КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
 
Роман Уфимцев
24 сентября 2013 года, Калининград
В этом Прологе мы продолжим знакомство с симметрией континуумов - темой, которая была нами начата в предыдущем Прологе.
В соответствии с известной поговоркой "Повторенье - мать ученья", еще раз проследим логику, которая нас привела от симметрии дискретных множеств к симметрии континуумов. Однако, по мнению автора, простое повторение мало что дает для улучшения понимания темы. Важно повторять другими словами, описывать предмет с разных сторон - вот тогда повторение действительно становится "матерью учения".
Итак, дискретные множества - это наборы объектов, которые характеризуются различными массами. Традиционно для расчета порядка симметрии такого множества мы выстраивали и нумеровали их в "физкультурном порядке", в порядке уменьшения массы:
Тогда порядок симметрии дискретного множества вычисляется по формуле
где M = m1+m2+m3+... - общая масса множества.
То же самое множество можно представить иначе, как столбчатую диаграмму, в которой по оси X откладывается номер объекта i, а по оси Y - его масса m:
Глядя на эту диаграмму, приходит в голову, что она может быть результатом дискретизации какого-то непрерывного графика:
Действительно, массу объекта с номером 1 может составлять площадь, очерченная непрерывной кривой в диапазоне x от 0 до 1, массу 2-го объекта - в диапазоне от 1 до 2, и т.д. Ясно, что в этом случае нельзя говорить, что ось X - это ось порядковых номеров объектов, потому что она теперь содержит не только целые числа. Поэтому ее следует назвать осью пространственной координаты x. Тогда ось Y становится не осью масс, а осью пространственной плотности p(x). Так мы приходим от дискретных множеств, для которых понятие пространства излишне, к расположенным в пространстве континуумам неоднородной (или однородной) плотности.
В предыдущем Прологе мы вывели уравнение порядка симметрии для континуумов с плотностью p(x):
Интегралы в ней берутся по всей пространственной протяженности континуума x, начиная с 0.
Однако, как только мы переходим к континууму в пространстве, возникает естественный вопрос: а почему мы должны располагать его в пространстве так, что плотнейшие его участки находятся ближе к началу координат? Почему мы не можем посмотреть на континуум с другой стороны? Тогда мы увидим тот же континуум иначе:
Именно это соображение и привело нас к теме траекторий обхода множеств, которую мы подняли в предыдущем Прологе. Конкретно, "развернутому" взгляду на континуум соответствует обход множества не от крупнейших объектов - к малейшим, а в обратном порядке:
Мы уже немного познакомились с тем, как изменение траектории обхода дискретного множества влияет на симметрию, а теперь посмотрим, к чему приводит разворот некоторых континуумов, порядок симметрии которых мы рассчитывали в предыдущем Прологе.
Континуумы с растущей плотностью и "перевертыши"
Очевидно, что однородный континуум выглядит одинаково с какого конца на него не посмотри - говоря на языке дискретных множеств, все траектории обхода однородного множества имеют одинаковый порядок симметрии.
Первый содержательно интересный пример - континуумы со степенным распределением плотности. Мы уже рассмотрели континуумы, плотность в которых отвечает уравнению:
При β > 0 - это континуумы со спадающей плотностью. Однако, то же самое уравнение может описывать и континуумы с нарастающей плотностью - для них β < 0, например, при β = -2 получаем континуум с параболически нарастающей плотностью:
Как мы говорили в предыдущем Прологе, общее выражение порядка симметрии для континуумов вида
оказывается сложным, так что выражается в закрытом виде не для всех β. Однако есть способы существенного упрощения результата. В частности для всех β < 1, мы можем упростить уравнение плотности:
Для случаев β≤0 это уравнение задает континуум со степенным ростом плотности, в котором плотность в точке x=0 равна 0. Тогда, например, для случая β = -2 имеем:
Выясняется, что при таком упрощении (которое возможно для всех β < 1) порядок симметрии оказывается равным простой величине:
Конкретно, при β = -2:
Заметим, что при β = 0 - для континуума с однородной плотностью - мы получаем уже известное нам
Если же мы устремляем β к минус бесконечности - то есть, имеем очень высокий показатель степени роста плотности континуума, в пределе мы получаем
Откровенно говоря, для автора этот результат оказался несколько неожиданным: для любого континуума, в котором плотность растет по степенному закону, вне зависимости от показателя степени β, порядок симметрии пропорционален размеру континуума. Различается только коэффициент пропорциональности. Этот коэффициент минимален при β=0 (однородный континуум) - в этом случае он равен 1. А максимум достигается при β, стремящемся к минус бесконечности (рост плотности с очень высоким показателем степени), и этот максимум равен числу e.
Используя этот результат, а также результаты, полученные в предыдущем Прологе, мы можем теперь составить полную карту симметрии степенных континуумов. На ней отмечено асимптотическое поведение порядка симметрии континуума в зависимости от β (предполагая, что A очень велико):
Для всех случаев β > 1 в пределе очень больших A порядок симметрии континуума с плотностью вида
сходится к некоторому конечному пределу Slim. Приведем несколько интересных частных случаев:
β = 3/2, Slim = 4e
β = 2, Slim = e
β = 5/2, Slim = 4/e
β = 3, Slim = 1
β = 4, Slim = 1/e1/2
β = 5, Slim = 1/e5/6
Явно обращают на себя внимание случаи β = 2 и β = 3.
Заметим, что континуум с законом плотности 1/x ("континуум Зипфа", β=1) стоит особняком среди других - в отличие от континуумов с β≤0, симметрия которых растет пропорционально размеру континуума, и от континуумов β>0, симметрия которых достигает предела, его симметрия растет пропорционально корню размера континуума. (Есть еще континуумы с β в промежутке от 0 до 1, но там зависимость размера континуума и его порядка симметрии имеет более сложный, смешанный вид.)
Следует сказать: мы кое-что перепутали. Мы ведь говорили о том, чтобы посмотреть на континуумы "с другой стороны". Однако, вообще-то если взглянуть на степенной континуум вида p(x) = C/xβ "c другой стороны", мы не увидим континуум p(x) = C*xβ, а что-то совсем другое. Возьмем случай β=1: линейно растущая плотность с уравнением p(x) = C*x:
Если посмотреть на него "с другой стороны", мы увидим не p(x) = C/x, а вообще не степенной континуум. Это будет континуум с линейным снижением плотности - мы его исследовали в предыдущем Прологе. Так как же соотносятся порядки симметрии этих "перевертышей"? Вот как:
Не правда ли, забавно?
Увы, это скорее исключение. Обычно результат "перевертывания" континуума с точки зрения порядка симметрии мало чем похож на его оригинал. Рассмотрим еще один пример: континуум с параболически растущей плотностью и его "перевертыш":
Результат:
Точечные и компактные континуумы
Обратимся к несколько другой теме. Раз плотность континуума может не только снижаться с ростом x, но и повышаться, почему бы нам не рассмотреть случаи, когда она то понижается, то повышается? Конкретно, рассмотрим континуум, который состоит всего из двух маленьких "сгустков": первый находится в самом начале (x=0), а второй имеет координату r:
Положим также, что сгустки имеют одинаковую массу - каждый несет половину общей массы континуума. К слову, понимающий читатель наверняка заметил, что в формуле порядка симметрии континуума
интерграл
равен просто общей массе континуума. И если общая масса равна 1, то мы можем упростить формулу так:
Пусть масса каждого сгустка равна 1/2, и длина каждого очень мала - они почти точечные. В этих условиях логарифм порядка симметрии вычисляется как сумма
Из этого следует парадоксальный вывод:
Более того, получается, что если в координате x=0 находится какая-то конечная (не-нулевая в пределе) часть общей массы континуума, его порядок симметрии равен 0. Причина этого парадокса в том, что ни в какой отдельной точке континуума не может быть конечной массы - рассматривая все меньшие куски континуума мы всегда будем видеть все меньшую массу этого куска, и в пределе, когда смотрим только на одну точку, мы увидим нулевую массу в этой точке. Особенно это важно, когда мы говорим о точках континуума, лежащих близко к началу координат.
Рассмотрим другую картину: пусть мы имеем лишь один очень компактный сгусток с координатой r, который вбирает в себя всю массу континуума:
В этом случае порядок симметрии континуума:
Это важный и интересный результат. В случае, если сгусток расположен на расстоянии r=1, мы получаем континуум с порядком симметрии e - мы нашли еще одну простую систему с этим загадочным порядком симметрии.
Рассмотрим еще один интересный пример: множество, состоящее из k одинаковых сгустков, расположенных в целочисленных координатах x=1,2,3...:
Порядок симметрии такого "дискретообразного" континуума равен:
В заключение рассмотрим простейший случай "компактного" континуума: сгусток не-нулевой длины L с однородной плотностью:
Для него
Если сгусток очень компактный, то есть, L стрмится к нулю, получаем уже известное нам S = e*r. Если же к нулю стремится начальная координата сгустка r, получим также известное нам S = r. Интересный частный случай: L=1, r=1:
Порядок симметрии такого континуума равен 4 - и это наводит на некоторые мысли при взгляде на его изображение. Но внешний вид диаграммы тут ни причем - об этом говорит еще один частный случай: L=2, r=2:
Тут порядок симметрии равен 8. Вообще, если мы положим L=r, то выполняется простое
Например, при r=1/4 (и L=1/4), порядок симметрии континуума оказывается равен 1.
Отрицательные и комплексные симметрии континуумов
Рассмотрим однородный континуум, который имеет протяженность в область отрицательных координат:
Каким окажется порядок симметрии этого континуума? Придерживаясь прямой математической логики, величина ln(S) оказывается в этом случае равной
где j - мнимая единица. Отсюда получаем
Этот результат еще раз подтверждает верность нашей формулы симметрии континуумов, потому что он прямо созвучен дискретному результату: порядок симметрии множества, состоящего из k одинаковых объектов с положительными массами равен k. Если же массы отрицательны, он равен -k. Говоря о симметрии однородных континуумов, простирающихся от точки x=0 до точки x=A или x=-A, мы видим то же самое: порядок симметрии равен A в первом случае и -A во втором.
Заметим: отрицательным массам в дискретном множестве соответствует не континуум с какой-то отрицательной плотностью, а континуум, лежащий в области отрицательных координат. Это наводит на мысль, что объекты с "отрицательными массами" лучше понимать как объекты с нормальными, положительными массами, но имеющими отрицательные номера. Например, множество, состоящее из одного объекта: если номер этого объекта 1, порядок симметрии множества тоже 1. Если же номер объекта -1, то и симметрия множества -1.
Следующий естественный шаг - взглянуть на континуум, который охватывает и отрицательные и положительные координаты:
Вычисляем:
Отсюда
Порядок симметрии этого континуума оказывается мнимым числом. Мы имеем прямую аналогию с дискретным случаем. Например, это дискретное множество и континуум оба имеют порядок симметрии S = j:
Как мы говорили, порядок симметрии, равный мнимой единице j - это зеркальная симметрия, и теперь, в лице континуума, протягивающегося от -1 до 1 мы имеем еще одну иллюстрацию этой идее: этот континуум симметричен относительно точки x=0. Мы говорили также о сбалансированных множествах. Это множества, образованные парой одинаковых наборов объектов, при этом объекты одного набора имеют положительные массы, а в в другом - отрицательные. Такие множества имеют чисто мнимый порядок симметрии (то есть, порядок симметрии не содержит реальной части). Говоря о континуумах идея сбалансированности имеет наглядное представление: если континуум имеет симметричную форму относительно точки x=0, он сбалансирован и его порядок симметрии является чисто мнимой величиной. Рассмотрим, например, бесконечный континуум, плотность в котором отвечает простейшему нормальному распределению:
Его порядок симметрии - мнимое число:
где γ - постоянная Эйлера-Машерони.
Мы успешно развили наше "учение об обобщенных симметриях" на континуумы - они также, как и дискретные множества, могут иметь не только положительные, но отрицательные и комплексные порядки симметрии. Теперь в нашем распоряжении множество конкретных примеров, и нам предстоит их глубже осмыслить - в частности, особую роль континуумов с симметриями порядка 1 и e. Кроме того, нам нужно проанализировать зависимость порядка симметрии континуума от масштаба его наблюдения. Действительно, как мы видели, во многих случаях порядок симметрии континуума явным образом зависит от его длины A или от координаты его начала r. Но, изменяя масштаб наблюдения континуума, мы изменяем и величины A и r. Это значит, что порядок симметрии многих континуумов зависит от масштаба их наблюдения. Это интересная тема, которая могла возникнуть только тогда, когда мы перешли от дискретных множеств к протяженным в пространстве континуумам.
Еще одна интересная тема - континуумы с областями отрицательной плотности. Речь идет, например, о континууме, в котором распределение плотности выглядит так:
Тут континуум состоит из одинаковых по протяженности областей положительной и отрицательной плотности, и формально нам ничто не мешает рассчитать порядок симметрии для подобных смешанных континуумов по обычной формуле. Трудность возникает лишь тогда, когда общая масса континуума оказывается равной 0 - а тут именно такой случай. В этих обстоятельствах в формуле порядка симметрии
интеграл
равен 0, и в результате порядок симметрии обращается в бесконечность. Этот результат не может нас удовлетворить, а значит, нам следует понять, как в таких случаях должен рассчитываться порядок симметрии.
Этими и другими вопросами мы и займемся далее.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER