КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Темы:
Роман Уфимцев
3 ноября 2011 года, Калининград
В четвёртом прологе мы познакомились с тремя различными типами степенных распределений, которые встречаются в литературе, посвящённой степенным закономерностям в различных социальных и природных явлениях. Эти закономерности для нас представляют особый интерес и для ясности и однозначности нам требуется выбрать один из типов как основной, базовый. Какой же из типов нам выбрать: классическое частотное распределение, простое и удобное ранговое или получившее распространение в социальных и экономических исследованиях куммулятивное?
Пусть нашим проводником для начала станет соображение максимальной простоты, и исходя из него в качестве своего основного инструмента мы выберем ранговое распределение. Как мы видели, оно чрезвычайно просто строится, оно "бережно" к исходным данным, так что его можно строить на небольшом наборе данных. Однако, не только простота и удобство делает ранговое распределение нашим предпочтительным выбором. Дело ещё и в том, что именно при использовании рангового распределения многие естественные степенные закономерности приобретают максимально лаконичный, даже эстетически выразительный вид.
Речь идёт о показателе степени, который при использовании рангового распределения для многих наблюдаемых социальных и природных явлений самого разного рода оказывается близким к -1, так что уравнение рангового распределения приобретает простую и красивую форму:
Тут H(rank) - значение числового параметра для элемента, имеющего ранг rank. В нашем примере этим параметром было население городов. H(1) - это значение параметра для элемента, имеющего первый ранг.
Именно к такому случаю относится статистика населения городов. Мы убедились в том, что ранговое распределение городов России по населению с некоторыми исключениями хорошо соответствует степенному закону с показателем -1,09, то есть, показатель весьма близок к -1.
Примеров явлений, обладающих схожей статистикой так много, что ранговое степенное распределение с показателем -1 получило особое название: закон Зипфа. Мы уже говорили о том, что ранговое распределение начал применять лингвист Зипф. Он строил ранговые распределения слов естественного языка по частоте их использования в различных текстах и выяснил, что получающиеся распределения хорошо соответствуют степенному закону с показателем, близим к -1. Снчала законом Зипфа называли эту лингвистическую закономерность, но теперь, когда сходные степенные распределения обнаружены во многих других явлениях, о законе Зипфа (и распределении Зипфа) часто говорят в других контекстах.
Проверим, для начала, соответствует ли закону Зипфа частота использования слов в русском языке. Для это обратимся к статистике использования слов в русскоязычной художественной литературе, построим ранговое распределение и представим его в двойных логарифмических координатах:
Мы видим, что распределение очень хорошо укладывается на прямую линию, соответствующую показателю степени -1,02, то есть, мы видим, что закон Зипфа действует и в русском языке.
Далее, можно сказать, что закону Зипфа хорошо соответствует распределение городов России по населению:
Хотя имеется отклонение для крупных городов, но в целом закон Зипфа хорошо выполняется с показателем степени около -1,09.
Этому закону также соответствуют и многие природные явления. Вот, например, как выглядит в двойных логарифмических координатах ранговое распределение площадей озёр России:
Как мы видим, имеется отличное выполнение закона Зипфа с показателем степени около -1,07.
Заметим, кстати, на одну особенность: если показатель степенного рангового распределения равен -1, то и показатель куммулятивного распределения (распределения Парето) будет равен -1, поскольку, как мы знаем:
Поэтому, закон Зипфа выполняется в тех случаях, когда показатель -1 имеет или ранговое или куммулятивное степенное распределение.
Условимся о терминологии. Далее мы будем обозначать показатель степени рангового распределения греческой буквой β (бета), и при этом мы будем понимать его как положительное число, которое входит в уравнение распределения:
В случае, если β близка к 1, мы говорим, что выполняется закон Зипфа и уравнение рангового распределения приобретает красивый вид:
Итак, мы обнаружили, что
Для распределения частоты слов русского языка β = 1,02
Для распределения городов России по населению β = 1,07
Для распределения озёр России по площади β = 1,07
Во всех трех случаях β близка к 1, а значит, выполняется закон Зипфа.
Разумеется, β не всегда равна или близка 1. Вот, например, ранговое распределение крупных (более 3000 чел.) населённых пунктов Калининградской области:
Мы видим, что степенная закономерность выполняется, но β = 1,3, то есть закон Зипфа в данном случае не действует.
Сигнатура β = 1
Говоря о признаках действия когнитивного порядка, мы называли его сигнатурой масштабную инвариантность структуры наблюдаемого явления, которая приводит к степенным распределениям. Однако, теперь мы сформулируем полезное уточнение: ещё более характерным проявлением действия когнитивного порядка, его более точной и существенной сигнатурой является соответствие статистики явления закону Зипфа, то есть, возникновение степенного рангового распределения с показателем β = 1.
Полезно рассмотреть случай, когда закон Зипфа выполняется идеально. Это происходит, если у нас есть ряд элементов множества, параметры которых точно соответствуют уравнению:
В простейшем случае H(1) = 1 и мы получим:
Тогда мы можем записать ряд чисел, которым должны быть равны параметры рассортированных по рангу элементов множества:
Это очень известный в теории чисел ряд, который называют гармоническим рядом. Своё название он получил из учения о музыкальной гармонии, которую начал создавать ещё Пифагор. Этот ряд обладает очень интересным свойством, и пусть оно для нас пока является косвенным указанием на особую роль закона Зипфа. Это свойство - условная расходимость гармонического ряда.
Математика знает множество разных числовых рядов, например, ряд обратных квадратов
Или простеший натуральный ряд
Принято говорить, что ряд сходится, если бесконечная сумма его членов не равна бесконечности, а сходится к какому-то конкретному числу. Напротив, ряд является расходящимся, если сумма ряда стремится к бесконечности. Например, сумма бесконечного ряда натуральных чисел расходится, потому что
А бесконечный ряд обратных квадратов, наоборот, сходится:
Как установил Эйлер, вообще, если мы имеем бесконечный ряд степеней вида:
то он сходится для всех значений показателя k больше 1. Например, при k=2 мы получаем ряд обратных квадратов, который сходится к конкретному числу:
Однако ряд такого вида перестает сходиться для всех k, меньших, чем 1. И он не сходится для гармонического ряда, когда k=1:
Однако, гармонический ряд, хотя и расходится, но расходится чрезвычайно, фантастически медленно. Например, для того, чтобы сумма гармонического ряда хотя бы превысила 100, необходимо взять порядка 10^43 членов ряда, это единица с 43 нулями!
В некотором смысле гармонический ряд лежит на границе между сходящимися и расходящимися рядами, поэтому иногда говорят, что он "условно" расходится.
Почему это свойство гармонического ряда интересно для нас?
Вспомним, что степенные распределения (а значит, и степенные ряды) часто порождаются фрактальными структурами. Представим себе, что мы обнаружили в мире фрактал, размеры элементов которого (как площади дыр в ковре Серпинского) соответствуют ряду:
Поскольку такой ряд сходится к конкретному числу, общий размер фрактала (он вычислялся бы как сумма этого ряда) оказался бы конкретным и ограниченным.
Но вообразим теперь, что размеры элементов фрактала соответствуют гармоническому ряду. Поскольку гармонический ряд расходится, такой фрактал полностью бы поглотил всё пространство нашего мира (сколько его ни есть). При этом, он бы вполне вместился в него, но для этого ему бы потребовалось всё пространство мира.
Наконец, пусть мы обнаружили фрактал, размеры элементов которого соответствуют бесконечному и быстро расходящемуся ряду:
Все такие ряды расходятся и быстрее, чем пограничный гармонический ряд. Это можно трактовать так, что соответствующий им фрактал просто бы не вместился в наше пространство, ему бы не хватило в нём места. Даже гармонический ряд, у которого k=1 вместился "еле-еле", а если k<1, он уже точно не вместится.
Таким образом, в некотором смысле гармонические ряды связаны с фракталами, которые заполняют всё пространство мира, не оставляя пустых мест, но и не "выплёскиваясь" из него. Значение этого обстоятельства нам откроется позже.
1
Заголовок
Непонятно, почему гармонический фрактал помещается в мир (его элементы же расходятся, пусть и очень медленно), а фрактал, элементы которого расходятся быстро, не помещается в мир. По-моему, они оба должны не помещаться в мир, поскольку расходятся.
Имя wlasowegor@gmail.com (23.12.2015 18:14)
2
О, вы правы
Тут автор позволил себе немного драматизировать вопрос. Конечно, поскольку гармонический ряд все же расходится, значит гармонический фрактал не влезет ни в какой мир фиксированного размера.
Но если мир расширяется согласно логарифму времени (то есть, вначале - очень быстро, а теперь - очень медленно, почти незаметно), то гармонический фрактал как-раз влезает :)
Роман Уфимцев (23.12.2015 19:55)
3
PS.
Решил кое-что добавить, мне кажется, существенное для ясности - что имел в виду автор.
Мы знаем, что все бесконечные ряды степеней описанного выше вида, как установил Эйлер, сходятся для степеней выше 1. И расходятся для степеней ниже 1. Значит, есть какой-то водораздел. Трудность с ним в том, что значение степени k=1 дает гармонический ряд, который тоже точно расходится. Но тогда какой этот водораздел? Значит, какое-то значение степени ЧУТЬ-ЧУТЬ больше 1. Но что это за ЧУТЬ-ЧУТЬ? И вот оказывается, что это чуть-чуть бесконечно мало. Водораздел лежит в показателе k, который больше 1 на БЕСКОНЕЧНО МАЛУЮ ВЕЛИЧИНУ. Фактически, он оказывается неотличим от единицы. Но при этом не равен ей, а ЧУТЬ-ЧУТЬ, бесконечно ЧУТЬ-ЧУТЬ больше ее.
Это парадоксально, но таков мир математики. Он прекрасен этим. Но если "приземлиться" и выбросить из головы эти "чуть-чуть", то мы можем сказать, что именно при k=1 ряд приобретает пограничные свойства. Хотя это, конечно, условно верное утверждение. Но и его полное отрицание тоже не верно.
Роман Уфимцев (25.12.2015 21:30)
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER