КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
Темы:
Роман Уфимцев
4 ноября 2011 года, Калининград
До сих пор мы говорили о признаках когнитивного порядка, сигнатурах, которые можно наблюдать, если изучаемое явление представлено дискретно, как множество элементов-экземпляров. Если какие-то индивидуальные параметры этих элементов соответствуют степенной статистике, и особенно закону Зипфа, мы можем предполагать, что для этого явления когнитивный порядок является значимой упорядочивающей силой, во всяком случае, в некоторых его аспектах. В наших примерах такими множествами выступали города России с их населением, слова русского языка с их частотностью, озёра России с их площадью.
Однако, не всегда возможно представить изучаемое явление дискретно, как множественную структуру, состоящую из отдельных элементов. Иногда структура изучаемого явления слабо различима, так что оно не представляется как множество, в других случаях мы просто не можем получить статистическую сводную информацию по индивидуальным параметрам элементов явления. В такой ситуации мы должны опираться на целостные наблюдаемые характеристики явления, в числе которых особую роль играют шумы.
Шумами мы называем любое нерегулярное изменение одного из целостных параметров наблюдаемого явления. Например, для горящего костра такими нерегулярно изменяющимися параметрами являются интенсивность звука и интенсивность излучения (вероятно, есть и другие) - при этом мы не различаем, какая часть костра производит звук или излучение, мы берём его как целое. Но примеров шумов различной природы можно привести сколько угодно: интенсивность потока автомобилей на автотрассе, биржевые котировки, уровень грунтовых вод, электрическая активность клеток, сила тока в проводнике, тектоническая активность и.т.д. В каждом из этих примеров мы имеем дело с измеримой величиной, которая подвержена флуктуациям.
Во многих случаях флуктуации являются периодическими, например, периодически изменяется расстояние Солнца от Земли, периодически меняется уровень приливов, положение маятника и т.д. Однако, периодическая динамика обычно появляется в очень простых системах, управляемых физическим порядком. Мы же сосредоточимся на сложных системах и явлениях, в которых флуктуации параметров обычно являются иррегулярными, не-периодическими. Напомню, именно в сложных системах возникают "тепличные" условия для действия когнитивного порядка.
Итак, шум – не-периодическое, иррегулярное изменение параметра явления любого рода. При этом особый интерес для нас представляют шумы целостных параметров (шумы, которые производятся явлением как целостностью), потому что они позволяют услышать "суть явления", даже если оно не поддаётся нормальному структурному анализу. В частности, параметры шумов позволяют определить, какой порядок управляет явлением - физический или когнитивный.
Классическим и хорошо разработанным методом анализа шумов является спектральный анализ. Упрощённо, этот метод основан на преобразовании Фурье, которое представляет изменяющуюся в течение выделенного промежутка времени величину S(t) как сумму гармоник кратной частоты:
Пусть, например, мы исследуем шумовой сигнал длительностью 1 сек. Его можно представить как сумму периодических (гармонических) сигналов с частотами 1, 2, 3, 4, 5 ... герц. Каждый из членов этой суммы имеет вид косинусоиды и является частотным компонентом исходного сигнала. При этом, в зависимости от сигнала, вклад различных компонентов будет разным, что отражается в разных коэффициентах A1, A2, А3,...
Построив диаграмму, на которой по оси X мы откладываем частоту компонентов (это число совпадает с количеством раз, сколько соответствующая косинусоида укладывается в исходном промежутке длительностью в 1 сек.), а по оси Y - соответствующий коэффициент A, возведённый в квадрат, мы получим частотный спектр мощности исходного шумового сигнала, который наглядно отражает вклад каждой гармоники в мощность общего сигнала.
Если вы не слишком хорошо понимаете, о чём тут идёт речь, рекомендую сначала ознакомиться с очень простым введением в теорию периодических процессов и преобразований Фурье. Оно написано так, чтобы в этом разобрались даже люди гуманитарных специальностей. Если вы будете интуитивно понимать, что такое спектр мощности флуктуаций и шумов, это очень поможет в дальнейшем чтении Прологов.
Обратим внимание на связь между частотными компонентами ряда Фурье и гармоническим рядом. Если длительность исходного сигнала равна 1 сек, то первая гармоника имеет частоту 1 гц. и длительность 1 сек. Вторая гармоника имеет удвоенную частоту по сравнению с первой 2 гц. и период 1/2 сек. (то есть, в течение 1 сек. она совершает два полных колебания). Третья гармоника имеет частоту 3 гц. и период 1/3 сек. и т.д. Ряд периодов гармоник точно соответствует важному для нас гармоническому ряду:
Иррегулярные изменения параметров различных явлений чрезвычайно распространены и уже давно изучаются, в том числе и с помощью спектрального анализа. Выяснилось, что с точки зрения спектра наибольшее распространение имеют три типа шумов. Оказалось также, что спектры этих шумов соответствуют степенным функциям. Эти шумы получили цветовые обозначения: белый шум, коричневый шум и розовый шум. Далее мы поговорим о каждом из них.
Белый шум
Белый шум - это шум, частотные компоненты которого имеют примерно одинаковую мощность во всех диапазонах частот. Благодаря этому свойству он и получил своё обозначение: считается, что белый солнечный свет представляет собой равномерную смесь электромагнитных колебаний различных частот. По аналогии, белым шумом стали именовать любые сигналы, обладающие характерным плоским спектром. Например, вот типичный образец белого шума и соответствующий ему спектр мощности:
Как мы видим, в спектре не наблюдается каких-то систематичных отклонений от горизонтальной плоской линии. А усредняя спектры большого числа образцов белого шума или усредняя по соседним частотам, мы бы получили плоскую горизонтальную линию.
В природе этот тип шумов чаще всего наблюдается в связи с тепловыми флуктуациями, например, такой спектр имеют тепловые шумы в полупроводниках - если включить на полную громкость какой-нибудь электронный усилитель, то мы услышим мягкое шипение - это и есть тепловой белый шум.
Белый шум знаменателен тем, что имеется очень простой числовой способ его генерации. Возьмём какой-нибудь числовой диапазон и будем совершенно случайно выбирать из него числа. Составив результаты в один ряд, мы получим последовательность чисел, имеющую спектр белого шума. Это приводит к естественному объяснению белого шума как результата совершенно случайных процессов. Например, так можно объяснить тепловые шумы в полупроводниках.
Коричневый шум
Спектр коричневого шума соответствует степенной функции с показателем -2. Своё название этот шум получил по фамилии Brown, которую носил первооткрыватель "броуновского" движения. Разглядывая под микроскопом пыльцу растений в воде, он обнаружил, что частицы хаотически движутся, а не остаются неподвижными. Это было объяснено случайными ударами молекул воды, налетающих на частицы пыльцы. В результате частицы медленно хаотически дрейфовали, блуждали. Идею случайного блуждания хорошо иллюстрирует сам внешний вид коричневого сигнала:
Спектр этого шума соответствует степенной функции и поэтому он плотно "прилеплен" к осям, что мы уже видели на примере степенных распределений:
Однако, построив этот же спектр в двойных логарифмических координатах, мы вполне проясняем соответствие спектра степенной функции:
Несмотря на случайные отклонения, спектр очевидно укладывается на прямую линию, соответствующую показателю степени -2. Усредняя по многим образцам шума или сглаживая по соседним точкам, мы получим практически прямую линию.
Коричневый шум получается числовым методом настолько же простым, как и в случае белого шума - и он демонстрирует их глубокую родственность. Чтобы получить коричневый шум, на каждом шаге следует не просто брать случайные числа в качестве следующего значения сигнала, а прибавлять случайное значение к предыдущему значению сигнала. Например, если на предыдущем шаге сигнал имел значение 100, и у нас выпало случайное число -7, то следующее значение сигнала будет равно 93.
Говоря иначе, в белом шуме случайной величиной является каждое следующее значение сигнала, а в коричневом случайной величиной является изменение сигнала (поэтому говорят, что белый шум - это дифференциал, производная коричневого шума).
Характерный блуждающий вид коричневого шума демонстрирует его важное отличие от белого: белый шум представляет собой флуктуации, которые лежат в определенной полосе, за пределы которой они практически не выходят. Напротив, коричневый шум, если есть достаточно времени, гарантировано покинет любую, даже очень большую полосу значений:
В связи с этим принято говорить, что белый шум - стационарный, а коричневый - нестационарный. (Обратим внимание, как это напоминает понятие сходящихся и расходящихся числовых рядов).
Коричневый шум широко распространён в явлениях различной природы. Он возникает повсюду, где имеется случайный прирост каких-либо параметров. Например, в броуновском движении микрочастиц таким параметром является координата частиц. Коричневому спектру хорошо соответствует нормальное движение биржевых котировок, которое также состоит из приростов стоимости акций, близких к случайным. Вообще, там, где мы имеем величину, которая по каким-то причинам не склонна меняться мгновенно, а только относительно небольшими приростами, мы встречаем флуктуации, обладающие спектром коричневого шума. Естественно, что физическая реальность, в которой множество таких инерционных величин (координаты тел, их импульсы и т.д.), даёт массу примеров коричневого шума.
Если белый шум на слух похож на шум сыплющегося песка или шум в электронном усилителе, то коричневый шум, из-за огромного превосходства низких частот, похож на шум в цехе машиностроительного завода, который наполнен громким и "тяжёлым" гулом огромных агрегатов.
Розовый шум
Розовым шумом или фликкер-шумом называют шум, спектр мощности которого соответствует степенной функции с показателем -1. Формально, по промежуточному показателю степени (у коричневого он равен -2, у белого - 0), розовый шум находится ровно посредине между коричневым и белым шумом. Это же иллюстрирует и типичный вид розового шума:
Шум не такой "плоский" как белый, но и не так сильно бродит, как коричневый.
Своё название розовый шум получил благодаря аналогии с цветовым спектром электромагнитных волн. Белый свет имеет равномерный плоский спектр и если усилить мощность низкочастотных компонентов - а они отвечают за красную область цветового спектра - то белый свет превратится в красноватый, розовый. Спектр розового шума этим и отличается: более мощными в нём являются низкие частоты. (но нужно помнить, что если мы взглянем на спектр не в логарифмических, а в обычных координатах, мы увидим, что в действительности самые низкочастотные компоненты многократно мощнее прочих. По аналогии, это соответствует ситуации, когда излучение красного цвета многократно сильнее других, перебивает их, так что точнее розовый шум следовало бы называть красным).
Розовый шум наблюдается в самых разных явлениях. Впервые на него обратили внимание в физике полупроводников, во флуктуациях тока через полупроводники, когда было обнаружено, что кроме обычного теплового шума, в них присутствует шум, имеющий степенной спектр с показателем около -1. Особенно он становится заметен на низких частотах, в которых этот шум имеет максимум мощности. В физике этот шум называют "мерцающим шумом", фликкер-шумом и его происхождение до сих пор остается загадкой. Он обладает воистину странными свойствами. Например, оказалось, что даже в полупроводниках, полностью изолированных от внешнего мира, от перепадов температуры и т.д., происходят медленные флуктуации тока длительностью в недели и даже месяцы, имеющие розовый спектр. С позиций нынешней физики это не поддается удовлетворительному объяснению, поскольку считается, что полупроводниках не могут происходить какие-то обратимые процессы, имеющие такой масштаб времени. Проблема стала ещё серьёзнее, когда было обнаружено, что фликкер-шум присутствует не только в полупроводниках, а практически в любых проводящих средах. Это поставило крест на объяснениях (впрочем, довольно сложных), которые основывались на уникальных свойствах полупроводников, таких как наличие плоскостей контакта между областями различной проводимости и т.д.
Проблему фликкер-шума усугубляет то обстоятельство, что до сих пор не было достаточно простой и прозрачной числовой модели, которая могла бы порождать розовый шум. А если мы не понимаем в принципе, как можно создать розовый шум, то нам сложно объяснить, как он возникает в природных явлениях.
Тем не менее, загадка фликкер-шума осталась бы узкоспециализированной темой, если бы шумы с таким спектром не были бы обнаружены в множестве других явлений самой разной природы. Мы не станем тут их перечислять - на тему розового шума уже написано немало - а лишь приведём пару важных для нас примеров. Во-первых, розовым спектром обладают звуки человеческой речи, а также большинства музыкальных произведений разных стилей и народов. Во-вторых, розовым спектром обладают флуктуации электропотенциалов отдельных нейронов мозга, а также в целом, такой спектр имеют электроэнцефалограммы мозга здоровых людей.
На слух розовый шум не такой "плоский" и "скучный", как белый шум, но и не такой угнетающе "тяжёлый", как коричневый. Ближе всего он, пожалуй, похож на звук водопада, когда мы находимся неподалёку от него.
Розовый шум иногда обозначают как "шум 1/f", потому что уравнение спектра мощности для розового шума соответствует степенной функции:
где W(f) - мощность гармоники, имеющей частоту f, W(1) - мощность первой гармоники, а f - частота. Естественно, что мы можем по аналогии обозначать коричневый шум как "шум 1/f²", потому что уравнение его спектра:
В заключение - интересный вопрос: является ли розовый шум стационарным или нестационарным? Споры на эту тему, вроде бы, продолжаются. Мы склоняемся к тому, чтобы, по аналогии с "условно" расходящимся гармоническим рядом, считать розовый шум "условно" нестационарным (или наоборот, "условно" стационарным). Иными словами, среди прочих цветных шумов, то есть, среди шумов, имеющих степенной спектр, розовый шум находится точно на границе стационарности и нестационарности.
Сигнатура α = 1
Мы ещё будем говорить о том, какие объяснения придумываются розовому шуму (в частности, о самом популярном сегодня объяснении, связанном с так называемой теорией самоорганизующейся критичности), а пока определимся с терминам.
В дальнейшем, если спектр шума рассматриваемого нами явления соответствует степенной функции, то её показатель взятый как положительное число мы будем обозначать греческой буквой α (альфа). Например,
Для белого шума α = 0
Для розового шума α = 1
Для коричневого шума α = 2
Наибольший интерес для нас представляют шумы, для которых α близка или равна единице, то есть, розовые шумы. Мы будем говорить, что шумы, для которых α=1, содержат сигнатуру когнитивного порядка. Напротив, шумы, имеющие α=0 или α=2 несут сигнатуру физического порядка.
Напомню, что другой сигнатурой когнитивного порядка является признак β=1, где β - показатель степенного рангового распределения. Вероятно, не трудно догадаться, что сходство двух сигнатур далеко не случайно.
1
Автор очень понятно пишет о довольно сложных вещах. Побольше бы такого во всех областях.
Даша (12.08.2013 15:20)
2
Почему мы выделяем шумы 1/f и 1/f^2, ведь показатель степени при f может быть любым числом. Почему 1/f^2 заслуживает названия (Броуновский шум), а 1/f^1.6 — не заслуживает?
Имя (23.12.2015 22:20)
3
Потому, что три цветных шума действительно особенные с точки зрения способа их получения - об этом написано тут. Белый шум 1/f^0 и коричневый шум 1/f^2 получить очень просто. Первый - просто случайная последовательность чисел, а второй - накопление суммы случайных чисел, то есть, случайное блуждание. А, например, шум 1/f^1.6 простым способом получить нельзя.
Между белым и коричневым шумом естественно видится шум 1/f - розовый. Хотя и его получить не так просто, но все же есть элегантный способ его генерировать. В отличие от, например, 1/f^1.6
Именно - понятность происхождение и порождения - и делает три цветных шума особенными.
Роман Уфимцев (23.12.2015 23:22)
4
Спасибо большое!
Настя (23.10.2016 22:02)
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER