КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
 
Роман Уфимцев
31 октября 2013 года, Калининград
Предыдущий Пролог мы завершили вопросом о смысле операции преобразования симметрии континуумов, которую мы обозначаем значком ♦. Какой смысл несет продукт взаимодействия двух континуумов Ф1(x)Ф2(x), как он связан со своими "родителями", континуумами Ф1(x) и Ф2(x)? Мы подозреваем, что найдем ясные ответы на эти вопросы не сразу, в них скрывается новое знание, к которому приходится идти маленькими шажками.
В этом Прологе мы обратимся к теме, которая. может быть, будет еще одним маленьким шагом к пониманию обобщенных симметрий, их смысла, значения и механизмов преобразования. До сих пор мы говорили только о симметрии одномерных континуумов, которые в общем виде представляются одномерной функцией распределения плотности Ф(x). Но можно ли рассматривать с точки зрения симметрии двухмерные континуумы, распределения плотности на плоскости Ф(x,y) или в пространстве Ф(x,y,z)?
Ответ положительный, и более того, многие формальные инструменты, которые мы получили для одномерных континуумов оказываются годными и для описания многомерных почти без модификаций.
Порядок симметрии многомерного континуума
Начнем с основного уравнения порядка симметрии, которое для одномерного случая выглядит так:
Для двухмерного случая оно выглядит почти также:
Для трехмерного:
и т.д.
В одномерном случае каноническим примером единичного континуума, имеющего порядок симметрии 1 является однородный континуум U(0,1). В многомерных случаях тут есть один нюанс. Например, для двухмерного случая единичный континуум выглядит как однородный квадрат, занимающий область x от 0 до 1 и у от 0 до 1. Однако, это только одна из возможных форм единичного континуума:
Континуум на правой картинке также имеет порядок симметрии 1 и также должен пониматься как единичный континуум. Более того, между двумя областями масса континуума может быть распределена как угодно, например:
Этот континуум также является одной из форм двухмерного единичного континуума. Вообще, все двухмерное пространство делится на четыре четверти, которые попарно тождественны друг с другом с точки симметрии: мы можем перемещать массы из одной четверти в другую родственную без влияния на симметрические свойства континуума.
В трехмерном случае родственных областей становится четыре - и единичный трехмерный континуум может выглядеть не только как кубик единичного размера, но и как любое распределение масс между четырьмя кубическими областями (в каждой из которых плотность должна быть однородна):
Перетекание массы между этими областями не изменяет порядка симметрии, а значит все возможные конфигурации являются структурными модальностями друг друга.
Заметим кстати, что в трехмерном случае родственные области образуют относительно друг друга тетраэдр. Может быть, не случайно в природе так распространены тетраэдрические структуры, например, молекула метана:
Интересный результат получается, если функцию многомерного распределения можно представить в виде произведения независимых друг от друга функций. Пусть, например, уравнение двухмерного распределения можно разложить на множители:
Тут и G(x) и H(y) сами являются функциями распределений - случайных величин x и y соответственно. Говорится, что если двухмерное совместное распределение Ф(x,y) можно представить в виде подобного произведения, x и y не зависят друг от друга. Так вот, если порядок симметрии распределения G(x) обозначить как SG, а порядок симметрии Н(y) как SH, порядок симметрии совместного распределения:
Доказательство элементарно и мы его приводить не будем.
Разумеется не всегда многомерное распределение можно разложить на независимые множители, например, это нельзя сделать для двухмерного распределения, заданного на промежутках x и y от 0 до 1:
К слову, его порядок симметрии равен 1.
Это уравнение конечно напоминает уравнение преобразования симметрии континуумов, и оно им по сути является. Только в данном случае стоящая за ним операция имеет простой смысл: если по оси x плотность континуума распределена как G(x), а по оси y - как H(y), то двухмерный континуум распределен как G(x)*H(y) - в данном случае операция "♦" оказывается просто операцией умножения "*". Заметим, что в результате размерность континуума повышается - из двух независимых одномерных мы получаем один двухмерный. Но не так с операцией "♦" - в результате нее мы получаем континуум той же размерности, что и исходные.
Заметим, кстати, что при преобразовании симметрии континуумов S1 и S2 только в том случае, если хотя бы один порядок симметрии является реальным числом, действует простая формула
Если оба порядка симметрии комплексные, действует другая формула умножения:
На это мы забыли обратить внимание ранее. Пусть например, исходные континуумы - однородные зеркально симметричные континуумы U(-1,1). Мы знаем, что они имеют порядок симметрии, равный мнимой единице j. В результате их взаимодействия получится такой же однородный континуум с порядком симметрии j:
Но просто умножив порядки симметрии взаимодействующих континуумов мы бы получили неверный результат: j*j = -1. Используя же уточненную формулу, мы получаем правильное значение порядка симметрии результата преобразования: S3 = j.
Соображения, позволившие получить эту уточненную формулу применительно к дискретным симметриям мы приводили в Прологе 95, параграф "Новая формула преобразования симметрий: шаг 2".
В качестве иллюстрации рассмотрим двухмерное нормальное распределение, уравнение которого можно переписать как произведение двух одномерных нормальных распределений:
Как мы знаем, для одномерного нормального распределения:
Поскольку двухмерное нормальное распределение представляется простым произведением двух одномерных нормальных распределний G(x) и H(y), его порядок симметрии вычисляется как произведение (по комплексной формуле) двух порядков симметрии распределений G(x) и H(y), так что мы получим в результате:
Интересно сравнить это двухмерное нормальное распределение с одномерным, имеющим такой же порядок симметрии. Мы его получим, используя операцию ♦ с одномерными распределениями G(x) и H(x). Обозначим
Тогда
где Kn(x) - модифицированная функция Бесселя второго рода. На диаграмме приведен вид исходных распределений G(x) и H(x) c параметрами σx=2 и σy=1/2, и результирующее распределение - красная кривая:
А преобразование, приводящее к двухмерному нормальному распределению можно записать так:
И оба результата имеют один и тот же порядок симметрии.
Спектры симметрии многомерных континуумов
Мы знаем, что спектр симметрии одномерного континуума определяется уравнением:
Уравнение спектра двухмерного и трехмерного континуума:
и т.д.
Далее, спектр одномерного континуума связан с его порядком симметрии следующим образом:
Практически также эта связь выглядит и для континуумов более высокой размерности:
Например, вот так выглядит спектр выше рассмотренного нами двухмерного нормального распределения:
Обратим внимание, что спектр имеет четыре вершины - особенно это хорошо видно на совмещенной диаграмме. На ней желтая поверхность представляет собой стандартное двухмерное нормальное распределение, а белая - его спектр симметрии:
Откровенно говоря, это обстоятельство некоторое время смущало автора и пускало на ложную тропу: казалось, что если само распределение не меняет своего вида при повороте вокруг центра координат, то и его спектр не должен менять своего вида при повороте. То есть, можно было подумать, что спектр стандартного двухмерного нормального распределения должен иметь какую-то кольцевую форму, а мы видим четыре вершины и при повороте вид спектра, очевидно, изменяется.
Но оказалось, это не так - спектр симметрии имеет не такие прямолинейно простые пространственные свойства и отношения с системой координат. Например, повернув спектр стандартного двухмерного нормального распределения вокруг центра координат всего на угол π/12, соответствующее ему двухмерное распределение становится весьма причудливым:
Если же наоборот взять спектр, симметричный относительно поворота вокруг центра координат, мы получим двухмерное распределение, не симметричное относительно поворотов.
Есть тройка одномерных распределений, находящихся в особых отношениях друг с другом:
Однородное распределение U(0,1) - это единичное распределение, обладающее порядком симметрии 1.
Дельта-распределение δ(x-1). Оно является спектром однородного распределения U(0,1). Его порядок симметрии равен числу e.
Каппа-распределение κ(x) = -ln(x). Его спектром является однородное распределение U(0,1). Его порядок симметрии равен 1/e.
У этой тройки есть прямые аналоги других размерностей. Например, двухмерные:
Однородное двухмерное распределение U({0,1}{0,1}), обладающее порядком симметрии 1.
Двухмерное дельта-распределение δ(x-1)*δ(y-1). Оно является спектром однородного двухмерного распределения U({0,1}{0,1}). Его порядок симметрии равен e2.
Двухмерное каппа-распределение κ(x,y) = ln(x)*ln(y). Его спектром является однородное распределение U({0,1}{0,1}). Его порядок симметрии равен 1/e2.
Заметим кстати, что спектр симметрии s(x) всегда имеет собственный порядок симметрии, больший ровно в e раз порядка симметрии самого распределения Ф(x). В двухмерном случае собственный порядок спектра в e2 раз порядка симметрии самого распределения, и т.д.
Эти тройки также играют особое значение в преобразованиях симметрии.
Многомерные преобразования симметрии
В одномерном случае преобразование (взаимодействие) симметрии континуумов Ф1(x) и Ф2(x) задается с помощью уравнения, связывающего спектры симметрии s1(x) и s2(x):
Получим таким образом уравнение спектра результата преобразования s3(x). Из него, в свою очередь, мы можем получить собственно уравнение результата взаимодействия:
(К слову, вообще-то при неопределенном интегрировании в результатах появляется неопределенная константа интегрирования C. Однако можно элементарно показать, что в данном случае ее следует принимать равной 0, поскольку в ином случае результирующее распределение Ф3(x) не нормируется.)
Для многомерных преобразований последовательность операций выглядит также - для простоты рассмотрим только двухмерный случай. Сначала вычисляется спектр преобразованного континуума:
Далее из спектра получаем уравнение результата преобразования:
В качестве типичного примера многомерных преобразований/взаимодействий симметрии рассмотрим взаимодействие двух двухмерных нормальных распределений, уравнения и порядки симметрии которых:
Используя комплексную формулу умножения симметрии, мы установим, что результат взаимодействия этих континуумов будет иметь порядок симметрии:
Сам же результат преобразования/взаимодействия записывается с помощью модифицированных функций Бесселя второго рода:
Для иллюстрации возьмем параметры первого исходного континуума σx1=2, σy1=1/2, второго - σx2=1/2, σy2=2. То есть, исходные континуумы одинаковы, но повернуты на 90 градусов относительно друг друга:
Тогда вот так выглядит результат их взаимодействия:
Говоря о преобразовани одномерных континуумов, выполняются следующие правила на основе тройки особых континуумов (тут Ф(x) - некоторый континуум, а s(x) - его спектр):
Аналогичные свойства имеют тройки особых континуумов и во многомерных случаях, например, в двухмерном:
Коммутативность и ассоциативность преобразований симметрии
Когда мы впервые начали говорить о преобразованиях симметрии дискретных множеств, мы описывали их как действие какого-то преобразования-"инструмента", имеющего собственный порядок симметрии, на исходное множество-"материал", обладающее своим порядком симметрии. В этом случае результат преобразования имеет порядок симметрии, равный произведению порядков симметрии исходного множества и преобразования. Однако, принимая во внимание коммутативность умножения, то есть, возможность менять местами множители без изменения результата, мы постепенно пришли к картине, в которой в момент преобразования симметрии происходит просто взаимодействие двух равноправных множеств или континуумов. Нет "исходного континуума" и "континуума-преобразования", а оба взаимодействующие континуумы выступают друг для друга и "материалом" и "инструментом".
Далее мы по-прежнем будем говорить о преобразованиях симметрии, но следует помнить, что скорее мы в это вкладываем смысл равноправного взаимодействия, что отражается в законе коммутативности взаимодействующих континуумов:
Для доказательства коммутативности достаточно показать, что уравнение вычисления спектра результата преобразования симметрично относительно спектров взаимодействующих континуумов. Рассмотрим для простоты одномерный случай. Нужно доказать, что
Сначала разобьем первый интеграл на промежутки, чтобы избавиться от знака модуля в 1/|x|:
Теперь в каждом интеграле перейдем к переменной y = X/x. При этом dy = -(X/x2) dx. Например, для второго интеграла получим:
Действуя также для первого интеграла в сумме, а затем объединяя интегралы по двум промежуткам в один общий, докажем симметричность исходного уравнения относительно s1(x) и s2(x).
Кроме закона коммутативности, преобразования симметрии континуумов подчиняются также закону ассоциативности:
Доказательство проводится примерно так же, как доказательство коммутативности, но оно более громоздкое.
При этом ассоциативность сохраняется как при преобразованиях симметрии континуумов, не изменяющих их размерность, так и для преобразований с повышением размерности.
Итак, нам вполне удалось развить понятие симметрии континуумов и их преобразований на многомерные континуумы. Теперь у нас есть все необходимые технические инструменты для их анализа с точки зрения обобщенных симметрий.
А в заключение - результаты небольшого эксперимента. Речь идет о симметрическом взаимодействии двух изображений, которые играют роль двухмерных континуумов. Автор наскоро набросал программу (очень сырую и полную недостатков), которая выполняет нужную работу - к слову, задача весьма требовательная к вычислительным ресурсам. И вот пример :
Сверху - исходные изображения-континуумы, а снизу - результат их симметрического взаимодействия. Небольшие артефакты и нечеткость - результат несовершенства алгоритма, тут есть над чем поработать.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER