КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
 
Роман Уфимцев
9 ноября 2013 года, Калининград
В предыдущем Прологе мы обобщили наше "учение об обобщенных симметриях" на многомерные континуумы. Мы не только научились вычислять их симметрийные характеристики - порядок симметрии, спектр симметрии - но и разобрались с формальной стороной преобразования или взаимодействия симметрии многомерных континуумов.
Этот Пролог мы посвятим не дальнейшему оттачиванию формального аппарата для анализа обобщенных симметрий, а обратимся к числовым экспериментам, которые нам позволят воочию, наглядно увидеть то, о чем мы до сих пор говорили главным образом на языке формул.
Новая терминология: более смелая, более ясная
Прежде, чем мы приступим к основной теме этого Пролога, нам следует сделать один шаг, который выглядит как простая замена терминов, но в действительности, имеет глубокий смысл. Чем дальше, тем больше те термины, которыми мы пользовались с самого начала обсуждения обобщенных симметрий, становились узкими, неудобными, громоздкими. Например, мы говорили о "симметрии континуумов", представленных функцией плотности Ф(x), о спектрах их симметрий, которые также являются континуумами, о "преобразованиях" или "симметрийных взаимодействиях" континуумов, при которых два континуума вступают в особое взаимодействие, порождая третий. Причина нарастающего неудобства этих терминов заключается в том, что они ведут свою родословную из областей, смежных с нашим "учением". Но теперь обобщенные симметрии "вышли на оперативный простор", и термины приобретают особый, конкретный смысл. Более нет необходимости опираться на смысловые костыли, которые были нам нужны, чтобы не растеряться перед новой областью. Их роль и играл старый набор терминов. Теперь мы можем выбрать новые термины - сознательно, опираясь на достигнутое уже понимание темы обобщенных симметрий.
Итак, во-первых, то, что мы называли "континуумом", теперь мы будем именовать просто формой. Как прежде континуум, форма задается уравнением распределения плотности Ф(x) - или Ф(x,y), Ф(x,y,z) и т.д. Формой является любой континуум, общая масса которого не устремляется к бесконечности и может быть нормирована. Например, формами являются распределения плотности вероятности. К слову, обозначение Ф(x) с буквой "Ф" получает неожиданно простой смысл - это первая буква слова "форма". Далее, мы будем говорить не о порядке симметрии континуумов, а о порядке симметрии форм, что гораздо естественнее для непосвященного уха. Если мы вновь обратимся к симметриям дискретных множеств, мы будем говорить о симметрии дискретных форм.
Результат взаимодействия двух форм G(x) и Н(x), который мы обозначаем как Ф(x) = G(x)Н(x) мы будем именовать ко-формой форм G(x) и Н(x).
Если форма Н(x) является спектром симметрии формы G(x), мы иногда так и будем говорить, но также введем новое обозначение: Н(x) является гипер-формой формы G(x). В свою очередь, G(x) является супер-формой для Н(x).
Такое изменение терминов выглядит смело, даже амбициозно. Но оно, нет сомнений, существенно упрощает и проясняет наш разговор. И кроме того, так мы нацеливаем наше "учение об обобщенных симметриях" на ту задачу, ради которой оно нами создается: на исследование форм явлений мира, их взаимодействий и преобразований.
Приступаем к числовым опытам
В финале предыдущего Пролога мы мы познакомились с наглядной демонстрацией симметрийного взаимодействия двух континуумов, в качестве которых выступили два черно-белых изображения - как мы сейчас будем говорить, мы увидели, как две различные формы порождают совместную ко-форму. Это взаимодействие, которое приводит к возникновению формы, порядок симметрии которой равен произведению порядков симметрии исходных форм - одна из самых интересных тем в нашем исследовании. Этот процесс, по нашему предположению, может объяснить, как происходит взаимодействие, преобразование и развитие форм в различных явлениях мира.
Мы увидели наглядную иллюстрацию этого процесса, и подобные иллюстрации весьма ценны, поскольку они позволяют достичь интуитивного понимания особенностей взаимодействия форм. Например, мы уже задавались этим вопросом: какими чертами тут обладает "форма-отпрыск" относительно "форм-родителей". Нам полностью известна математическая сторона дела, но для уверенного понимания необходимы наглядные примеры. Именно такими примерами является взаимодействие пар различных изображений, когда они понимаются как пары двухмерных форм или континуумов, в которых более светлым участкам соответствуют более плотные участки континуума. Это Пролог мы посвятим знакомству с этими иллюстрациями. Мы наглядно увидим те свойства обобщенной симметрии, которые нам уже знакомы по формальному анализу, а также приоткроем те, которые слишком сложны для него.
Мы будем иметь дело с черно-белыми изображениями, в которых, как сказано выше, более светлым зонам соответствуют более плотные части континуума. Например, двухмерный континуум U({0,1}{0,1}) - единичная двухмерная форма - выглядит так:
Обратим внимание на несколько технических моментов. Во-первых, мы будем рассматривать континуумы, охватывающие только положительные диапазоны x и y - в данном случае оси координат расположены непривычно (ось Y смотрит вниз), но так удобнее технически. Во-вторых, мы не связываем на наших картинках определенную яркость участка с конкретным значением плотности. Шкала яркости выбирается так, чтобы было легче видеть детали строения континуумов. Положение важной точки двухмерного континуума x=1, y=1 мы будем иногда отмечать маленькими красными черточками.
Когда мы будем сопоставлять сами континуумы-формы и их спектры, которые также являются континуумами-формами, первые мы будем обозначать как "Form", а вторые - как "Spectrum". Например, мы можем воочию увидеть, что спектром симметрии единичной формы является двухмерное дельта-распределение δ(x-1)*δ(y-1), которое выглядит как один точечный пик плотности в точке x=1, y=1:
Еще один пример: континуум, плотность которого отвечает двухмерному нормальному распределению, сдвинутому в область положительных координат:
Серому полю на его спектре соответствует значение нулевой плотности, светлые области - положительным значениям плотности, темные - отрицательным.
Отметим тут важный при числовых опытах момент: мы можем задавать взаимодействующие континуумы-формы не только аналитически - как это было сделано выше для двухмерного нормального распределения - но и просто как черно-белое изображение, изготовленное в каком-нибудь графическом редакторе. Однако, такие изображения имеют всего 256 градаций яркости. Иными словами, континуумы, заданные картинкой, имеют всего 256 градаций плотности, и это приводит к характерным искажениям. Например, вот так выглядит спектр того же двухмерного нормального распределения, если оно задано не аналитически, а картинкой:
Разглядеть особенности спектра становится невозможно. Это же приводит к характерным артефактам на картинках результирующих ко-форм. Тем не менее, используя некоторые "трюки", это не мешает получить более-менее полное представление о том, каков общий вид ко-формы двух форм, заданных простыми картинками.
Простейшие закономерности: тройка особых форм
Начиная "число-опытное" знакомство с миром ко-форм, сперва исследуем ко-формы, которые порождаются тремя особыми континуумами, о которых мы говорили в предыдущем Прологе. Первый из них - единичная форма, однородный континуум U({0,1}{0,1}). Его ко-форма с любой формой не изменяет последнюю. В некотором смысле континуум U({0,1}{0,1}) является аналогом единицы в операции умножения:
Далее, мы говорили, что однородные континуумы могут изменять масштаб формы. Например возьмем однородный континуум U({0,1/2}{0,1}) - Его ко-форма с любой формой является копией последней, сжатой в два раза по оси X:
Здесь мы использовали аналитическое представление двухмерного нормального распределения, которое мы используем в качестве "испытуемого". Но если задавать его картинкой, в результатах мы увидим те самые артефакты, о которых шла речь выше:
Иногда эти шумы прячут важные детали ко-форм. Отчасти с этим можно бороться тем, что формы, взаимодействие которых мы изучаем, чуть-чуть "размазываются" так, чтобы не было резких границ плотностей. Тогда артефакты почти исчезают, хотя мы несколько жертвуем четкостью картинки конечного результата:
В данном случае чуть-чуть размазан перепад плотностей однородного континуума, и это почти устраняет артефакты.
Следующий особый континуум - дельта-распределение δ(x-1)*δ(y-1), форма которого представляет собой точку единичной массы, расположенной в x=1, y=1. Как мы говорили, ко-форма этого континуума с любой формой приводит к спектру симметрии или гипер-форме последней:
(Заметим вновь, что во избежание появления артефактов вместо простой точки на картинке, которой мы задаем дельта-распределение, мы используем чуть-чуть размазанную точку - это качественно не меняет картину результата.) Как видим, ко-форма дельта-распределения и двухмерного нормального действительно представляет собой спектр симметрии последнего.
Наконец, последний особый континуум - каппа-распределение κ(x,y) = ln(x)*ln(y). Его ко-форма с любой другой формой представляет собой супер-форму последней:
Спектр ко-формы совпадает с формой 2, значит, ко-форма является для формы 2 супер-формой. Заметим еще один момент: спектром каппа-распределения (форма 1) является однородный континуум U({0,1}{0,1}). То есть, для единичного континуума каппа-распределение является супер-формой.
Теперь приступим к более замысловатым случаям.
Умножение форм и волшебный фонарь
Посмотрим сначала, как взаимодействуют формы, образованные некоторыми наборами точек (или чуть размазанных точек):
Ко-форма таких континуумов является как бы умножением, мультипликацией двух исходных форм. Однако мы видим, что вместо простых положительных точечных сгустков результирующая форма состоит из гипер-форм этих сгустков, выглядящих как характерные "шашечки" (отмечен кружком). Это не удивительно, ведь как мы знаем, отдельный точечный сгусток превращает форму в гипер-форму. Тут у нас взаимодействуют точечные формы и поэтому результат образован гипер-формами точек. То есть, данное преобразование, 1) геометрически умножает точки двух форм - 2*3=6, и 2) преобразует их в гипер-формы.
Можно догадаться, как избавиться от преобразования точек в их гипер-форму: для этого результирующую ко-форму нужно привести к ее супер-форме - и тогда вместо шести "шашечек" мы увидим простую мультипликацию исходных форм, образованную шестью сгустками плотности:
(Не нужно обращать внимание на смутность и артефакты на последнем изображении - это только результат несовершенств числового моделирования.)
Теперь несколько изменим взаимодействующие формы:
Как видим, результирующая ко-форма действительно отражает особенности исходных форм, будто бы являясь их произведением. И тут в голову приходит первая, простейшая аналогия процессу возникновения ко-формы. Представим себе яркий большой источник света, "волшебный фонарь". Сначала его лучи проходят через непрозрачную ширму, в которой вырезано три небольших округлых отверстия. Далее свет попадает на вторую ширму, в которой вырезано два овальных отверстия. Тогда в результате мы получим пучок света, который отбрасывает на экран форму, похожую на ко-форму континуума, состоящего из трех точек и второго, состоящего из двух овальных сгустков плотности:
Достоинство этой простой и при этом содержательной аналогии в том числе заключается в том, что она отражает свойство коммутативности преобразований симметрии: поменяв местами ширмы, при некоторых условиях мы получим на экране то же самое изображение:
Кажется, аналогия "волшебного фонаря" не вполне точна: ко-форма образована не простым "произведением форм", а является сочетанием гипер-форм, образованных участками положительной и отрицательной плотности. Однако, мы знаем, как справится с этим: достаточно результат привести к супер-форме. Рассмотрим еще один случай:
Результат выглядит занятно, но он, очевидно, не похож на то, что бы мы увидели, пропустив свет через две ширмы с круглым и треугольным отверстием:
Однако, перейдем к супер-форме и мы увидим нечто подобное тому, что высветит на экране волшебный фонарь:
Аналогия выглядит такой достоверной, что нам следует проверить: не является ли это чем-то большим, нежели простое сходство. Не создает ли наш "волшебный фонарь" условий, в которых действительно формы вырезов на ширмах порождают свою супер-ко-форму (супер-форму ко-формы)?
Если это так, мы не только сделаем большой и совершенно неожиданный шаг к пониманию сути взаимодействия форм, но и получим в свое распоряжение новый, более непосредственный способ расчета ко-форм.
Поразительно, но все оказывается именно так: "волшебный фонарь" - словно реактор, в котором взаимодействуют формы, образуя свою супер-ко-форму. Или по крайней мере нечто очень ей близкое.
Волшебный фонарь из подручных материалов
Для устройства опытной установки - а мы от вычислительных экспериментов переходим к натурным - нужен источник равномерного света, равномерно и ярко освещенная световая панель. Она должна служить "волшебным фонарем", перед которым мы будем ставить непрозрачные ширмы с вырезанными на них формами. Такую панель не долго соорудить, но все-так для этого нужны материалы и инструменты. Есть гораздо более простой и удобный современный способ. Роль световой панели вместе с первой ширмой может играть экран монитора, на который мы выводим изображение первой формы. Роль второй ширмы может играть лист простой бумаги с вырезанной второй формой. Наконец, роль экрана, на котором мы наблюдаем результат, может играть второй, целый лист белой бумаги. Единственное условие к этой "установке" - расстояния между листами бумаги и экраном монитора должны быть одинаковы:
Итак, для начала проверим в нашей установке взаимодействие круга и треугольника - последний наш пример. Если мы возьмем круг и треугольник примерно одинакового размера, как в последнем примере, с помощью волшебного фонаря мы получим следующий результат:
Сравнивая его с супер-ко-формой, которую мы получали вычислением, видна разница: это очевидно другая форма. Но если мы уменьшим треугольный вырез примерно два раза, так что он по размеру становится меньше круга, результат становится другим (эти трансформации легко наблюдать, манипулируя расположением ширмы и экрана в нашей "установке"):
Легко заметить, что теперь результат качественно подобен супер-ко-форме круга и треугольника:
Сходства и различия видны лучше, если мы перейдем от супер-ко-формы к ко-форме:
Тут слева - истинный вид ко-формы, возникающей при взаимодействии круга и треугольника. Справа - спектр той формы, которую мы получили на экране волшебного фонаря. Мы видим их качественное сходство, но также заметно, что изображение на экране лишено особой нелинейности, которой обладает ко-форма.
Подведем первый итог: модель волшебного фонаря действительно оказалась не просто аналогией. То, что мы видим в процессе взаимодействия форм в простой опытной установке, которую можно соорудить из подручных материалов, по меньшей мере качественно отражает процессы преобразования форм, которые мы долгое время исследовали формально. И вот теперь мы нашли обычное явление - трансформацию световых потоков - которое в своей сути отражает по меньшей мере некоторые аспекты преобразования форм и обобщенных симметрий. Откровенно говоря, это стало для автора неожиданностью. В фокусе нашего внимания оказалась огромная область натуральных явлений, которые явно имеют какое-то отношение к нашему учению об обобщенных симметриях - световые феномены. И это, может быть, совершенно не случайно, ведь именно наши глаза, действующие как экран волшебного фонаря - главный инструмент, которым мы познаем формы окружающего мира.
Вообще, аналогия с волшебным фонарем имеет философскую глубину, весьма значимую для нас.
Более всего великий Платон - а именно ему мы обязаны учению о том, как идеальные формы, существующие в каком-то высшем уровне мира, придают определенные очертания всем явлениям и предметам мира, действуя словно руки умелого ремесленника над пассивной и бесформенной глиной мировой субстанции - известен знаменитой метафорой пещеры.
Люди, говорил Платон, похожи на узников, заключенных в пещере, притом так, что они не могут повернуть головы к ее входу и видят только тени внешнего мира, которые отражаются на стене пещеры перед ними. И мы можем только догадываться о том, что на самом деле происходит у нас за спиной, в реальном мире.
Любопытно, как аналогия с источником света и экранами перед ним придает метафоре Платона конструктивный, конкретный смысл. Учение об обобщенных симметриях - это учение о формах, об их ключевой характеристике - симметрии. И вот, исследуя процессы симметрического преобразования, взаимодействия форм мы пришли к аналогии, прямо созвучной главной метафоре Платона. Образ источника света, его лучей, проходящих через ряд ширм и так приобретающий сложную формообразующую силу, наводит на серьезные размышления о том, как может быть устроен наш мир в своих метафизических основаниях.
Наконец, важный момент, который требует особого осмысления - взаимодействие форм в волшебном фонаре порождает не ко-форму, а супер-ко-форму. Если говорить о "произведении форм", то именно супер-ко-форма, а не просто ко-форма, получаемая операцией ♦, может считаться "произведением форм" - и это как-то расходится с тем, что порядок симметрии именно ко-формы является произведением порядков симметрии исходных форм. То есть, "произведение форм" не приводит к простому произведению порядков симметрии.
Нам есть о чем поразмыслить.
1
спектр двухмерного нормального распределения, картинка с еле различимыми конурами на сером, похожа на фигуру Хладни, из песка под воздействием звука
http://www.youtube.com/watch?v=uWRyUsEh2yY
здесь на видео она появляется на 46 секунде
Сова (4.10.2015 0:04)
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER