КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
 
Роман Уфимцев
22 сентября 2013 года, Калининград
Случайное в общем-то открытие обобщенных симметрий похоже на случайную удачу альпиниста, взбирающегося на непокорную вершину. Перед нами была огромная неприступная стена - в вдруг в этой стене обнаружилась трещина, а потом, за этой трещиной - целая сеть проходов, ведущих в разные стороны. И может быть, некоторые из них ведут и к вершине. Именно так мы сейчас обследуем лабиринт расщелин в скале неведомого, нащупывая правильный путь. Мы рассматриваем со всех возможных сторон обобщенную симметрию, ее полный смысл и связь с другими величинами.
В этом Прологе (с красивым юбилейным номером) мы обратимся к двум новым развитиям "учения об обобщенных симметриях". В нашем распоряжении появится новое уравнение порядка симметрии, позволяющее рассчитывать симметрию не для множеств, состоящих из объектов, но для непрерывных континуумов - и оно окажется неожиданно простым и красивым. Еще мы познакомимся с возможной разгадкой донимавшей нас "тайны симметрии порядка e". Наконец, мы освоим совершенно новый взгляд на симметрию как на нечто, характеризующее не собственно множества объектов, а траектории обхода этих множеств. Так и будем двигаться.
Уравнение симметрии континуума
Еще раз освежим в памяти метод вычисления обобщенной симметрии. Пусть мы имеем множество объектов с массами m1, m2, m3... Полагая, что объекты пронумерованы от более массивных к менее пассивным (то есть, m1m2m3... - этот порядок нумерации можно называть "физкультурным", имея в виду, что именно так, по росту, выстраиваются школьники на уроках физкультуры), порядок симметрии множества вычисляется как произведение:
где M = m1+m2+m3+... - общая масса множества.
Можно заметить, что мы можем переписать это выражение иначе:
Или, используя более лаконичную запись:
Рассмотрим выражение в скобках. Оно примечательно тем, что при достаточно больших значениях i приближается к очень простому выражению e*i, где e - основание натуральных логарифмов:
Тут черная линия - это истинная форма кривой i i/(i-1)i-1, а красная - кривая e*i. Но есть приближение, еще лучше соответствующие истинной форме кривой - это e*(i-1/2) - оно показано зеленой линией. Обратим внимание, что первый номер i, который должен быть учтен, равен 2. И даже в точке i=2 "зеленое" приближение достаточно точно отвечает истинному значению: истинное значение =4, приближенное ≈4,08. Это позволяет нам записать приближенное уравнение порядка симметрии, которое несравненно проще исходного:
Предположим теперь, что множество содержит очень большое число объектов и при этом первый, крупнейший, объект несет только малую часть массы всего множества (то есть, масса более-менее равномерно распределена по всем объектам). В этом случае мы можем еще более упростить выражение:
Тут мы опираемся на "красное" приближение, которое при большом количестве объектов вполне адекватно. Наконец, заметим, что
Значит
Или, прологарифмировав обе части:
Перед нами - предпоследний шаг к тому, чтобы распространить исчисление обобщенной симметрии с дискретных, состоящих из ограниченного количества объектов множеств на множества, образованные бесконечным количеством объектов - то есть, на континуумы.
Пусть мы имеем одномерный континуум, плотность которого отвечает уравнению p(x). При этом полагаем, что плотность континуума с роcтом x только снижается или остается неизменной (это требование - аналог нумерации объектов дискретного множества по массам). Тогда порядок симметрии этого континуума определяется выражением:
Мы получили неожиданно простое и элегантное уравнение: уравнение порядка симметрии континуума.
Его простота и стройность наводит на мысль, что оно является не просто непрерывным приближением "правильного" дискретного уравнения. Его скорее следует понимать как точное выражение для континуальных симметрий. Мы уже сталкивались с тем, как одна и та же математическая сущность выражается в разной форме для дискретного и континуального случая - например, натуральный логарифм и гармоническое число - две ипостаси одной и той же сущности 1/x, континуальная и дискретная соответственно. Таким же образом мы будем понимать и соотношение между дискретным и континуальным уравнением симметрии - они выражают две ипостаси одной и той же сущности, симметрии.
Интересные примеры
В качестве простейшего примера рассмотрим однородный континуум (то есть, континуум постоянной плотности C), начальная точка которого имеет координату x=0, а конечная x = A. Тогда:
Значит, получим элементарное
То есть, порядок симметрии однородного континуума равен его размеру (длине). Это интуитивно ясная параллель с дискретным случаем, когда порядок симметрии однородного дискретного множества (то есть, состоящего из объектов одинаковой массы) равна количеству объектов во множестве.
Впрочем, тут есть один нюанс: порядок симметрии, как и количество, безразмерная величина. А размер континуума, вообще-то не является безразмерной величиной. Чтобы наш результат был корректным, размер континуума должен измеряться в безразмерных единицах - с этим моментом и его смыслом мы разберемся попозже.
Еще один фундаментально важный пример - континуумы, плотность которых снижается по степенному закону:
Тут мы берем не просто x в степени β, а (x+1), чтобы избежать проблем с точкой x=0. Однородный континуум также относится к этому общему случаю при β = 0. Общий результат оказывается довольно сложным, но некоторые частные случаи более чем примечательны. Конкретно, для случая β = 2 получаем:
Что тут примечательного? Устремим A к бесконечности - то есть, рассмотрим бесконечный континуум, в котором плотность снижается обратно квадрату расстояния - такие континуумы часто встречаются в физической реальности (по такому степенному закону снижается интенсивность излучений точечных источников, интенсивность физических полей т.д.) Тогда в пределе мы получим
Это - порядок симметрии, равный основанию натуральных логарифмов. Внимательный читатель знает, как долго мы искали систему с таким порядком симметрии. И нашли, как это часто бывает, в совершенно неожиданном месте - обсудим это открытие чуть позже.
Заметим, что в дискретном случае мы также получали ограниченный порядок симметрии даже для неограниченного множества, массы объектов в котором отвечают закону обратного квадрата. Однако там результат не имел простого закрытого выражения, его мы могли оценить только численно: ≈2,434... Теперь это странное число можно понимать как "дискретный родственник" числа e.
Интересно, что если рассматривать континуумы со степенным распределением плотности, которые начинаются в точке x=1 и уравнение плотности при этом:
то мы получаем довольно простое выражение для порядка симметрии при любом показателе степени β:
Например, при β=2:
Устремляя A к бесконечности, получим
Не правда ли, занятный результат: если данный континуум начинается с x=0, мы получим порядок симметрии e, а если он сдвинут и начинается с точки x=1, мы получаем порядок симметрии e2...
Еще один случай: β = 1. Это континуум, аналогичный дискретному множеству, отвечающему закону Зипфа. В случае, если континуум начинается с x=0, результат не выражается в закрытом виде, но при больших A асимптотически приближается к
Если же континуум начинается в точке x=1, доступен точный результат:
Заметим, как эти результаты созвучны тому, который мы получили для дискретных зипфовских множеств, состоящих из k объектов:
По какой-то причине, которую еще предстоит понять, для некоторых степенных континуумов явно "натуральнее" начинаться на в точке x=0, а в точке x=1. Конкретно, это касается случая "зипфовского континуума" с β = 1. Дело не только в простоте результата в последнем случае - а это вообще-то для нас важный ориентир. Если этот континуум начинается в x=0 и имеют длину 1, то есть, A=1, то уравнение порядка симметрии вообще не дает конечного результата, оно не сходится. Как мы говорили, точное уравнение ln(S) для случая β = 1 выглядит сложно:
где Li2 - полилогарифм, который тут равен сумме
обращается при A=1 к бесконечности с неопределенным знаком:
Тут красная линия - кривая зависимости ln(S) от A для случая β = 1. При β = 2 (зеленая кривая) зависимость выглядит совершенно иначе.
Об этом нам следует еще поразмыслить.
Для полноты картины рассмотрим еще несколько любопытных примеров. Первый - континуум с логарифмически уменьшающейся плотностью, для которого
Дальняя граница такого континуума A естественно задается условием, что плотность на этой границе становится равной 0. Полный результат не выражается в закрытом виде, но при больших A действительно приближение
Однако, если использовать несколько другое уравнение плотности, отличающееся тем, что плотность в точке x=0 стремится не к конечной величине C, а к бесконечности
мы получим не приближенное, а точное уравнение порядка симметрии:
Эти результаты вновь прямо перекликаются с порядком симметрии дискретного множества с логарифмическим распределением масс, для которого (если объектов k):
Еще один простой пример - континуум с линейно снижающейся плотностью:
Для него результат прост:
Заметим, что это также находится в согласии с симметрией дискретного аналога - множества с линейно распределенными k объектами, для которого
Такие совпадения говорят о том, что мы действительно нашли верную формулу для расчета порядков симметрии континуумов.
Наконец, исследуем порядок симметрии континуума с экспоненциальным спадом плотности:
Выясняется, что для такого континуума полное уравнение выглядит сложно, но при устремлении A к бесконечности, порядок симметрии континуума сходится к занятной величине:
где γ - знакомая нам постоянная Эйлера-Машерони.
Симметрия траекторий
Вернемся к дискретным множествам. Пусть множество содержит два объекта не-равной массы/размера. Как мы знаем, для расчета обобщенной симметрии этого множества, объекты следует сначала ранжировать по массе, тогда если самый массивный объект имеет массу m1, второй - m2, то обобщенный порядок симметрии этой системы равен:
(полагая, что m1 + m2 = 1)
Однако, что будет, если мы не станем ранжировать массы, а точнее, если ранжируем их не в порядке уменьшения масс, а напротив, их увеличения? Тогда расчет порядка симметрии даст другой результат:
Поскольку, как мы договорились, m1>m2, то и S'>S. То есть, во втором случае результат будет больше, чем в первом.
Прежде мы не рассматривали возможность "неправильного" ранжирования объектов перед расчетом симметрии, а теперь мы еще более обобщаем обобщенную симметрию и будем говорить, что порядок симметрии множества зависит от траектории его обхода. Тут у нас в первом случае обход множества происходил от крупнейшего объекта к малейшему - как при построении рангового распределения. Во втором случае - наоборот, от малейшего - к крупнейшему:
Увеличивая количество объектов множества, мы увеличиваем и количество возможных траекторий обхода - траекторией обхода мы будем называть такую траекторию, которая обязательно проходит через все объекты данного множества и никогда не попадает на один и тот же объект дважды. Например, если множество состоит из трех объектов, имеется 6 альтернативных траекторий:
Вообще, не трудно установить, что во множестве, состоящем из N объектов имеется N! альтернативных траекторий обхода.
Обратим внимание на несколько моментов:
Если множество состоит из объектов равной массы, то порядок симметрии не зависит от траектории его обхода, он является целочисленным и равным количеству объектов множества.
Минимальный порядок симметрии имеет траектория, соответствующая обычному ранговому распределению, то есть, обходу объектов от крупнейших к малейшим.
Максимальный порядок симметрии имеет противоположная траектория - обход от малейших объектов к крупнейшим. Эти две траектории - с минимальным и максимальным порядком симметрии мы будем называть экстремальными траекториями. Если объекта всего два, имеется всего две траектории обхода и обе являются экстремальными.
Простейшие соображения приводят к выводу, что для множества, состоящего из N объектов минимальный порядок симметрии среди всех траекторий не меньше 1 (минимум приближается к единице, если масса одного из объектов гораздо больше массы остальных). Максимальный же порядок симметрии среди всех траекторий не больше величины NN (максимум также достигается, если масса одного из объектов гораздо больше массы остальных). Например, максимальный порядок симметрии для множества, состоящего из двух объектов не превышает 4 = 22. Полоса порядков симметрии от 1 до NN задает диапазон возможных симметрий для любых траекторий обхода во множестве из N объектов.
В качестве простого упражнения найдем множество, образованное двумя объектами, в котором отношение порядков минимально симметричной траектории S и максимально симметричной S' равно точно 2. Воспользовавшись приведенными выше уравнениями, запишем:
Из этого, также принимая во внимание, что m1 + m2 = 1, получим:
Из этого следует:
Заметим, как концептуально изменяется наше представление о симметрии: теперь мы говорим не о симметрии множества, а о симметриях траекторий обхода множества. Впрочем, полезно сохранить и старую концепцию. Мы будем именовать собственно симметрией множества минимальный порядок симметрии в ансамбле симметрий множества.
Ансамбль симметрий - это совокупность порядков симметрий всех возможных траекторий обхода данного множества.
Мы только что рассмотрели пример множества, состоящего из объектов с массами 3/4 и 1/4. Множества, состоящие из двух объектов имеют всего две возможные траектории обхода. В данном случае одна траектория ("физкультурная") имеет порядок симметрии S=21/2, а вторая, ей противоположная, порядок симметрии S'=23/2. Эти два значения и входят в ансамбль симметрий данного множества. При этом минимальное значение в ансамбле, величина 21/2, будет называться нами собственно симметрией множества.
Поскольку в множестве из N объектов имеется N! возможных траекторий, то и ансамбль для множества может включать в себя до N! порядков симметрии. До, потому что их может быть и меньше - если порядки симметрий некоторых траекторий совпадают. Это случается, если во множестве имеются объекты с одинаковыми массами. Рассмотрим, например, множество, состоящее из трех объектов с массами 1/2, 1/4, 1/4. Хотя в нем имеется 6 различных траекторий обхода, ансамбль симметрий содержит только 3 порядка симметрии:
В данном случае собственная симметрия множества равна минимальной величине в ансамбле, то есть, S1.
Разумеется, мы можем говорить и о траекториях обхода континуумов - этим мы и займемся в следующем Прологе.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER