КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
 
Роман Уфимцев
28 октября 2013 года, Калининград
В исходном значении, которое мы развили, исследуя обобщенную симметрию дискретных множеств, преобразование симметрии - это приложение к дискретному множеству, обладающему симметрией S1 преобразования с собственной симметрией S2, так что в результате получается дискретное множество с порядком симметрии S1*S2 (при условии, что по меньшей мере одна симметрия - S1 или S2 - не является комплексной). Сейчас, когда мы развиваем наше "учение об обобщенных симметриях" на континуумы и распределения, возникает задача понять механизмы преобразования симметрии не только для дискретного, но и непрерывного случая.
Исходные условия таковы: пусть мы имеем континуум Ф1(x), обладающий порядком симметрии S1. К этому континууму мы применяем преобразование, которое описывается другим континуумом или распределением Ф2(x) с собственным порядком симметрии S2. В результате мы получим континуум Ф3(x) = Ф1(x)Ф2(x), порядок симметрии которого определяется произведением S1*S2. Есть два связанных вопроса, на которые нам нужно найти ответ: 1) как, если мы знаем уравнения Ф1(x) и Ф2(x), технически вычисляется Ф1(x)Ф2(x), и 2) какой смысл имеет операция "♦" с точки зрения симметрии? Что происходит при таком взаимодействии континуумов?
Сначала найдем ответ на первый вопрос.
Вычисление ♦
Для конкретности, обратимся к примеру. В качестве исходного континуума-распределения Ф1(x) возьмем простое экспоненциальное распределение с параметром λ=1:
Как мы знаем, его порядок симметрии
Для простоты, преобразование мы зададим тем же самым континуумом c тем же самым порядком симметрии:
В результате преобразования мы должны получить континуум-распределение с порядком симметрии
Вопрос заключается в том, как из известных Ф1(x) и Ф2(x) получить Ф3(x) с заданным свойством - порядком симметрии, равным S1*S2.
Естественной и ценной подсказкой тут послужило соотношение, которое мы установили для случая дискретных симметрий:
Если a(z) и b(z) - симметрики дискретных множеств Ф1(x) и Ф2(x), то симметерики результирующего множества Ф3(x) равны c(z), которое определяется данным соотношением. Для непрерывного случая оно выглядит так:
Стоит сказать несколько слов о том, как получается этот результат - это не совсем тривиально.
Анализ приводит к выводу, что задача получения уравнения для s3(x) аналогична интересной задаче теории вероятностей: пусть у нас есть две независимые случайные величины, распределенные как h(x) и g(x). Как найти распределение произведения этих случайных величин f(x)? В общем случае ответ приписывают Рохатги (Rohatgi 1976):
Добавление компонента 1/|x| компенсирует расхождение в шагах интегрирования, которое возникает в паре g(x) и h(y/x) по мере роста x. Само это уравнение можно вывести исходя из простого соображения, что логарифм произведения двух случайных величин равен сумме их логарифмов, так что дело сводится к более простой задаче поиска распределения суммы двух случайных величин.
Спектры s1(x) и s2(x) могут нами пониматься как распределения случайных величин h(x) и g(x), они даже удовлетворяют условию, которому должны удовлетворять все распределения:
Таким образом, мы можем прямо воспользоваться результатом Рохатги, и так получается уравнение s3(y).
В нашем рабочем примере
Как мы знаем, уравнение спектра для распределения Ф(x) вычисляется как
значит
Отсюда уравнение спектра искомого распределения Ф1(x)Ф2(x) определяется выражением
Результат выглядит просто, но выражается с использованием специальной функции - так называемой модифицированной функции Бесселя второго рода Kn(x):
Зная уравнение спектра, мы можем вычислить порядок симметрии искомого распределения, используя формулу
Результат:
Значит, мы действительно нашли распределение (точнее, пока только уравнение его спектра), порядок симметрии которого равен произведению порядков симметрии исходного и преобразующего распределений Ф1(x) и Ф2(x):
Нам осталось только найти само уравнение распределения Ф3(x). Исходя из уравнения спектра это не сложно, поскольку
Отсюда получаем
Итак, мы полностью решили задачу: исходя из заданных Ф1(x) и Ф2(x), мы нашли результат преобразования симметрии - континуум Ф1(x)Ф2(x), порядок симметрии которого равен произведению порядков симметрии континуумов Ф1(x) и Ф2(x):
Сравним внешний вид исходного распределения Ф1(x) (и это также внешний вид преобразования Ф2(x)) - стандартной экспоненты, черная кривая на диаграмме, и результат преобразования Ф3(x), красная кривая:
Для большей наглядности мы можем взять разные Ф1(x) и Ф2(x), например:
Результат преобразования:
Например, примем λ1 = 2 и λ2 = 1/2:
Обратим внимание на важную особенность преобразования симметрии, которая заключается в коммутативности преобразований:
Это значит, что мы всегда можем поменять местами исходный континуум и континуум-преобразование, не изменяя при этом результата.
Единичное и масштабирующее преобразования симметрии
Очевидный вопрос - вопрос о "единичном" преобразовании Ф2(x), то есть о таком, которое не только не изменяет порядок симметрии преобразуемого континуума Ф1(x), но и вообще его не изменяет, то есть:
Не трудно догадаться, что таким единичным преобразованием является однородный континуум, охватывающий значения x от 0 до 1 (в теории вероятностей такой континуум обозначается как U(0,1) ):
Конечно, такой континуум имеет порядок симметрии 1.
Далее, если мы возьмем однородный континуум, охватывающий значения x от 0 до 2 U(0,2), его порядок симметрии равен 2, а значит, он в два раза увеличивает порядок симметрии преобразуемого континуума. Не трудно догадаться, что преобразованный континуум является копией исходного, вытянутой по оси X в два раза. Наоборот, если мы возьмем в качестве преобразования однородный континуум U(0,1/2), мы получим копию, сжатую по оси X в два раза.
Доказательство этого факта можно основывать на том, что уравнение спектра однородного континуума U(0,A) представляет собой дельта-функцию со средним в точке x=A:
Значит, уравнение спектра результата преобразования:
Или, используя факт коммутативности преобразований симметрии:
Этот результат фактически означает, что результат преобразования любого континуума, если преобразование представляет собой континуум U(0,A), является исходным континуумом растянутым/сжатым по оси X в A раз.
Далее, однородный континуум U(-1,1), порядок симметрии которого равен мнимой единице j, зеркалит исходный континуум. Например, если в качестве исходного континуума мы возьмем простое экспоненциальное распределение:
То после преобразования Ф2(x)=U(-1,1) мы получим так называемое распределение Лапласа, которое представляет собой зеркальное расширение экпоненциального распределения на всю числовую ось:
Дельта-преобразование симметрии и квази-континуумы
Кроме однородных континуумов U(0,A), которые, как мы только что узнали, в качестве преобразований изменяют масштаб континуумов, одним из простейших типов континуумов являются точечные континуумы, представляющие собой сгустки единичной массы, расположенные в некоторой координате x=A. Как мы знаем, их порядок симметрии равен e*A. Но какое преобразование с ними связано?
Ответ оказывается весьма интересным. Мы будем далее именовать точечные континуумы и связанные с ними преобразования дельта-континуумами и дельта-преобразованиями по называнию дельта-функции δ, которой описывается их уравнение Ф(x): для дельта-континуума, находящегося в x=A, уравнение:
Так вот, дельта-преобразование в случае A=1 преобразует исходный континуум Ф1(x) в континуум, соответствующий спектру симметрии исходного s1(x). Образно говоря, дельта-преобразование производит спектральный анализ континуума. Если A не равно 1, то в результате получается континуум, соответствующий спектру исходного, растянутого по оси X в A раз.
Пусть уравнение исходного континуума Ф1(x), а уравнение преобразования - Ф2(x) = δ(x-A). Тогда уравнения их спектров:
Отсюда уравнение спектра преобразованного континуума:
Значит, получим уравнение преобразованного континуума:
Легко заметить, что если A=1, то
То есть, в данном случае результат преобразования в точности равен спектру исходного континуума.
Мы знаем, что функция Ф(x) является распределением, то есть, отвечает требованию
то и уравнение спектра s(x) также отвечает требованию
а значит, принципиально может являться распределением - и теперь мы знаем, какое преобразование приводит от Ф(x) к s(x). Однако тут имеется важный момент: дело в том, что уравнение s(x) в отличие от Ф(x) может принимать отрицательные значения. Например, мы сопоставляли логнормальное распределение (серая кривая) и его спектр (красная кривая):
Применив к логнормальному распределению дельта-преобразование, мы получим распределение, отвечающее уравнению спектра логнормального распределения - то есть, континуум с областями отрицательной плотности. И это нечто такое, что нам еще не встречалось и что очевидно требует осмысления. Особенно странным выглядит это, если мы обсуждаем континуумы, представляющие собой распределения плотности вероятности - ведь это означает существование отрицательных вероятностей. Однако, какими бы странными не казались такие распределения, они относительно давно известны и даже успешно используются в физике, в частности, в квантовой механике. Распределения плотности вероятности с областями отрицательной плотности называются распределениями квази-вероятности или квази-распределениями. Вслед за устоявшейся терминологией, и мы будем именовать континуумы с областями отрицательной плотности квази-континуумами.
Введение отрицательных плотностей никак не меняет уже полученных нами уравнений порядка симметрии или преобразований симметрии. Вообще, то, что отрицательные вероятности вполне корректны с точки зрения математики, замечал еще Поль Дирак - один из первых энтузиастов отрицательных вероятностей. Однако, до сих пор ясной их трактовки нет, до сих пор на эту тему высказываются лишь общие гипотезы. С этим вопросом нам, видимо, тоже придется разобраться.
А пока, простейшая иллюстраиция парадоксальности и контр-интуитивности квази-континуумов. В первом примере оба континуума имеют порядок симметрии S=1:
А эти, наоборот, имеют порядок симметрии S=-1:
Антипод дельта-преобразования и обратимые преобразования
Пусть у нас есть функции распределений H(x) и G(x), при этом G(x) является спектром симметрии H(x). Мы знаем преобразование симметрии, которое производит из H(x) его спектр G(x) - это дельта-преобразование δ(x-1):
Естественная задача - найти преобразование Ф(x), которое наоборот, производит из спектра G(x) исходную функцию H(x):
Если дельта-преобразование "анализирует спектр" континуума, то преобразование Ф(x) делает противоположное: восстанавливает функцию из ее спектра, то есть в некотором смысле это антипод дельта-преобразования. Что же это за преобразование?
Оно весьма просто выглядит и мы с ним уже встречались: это логарифмическое распределение, отвечающее элементарному уравнению
Это распределение определено на промежутке от 0 до 1 и, как мы знаем, интересно тем, что имеет плоский спектр, соответствующий распределению U(0,1) - собственно, этот факт и привел автора к его находке:
В связи с важностью этого распределения и преобразования для наших изысканий, будем его обозначать особой греческой буквой κ (каппа) и называть каппа-распределением:
Еще одна интересная и нетривиальная задача: пусть мы имеем некоторый континуум Н(x). Вопрос: всегда ли можно ли найти такое преобразование G(x), что в результате мы будем получать однородный континуум U(0,1)?
Если пара Н(x) и G(x) удовлетворяет этому условию, мы будем говорить, что континуумы Н(x) и G(x) являются симметрически обратимыми, G(x) - обращение Н(x), и наоборот.
К сожалению - и это довольно интересный факт - далеко не все континуумы симметрически обратимы. Наоборот, их совсем мало. Автор нашел только два класса обратимых континуумов:
  1. Однородные континуумы вида U(0,A) обратимы и их обращением являются континуумы U(0,1/A) - как мы знаем, эти континуумы связаны с преобразованием масштаба, и эти преобразования обратимы.
  2. Каппа-континуум и дельта-континуум обратимы, так что
Смысл ♦: постановка задачи
Несколько разобравшись в математических аспектах преобразования симметрии континуумов, то есть, в операции "♦", самое время задуматься о ее смысле. Когда мы говорили о преобразованиях симметрии дискретных множеств, этот смысл был вполне ясен: исходное множество объектов, характеризующееся некоторым порядком симметрии, подвергается преобразованию, обладающему некоторым собственным порядком симметрии. Это преобразование можно ясно понимать как дробление каждого из объектов исходного множество на некоторые доли, количество и пропорции которых определяются порядком симметрии преобразования.
Однако, переход к симметриям непрерывных континуумов и их преобразованиям, несмотря на математическую стройность, лишает операцию преобразования симметрии такого простого смысла. Нам необходима гибкость ума, чтобы увидеть за операцией дискретного дробления нечто более общее, пригодное также для понимания непрерывного случая.
О каком же смысле мы говорим?
Пусть, например, мы имеем распределения случайных величин Ф1(x) и Ф2(x). Можно решить задачу поиска распределения суммы этих случайных величин - и мы получим некоторое третье распределение Ф3(x). В этом случае результат - распределение Ф3(x) - является продуктом некоторой операции над исходными распределениями Ф1(x) и Ф2(x), и он имеет ясный смысл - это распределение суммы случайных величин.
Аналогично мы можем задуматься о поиске распределения произведения двух случайных величин, и вновь, результат - распределение Ф3(x) - будет обладать ясным смыслом.
Но в чем заключается смысл преобразования Ф1(x)Ф2(x)? Посмотрим, например, на это: тут взаимодействующими континуумами является каппа-распределение и дельта-распределение. В результате рождается однородное распределение: что же это значит? Почему у такой пары "родителей" появляется совершенно не похожее на них "дитя"?
Мы знаем, как "родители" связаны с "дитем" формально, на уровне "математических хромосом". Но в чем смысловая родственная связь? Это нетривиальный вопрос, а между тем, можно быть уверенным в том, что 1) такой смысл существует, и 2) он более важен и фундаментален, чем смысл суммирования или произведения случайных величин.
Мы не можем рассчитывать на немедленное решение этой проблемы. Именно в трудоемких поисках новых, прежде неведомых смыслов и осваивается действительно новое знание. Однако, уже сейчас мы можем сделать хотя бы первые наброски.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER