Розовый шум, фликкер-шум, шум 1/f - за разными названиями скрывается один и тот же загадочный феномен: шум, имеющий степенной спектр с показателем -1. У него много имён, как у опытного мошенника, который десятки лет успешно ускользает из рук следователей. Вот и мы настойчиво идём по его следу.
В предыдущем прологе мы подробно разобрали самую "официально-научную" модель происхождения розового шума - так называемую модель многомасштабной или параллельной релаксации. Релаксация - очень распространенный в природе и понятный науке процесс и со стороны физиков было естественно попробовать объяснить происхождение загадочного розового шума (фликкер-шума), опираясь на релаксацию. И кажется, получилось.
Но получилось ли? Модель оказалась довольно хитроумной и требовательной - оказалось, что процессы релаксации должны быть строго организованы по правилу геометрической прогрессии - только так можно получить розовый шум.
Мы закончили повествование о модели многомасштабной релаксации утверждением, что вовсе не релаксация помогает получать с помощью этой модели розовый шум, а та самая геометрическая прогрессия, которая характерна для фрактальных структур.
Релаксация и другие процессы сугубо физического порядка ни при чём. Чтобы это доказать, мы рассмотрим модель, которая гораздо проще, чем модель многомасштабной релаксации, но также производит розовый шум.
Модель "белых шипелок"
Она проще и красивее. Возьмем множество "белых шипелок" - источников простейшего белого шума (то есть, фактически, нам нужны просто генераторы случайных чисел). Настроим их так, чтобы:
Первая шипелка меняла свое значение в каждый отсчет времени (например, раз в секунду, если мы считаем время секундами)
Вторая шипелка меняла своё значение раз в 2 отсчета времени
Третья шипелка - раз в 4 отсчета
Четвертая шипелка - раз в 8 отсчетов
и т.д.
Мы видим, что темп изменения состояния разных шипелок образует ряд: 1, 2, 4, 8, 16... Конечно, это ряд степеней двойки, то есть, геометрическая прогрессия. Теперь просто сложим значения всех шипелок вместе и мы получим сложный шум, который представляет собой фактически многомасштабную смесь белых шумов. Каким спектром он будет обладать?
Взяв достаточно большое число шипелок ("каскадов") - например, 12 - мы получим следующий спектр (сглаживание по 300 запускам):
То, что получается отличный розовый шум, нет сомнений. Могут чуть-чуть смутить небольшие зазубрины, которые видны в высокочастотной части спектра, но если взять прогоны более длительные - их совершенно не будет видно. (есть и радикальный способ от них избавиться - в качестве опорного геометрического ряда, задающего каскады, следует взять не степени 2, а степени какого-то числа в промежутке между 1 и 2, ближе к 1. Зубцы сгладятся совершенно, но о том, как в этом случае должна быть изменена числовая модель, нужно говорить особо)
Чем модель "шипелок" отличается от модели многомасштабной релаксации? Лишь тем, что она значительно проще и она производит шум, гораздо лучше соответствующий розовому спектру в области высоких частот (вспомним, в модели релаксации на спектрах всегда виднелось отклонение вниз на высоких частотах). И ещё тем, что шипелкам совершенно не нужна никакая релаксация - это просто генераторы белого шума.
Чем шипелки и релаксаторы похожи? Тем, что для производства розового спектра в обеих моделях необходима строгая геометрическая организация временных масштабов. Действительно, если мы выключим одну шипелку, спектр сразу исказится:
Таким образом, можно уверенно утверждать, что в модели многомасштабной релаксации вовсе не релаксация является критическим звеном, а фрактальная многомасштабность. Если последняя присутствует в системе, то для генерации розового шума не нужна релаксация, а сгодится даже простейший белый шум.
Я бы сказал, что это ставит крест на самой "почтенной" модели шума 1/f.
Как и модель многомасштабной релаксации, модель шипелок - если серия длинная, а степенных каскадов слишком мало - начинает производить шум с уплощением в области низких частот. Например, если у нас те же 12 каскадов, но мы возьмем временной ряд в 16 раз длиннее, спектр побелеет в области низких частот:
Естественно, стоит нам добавить ещё пару каскадов шипелок и спектр снова станет красивым розовым.
Отсюда интересное сходство между всеми виденными нами до сих пор моделями генерации розового шума: они могут производить шум точного розового спектра в течение бесконечного времени лишь при условии, что:
Они сами состоят из бесконечного числа каскадных уровней - это относится к модели релаксации и модели шипелок,
либо они состоят из бесконечного числа элементов - это относится к модели Бака-Снеппена.
Вот почему мы утверждаем, что розовый шум нельзя произвести никакой моделью, которая представляет собой сеть или структуру ограниченного конкретного размера. Или, говоря точнее, в генерирующей розовый шум системе не должно быть характерного масштаба, она должна быть масштабно-инвариантной.
Снова взглянем на генерацию идеального розового шума с помощью бесконечного множества шипелок:
Каждый из каскадов производит белый шум, и каскады различаются между собой только характерным масштабом времени. В пределе мы имеем бесконечное число каскадов, так что в системе находятся шипелки для любого, какого угодно большого масштаба времени. В их совокупном шуме все масштабы времени смешиваются, так что сам шум становится масштабно-инвариантным. Как мы знаем, это розовый шум.
Теперь мы можем увидеть интересную и важную связь между белым и розовым шумом. Одна-единственная шипелка производит белый шум в одном конкретном характерном масштабе времени. Но стоит объединить множество таких белых шипелок в масштабно-инвариантную структуру, и мы получим розовый шум.
Белый шум с α=0 и наличие в системе характерного масштаба, как мы знаем, являются сигнатурами физического порядка. Розовый шум с α=1 и масштабная инвариантность (проявляющаяся в степенных законах) являются сигнатурами когнитивного порядка. Благодаря модели шипелок (спасибо также модели многомасштабной релаксации) мы начинаем понимать глубокую связь между разными типами сигнатур.
Тут полезен следующий взгляд. Белый шум (и прямо ему родственный коричневый) - самый характерный для физического порядка. Это самый распространенный шум физических флуктуаций, например, тепловых. Но и у когнитивного порядка есть такой самый характерный шум - розовый. Поэтому шум 1/f можно назвать шумом когнитивных флуктуаций или, несколько забегая вперёд, шумом сознания.
Будет полезно обратить внимание на один нюанс: в нашей модели только первая шипелка, которая меняет свое значение в каждый отсчет времени, производит белый шум. Остальные, строго говоря, нет. Вот, например, как выглядит спектр одиночной четвёртой шипелки, которая изменяет свое значение раз в восемь отсчетов времени:
Хотя основная часть спектра - белая, в высоких частотах имеется существенное искажение. Однако, это отклонение от белого спектра возникает только с точки зрения наблюдателя, для которого время меняется в каждый отсчет. Иначе говоря, так выглядит спектр четвёртой шипелки с точки зрения первой. А для самой четвертой шипелки, которая, как мы говорили, существует в растянутом, замедленном в 8 раз времени, её спектр по прежнему строго белый. Точно также для всех шипелок, существующих в как угодно замедленном времени, с их точки зрения, они честно генерируют белый шум.
И всё же, как бы ни была проста и полезна придуманная нами модель шипелок, она всё же не подходит на роль фундаментального объяснения происхождения розового шума. Ей свойственны те же недостатки, что и другим рассмотренным нами моделям. Для понимания феномена шума 1/f нам нужно нечто ещё более простое, кристально ясное и эстетичное. Нам нужна модель, в которой бы розовый спектр не набирался из кусочков, в которой бы он возникал сразу по всему наблюдаемому диапазону времён, которая бы не представляла собой сложной структуры.
Да, она уже найдена, и мы до неё со временем доберёмся, она - в самом фундаменте наших исследований.
Модель фрактального блуждания
Мы закончим наше предварительное обозрение проблемы розового шума кратким знакомством с ещё одной значимой моделью. В отличие от других, она практически никем не используется для объяснения фликкер-шума или других случаев его наблюдения. И это притом, что её поддерживал сам Мандельброт, основатель теории фракталов. А дело в том, что она представляет собой математический трюк, который выглядит забавно с точки зрения математиков, но совершенно не укладывается в голове у физиков и других учёных - они попросту не понимают, какой смысл он может иметь применительно к реальным природным и социальным явлениям.
Мы не будем погружаться в математику, но постараемся ухватить общую суть.
Как мы говорили, коричневый шум с α=2 очень легко получить из белого с α=0. Для этого нужно не менять каждый раз числовые значения на случайные, а прибавлять их к предыдущим значениям. Можно сказать, что коричневый шум накапливает, суммирует в себе белый.
Пусть мы имеем некоторую математическую функцию F1(t), в соответствии с которой меняется параметр F1 с течением времени. В качестве такого параметра возьмем, например, скорость какой-то частицы. Мы можем получить из этой функции другую функцию F2(t), которая будет накапливать, суммировать в себе значения функции F1(t). Такая функция называется интегралом функции F1(t).
Интегралом скорости частицы является её координата - координата накапливает, суммирует в себе изменяющуюся скорость.
Если рассматривать белый шум как функцию F1(t), то коричневый шум является его интегралом F2(t). В нашем случае, когда F1 - это скорость частицы, F2 будет соответствовать координате случайно блуждающей частицы.
Идея модели фрактального блуждания заключается в том, чтобы изменить правила интегрирования таким образом, чтобы в качестве интеграла белого шума получить не коричневый шум, а розовый. И такой метод интегрирования математики придумали и назвали его дробным интегрированием. Дробный интеграл белого шума может дать розовый шум. (поэтому эту модель именуют также моделью дробного интегрирования)
Если смысл обычного интегрирования понятен - это просто суммирование, накопление значений функции (в нашем случае это скорость) по всем моментам времени t, то смысл дробного интегрирования далеко не так ясен. Мандельброт предложил смотреть на дело так: если пространство, в котором бродит частица, представляет собой одномерный непрерывный континуум, то процедура интегрирования должна быть обычной, а если пространство почему-то имеет не целочисленную размерность 1, а дробную размерность, например 1/2, то интегрирование должно быть дробным. Поскольку объекты с дробной размерностью - это фракталы, то можно сказать, что дробное интегрирование - это интегрирование во фрактальном пространстве.
В результате дробного интегрирования обычного белого шума мы можем получить розовый шум, поэтому его можно понимать результатом случайного блуждания во фрактальном пространстве или просто, результатом фрактального блуждания.
Этой идее не откажешь в изяществе, но трудности физиков и специалистов прочих областей с ней понятны. Идея фрактального пространства и блуждания в нём слишком нетривиальна, чтобы стать общепринятой.
Однако, по нашему мнению, это одна из самых глубоких и близких к истинному пониманию розового шума моделей. Со временем идея фрактального блуждания нам уже не будет казаться экзотической.
