КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 102. Симметрия и масштаб
 
Роман Уфимцев
8 октября 2013 года, Калининград
Мы продолжаем анализировать обобщенную симметрию континуумов, и в этом Прологе мы обсудим тему влияния масштаба, в котором мы наблюдаем континуум, на его порядок симметрии.
Важное отличие континуумов от дискретных множеств - зависимость их порядка симметрии от масштаба, в котором мы рассматриваем континуум. Проще говоря, порядок симметрии континуумов может изменяться в зависимости от того, в каких единицах мы измеряем координаты. Возьмем простейший континуум - континуум однородной плотности, начальная точка которого имеет координату x=0, а конечная - x=A. Как мы знаем, порядок симметрии такого континуума S=A. Но увеличим масштаб в два раза (посмотрим на континуум сквозь двукратную лупу). Мы увидим, что начало континуума по-прежнему находится в точке x=0, а его конец оказывается в точке x=2A. Ясно, что с этой "увеличенной" точки зрения, порядок симметрии континуума S=2A:
Ничего подобного не происходит в дискретных множествах: их порядок симметрии не зависит от масштаба, поскольку их объекты рассматриваются без включения в пространство, а раз нет пространства, нет и масштаба.
Разберем операцию изменения масштаба формально. Пусть у нас имеется континуум с линейным ростом плотности: p(x) = C*x. Континуум начинается в точке x=0, заканчивается в точке x=A. Тогда
Теперь изменим масштаб наблюдения в D раз. После изменения масштаба окончание континуума будет лежать в точке x=D*A, а уравнение плотности приобретет вид p(x) = C*x/D. В результате после изменения масштаба имеем:
Мы видим, что порядок симметрии континуума изменился точно также, как изменился масштаб.
Итак, порядок симметрии континуумов в общем зависит от масштаба, от выбора единиц измерения длин и расстояний. При этом для всех континуумов порядок симметрии прямо пропорционален масштабному множителю. Пусть S - симметрия континуума до изменения масштаба, а SD - после изменения масштаба в D раз. В этом случае выполняется соотношение:
Это не трудно доказать. Пусть мы имеем континуум p(x), начинающийся в точке x=A и заканчивающийся в точке x=B. Тогда для него
Пусть мы изменили масштаб рассмотрения континуума в D раз. После изменения масштаба:
Заменим в интегралах переменную: y = x/D. Тогда
Значит,
Отсюда
Симметрия зависит от масштаба наблюдения... С точки зрения традиционного понимания симметрии этот вывод лишен смысла. Принято считать, что симметрия является свойством формы объекта, то есть, она является его собственным свойством, независимым от наблюдателя. Действительно, до тех пор, пока мы исследовали симметрию дискретных множеств, так и было, никакого "масштаба наблюдения" в дискретных множествах нет. Но перейдя к симметрии пространственных континуумов, мы вынуждены принять странный вывод: порядок симметрии континуума - это не его собственное свойство. Это свойство акта наблюдения, в котором участвует с одной стороны континуум, а с другой - наблюдатель. На порядок симметрии влияют как собственные свойства континуума, так и отношение между континуумом и наблюдателем, которое выражено в масштабном множителе.
Нормированный масштаб и нормированная симметрия
Если порядок симметрии прямо пропорционален масштабу наблюдения, то взяв любой континуум и разместив его на нужном расстоянии от себя (то есть, подобрав множитель D), можем получить любой нужный порядок симметрии. Чтобы это обстоятельство не обесценивало изучение особенностей различных континуумов с точки зрения симметрии, нам необходим способ выбора определенного масштаба как "правильного" или нормированного. Для этого нам необходимо точно определить истинную координату хотя бы одной точки континуума. Для континуумов конечной длины такой точкой естественно может выступать его конец. Также разумно принять, что конец континуума имеет координату x=1.
Эти шаги позволяют определиться с выбором "правильного" масштаба - таким мы считаем масштаб, в котором максимально удаленная точка континуума имеет координату x=1. Разберемся на простом примере. Пусть мы имеем однородный континуум, протянувшийся от координаты x=0 до координаты x=A. Чтобы перейти к нормированном масштабу, нам нужно изменить масштаб так, что дальняя точка континуума приобретет координату x=1. Ясно, что для этого нужно взять масштабный множитель D = 1/A:
До изменения масштаба континуум имел порядок симметрии S = A. После изменения масштаба - SR = (1/A)*A = 1. Величину SR назовем нормированной симметрией континуума. Как мы видим, для однородного континуума она равна 1.
Все конечные по размеру континуумы имеют нормированный порядок симметрии, равный некоторому конечному числу, которое зависит от типа и параметров континуума. Перечислим некоторые:
1) Однородный континуум (начало континуума в точке x=0):
Если начало континуума не находится в точке x=0, будем говорить, что континуум полный, а если оно находится в некоторой точке x=r (где r лежит в промежутке от 0 до 1), то континуум неполный. Симметрия однородного неполного континуума:
2) Континуум с линейным ростом плотности. Если он полный:
Если неполный:
Родственники этого типа континуумов - континуумы с линейным падением плотности:
Интерес представляет случай, когда плотность континуума снижается до нулевой. Тогда нормированная симметрия:
А если дополнительно континуум полный (r=0), то получается просто
3) Неполные степенные континуумы с любым показателем β (он может быть и положительным и отрицательным):
4) Полные степенные континуумы с показателем β < 1 (континуум начинается в точке x=0:
В случаях β > 1 нормированный порядок симметрии обращается в 0.
5) Точечные континуумы - нормированный порядок симметрии зависит от относительного расположения сгустков и их массы. Простейший пример точечного континуума - единственный сгусток, расположенный не в начале координат. Для него нормированный порядок симметрии равен e. Другой пример - набор из k одинаковых сгустков, равномерно расположенных в пространстве - например, первый имеет координату x=1, второй x=2, и т.д. Для такого континуума нормированная симметрия:
В пределе больших k такой континуум приближается к простому однородному, и нормированный порядок симметрии становится близким 1.
6) Полный континуум с логарифмическим снижением плотности (начало континуума в x=0, конец в x=A):
Неполные континуумы этого типа (в том числе и с растущей плотностью) имеют более сложное выражение нормированной симметрии, зависящее от параметров распределения плотности и координаты начала континуума.
Будет полезно подробнее разобрать, как вычисляется нормированный порядок симметрии для данного случая. На нем мы познакомимся с некоторыми техническими моментами, возникающими при анализе симметрии различных типов континуумов.
Пусть мы имеем континуум, конец которого находится в точке x=A, а начало - в какой-то точке x=r*A, где r может принимать значения от 0 до 1):
Заметим, что параметр b может принимать и отрицательные значения - тогда континуум имеет логарифмически нарастающую плотность.
Изменяя масштаб так, чтобы конец континуума оказался в точке x=1, мы получим континуум с немного другим уравнением плотности:
Прямое вычисление логарифма порядка симметрии приводит к следующему несколько громоздкому результату:
Однако, в нем есть и проблема более серьезная: в уравнение входит величина A, которая задает размер континуума до изменения масштаба. Но в уравнении нормированного порядка симметрии этой величины не должно быть - нормированное уравнение не должно "помнить" о том, каким был размер континуума до перемасштабирования. Нужно выразить A через какие-то величины, которые не изменяются при изменении масштаба. Например, такими величинами является плотность континуума в начальной и конечной точке p1 и p2 и их отношение. Обозначим отношение p2/p1 как V. Тогда, опираясь на исходное уравнение плотности, получим
Отсюда
Подставляя в выражение для ln(SR) получим:
Выражение не слишком упростилось, но в результате оно перестало зависеть не только от A, но и от b: нормированный порядок симметрии SR для таких континуумов зависит только от величин r и V.
Рассмотрим некоторые частные случаи. Во-первых, это случай V=0. В этом случае континуум заканчивается в точке, в которой его плотность достигает нуля (ясно, что это может быть лишь для континуума со спадающей плотностью):
Тогда
А устремляя r к 0 - то есть, рассматривая полный континуум - получим
Но рассмотрим теперь полный континуум, который в своей конечной точке имеет не-нулевую плотность:
Плотность такого континуума в точке x=0 устремляется к бесконечности, поэтому отношение плотностей V=p2/p1 которое мы выше использовали будет равно 0 для любых континуумов такого типа: отношение перестает быть информативным. Для того, чтобы решить эту проблему, следует характеризовать континуум отношением плотности в конечной точке (p2) и плотности в какой-то промежуточной точке, например, ровно в середине континуума, в точке x=1/2 (p1). Обозначив это новое отношение как v', получим
Подставим теперь это значение в наше исходное уравнение:
Кроме того, примем в нем r=0, и получим
Заметим, что приняв V=0 - это соответствует уже знакомому нам случаю полного континуума, который в конечной точке имеет нулевую плотность - мы получим уже знакомый результат SR = 1/e.
Не-нормируемая и неопределенная симметрия
Если какой угодно длинный однородный континуум имеет нормированный порядок симметрии 1, очевидно, что и бесконечный однородный континуум имеет такой же нормированный порядок симметрии. Это же соображение применимо ко всем рассмотренным выше типам континуумов. Однако, существуют бесконечные континуумы, для которых нормированный порядок симметрии, вычисленный методом перемасштабирования, не является удобной характеристикой.
Рассмотрим бесконечный континуум с экспоненциальным снижением плотности:
Для простоты будем рассматривать случай, когда континуум полный, то есть, начинается в точке x=0. В этом случае его порядок симметрии:
Это интересный и содержательный результат, однако, если мы рассчитаем нормированный порядок симметрии изложенным выше методом, мы получим тривиальное SR=0 при любом значении параметра λ>0. Причину этого легко понять: если континуум имеет бесконечную длину, то для приведения его в нормированную по длине форму, нужен бесконечно малый масштабный множитель. Но наблюдаемый порядок симметрии равен произведению исходного порядка и масштабного множителя. Поскольку исходный порядок симметрии - конечное число, результат оказывается нулевым.
Другой пример - бесконечные континуумы со степенным снижением плотности:
Полагая, что континуумы начинаются в x=0 и что β > 1, получим для них интересное:
где Hx - гармоническое число от x. Например, при β=2 имеем S=e, а при β=3 - S=1. Но нормированный порядок симметрии SR в обоих случаях равен 0.
В таких обстоятельствах, вместо того, чтобы говорить о том, что мы имеем дело с нулевой симметрией, будем полагать, что не все континуумы обладают нормированным порядком симметрии. Некоторые бесконечные континнумы - как в этих примерах - обладают не-нормируемой симметрией. При попытке ее нормировать мы получаем 0.
Однако, кроме континуумов с не-нормируемой симметрией существует по крайней мере один пример еще более причудливого континуума с неопределенной симметрией. Рассмотрим бесконечный континуум, плотность которого спадает в соответствии с простейшим степенным уравнением:
Приняв, что континуум начинается в некоторой точке x=r, для них получим:
Если β > 1, то устремляя r к 0 - то есть, приближаясь к бесконечному и полному континууму, мы получим S = 0. Однако, в случае, если β стремится к 1, возникает неопределенность: первый множитель произведения (eβ/(β-1)) стремится к бесконечности, а второй (r) - к нулю. Это - неразрешимая неопределенность: мы не можем сказать ничего относительно того, каким будет порядок симметрии в случае r=0 и β=1. Вероятно, тут следует говорить, что полный и бесконечный зипфовский континуум обладает неопределенным порядком симметрии.
Один странный континуум
В заключение разговора о симметриях и масштабах, мы познакомимся с континуумом, который, по видимому, нарушает общее правило - его порядок симметрии не зависит от масштаба наблюдения. Это очень странно, но пусть читатель рассудит сам.
Представим себе континуум, образованный бесконечным числом одинаковых сгустков, которые расположены в координатах xi = 2i, где i принимает целые значения от минус до плюс бесконечности:
Впрочем, для простоты анализа предположим сначала, что сгустков не-бесконечное количество, и они находятся в точках xi = 2i, где i принимает целые значения от -q до q. Значит, всего у нас имеется 2q+1 одинаковых сгустков, а масса каждого (если масса всего континуума равна 1) равна 1/(2q+1). Логарифм порядка симметрии такого континуума:
Значит, вне зависимости от q, порядок симметрии этого точечного континуума равен числу e. Более, того, устремляя q к бесконечности мы по прежнему будем иметь порядок симметрии e.
Но это не самое интересное. Пусть q бесконечно и порядок симметрии равен e. Теперь изменим масштаб рассмотрения этого континуума - скажем, приблизим его в два раза. Легко понять, что при таком увеличении континуум совершенно не изменит свой внешний вид - на месте каждого прежнего сгустка окажется другой, но в целом картина не изменится. А раз не меняется картина, то и порядок симметрии не меняется, и остается прежним - он равен e. Получается, что мы нашли континуум - правда довольно причудливый - который не изменяет своего порядка симметрии при изменениях масштаба - он всегда равен числу e. (Конечно, для этого количество сгустков должно быть действительно бесконечно. Если оно очень велико, но конечно, изменение масштаба приводит к обычному изменению порядка симметрии SD=D*S.)
Впрочем, кажется, не совсем так? Ведь мы будем видеть тот же самый континуум (а значит, и тот же самый порядок симметрии e) только в том случае, если масштабный множитель будет степенью двойки, то есть D = 2i - например, D=1/8, 1/4, 1/2, 2, 4, 8...:
Это легко поправить: расставим сгустки в точках с координатами вида xi = hi, где h - какое-то близкое к единице число. Ясно, что h может быть любым положительным числом и мы все равно будем иметь порядок симметрии e:
Если количество сгустков бесконечно, а h близка к единице, то масштабный множитель, при котором континуум совпадает по виду сам с собой, может быть почти любым - потому что почти для любого D найдется такое i, что D = hi.
К слову, расставляя сгустки в точках с координатами xi = K*hi, мы можем получить континуум не только с порядком симметрии e, но с любым другим - нужно только подобрать K. Например, взяв K = 1/e, мы получим точечный континуум, имеющий порядок симметрии 1 (ln(S) = 0):
Эти странные континуумы образованы дискретными сгустками. Но их можно сопоставить с каким-то непрерывным континуумом - если мы как бы "размажем" сгустки. Тогда чем больше сгустков на единицу длины в каком-то месте исходного континуума, тем выше в этом же месте плотность в "размазанном" варианте. Формализуем это соображение. Возьмем два соседних сгустка в исходном континууме с номерами i и i+1. Их координаты соответственно K*hi и K*hi+1. Расстояние между ними:
Разумно предположить, что "размазанная" плотность в этом месте континуума будет обратно пропорциональна этому расстоянию:
Теперь нам нужно перейти от индексов i к координате x. Поскольку x(i) = K*hi, значит,
Подставляя в уравнение плотности, окончательно получаем:
Непрерывным аналогом наших странных континуумов является зипфовский континуум. Мы видели выше, что для него порядок симметрии является неопределенной величиной. А теперь мы видим и кое-что еще: родственные ему странные точечные континуумы не меняют порядка симметрии при изменении масштаба. Пожалуй, можно сказать, что полный и бесконечный зипфовский континуум - единственный континуум, обладающий симметрией, не зависимой от масштаба. Правда какой именно, мы сказать не можем.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER