КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Темы:
Роман Уфимцев
7 ноября 2011 года, Калининград
В шестом прологе мы освежили в памяти концепцию цветных шумов - это шумы, чьи спектры мощности соответствуют степенной функции. Кроме того, мы начали разговор о самом загадочном из цветных шумов - о розовом шуме или фликкер-шуме, спектр которого соответствует степенной функции с показателем -1, то есть, для которого α=1.
Сигнатура α=1 в дальнейшем нам очень пригодится, поэтому нам следует подробнее разобраться с тем, как сегодня принято объяснять присутствие розового шума в самых разных природных, биологических и социальных явлениях. Как мы уже говорили: трудность тут в том, что до недавних пор не было известно числового метода получения розового шума, который бы по простоте и надёжности был бы сравним с методами получения белого и коричневого.
Конечно, за десятилетия (а проблема возникала вместе с открытием фликкер-шума в середине 20-го века) поиски многих исследователей привели к некоторым моделям, но все они не выглядят достаточно простыми и универсальными и к тому же, шумы, которые с их помощью удаётся получать, не всегда идеально соответствуют спектру розового шума. Чтобы убедиться в этом, далее мы познакомимся с парой-тройкой самых популярных моделей, которые сегодня в ходу в научной литературе. Кроме того, что такое знакомство позволит нам лучше понять суть проблемы розового шума, оно поможет нам оценить простоту и красоту новой модели, которую нам предстоит для себя открыть.
Теория самоорганизующейся критичности
Мы начнём, безусловно, с самой популярной сегодня модели происхождения розового шума, которую называют моделью Бака-Снеппена, и со связанной с ней теорией самоорганизующейся критичности (Self-organized Criticality, SOC). Пару лет назад мы уже писали популярное изложение этой теории, и тогда мы сами считали её прекрасным решением проблемы розового шума. Однако сегодня, спустя время, ситуация с моделью Бака-Снеппена и в целом с теорией SOC уже не кажется нам такой "розовой". И всё же, поскольку эта теория очень популярна и на неё часто ссылаются по делу и не по делу, нам будет полезно детально разобраться в ней.
Теория самоорганизующейся критичности представляет розовый шум следствием достижение некоторой сложной системой критического состояния, в которое сложные системы сами собой склонны приходить. Канонической иллюстрацией создателя этой теории, Пера Бака, является тонкая струйка песка, сыплющаяся на ровную поверхность:
Сначала в месте, где падают песчинки начинает расти конус песка (1). Постепенно он становится выше, а его склоны - круче (2). В какой-то момент склоны достигают критического угла наклона (3), и с этого момента на склонах конуса начинают происходить песчаные лавины различного масштаба - при этом угол склона больше не увеличивается (4).
Эта система достигает своего критического состояния в момент, когда достигнут критический наклон склонов конуса и после этого в ней возникает свойство, которое хорошо известно в теории сложных систем - сверхчувствительность. Как в горной долине, склоны которой переполнены снегом, даже небольшое сотрясение может вызвать сход лавины, сходную сверхчувствительность приобретают и склоны песчаного конуса. И по ним тоже начинают сходить лавины.
Песчаный конус как система "сам собой" пришёл к критическому состоянию, это самоорганизованное состояние. По мысли Пера Бака, такую же склонность самостоятельно приходить к критическим, сверхчувствительным состояниям демонстрируют и другие сложные системы. При этом характерными признаками систем в критическом состоянии являются 1) фрактальная организация, которая проявляется в степенном законе распределения параметров, и 2) розовый спектр шумов системы. Это и есть теория самоорганизующейся критичности, которая сегодня завоевала большую популярность в кругах Complexity Science.
К слову, эксперименты с настоящими песчаными конусами (а также, с конусами из риса и т.д.) показали, что реальная динамика подобных систем выглядит не совсем так, как предсказывает теория Бака. Однако, для нас интересна не столько сама теория, сколько простейшая числовая модель сложной системы, самостоятельно приходящей к критическому состоянию, которую Пер Бак разработал совместно с коллегой Снеппеном.
Модель Бака-Снеппена представляет собой кольцо элементов (Бак пишет, что их количество не играет особой роли, но это не совсем так), например, 20 элементов. В первоначальный момент времени каждому из элементов назначается в качестве параметра случайное число, например, в диапазоне от 0 до 1. Затем мы отыскиваем среди элементов тот, параметр которого минимален. Это - "слабое звено" системы и мы меняем его параметр на новое случайное значение. И, кроме того, ещё меняем на новые случайные значения параметры двух непосредственных соседей "слабого" элемента. Так проходит один цикл работы модели. На втором цикле всё повторяется: снова находится самое слабое звено и т.д.
После некоторого начального периода насыщения (после примерно 100 циклов для модели, состоящей из 20 элементов), когда элементы в среднем увеличивают свои параметры, система приходит в состояние динамического равновесия, критическое состояние. Тщательно проверим, действительно ли модель Бака-Снеппена производит шумы розового спектра.
За источники шума мы возьмём 1) динамику изменения параметра отдельного элемента системы, "индивидуальный шум", и 2) динамику изменения суммы параметров всех элементов системы, "коллективный шум".
Шум отдельных элементов модели и их коллективный шум имеют разный вид. Вот характерный образец индивидуального шума:
У него специфическая форма - он состоит из периодов постоянного значения параметра, сменяемых "взрывами", когда значение параметра часто меняется. Точно такой же особенностью обладают некоторые естественные шумы, имеющие розовый спектр, в частности, фликкер-шум в полупроводниках и интенсивность сейсмической активности.
А вот так выглядит коллективный шум:
Коллективный шум элементов естественно оказывается не "взрывным", а "горящим" - при суммировании параметров многих элементов (в данном случае 20) "тихие" периоды в параметрах отдельных элементов маскируются, компенсируются шумом в параметрах других элементов.
Усредняя по многим запускам модели, получим сглаженный спектр в каждом случае. Спектр индивидуального шума в двойных логарифмических координатах:
Спектр коллективного шума:
В обоих случаях α близка к 1, а общая форма спектра удовлетворительно линейна. Как мы видим, модель Бака-Снеппена действительно может генерировать шум, довольно близкий к идеальному розовому.
А теперь проследим спектр шума на более длительном прогоне - возьмём не 1024 цикла, а в 64 раза больше. Изменятся ли от этого спектры?
Увы, при более длительном наблюдении спектры перестают соответствовать розовому шуму - происходит существенное искажение в области низких частот, в них спектр становится плоским, как у белого шума. Что же происходит? Означает ли это, что на длинных прогонах шумы модели Бака-Снеппена начинают отклоняться от розового спектра?
Но дело в другом. Если взять любой промежуток длительностью 1000-2000 циклов из длинного прогона, то его спектр будет близок к точному розовому, но в совокупности спектр всего длинного прогона не соответствует розовому спектру. Система из всего 20 элементов просто не может генерировать достаточно мощные для этого низкие частоты и спектр в низких частотах становится плоским. Поэтому, увеличив число элементов в модели, например, до 100, мы улучшим картину:
Но даже при 100 элементах, если ещё более увеличить длительность эволюции, происходит искажение спектра:
Это означает, что при любом конечном количестве элементов модель Бака-Снеппена лишь при ограниченной длительности прогона генерирует чистый розовый шум. Например, для модели из 20 элементов он не должен быть больше 1000-2000 циклов, а для 100 элементов - не больше 50000-60000 циклов. Это серьёзная проблема, поскольку это означает, что на основе модели Бака-Снеппена нельзя, например, создать цифровой генератор шума с точным розовым спектром, который бы мог его генерировать непрерывно - сколько бы мы не взяли элементов, наступит момент, когда спектр начнёт уплощаться в области низких частот.
Есть и ещё одна проблема. Можно заметить, что в действительности величина α для шумов, полученных с помощью этой модели, часто оказывается несколько выше 1. Особенно это заметно при увеличении числа элементов в модели. Например, при 100 элементах α достигает значения около 1,15. Хотя это кажется не слишком существенным отклонением от идеального α=1, по всей видимости, при ещё большем числе элементов, α может ещё больше увеличиваться:
(тут мы видим, что при увеличении числа элементов до 500 происходит нарушение линейности спектра: низкочастотная часть приобретает значение α около 1,4, а высокочастотная имеет α около 1,14. В любом случае, это уже не назовёшь хорошим розовым спектром.)
Итак, вопреки утверждениям Пера Бака, его модель критична к начальным условиям. Успешная генерация розового шума возможна только при согласовании количества элементов в модели с длительностью эволюции модели. Если эта согласованность не соблюдена, модель перестаёт генерировать полноценный розовый шум. Кроме того, увеличение количества элементов приводит к повышению α, его отклонению от идеального значения 1.
В целом, складывается впечатление, что эта модель прикоснулась к настоящей разгадке тайны розового шума, но вполне разгадать её она не смогла. В ней возникает что-то, похожее на истинную причину розового шума, но это "что-то" поставлено в ложный контекст, в неподходящие условия. По нашему мнению, в этом отношении модель Бака-Снеппена содержит в себе один критический промах: идеальный розовый шум невозможно получить с помощью какой-либо модели, основанной на динамике ограниченной в размерах структуры или сети. Любопытно, что в своей книге "How Nature Works" Пер Бак описывает логику, которая пустила его с коллегами в поиски именно такой модели:
Поскольку этот феномен (шум 1/f) обнаруживается повсюду, мы верили, что должно существовать его общее, фундаментальное объяснение. Системы с небольшим числом степеней свободы, как например угол и скорость одиночного маятника, и другие подобные системы не могут в общем случае демонстрировать шум 1/f или другое сложное поведение, поскольку для этого всегда необходимо точно подбирать условия. Поэтому мы пришли к выводу, что шум 1/f должен быть кооперативным феноменом, когда различные элементы большой системы действуют вместе каким-то согласованным образом.
Ирония судьбы, что эти поиски позволили Баку выйти на верный след розового шума, но стремление объяснить его как кооперативный феномен стала для него ловушкой.
Подведём итог. Мы полагаем, что модель Бака-Снеппена не годится на роль фундаментального объяснения происхождения розового шума – такого же фундаментального, каким, например, случайное блуждание является для коричневого шума. Тем не менее, она всё же стала большим шагом вперёд, потому что существовавшие до неё модели были ещё менее убедительными и результативными - мы это ещё увидим.
1
спасибо!
ждем...
Юрий (8.11.2011 10:32)
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER