КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 3. Степенной закон
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 3. Степенной закон
Темы:
Роман Уфимцев
30 октября 2011 года, Калининград
Во втором прологе мы говорили о том, что признаком когнитивного порядка в наблюдаемом явлении может выступать его фрактальная структура, что в свою очередь приводит к характерной не-гауссовой статистике параметров явления. В Прологе 3 мы разберёмся детальнее в этом вопросе.
Пусть мы исследуем фрактал, треугольный ковёр Серпинского. В качестве измеримого или исчисляемого параметра этой фрактальной структуры мы возьмём площади треугольных дыр в этом фрактале. Мы хотим понять, есть ли в размерах дыр какая-то система:
Мы можем поступить как Галилей с падающими ядрами и по порядку вручную измерять площадь каждой очередной дыры (так и приходится делать при изучении параметров реальных природных или социальных явлений). Однако, благодаря тому, что ковёр Серпинского - идеальный фрактал, то нам достаточно немного поразмыслить.
Хотя мы предполагаем, что читатель знаком с концепцией фракталов, тут будет полезно напомнить, как строится треугольный ковёр Серпинского.
Процесс начинается с равностороннего треугольника (0):
Затем из него вырезается треугольник, по площади равный 1/4 исходного (1). Из оставшихся трёх кусков также вырезаются треугольники поменьше (2) и т.д., до бесконечности. В результате получается фрактал, ковёр Серпинского.
Пусть площадь самой большой дыры в центре фрактала равна 1. Во всём фрактале имеется только одна такая дыра. Далее, на втором шаге, мы видим три одинаковых дыры поменьше, и легко понять, что их площадь равна 1/4. На третьем шаге мы имеем 9 ещё меньших дыр, и их площадь равна 1/4*1/4 = 1/64 и т.д. В конечном итоге, несложно установить, что на n-ном шаге мы будем иметь
Представим, однако, что мы не вывели этот результат "на кончике пера", а установили трудоёмкими замерами линейкой - при этом у нас не получилось измерять очень маленькие дыры, так что мы дошли только до 5-го шага. В наших руках оказалась бы следующая таблица "опытных замеров":
Построим диаграмму по этим данным, приняв за x размер дыр, а за y - соответствующее число:
Мы видим, что получается нечто очень похожее на то, что мы видели на гистограмме распределения количества населённых пунктов в зависимости от их населения - тоже отсутствует характерный масштаб (нет "колокола"), и дыр тем больше, чем они меньше.
Соответствует ли полученная кривая какой-то определённой математической функции? Это легко установить, заметив, что
Из этого получается, что гистограмма дыр ковра Серпинского соответствует уравнению:
Это степенная функция, которая в общем виде выглядит так:
где k - показатель степени, y1 - константа, равная значению функции в точке x=1.
Степенная функция, в зависимости от значения показателя k может иметь очень разный вид:
(на диаграмме мы полагаем, что y1=1)
При k>1, мы получаем параболы различных порядков (зелёные на диаграмме), при k=1 получается функция y=x, прямая линия (желтая). При k=0 мы получаем y=1, потому что любой x в нулевой степени равен 1. Это соответствует горизонтальной линии (красная). Наконец, если k<0, мы получаем гиперболы (синие на диаграмме). Именно последний случай нам пока будет наиболее интересен.
В нашем конкретном случае y1 = 1, а k=-ln(3)/ln(4)<0, значит, мы имеем гиперболический закон.
Поскольку,
мы можем записать уравнение гистограммы иначе:
Эта запись хороша тем, что она подчёркивает: мы имеем дело с гиперболой, спадающей функцией. Такая форма записи позволяет отличить гиперболический закон он других степенных законов и дальше мы будем ею часто пользоваться, имея в виду, что в такой записи k должна быть всегда больше 0.
Итак, статистика параметров такой фрактальной структуры как ковёр Серпинского соответствует степенному закону. И это справедливо не только для данного конкретного фрактала, но и для большинства известных фрактальных структур. В зависимости от типа фрактала меняется только показатель степени k, но не сам степенной закон. У нас будет случай ещё в этом убедиться, а пока скажем так: масштабная инвариантность (то есть, отсутствие характерного масштаба в параметрах наблюдаемого явления) приводит к степенному закону в статистических распределениях параметров. То есть, степенной закон служит статистической сигнатурой когнитивного порядка.
Но вернёмся к населению городов из Пролога 2. Соответствует ли распределение городов по населению степенному закону? Чтобы это установить, удобно воспользоваться одним свойством степенной функции:
Возьмем логарифм обеих частей этого уравнения:
Обозначим ln(y) как y', а ln(x) как x'. Далее, поскольку y1 - некоторая постоянная величина, то ln(y1) - тоже постоянная величина - обозначим её как const - и мы можем записать:
Это уравнение прямой линии, её наклон определяется коэффициентом k, а const определяет сдвиг прямой по вертикали. Если k меньше 0 (то есть, закон гиперболический), прямая спадает, а если больше 0 - имеет подъём. Отсюда мы получаем простой способ оценивать соответствие данных степенному закону - мы строим диаграмму или гистограмму в двойных логарифмических координатах, когда шкалы x и y не линейные, а логарифмические. Если мы получаем в этих условиях прямую линию, то наши данные соответствуют степенному закону. При этом наклон прямой линии (коэффициент k) равен показателю степенной функции.
Для начала посмотрим, как будет выглядеть в двойных логарифмических координатах гистограмма дыр в ковре Серпинского:
Мы видим прямую линию и её наклон точно соответствует подсчитанному нами k = -ln(3)/ln(4)
Теперь построим распределение городов по населению в двойных логарифмических координатах:
Точки удовлетворительно ложатся на прямую линию и это даёт нам основание утверждать, что частотное распределение городов по населению тоже соответствует степенному гиперболическому закону с показателем около -2, и это является указанием на действие когнитивного порядка.
Может быть, не удивительно, что мы находим действие одного и того же степенного закона в огромном разнообразии фрактальных структур - он возникает как результат самих принципов построения фрактала, когда мы применяем одно и то же преобразование ко всё более мелким масштабам фигуры. Например, так строится ковёр Серпинского. В результате возникают всё более мелкие структурные элементы, которых при этом становится всё больше. Но совсем другое дело обнаружить степенной закон в распределении населения городов. Откуда он берётся? В результате каких процессов?
Замечательно, что нынешняя наука не может дать на это удовлетворительный ответ (как и объяснить причины степенных распределений параметров многих других социальных и природных явлений). Несмотря на многие старания, до сих пор не удалось придумать какую-то экономическую, географическую или демографическую модель, которая бы объяснила возникновение степенного частотного распределения городов по населению. Но трудно отделаться от подозрения, что причина в какой-то неочевидной, скрытой фрактальной структуре, которую образуют города и их население. И возможно, представление о когнитивном порядке позволит тут внести ясность.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER