КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
IV. Способы получения степенных законов, часть 3
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
IV. Способы получения степенных законов, часть 3
 
F. Самоорганизующаяся критичность
Как мы говорили в предыдущем параграфе, определенные системы приобретают степенные распределения в некоторых "критических" точках их параметрического пространства из-за расхождения какого-то характерного масштаба, например, среднего размера кластеров в перколяционной модели. Однако, это не даёт ясного объяснения происхождения степенных законов в большинстве реальных систем. Даже если мы найдём какую-то модель землетрясений, солнечных вспышек или веб-хитов, в которых происходит такого рода потеря характерного масштаба, маловероятно, чтобы параметры реальных систем как-то совершенно случайно оказывались в точке, где происходит эта потеря.
Однако, как первым показал Бак [57], возможно, что некоторые динамические системы в действительности организуются таким образом, что всегда оказываются в критической точке - вне зависимости от того, из какого состояния начинается их динамика. Говорят, что такие системы самоорганизуются к критической точке, или что они демонстрируют самоорганизующуюся критичность. Примером является ставшая сегодня уже классической модель лесных пожаров Дросселя и Швабла [58], которая основана на рассмотренной нами перколяционной модели.
Возьмем перколяционную модель как примитивную модель леса. Решетка представляет собой ландшафт, так что в каждой клетке решетки может вырасти одно дерево. Закрашенные клетки представляют собой деревья, а пустые - пустые места леса, в которых нет деревьев. Деревья появляются мгновенно в случайном месте с некоторой постоянной скоростью, так что решетка заполняется деревьями случайно. Время от времени в одной из клеток решетки начинается пожар, может быть из-за удара молнии, и сжигает не только дерево в текущей клетке (если в ней есть дерево), но и все деревья кластера, в который входит данная клетка. Процесс изображён на рис.15. Можно считать, что огонь перебирается с одного дерева на соседнее до тех пор, пока весь кластер не сгорит, но огонь не может перекинуться через пустые клетки. Если молния ударяет в клетку, где нет дерева, ничего не происходит. После пожара освободившиеся клетки вновь могут зарастать, так что процесс продолжается бесконечно.
Рис.15 Молния ударяет в случайную клетку леса, и возникающий пожар уничтожает весь кластер, которому принадлежало пораженное молние дерево.
Если мы начнём работу модели с пустой решетки, начнут появляться деревья, но вначале они будут расти редко. Молнии будут ударять в пустые клетки или, если им повезет попасть в дерево, сгорит само дерево и его кластер, но кластеры оказываются маленькими и локальными, потому что изначально мы находимся гораздо ниже порога перколяции. В результате пожары не будут иметь почти никакого эффекта. Однако, со временем в лесу появляется всё больше и больше деревьев, пока их не станет достаточно для перколяции. Как мы знаем, в этот момент возникает охватывающий кластер, размер которого ограничен лишь размерами всей решетки, и когда в какое-то дерево ударяет молния, сгорает весь кластер. Это событие уничтожает охватывающий кластер, так что система больше не может перколировать. Однако, со временем появятся новые деревья, и система вновь достигнет порога перколяции - и так сценарий повторяется бесконечно. В результате система осциллирует около критической точки, сперва по мере роста новых деревьев поднимаясь над уровнем перколяции, а затем опускаясь ниже этого уровня в результате пожаров. В пределе, при большой системе, эти флуктуации становятся малы по сравнению с общим размером системы, и с высокой точностью приближения можно считать, что система неподвижно находится в пороговом состоянии. То есть, если подождать достаточно долго, мы можем ожидать, что модель лесных пожаров самоорганизуется в состояние, в котором имеется степенное распределение размеров лесных кластеров и размеров пожаров.
Рис.16 Кумулятивное распределение размеров "пожаров" в симуляции модели лесных пожаров Дросселя и Швабла [58] на решетке 5000 на 5000.
На рис.16 показано кумулятивное распределение размеров пожаров в этой модели и, как видим, оно достаточно близко соответствует степенному закону. В данном случае показатель степени довольно мал. Существующие оценки дают значение α = 1,19 ± 0,01 [59], что означает, что в пределе, при системе большого размера, распределение имеет бесконечное среднее. Однако, для всех реальных систем среднее ограничено: распределение обрезаются в хвосте больших значений, поскольку площади пожаров не могут быть больше площади всей решетки, и этот факт делает среднее значение хорошо определенной величиной. Обрез ясно виден на рис.16 как отклонение кривой вниз в её правой части. Более того, распределение площадей пожаров в настоящих лесах (мы рассматривали этот пример) имеет похожий обрез, и во многих отношениях оно качественно сходно с распределением, получающимся в данной модели. (Ясно, что реальные леса несравнимо более сложны, чем их представление в этой модели, и никто всерьез не считает, что она является точным отображением действительности. Скорее это общая иллюстрация процессов, которые могут происходить в реальных лесах.)
Было много шума вокруг самоорганизующейся критичности как возможного универсального механизма, объясняющего происхождение степенных законов. Пер Бак, один из авторов модели, написал о ней целую книгу [60]. Были выдвинуты модели самоорганизующейся критичности не только для лесных пожаров, но и для силы землетрясений [61,62], интенсивности вспышек на Солнце [5], биологической эволюции [63], лавин [57] и многих других явлений. Хотя самоорганизующаяся критичность вероятно не является таким универсальным законом, как иногда это провозглашают, это несомненно мощная и интригующая концепция, которая потенциально имеет немало приложений в изучении природных и искусственных систем.
G. Другие механизмы получения степенных законов
В предыдущих параграфах мы познакомились с самыми известными и широко применимыми механизмами, генерирующими степенные распределения. Однако, существует ещё несколько, заслуживающих упоминания. Один из них, который в последнее время привлек к себе определенное внимание - механизм высоко оптимизированной толерантности, предложенный Карлсоном и Дойлом [64,65]. Классическим примером является опять же модель лесных пожаров, основанная на перколяционном процессе. Снова предположим, что пожары начинаются в случайных точках решетчатого леса, который мы описывали в предыдущем параграфе, но вместо того, чтобы деревья появлялись в случайных точках решетки, пусть они высаживаются систематично каким-то опытными лесоводом. Поставим вопрос: каким является лучшее распределение деревьев, которое позволяет оптимизировать количество производимой лесом древесины. Естественно, это количество зависит от случайных пожаров, которые могут начаться в любой точке леса. Оказывается, что деревья следует высаживать блоками, между которыми проложены узкие просеки, предотвращающими распространение огня. Кроме того, блоки следует делать меньше там, где пожары происходят чаще, и больше там, где они случаются реже. Причина в том, что на устройство просек тратится ценное место, на котором могли бы расти деревья. Если пожары редки, становится слишком накладно делать много просек - при пожаре сгорит больше деревьев, но если пожара не будет, мы получим больше древесины.
Карлсон и Дойл показали и аналитически и посредством числовых симуляций, что для широкого диапазона распределений стартовых точек пожаров такого рода оптимизация приводит к распределению масштабов пожаров, примерно соответствующему степенному закону. Это распределение не является совершенным степенным, но, с другой стороны, ни один из рассмотренных нами реальных примеров также не является идеальным степенным распределением, так что это не обязательно является критическим недостатком модели. Карлсон и Дойл предположили, что высоко оптимизированная толерантность может быть моделью не только для лесных пожаров, но также моделью распределения размеров файлов в интернете, которое также является степенным [6].
Еще один механизм, который математически подобен модели Карлсона и Дойла, но имеет совершенно другую идею - механизм когерентного шума, предложенный Снеппеном и Ньюманом [66] в качестве модели биологической экстинкции (исчезновения биологических таксонов). В этом механизме некоторое число агентов или видов подвергаются стрессам различного масштаба. Каждый агент имеет планку устойчивости, так что если уровень стресса превышает эту планку, агент удаляется из системы - вид исчезает. Исчезнувшие виды заменяются новыми, имеющими случайно установленные планки устойчивости. Общий результат заключается в том, что система самоорганизуется в состояние, в котором большинство видов имеет высокие планки, но их точное распределение зависит от распределения стрессов - эта зависимость очень похожа на связь между размером лесных блоков и частотой пожаров в модели высоко оптимизированной толерантности. В данном случае не требуется никакой искусственной оптимизации, но результат оказывается сходным: общее распределение числа видов, исчезающих в результате конкретных стрессов примерно соответствует степенному закону. Соответствие не идеальное, но оно приближается к степенному не хуже, чем реальные данные об исчезавших биологических видах. Снеппен и Ньюман также предложили моделировать с помощью этого механизма лавины и землетрясения.
Одно из распределений, которое может выступать альтернативой степенному – упомянутое в разделе II.B логнормальное. Логнормально распределенная величина - это величина, логарифм которой распределен нормально, то есть:
при каком-то среднем μ и стандартном отклонении σ. Такого рода распределения обычно возникают, когда мы перемножаем случайные числа. Логарифм произведения большого количества случайных чисел является суммой логарифмов тех же самых случайных чисел, и, в соответствии с центральной предельной теоремой, такие суммы отвечают нормальному распределению практически независимо от распределений отдельных слагаемых.
Уравнение (81) подразумевает, что распределение собственно величины x выглядит как
Чтобы узнать, как оно будет выглядеть, если построить его в логарифмических координатах, возьмем логарифм обеих частей уравнения, и получим:
что является квадратным уравнением относительно ln x, то есть, мы увидим параболу. Но парабола выглядит прямой линией, если мы посмотрим на достаточно маленький её участок, поэтому p(x) будет выглядеть как степенное распределение, если мы будем смотреть на небольшую его часть в двойных логарифмических координатах. Действительный показатель распределения α в данном случае теоретически не зафиксирован - он может быть любым, в зависимости от того, в каком участке параболы лежат наши данные.
В больших масштабах распределение покажет некоторую направленную вниз кривизну, но это же происходит на многих опытных распределениях, которые якобы являются степенными, так что может быть многие из них являются на самом деле логнормальными. Более того, во многих случаях нам даже не нужно ограничиваться какой-то конкретной маленькой частью кривой. Если σ велико, тогда квадратный компонент в уравнении (83) изменяется очень медленно, кривизна линии будет небольшой, поэтому будет казаться, что распределение соответствует степенному в довольно значительной части своего диапазона. Такая ситуация часто возникает, когда рассматриваются произведения случайных чисел.
Пусть например мы перемножаем 100 чисел, каждое из которых взято из какого-то распределения, в котором стандартное отклонение логарифма случайной величины равно 1, то есть, сами числа варьируют в большую или меньшую сторону на величину множителя e. Тогда, по центральной предельной теореме, стандартное отклонение для ln x будет σ ≈ 10 и величина ln x должна варьировать в диапазоне ±10, чтобы изменения в (ln x)22 стали заметны. Но такие вариации логарифма соответствуют вариациям величины x, охватывающим почти 4 порядка. Если опытные данные охватывают меньший диапазон - как это было во многих приведенных опытных примерах - тогда мы увидим распределение, которое будет выглядеть похожим на степенное. И этот диапазон быстро увеличивается по мере того как увеличивается количество перемножаемых чисел.
Пример случайного мультипликативного процесса - увеличение инвестиционного состояния. Если, например, человек инвестирует в рынок акций, он будет получать варьирующий со временем возврат на инвестиции. Другими словами, в каждый период времени его инвестиции умножаются на некоторую величину, которая флуктуирует от периода к периоду. Если флуктуации случайны и не коррелируются, тогда после большого количества периодов времени стоимость инвестиций представляет собой произведение начальной стоимости и большого числа случайных чисел, и таким образом, должна быть распределена логнормально. Это может объяснить, почему хвосты распределений богатства соответствуют степенному закону.
Ещё один пример - фрагментация. Предположим, мы ломаем палку единичной длины на две части в точке, являющейся случайной долей z общей длины палки. Затем мы снова случайно ломаем получившиеся куски, и снова ломаем, и т.д. После многих шагов длина одного из получившихся кусочков будет равна i zi, где zi - положение i-того излома. Это произведение случайных чисел, и следовательно получающееся распределение длин кусочков должно следовать степенному закону в некоторой части диапазона. Такой механизм, например, может приводить к степенному распределению размеров метеоритов или других межпланетных скальных фрагментов, которые распадаются на части при столкновениях. Это, в свою очередь, может приводить к степенным распределениям размеров кратеров, как мы видели в примере с лунными кратерами.
Более того, как указывают некоторые авторы [67,68,69], случайные мультипликативные процессы могут генерировать и идеальные степенные распределения, если внести одну маленькую модификацию - если установить нижнюю границу значений, которые может принимать произведение набора чисел (например, если имеется "отражающий предел" на нижнем конце диапазона или кроме мультипликативного добавляется и аддитивный шум). В этом случае поведение процесса изменяется, и он начинает генерировать не логнормальные, а настоящие степенные распределения.
Наконец, некоторые процессы демонстрируют степенные распределения промежутков времени между событиями. Один из примеров - распределение времён между землетрясениями и афтершоками. Степенные распределения промежутков времени наблюдаются в описанных выше критических моделях и в механизме когерентного шума, но есть и ещё одно возможное объяснение их происхождения. Это случайный экстремальный процесс или динамика рекордов. В этой модели рассматривается насколько часто случайно флуктуирующая величина побивает собственные рекорды значения. Скажем, для величины, имеющей гауссово распределение, теоретически всегда возможно, что очередной рекорд будет побит, не важно, какое значение он имеет в данный момент. Но чем чаще рекорд побивается, тем выше он становится и тем больше времени проходит, пока он будет снова побит. Как показали Сибани и Литтлвуд [70], этот нестационарный процесс даёт распределение времен ожидания между рекордами, которое следует степенному закону с показателем α = 1. Интересно, что это в точности тот же показатель, который опытно наблюдается в распределении периодов между афтершоками землетрясений. Динамика рекордов также предлагалась в качестве модели времён жизни биологических таксонов [71].
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER