КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Темы:
Роман Уфимцев
9 ноября 2011 года, Калининград
Итак, мы уже познакомились с самой известной и популярной моделью генерации розового шума - с теорией самоорганизующейся критичности и связанной с ней моделью Бака-Снеппена. Мы обнаружили, что она при некоторых условиях действительно производит красивый розовый шум, но на роль фундаментального объяснения не годится.
Прежде, чем мы приступим к знакомству с другими моделями, обратим внимание, что модель Бака-Снеппена более всего популярна отнюдь не у физиков, которые первые начали искать объяснения своему фликкер-шуму. Действительно, очень трудно представить, как эту модель можно использовать для описания флуктуаций количества свободных зарядов в полупроводнике. Максимум, что можно тут предполагать, что в полупроводнике возникает какое-то критическое состояние и вот это состояние как-то производит розовый шум - так и говорят энтузиасты теории Self-organized Criticality (и не только по поводу фликкер-шума, а вообще, всякий раз, когда они где-то находят розовый спектр).
Такого рода "объяснения" может быть и приемлемы в каких-то областях науки, но вряд ли оно может удовлетворить физиков, привыкших оперировать конкретными и наглядными образами. И потому, в некотором смысле, проблема фликкер-шума - пробный камень для любой модели розового шума, претендующей на универсальность. Если она не будет достаточно ясна и понятна, то физики в неё попросту не поверят - так и случилось с моделью Бака-Снеппена.
В целом не приняв для объяснения фликкер-шума теорию SOC, физикам осталось пока придерживаться гораздо более старой и некрасивой, но зато имеющей хоть какой-то физический смысл модели многомасштабной (параллельной) релаксации.
Модель многомасштабной (параллельной) релаксации
Из-за того, что её поддерживают физики (во всяком случае, официально, в курсах лекций и учебниках), эта модель является второй по известности после модели Бака-Снеппена - хотя порой складывается впечатление, что в неё давно никто по-настоящему не верит.
В её основе - хорошо изученное физиками явление релаксации. Релаксацией называют любой процесс, во время которого физическая система приходит в состояние равновесия. Простые примеры: постепенная остановка раскаченного маятника, которая происходит из-за трения, или постепенный самопроизвольный разряд заряженного конденсатора из-за утечки зарядов. Рассмотрим последний случай подробнее.
Заряд конденсатора характеризуется напряжением, которое в свою очередь прямо пропорционально количеству накопленных зарядов положительного и отрицательного знака на двух его обкладках. Если бы между обкладками была абсолютно непроводящая ток среда, то количество накопленных зарядов в конденсаторе оставалось бы неизменным. Однако, в реальности случается утечка через среду, так что накопленные заряды начинают проникать на противоположные обкладки, заряды компенсируются, и напряжение на конденсаторе снижается.
Обозначим текущее количество некомпенсированных ещё зарядов на обкладках конденсатора как Q. Принято считать, что интенсивность утечки (то есть, скорость снижения количества некопенсированных зарядов) пропорциональна текущему напряжению (то есть, текущему количеству некопенсированных зарядов). Вначале напряжение высокое, и утечка высокая. В конце процесса релаксации напряжение низкое, и утечка становится слабой. Мы можем записать:
где -dQ - отрицательный прирост количества зарядов, k - какой-то постоянный коэффициент, а dt - прирост времени. Перепишем так:
Проинтегрировав обе части уравнения, мы получим формулу, описывающее снижение заряда конденсатора с течением времени:
Тут Q(0) - количество зарядов в начальный момент времени. Мы получили обыкновенную экспоненту, которая является одной из самых распространенных в физике функций (мы ещё будем говорить, почему). Важную роль играет коэффициент k - от него зависит скорость спада экспоненты.
Вместо прямого использования коэффициента k удобно использовать обратную ему величину T, которую мы будем именовать постоянной времени процесса релаксации или просто характерным временем, так что уравнение приобретает вид:
Тогда растянутость экспоненты по шкале времени, то есть, характерная длительность релаксации, прямо пропорциональна постоянной времени T:
Далее, экспоненте будет соответствовать не только динамика снижения напряжения на конденсаторе, но и динамика тока утечки I, поскольку ток утечки прямо пропорционален остающемуся напряжению. Величина тока утечки и будет у нас "шумящим" параметром.
Теперь представим, что мы имеем какую-то большую и сложную среду, состоящую из десятков и тысяч конденсаторов, в которой релаксация идёт непрерывно. Для определённости, будем считать, что процессы релаксации отдельных конденсаторов проходят один за другим, с разными знаками и разными амплитудами, но с одним и тем же характерным временем T. Тогда, например, общий ток в этой системе может выглядеть так:
Каким спектром обладает этот шум? Как обычно, построим его спектр мощности в двойных логарифмических координатах:
Ничего похожего не только на розовый шум, а вообще, на нормальный цветной. Его низкочастотная часть соответствует белому шуму (α=1), а высокочастотная - близка к коричневому (α=2). Тем не менее, это знаменательный спектр. Он обладает характерной формой спектра релаксационных шумов, когда релаксация происходит с одной характерной скоростью (то есть, с одной и той же постоянной времени T) - такие спектры часто встречаются в физических явлениях.
Теперь представим, что в нашей сложной среде имеется ещё одна группа конденсаторов ("релаксаторов"), которые разряжаются с другой постоянной времени – более медленно, чем первые, но также периодично, один за другим. Для определённости, пусть в 7 раз медленнее - то есть, с в 7 раз большей постоянной времени. Тогда суммарный ток в среде будет выглядеть как сумма маленьких релаксационных пил, которые производят "быстрые" конденсаторы, и пил побольше, которые производятся "медленными" конденсаторами:
Как изменится спектр?
Спектр оказался не двух-составным, а трех-составным: для низких частот α=0, для средних α=1, для высоких - α=2. Нам удалось получить "розовый кусочек" спектра и понятно, откуда он взялся:
Совмещаясь, два характерных релаксационных спектра с разным характерным временем - а значит, сдвинутые относительно друг друга на шкале частот - дали кусок спектра с α=1.
Естественно попробовать добавить к шуму релаксацию групп ещё более медленных и более быстрых конденсаторов, чтобы характерные времена релаксации T образовали ряд вида
В этом случае спектры релаксационных шумов каждой группы конденсаторов на логарифмической шкале образуют однородную лестницу, в совокупности создающую протяжённый розовый спектр:
Проверим это. Мы возьмём b=7, так что каждая следующая группа конденсаторов разряжается в семь раз медленнее предыдущей:
Суммарный спектр релаксации 4 таких групп:
Мы видим, что он хорошо соответствует спектру розового шума - хотя заметны и закономерные отклонения в области самых высоких и самых низких частот.
Критическое условие, чтобы с помощью подобного механизма можно было получать хотя бы частичные розовые спектры - многомасштабность, то есть, наличие нескольких характерных временных масштабов процессов релаксации, причём они должны присутствовать в системе в определённой пропорции. Например у нас система состояла из
  1. 4802 конденсаторов с характерным временем релаксации T=2
  2. 686 конденсаторов с характерным временем релаксации T=14
  3. 98 конденсаторов с характерным временем релаксации T=98
  4. 14 конденсаторов с характерным временем релаксации T=686
Заметим, что ряд характерных времён релаксации образует ряд, в основе которого лежит геометрическая прогрессия - многократное умножение числа на само себя:
Мы встречали уже геометрические прогрессии, обсуждая статистику фракталов. Например, в треугольном ковре Серпинского число дыр на каждом каскаде фрактала растет в геометрической прогрессии, а их размер - падает в геометрической прогрессии:
Можно сказать, что геометрическая прогрессия выражает идею самоподобия: любые два соседних члена любой геометрической прогрессии относятся друг к другу в одинаковой пропорции.
Далее, и количество конденсаторов в каждой группе также является геометрической прогрессией (тут число, на которое умножается каждый следующий член ряда равно 1/7):
Если нарушить любую из этих закономерностей, то спектр теряет линейность и отклоняется от спектра розового шума. Например, возьмём, релаксаторов второй группы меньше, чем требуется - не 686, а 343. На спектре сразу появляется "горб":
Но и это ещё не последнее условие. У нас в каждой группе конденсаторы вступали в действие со строгой периодичностью. Стоит добавить тут элемент случайности и позволить каждому конденсатору в некоторых пределах "выбирать" начало своей релаксации, спектр немедленно существенно отклоняется от α=1, хотя и сохраняет свою линейность:
Как мы видим, чтобы получить с помощью модели многомасштабной релаксации розовый шум, приходится соблюсти немало условий, притом их нужно соблюсти точно. Именно в этом упрекал эту и прочие подобные модели Пер Бак - действительно, в модели Бака-Снеппена не приходится создавать таких хитроумных условий для возникновения розового шума.
Кажущееся преимущество модели многомасштабной релаксации - она, вроде бы, имеет понятную физическую трактовку. Например, можно представить, что в полупроводниках имеется много различного размера энергетических ловушек, из которых время от времени вываливаются (и попадают в них обратно) электроны. Тогда каждая такая ловушка может рассматриваться как маленький разряжающийся, релаксирующий конденсатор. Но тут нет ответа на другой трудный вопрос: а откуда в полупроводнике берётся точная и стройная, соответствующая геометрической прогрессии фрактало-подобная иерархия этих ловушек? - а мы теперь знаем, что это критически важное условие для порождения точного розового шума. Или почему эти ловушки срабатывают согласованно, одна за другой - ведь только при этом условии α близок к 1?
Увы, модель многомасштабной релаксации не решает загадку фликкер-шума. Она всего лишь заменяет одну загадку другой - именно поэтому физики всё-таки от неё отказываются (хотя и тихонечко, как бы стесняясь - ведь именно они её и выдумали).
Тем более, она не впечатляет исследователей других специальностей. Она сложна и не элегантна, в ней розовый спектр просто набирается из других спектров - при этом он всегда лишь кусочно точный. Наконец, в этой модели нет "волшебства", отзвуки которого есть даже в модели Бака-Снеппена. Но мы должны были рассмотреть эту модель, во-первых, для полноты картины проблемы розового шума, а во-вторых, как иллюстрацию к идее глубокой связи между фрактальными структурами и розовым шумом - ведь, в конечном итоге, причиной возникновения розового спектра в модели многомасштабной релаксации является вовсе не сама релаксация и какие-то её уникальные особенности, а соответствующая геометрической прогрессии, практически фрактальная организация отдельных процессов в системе - без этого, как мы заметили, никакого розового шума в ней не получается.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER