КОГНИТИВИСТИдейное ядро²ПрологиПролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
Симметрия непрерывных распределений
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
Математическое приложение к Прологу 104
Симметрия непрерывных распределений
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Симметрия непрерывных распределений
 
Роман Уфимцев
25 октября 2013 года, Калининград
В этом приложении к Прологу 104 приведен обзор некоторых распространенных типов непрерывных распределений плотности вероятности с точки зрения их симметрии. Некоторые типы - в частности, нормальное, логнормальное, экспоненциальное и степенное - мы уже анализировали в Прологе 103. Там же даны пояснения о методе вычисления порядка симметрии для непрерывных распределений плотности вероятности. Метод расчета энергии спектра приводится в Прологе 104.
Логистическое и лог-логистическое распределения
Логистическое распределение имеет колоколообразную форму, похожую на колокол нормального распределения, но отличается от него немного более толстыми хвостами. Мы упоминали его в связи с моделью роста Ферхюльста:
Как и в нормальном распределении, параметр η определяет положение вершины колокола (медиану распределения), а параметр σ - его ширину.
В Прологе 103 мы говорили, что полное выражение порядка симметрии нормального распределения выглядит сложно и задействует специальные функции. Единственное исключение - случай, когда η=0, то есть, вершина колокола лежит в точке x=0. Тогда порядок симметрии нормального распределения:
Еще хуже ситуация для логистического распределения - его порядок симметрии в общем случае вообще не удается вычислить обычными методами. Но если его вершина находится в точке x=0 (η=0), то и для него удается получить красивый результат:
Более массивные хвосты логистического распределения (черная кривая) приводит к большему модулю порядка симметрии, чем у нормального (красная кривая) - оба распределения приведены в стандартном виде, η=0 и σ=1:
Когда η существенно больше, чем σ - это ситуация колокола, находящегося достаточно далеко от начала координат - также как и у нормального распределения, порядок симметрии приближается к порядку симметрии точечного континуума расположенного в точке медианы распределения, так что мы можем записать:
В отличие от нормального распределения, энергия спектра логистического в общем случае записывается в виде причудливой и длинной суммы специальных функций. В случае η=0
Если логистическое распределение не играло особой роли в наших исследованиях и было упомянуто в Прологах, в общем-то, случайно, лог-логистическое распределение мы обсуждали в связи с важной для нас тау-моделью. Лог-логистическое распределение описывает распределение периодов, порождаемых тау-моделью в случае не-единичной исходной персистивности. Оно описывается уравнением
Его порядок симметрии равен
Заметим, что порядок симметрии лог-логистического совпадает с порядком симметрии логнормального - они оба относятся к типу производных лог-распределений, которые мы на назвали "когнитивными": логнормальное производится из нормального, лог-логистическое - из логистического.
Вот внешний вид логнормального (красная кривая) и лог-логистического (черная кривая) распределений при стандартных параметрах η=0 и σ=1:
Стрелкой отмечена медиана распределений.
Энергия спектра лог-логистического распределения:
Однако, при σ>2 энергия спектра становится бесконечной - соответствующий интеграл расходится в области около x=0. В диапазоне σ от 0 до 2 зависимость E(σ) выглядит так:
Минимум не зависит от η и достигается для σ, значение которого можно оценить только численными методами.
Обобщенное степенное распределение
Хотя мы действительно обсуждали в Прологах лог-логистическое распределение, при анализе тау-модели мы рассматривали только его частный случай, когда параметр σ = 1. В этом случае уравнение лог-логистического распределения упрощается до
Однако, такую же форму имеет и другое распределение - обобщенное степенное распределение (или обобщенное распределение Парето типа II):
если принять ξ=1, μ=0 и σ=eη.
Анализ другого режима работы тау-модели привел нас к случаю произвольных параметров ξ и σ, но сохранения условия μ=0:
И как раз для этого случае порядок симметрии обобщенного степенного распределения выглядит просто:
где Hx - гармоническое число от x. В общем же случае он имеет довольно громоздкий вид. Некоторые интересные частные случаи (для простоты примем σ=1):
Заметим последний случай: экспоненциальное распределение является предельной формой обобщенного степенного при ξ=0.
Энергия спектра обобщенного степенного распределения:
При μ=0:
Распределение Эрланга и гамма-распределение
Эти два родственных типа распределений мы затрагивали в связи с генеративной моделью причинности. Эта модель, порождая в обычных режимах логнормальные распределения, в одном из экстремальных режимов генерирует гамма-распределение и его частный случай, распределение Эрланга.
Распределение Эрланга можно рассматривать как обобщение обычного экспоненциального распределения:
где параметр k принимает целые положительные значения. При k=1 распределение обращается в обычное экспоненциальное.
Порядок симметрии распределения Эрланга:
где γ - постоянная Эйлера-Машерони.
Обобщение распределения Эрланга - гамма-распределение, в котором параметр k может принимать не только целые значения:
Порядок симметрии гамма-распределения выражается с помощью специальной функции - так называемой дигамма-функции Ψ(x):
Разберемся немного с тем, что такое дигамма-функция. Дигамма-функция обобщает на не-целые значения x следующее выражение, смысл которого вполне ясен при целых значениях x:
Мы знаем, что при больших значениях x гармоническое число может быть представлено приближением
Еще лучшее приближение при не очень больших x выглядит как
Значит, при достаточно больших x справедливо:
Сравним вид кривой диагмма-функции (черная линия) и ее приближение (красная линия):
Приближение удовлетворительное по точности для x>1.
Воспользовавшись этим приближением, установим, что порядок симметрии гамма-распределения при достаточно большом значении параметра k приближается к простому выражению:
Энергия спектра гамма-распределения (для k>1/2):
Минимум достигается при k≈1,35...
Еще одно родственное распределение - обратное гамма-распределение:
Оно называется так, потому что если случайная величина x отвечает гамма-распределению, то величина 1/x отвечает этому распределению - в этом смысле оно является обратным.
Его порядок симметрии интересным образом перекликается с симметрией обычного гамма-распределения:
Вот пара интересных частных случаев:
Первый примечателен тем, что имеет порядок симметрии очевидно созвучный порядку симметрии обычного экспоненциального распределения:
Он словно является "альтер-эго" экспоненциального распределения.
А второй позволяет получить красивый порядок симметрии:
Энергия спектра обратного гамма-распределения:
Бета-распределения
Бета-распределение - важный тип распределений, широко использующихся в науке. Его главная особенность в том, что он описывает поведение случайной величины, которая может принимать значения от 0 до 1:
где B(α,β) - так называемая бета-функция. Уравнение распределения состоит из двух симметричных частей. Первая часть, связанная с параметром α описывает поведение случайной величины в начале промежутка [0,1], а вторая часть, связанная с параметром β, характеризует конец промежутка. Подбирая параметры α и β мы можем получить распределения самого разного вида. Например, при α=2 и β=1 мы получим континуум с линейным ростом плотности:
А взяв, наоборот, α=1 и β=2, получим континуум с линейным спадом плотности:
Взяв же равные параметры, например α=2 и β=2, мы получим симметричный континуум:
Порядок симметрии бета-распределения в общем случае выражается через дигамма-функции:
Заметим, однако, что в отличие от порядка симметрии гамма-распределения, в это выражение входит две дигамма-функции, вычитающие друг друга.
Что будет с внешним видом распределения, если параметр β стремится к 0? Ответ на этот вопрос можно дать, заметив, что в этом случае
Этому порядку симметрии соответствует точечный континуум со сгустком единичной массы в точке x=1. И действительно, при уменьшении параметра β распределение все более приближается к такому точечному континууму (α=2 и β=1/100):
Энергия спектра бета-распределения:
при условии, что α>1/2 и β>3/2 - в ином случае энергия бесконечна.
Одной из форм бета-распределения (при α=1/2 и β=1/2) является арксинусное распределение:
Для него
Существует еще одна разновидность бета-распределений, которую называют бета-распределением второго рода. Его отличие в том, что оно описывает поведение случайной величины, которая может принимать значения от 0 до бесконечности. Оно обладает несколько другим уравнением:
Порядок симметрии этого распределения еще более изящен:
Глядя на это выражение, трудно не заметить одну замечательную особенность: если α=β, то бета-распределение второго рода всегда имеет порядок симметрии, равный числу e. Положим, что α=β, тогда уравнение распределения можно переписать так:
Тогда вне зависимости от значения параметра α, порядок симметрии этого распределения равен числу e, хотя внешний вид распределения существенно меняется в зависимости от параметра α. На следующей анимации этот параметр меняется, но порядок симметрии распределения при этом не изменяется:
Это, наряду с логнормальным распределением - еще один пример функции плотности вероятности, которая при изменениях параметра, существенно влияющего на ее внешний вид, не изменяет своего порядка симметрии. Среди прочих, особо интересен случай
Заметим, однако, что и при всех прочих параметрах α этот частный случай распределения (α=β) соответствует критерию когнитивного распределения: при медиане, равной единице, порядок симметрии распределения равен числу e. В данном случае, поскольку оно имеет порядок симметрии e независимо от параметра α, то оно равно e и при положении медианы в точке x=1.
Энергия спектра симметрии распределения:
Распределение Кумарасвами
Существует распределение, которое иногда применяется вместо бета-распределения - то есть, там, где случайная величина распределяется на ограниченном промежутке от 0 до 1. Это распределение Кумарасвами, преимущество которого в том, что в его записи не используются специальные функции:
Во многих случаях оно вполне может заменить бета-распределение, например, также как в бета-распределении при α=2 и β=1 мы получим континуум с линейным ростом плотности, а при α=1 и β=2 - с линейным снижением. Но порядок симметрии этого распределения выглядит иначе, весьма просто:
Энергия спектра распределения вычислима, но имеет сложный, не примечательный вид.
Распределение Вейбулла
С распределением Вейбулла на протяжении Прологов мы ни разу не сталкивались, однако оно весьма популярно в науке:
Порядок симметрии этого распределения примечательно прост:
Форма выражения ясно напоминает порядок симметрии экспоненциального распределения, которое мы получаем из распределения Вейбулла при k=1:
что говорит о родственности распределения Вейбулла и экспоненциального распределения.
Следует сказать о небольшой путанице, которую вызывает использование одинаковых букв для параметров разных распределений. Мы ранее записывали уравнение экспоненциального распределения так:
В этом случае порядок симметрии континуума
Если же записывать уравнение экспоненциального распределения иначе:
То порядок симметрии равен
Именно такой результат мы получаем для распределения Вейбулла при k=1.
Энергия спектра распределения:
Распределение Рэлея
Распределение Рэлея мы также не затрагивали в Прологах, но оно также давно и довольно известно. Предположим, что мы анализируем скорость ветра, и при этом проекции его скорости на ось X и на ось Y независимы друг от друга, и каждая распределяется в соответствии с нормальным распределением со средним значением 0. В этом случае модуль скорости ветра будет отвечать распределению Рэлея:
С первого взгляда между распределениями Вейбулла и Рэлея мало общего, однако взгляд на порядок симметрии распределения Рэлея говорит об ином:
Мы видим, что приняв в распределении Вейбулла k=2 и соблюдя условие
мы получим порядок симметрии, равный порядку распределения Рэлея. Значит ли это, что не только порядки симметрии распределений, но и сами распределения становятся одинаковыми? Это действительно так:
Порядок симметрии оказывается простым инструментом для сравнения различных распределений. В этой связи сравним порядок симметрии распределения Рэлея с порядком симметрии нормального распределения, для которого среднее значение лежит в точке x=0 - как мы говорили, распределение Рэлея есть своего рода комбинация двух таких распределений:
Порядок симметрии распределения Рэлея очевидно родственнен порядку симметрии нормального распределения. Если обозначить порядок симметрии нормального распределения, для которого среднее значение равно 0 как SN, а порядок симметрии распределения Рэлея как SR, то
Это интересная связь, имея в виду, как эти два распределения связаны по смыслу.
Энергия спектра распределения имеет примечательно простой вид:
Хи-распределения и распределение Максвелла
Хи-распределение - это обобщение распределения Рэлея. Что, если скорость ветра имеет нормально распределенные компоненты не в двух осях, X и Y, а в трех - еще и по оси Z? Что, если осей еще больше - каким будет распределение модуля скорости ветра? Ответ на этот вопрос дает хи-распределение, в котором параметр k как раз равен числу независимых осей (или, как говорят, "числу степеней свободы"):
Его порядок симметрии
Рассмотрим интересные частные случаи. Простейший:
По своей форме уравнение распределения в этом случае оказывается уравнением стандартного нормального распределения (с параметрами η=0 и σ=1). Однако, в отличие от нормального распределения, хи-распределение описывает случайную величину, которая может принимать только положительные значения - то есть, только одну половинку колокола:
В следующем случае, при k=2, мы получаем уже знакомое нам распределение Рэлея (с параметром σ=1):
При k=3 мы получаем нормализованное распределение Максвелла, которым он моделировал модули скоростей молекул в газе, исходя из предположения, что молекулы имеют три независимых степени свободы, три компоненты скоростей, каждая из которых распределена нормально:
В полном виде распределение Максвелла (также, как и распределение Рэлея) включает в себя масштабный параметр σ:
Энергия спектра хи-распределения:
Родственным к хи-распределению является хи-квадрат-распределение2-распределение). Если у нас имеется k независимых нормально распределенных величин ("степеней свободы"), то сумма их квадратов будет распределяться в соответствии с уравнением хи-квадрат-распределения:
Порядок симметрии:
Выше мы получали похожий результат для гамма-распределения:
Это наводит на мысль, что приняв в гамма-распределении параметры θ=2 и k=k/2, мы получим не только совпадение порядков симметрии, но и совпадение самих уравнений распределений. И это действительно так:
Это еще один пример того, как выражение порядка симметрии для различных распределений служит средством поиска их сходств и различий - хи-квадрат-распределение оказывается частным случаем гамма-распределения.
Энергия спектра симметрии:
Если величина x распределяется в соответствии с хи-квадрат-распределением, то величина 1/x распределена в соответствии с обратным хи-квадрат-распределением:
Его порядок симметрии:
Обратное хи-квадрат-распределение является частным случаем обратного гамма-распределения.
Гиперболическое секанс распределение
Гиперболический секанс - математическая функция, которая определяется так:
На основе этой любопытной колоколообразной функции (очевидно, симметричной относительно точки x=0) построено не очень известное гиперболическое секанс распределение, которое во многих отношениях похоже на нормальное распределение:
Вычисление порядка симметрии этого распределения в общем случае - сложная задача (также как для нормального, логистического и подобных колоколообразных), однако, если вершина колокола находится в точке x=0, порядок симметрии
Энергия спектра распределения:
На основе этого распределения можно построить лог-гиперболическое секанс распределение:
которое, подобно логнормальному или лог-логистическому распределению, задано для всех х от 0 до бесконечности. Вот сравнение внешнего вида логнормального распределения (красная кривая) и лог-гиперболического секанс распределения (синяя кривая) при параметрах η=0 и σ=1:
Не удивительно обнаружить, что его порядок симметрии, также как у подобных ему производных лог-распределений, не зависит от параметра σ и равен
Энергия спектра этого распределения весьма трудна для вычисления.
Распределение Коши и распределение Стьюдента
Распределение Коши, в первую очередь известно своими причудливыми свойствами:
При простоте уравнения этого распределения некоторые его важные параметры оказываются неопределенными. В частности, с формальной точки зрения нельзя установить среднее значение случайной величины, если она распределена в соответствии с распределением Коши. Из-за подобных парадоксов оно редко применяется для анализа экспериментальных данных, однако оно весьма примечательно с точки зрения симметрии.
Распределение Коши охватывает всю числовую ось. Как мы знаем, это приводит к комплексному порядку симметрии распределения. Рассмотрим простейший случай, когда медиана распределения находится в точке x=0:
Распределение Коши имеет замечательно простой порядок симметрии:
и красивое выражение для энергии спектра:
Это распределение Стьюдента, которое имеет форму колокола, вершина которого находится в точке x=0, а его форма определяется параметром k>0, который для данного распределения называют "количеством степеней свободы":
Поскольку распределение имеет форму, симметричную относительно начала координат, его порядок симметрии является мнимым числом:
При k=1 распределение обращается в стандартное распределение Коши, а при обращении k к бесконечности - превращается в стандартную форму нормального распределения. При других значениях k получаются промежуточные формы распределений, некоторые из которых имеют забавные порядки симметрии, например:
Энергия спектра распределения Стьюдента:
В таких же отношениях, в каких находятся нормальное и логнормальное распределение, находятся распределение Стьюдента и лог-распределение Стьюдента. То есть, если величина x распределена по лог-Стьюденту, то ln(x) распределена просто по Стьюденту. Уравнение лог-распределения Стьюдента:
И тут нас ждет небольшой сюрприз: при любых значениях параметра k>1 это распределение имеет одинаковый порядок симметрии:
При k>1 лог-распределение Стьюдента относится к семейству когнитивных распределений.
Энергия спектра лог-распределения Стьюдента в общем случае выглядит довольно сложно, и мы ее не приводим.
Мы говорили, при обращении параметра k к бесконечности в распределении Стьюдента, оно превращается в стандартное нормальное распределение. Точно также, при обращении k к бесконечности, лог-распределение Стьюдента обращается в стандартное логномальное распределение с параметрами η=0 и σ=1:
Как мы установили, порядок симметрии логнормального распределения в общем случае равен
При η=0 мы действительно получаем порядок симметрии равный числу e.
Далее, при k=1, лог-распределение Стьюдента обращается в стандартное лог-распределение Коши:
В общем виде лог-распределение Коши выглядит так:
Однако порядок симметрии лог-распределения Коши (и вообще, лог-распределений Стьюдента при k≤1) оказывается неопределенной величиной из-за того, что при вычислении возникает неопределенность типа суммы минус и плюс бесконечности. Это первый пример распределения, который не имеет определенного порядка симметрии.
Его энергия спектра оказывается бесконечной.
В этом обзоре автор постарался дать более-менее полный обзор распространенных типов распределений, хотя некоторые важные типы опущены. Например, это касается обобщенного распределения экстремальных значений и одного из его разновидностей, распределения Гумбеля. Эти распределения имеют порядки симметрии и энергию спектра, вычисление которых является довольно сложной задачей, которую автору не удалось решить. Так что некоторые из распространенных и употребительных типов распределений еще требуют участия талантливых математиков, которые смогут вычислить их характеристики, связанные с симметрией.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER