорее она соответствует логнормальному распределению. Логнормально распределенная величина - это величина, логарифм которой соответствует нормальному распределению, см. раздел IV.G и [32] для дополнительной информации.
(b) Число записей в персональных адресных книгах электронной почты - эта величина охватывает около трёх порядков, но вероятно соответствует растянутому экспоненциальному распределению. Растянутая экспонента это кривая вида
при некоторых константах a и b.
(c) Распределение размеров лесных пожаров. Эта величина охватывает шесть порядков, и её распределение в принципе можно рассматривать как степенное, но оно имеет выраженный экспоненциальный обрез.
Эта статья посвящена степенным законам, поэтому мы не будем более обсуждать возможные объяснения этих типов распределений, однако исследователи, сталкиваясь с набором данных, имеющих очень широкий разброс и скошенное влево распределение должны помнить, что степенной закон - лишь одна из многих возможностей описания таких распределений.
1
Возможное объяснение для показателя степенного распределения?
Роман,здравствуйте.
Мы с Вами уже общались два года назад через почту, но, к сожалению, у меня не сохранился эл. адрес.
Мне хотелось бы показать Вам свою статью, где, как мне кажется, удалось достаточно последовательно расширить энтропийный принцип на случай взаимодействующих систем. Статья называется "Правильная энтропия" в анализе сложных систем: к чему ведет отказ от постулата равных априорных вероятностей". Вот ссылка http://journals.uran.ua/eejet/article/viewFile/47332/44888
В связи с полученными выводами, кажется, появляется возможность дать какое-то объяснение разным значениям степени степенного распределения. Очень хотелось бы услышать Ваше мнение.
Да, Роман, Вы стали меньше появляться "в эфире". Все ли у Вас хорошо?
Искренно желаю Вам творческих и физических сил, а также всего доброго в этом сложном мире. Вы сделали удивительную работу.
Николай Делас из Киева.
Николай Делас nikolaivad@gmail.com (29.10.2015 11:47)
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER