КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
 
Роман Уфимцев
25 октября 2013 года, Калининград
В этом Прологе мы продолжим анализировать особой тип континуумов - распределения плотности вероятности - с точки зрения их обобщенной симметрии. В предыдущем Прологе мы уже исследовали с этой точки зрения четыре типа распределений плотности вероятности, связанные с четырьмя типами причинности: нормальное, логнормальное, экспоненциальное и степенное распределение. В этом Прологе мы познакомимся с непрерывным вариантом спектров симметрии, а также учредим одну потенциально полезную характеристику этих спектров.
Распределение с неопределенным порядком симметрии
Прежде, чем мы начнем говорить об основных темах этого Пролога, познакомимся с одним примечательным распределением - это так называемое лог-распределение Коши:
Его особенность в том, что он не имеет определенного порядка симметрии, как это ни странно. При его вычислении возникает неразрешимая неопределенность типа суммы минус и плюс бесконечности, так что "настоящий" порядок симметрии может оказаться любым. Хотя правильнее говорить все-таки о неопределенности порядка.
Это весьма интересное свойство лог-распределения Коши, которое со временем, может быть, сделает его весьма важным для "учения об обобщенных симметриях".
Спектр симметрии континуумов и распределений
Обсуждая симметрию дискретных континуумов, мы ввели понятие симметрик - компонент симметрии s(i), зная которые, можно вычислить порядок симметрии множества:
При этом симметрики вычисляются на основе уравнения рангового распределения масс множества m(i):
Уравнение симметрик s(i) является также симметрийным спектром множества, поскольку каждая симметрика отражает вклад соответствующей целочисленной симметрии в общую симметрию множества.
Мы также говорили - и это был наш первый, еще неосознанный шаг к симметриям непрерывных континуумов и распределений - что уравнение симметрик можно записать иначе, используя производную рангового распределения:
Переходя к непрерывным континуумам и распределениям, уравнение спектра симметрии выглядит практически также:
с той разницей, что x может принимать не только целочисленные, а любые значения.
Это уравнение вполне справедливо лишь для распределений плотности Ф(x), представляющих собой гладкие дифференцируемые функции, охватывающие промежутки от минус бесконечности или 0 до плюс бесконечности.
Подробнее об этой трудности мы поговорим далее.
Подобно тому, как сумма симметрик дискретного множества равна 1, интеграл спектра симметрии непрерывного континуума или распределения также равен 1:
Общий же порядок симметрии континуума или распределения выражается через уравнение спектра так:
Любопытно сопоставить это уравнение порядка симметрии с тем, которым мы пользовались до сих пор:
Доказательство новых уравнений - в математическом приложении к этому Прологу, см. параграф 1. Интеграл спектра симметрии и вычисление порядка симметрии через спектр симметрии.
В качестве интересного примера распределений с точки зрения спектра симметрии рассмотрим логарифмическое распределение, которое является простым обращением обычного экспоненциального:
Оно определено для значений x от 0 до λ, и интересно тем, что имеет совершенно плоский спектр симметрии: в диапазоне от 0 до λ
и, естественно s(x) = 0 для всех x за границами диапазона (на рисунке серая область - само распределение при λ=1, а розовая - спектр симметрии):
По аналогии с плоским частотным спектром белого шума мы назвали симметрию дискретного аналога этого распределения "белой симметрией" - хотя только для логарифмического континуума спектр строго плоский. Общий же порядок симметрии этого распределения равен λ/e.
Спектры распределений и континуумов с разрывами
Рассмотрим однородный континуум или распределение, для которого плотность Ф(x) равна во всех точках 0, кроме диапазона x от 1 до 2, где Ф(x)=1 (серая область на диаграмме):
Используя нашу обычную формулу порядка симметрии, мы без труда можем его вычислить:
Но попробуем найти порядок симметрии другим способом, используя уравнение спектра по формуле:
Для этого нужно найти уравнение спектра:
Однако, производная функции Ф(x) повсюду равна 0, кроме точек x=1, где она обращается в бесконечность и точки x=2, где она обращается в минус бесконечность - в этих точках Ф(x) претерпевает разрывные изменения плотности. Если подходить формально, это означает, что спектр s(x) будет повсюду равен 0, кроме двух точек, в которых его величина устремляется к минус и плюс бесконечности (на диаграмме выше красная линия изображает спектр, а две особые точки показаны стрелками).
Естественно, имея такой спектр, применение формулы
дает неопределенный результат. Таким образом, если континуум или распределение имеет резкие перепады плотности где-то, кроме точки x=0, его спектр симметрии содержит точки с бесконечными значениями s(x). Это не позволяет использовать для расчета общего порядка симметрии новую формулу, но не мешает пользоваться старой.
Однако, хотя разрывы в плотности распределения не мешают определять его порядок симметрии, они обращают в бесконечность еще одну интересную характеристику континуумов и распределений, о которой мы поговорим чуть ниже - энергию их спектра.
Спектры "причинных" распределений
В предыдущем Прологе мы сделали обзор четырех типов распределений, связанных с четырьмя типами причинности. Однако, тогда мы еще не умели рассчитывать спектр симметрии непрерывных распределений. Для полноты картины и для практики, сделаем это сейчас.
Начнем с экспоненциального распределения, связанного с эндогенной физической причинностью - оно является обратным (то есть, является обратной функцией) только что рассмотренному логарифмическому:
Его уравнение спектра:
Нас спектре имеется максимум в точке x=1/λ (диаграмма для случая λ=1):
(Заметим, что само уравнение спектра по форме соответствует простейшей форме распределения Эрланга - в данном случае это распределение суммы двух одинаково экспоненциально распределенных случайных величин. То есть, если сама случайная величина распределена экспоненциально, то спектр симметрии ее распределения имеет форму распределения суммы двух таких случайных величин. Вероятно, это просто забавное совпадение?)
Степенное распределение связано с эндогенной когнитивной причинностью:
Уравнение спектра симметрии:
Спектр также имеет максимум в точке x=1/λ. Его особенность - в области больших x он имеет степенной хвост с показателем -λ и поэтому асимптотически ведет себя как исходное распределение, которое также имеет степенной хвост с показателем -λ.
Ранее мы рассматривали еще два типа причинности - экзогенную физическую и экзогенную когнитивную. С первым типом мы связывали нормальное распределение, а со вторым - логнормальное. Однако, с нормальным распределением что-то было "не так". В отличие от других распределений, которые мы связываем с причинностью (с характерным распределением периодов между событием-причиной и событием-следствием), у нормального распределения хотя бы малая часть захватывает область отрицательных значений. Но считать, что хотя бы очень изредка событие следствие предшествует событию-причине, вроде бы абсурдно. При этом мы видели, что при правдоподобных параметрах нормального распределения, когда оно адекватно отражает экзогенную физическую причинность, оно становится мало отличимо от логномального: при некоторых наборах параметров нормальное и логнормальное распределения становятся слабо отличимыми друг от друга. И это уже приводило нас к мысли (см. параграф Генеративная модель целевой причинности), что в действительности экзогенные причины сущностно не делятся на физические и когнитивные - в терминах Аристотеля, на движущие и целевые. Эти типы причинности могут являться просто разными проявлениями одного и того же типа причинности - назовем ее экзогенной. И ей соответствует логнормальное распределение, которое при некоторых параметрах становится очень похоже на нормальное.
Такого рода размышления к текущему моменту привели автора к мысли, что вернее немного поспорить с Аристотелем и все-таки утверждать, что существует не четыре, а всего три основных типа причинности, и мы более не будем различать экзогенную физическую и экзогенную когнитивную причинность, считая, что разница между ними только в параметрах - образно говоря, движущая причинность Аристотеля это просто его же целевая, когда цель очень далеко и не видна.
Заметим, что в отличие от экспоненциального и степенного распределения, логнормальное имеет два параметра - оно словно подразумевает две степени свободы, необходимые, чтобы распределение могло отвечать двум внешне разным типам причинности:
(Заметим, кстати, что два другие вроде бы типа причинности - эндогенная физическая и эндогенная когнитивная также могут быть связаны с одним распределением, имеющим два параметра - обобщенным степенным. См. о нем в приложении Симметрия непрерывных распределений.)
Спектр симметрии логнормального распределения:
Спектр предсказуемо имеет характерную форму с минимумом и максимумом (на рисунке η=3, σ=0.1 - заметим как при таких параметрах форма распределения приближается к форме нормального):
Точки экстремумов определяются так:
Существенно, что спектр симметрии присутствует и в области отрицательных значений - это нечто такое, что мы не видели, говоря о спектрах симметрий дискретных множеств. Когда, перед вычислением симметрии дискретного множества, мы сортируем объекты в порядке убывания их массы, мы получаем только спадающую "диаграмму масс", и для нее спектр симметрии лежит только в области положительных значений. Но если говорить о спектрах симметрии не собственно множеств, а траекторий их обхода (см. параграф Симметрия траекторий), мы можем получать и отрицательные симметрики - то есть, спектр симметрии также может захватывать области отрицательных значений.
Как мы знаем, интеграл спектра симметрии равен единице. Но область отрицательных значений спектра симметрии имеет отрицательную площадь, так что она должны быть компенсирована областью положительных значений - так, чтобы в сумме получалось 1. Посмотрим, как это происходит на примере спектра симметрии логнормального распределения. Он включает в себя область отрицательных значений I- (выделена на спектре):
и положительных значений I+:
Их интегралы (площади):
И в сумме, как и должно, мы всегда будем получать 1:
Но кроме этой тривиальной суммы можно оценить собственно "размашистость", "напряженость" или "энергичность" спектра симметрии, имея в виду, что величины I- и I+ могут быть очень велики по модулю, хотя в сумме по прежнему давать единицу. Взглянем на двое весов, которые показывают одну и ту же цифру в 1 кг:
Хотя разность между плечами одинакова на обоих весах, вторые весы в целом гораздо массивнее, "напряженнее".
При малых σ можно записать приближенно:
Тогда сумма модулей интегралов:
Как мы видим, "напряженность" или "энергичность" спектра симметрии растет обратно пропорционально параметру σ - чем он меньше, чем более логномальное распределение напоминает по форме точечный континуум, дельта-функцию, тем "энергичнее" его спектр симметрии.
Энергия спектра симметрии
Впрочем, говоря об этой "напряженность" спектра симметрии, лучше не оценивать модули отдельных частей спектра, а поступить так, как принято поступать в отношении частотных спектров - в них обычно используются не спектральные амплитуды, а их квадраты. Так решается проблема отрицательных значений спектра - не нужно считать модули - и проводится связь с физической, энергетической основой периодических (у нас - "симметрических") процессов. Назовем энергией спектра симметрии величину:
Заметим, что уравнение включает в себя производную функции Ф(x), и если в распределении присутствуют резкие перепады плотности в какой-то точке кроме x=0, энергия его спектра симметрии обращается в бесконечность. Это не должно нас смущать, ведь абсолютно резкие перепады плотности - это скорее абстрактная модель, чем свойство каких-то натуральных континуумов или распределений.
Для логнормального распределения энергия спектра:
Вот как любопытно изменяется энергия спектра в зависимости от параметров η и σ:
Положение минимума не зависит от η (что логично) и достигается при σ=121/4. Заметим также, что с ростом η увеличивается размер "площадки", на которой энергия спектра близка к минимальной в широком диапазоне σ.
При малых σ
то есть, энергия обратно пропорциональна не σ, как мы получали при оценке "энергичности" спектра с помощью модулей, а кубу от σ.
Наконец, поскольку общий порядок симметрии логнормального распределения S = eη+1, можно записать:
Произведение S*E (смысл которого пока не вполне нам ясен) имеет абсолютный минимум при σ=121/4.
Любопытно выглядит зависимость энергии спектра симметрии от параметра λ в степенном распределении
На зависимости E(λ) также имеется минимум: для λ=1 энергия спектра симметрии парадоксально оказывается равной 0:
Причина парадокса ясна: в действительности, степенное распределение определено только для значений λ>1. Однако нулевую энергию спектра симметрии можно рассматривать как предельное поведение при стремлении λ к единице.
Энергия спектра симметрии экспоненциального распределения
определяется выражением:
В отличие от только что рассмотренного степенного распределения, произведение S*E для экспоненциального распределения не имеет параметров:
Хотя мы исключили нормальное распределение из числа "привилегированных", по привычке рассмотрим тут и его.
Энергия спектра нормального распределения имеет неожиданно простой вид даже в общем случае - и этим нормальное распределение существенно отличается в "лучшую сторону" от своего близкого аналога, логистического распределения:
При η=0 и σ=1 (стандартное нормальное распределение) имеем
Заметим, что энергия спектра дельта-распределения, которое понимается как предел нормального распределения при параметре σ, стремящемся к 0, бесконечна - также как бесконечна общая энергия традиционного частотного спектра для импульса, имеющего вид дельта-функции.
Анализ симметрии и энергии спектра для некоторых других известных и малоизвестных распределений плотности вероятности - см. в специальном справочном приложении к этому Прологу.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER