КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
 
Роман Уфимцев
13 ноября 2013 года, Калининград
В предыдущем Прологе мы нашли интересную и выразительную аналогию механизму взаимодействия форм, который мы обозначаем символом ♦ - модель волшебного фонаря. Пропуская свет через две ширмы, на которых вырезаны две различные (или одинаковые) формы, мы получаем на экране изображение, которое оказывается родственным результату взаимодействия форм в операции ♦ - с той только разницей, что результат операции ♦ является ко-формой двух исходных форм, а изображение на экране фонаря родственно супер-ко-форме, то есть, супер-форме ко-формы.
В этом Прологе мы выясним, что аналогия волшебного фонаря опирается на глубокое математическое сходство операции ♦ и механизмов, действующих в волшебном фонаре, а также поговорим об одной очень интересной проблеме, связанной с преобразованием форм - о так называемых фокусирующих формах. Но начнем мы с нового, более простого метода вычисления результатов операции ♦, которым нас одарила аналогия с волшебным фонарем.
Новый метод получения ко-формы
Научный поиск похож на блуждание по лабиринту. Иногда, разрабатывая какую-то тему, кажется, что найденный путь к выходу - единственный. Но так кажется только потому, что этот путь был найден первым. Все большее погружение в тему, все большее знание лабиринта приводит к отрытию новых дорог и вот уже первый путь оказывается не единственным и даже не самым кратким. Так произошло с формулой вычисления ко-формы Ф3(x) двух форм Ф1(x) и Ф2(x). Вычисление продукта операции Ф1(x)Ф2(x) до сих пор выглядело многоступенчатым процессом. Сперва для каждой из участвующих в операции форм нам нужно было вычислить уравнение спектра, то есть, найти гипер-форму:
Затем, зная уравнения спектров s1(x) и s2(x), вычислялся спектр результата:
Наконец, из уравнения спектра s3(x) вычислялся собственно результат, уравнение ко-формы:
Однако, анализ аналогии с волшебным фонарем, с которой мы познакомились в предыдущем Прологе, неожиданно привел автора к гораздо более простому и (задним числом) очевидному методу вычисления ко-формы. Он состоит всего из двух этапов. Сначала вычисляется супер-ко-форма:
(По сложившейся традиции, уравнение формы мы обозначаем как Ф(x), ее спектра или гипер-формы - как s(x), а уравнение ее супер-формы будем обозначать как Ψ(x).) Вторым шагом переходим к собственно ко-форме:
Для доказательства того, что новый способ позволяет нам вычислить ко-форму Ф3(x)=Ф1(x)Ф2(x), нам нужно показать эквивалентность двух равенств. Первое выражает наш старый способ вычисиление ко-формы Ф3(x):
Второе отражает новый метод:
Для простоты рассматриваем одномерные континуумы/формы и лежащие только в области положительных значений x.
Сначала преобразуем второе равенство:
Перейдем в интеграле к другой переменной y = X/x:
Теперь возьмем производную от выражения по переменной X:
Но из равенства для первого метода вычисления ко-формы следует, что
Мы знаем также, что
Таким образом, вывод из выражения для второго метода оказывается эквивалентен выводу из выражения для первого метода.
Центральный момент в новом методе вычисления ко-формы - интеграл
Но мы уже говорили, что такую форму имеет выражение для вычисления распределения произведения двух случайных величин, если одна имеет распределение Ф1(x), а вторая - Ф3(x) - этот факт был установлен Рохатги. Таким образом, распределение Ψ(x) - это распределение произведения случайных величин Ф1(x) и Ф2(x). Одновременно это уравнение супер-ко-формы этих форм или распределений. Так мы установили ясный и конкретный смысл не самой ко-формы - а это была одна из наших задач - но супер-ко-формы, что уже большой шаг вперед, поскольку связь между супер-ко-формой и ко-формой довольно проста: для супер-ко-формы ко-форма представляет собой спектр симметрии.
Математика волшебного фонаря
Теперь, получив в свое распоряжение новый метод вычисления ко-формы (а на первом шаге он дает уравнение супер-ко-формы), нам не трудно будет разобраться формально с тем, какое отношение имеет изображение на экране волшебного фонаря, полученное после прохождения света через две ширмы с вырезанными формами, к операции ♦:
Зададим форму вырезов на экранах функциями плотности Ф1(x,y) и Ф2(x,y), так что областям высокой плотности соответствуют области высокой прозрачности экранов, а областями нулевой плотности - непрозрачные части экранов. Тогда не трудно установить, что если расстояния между экранами одинаковы, результирущее изображение будет отвечать функции плотности Ф3(X,Y):
Для простоты рассмотрим "одномерный" волшебный фонарь, в котором результат описывается уравнением:
Сравним его с другим:
Последнее уравнение хорошо известно в теории вероятностей и описывает распределение суммы двух случайных величин, имеющих распределения G1(x) и G2(x) - так называемую композицию (иногда говорят свертка, в англоязычной литературе используется термин конволюция). Уравнения полностью тождественны, если положить Ф1(x) = 2*G1(2*x), Ф2(x) = G2(-x) и Ф3(X) = G3(X). Это значит, проделывая некоторые простые манипуляции, с помощью волшебного фонаря можно получать композиции двухмерных распределений. Пусть, например, мы хотим получить композицию G1(x,y) и G2(x,y). Изготовим ширмы, просветы в которых отвечают распределениям G1(x,y) и G2(x,y). Первую, ближнюю к экрану ширму мы вставляем в установку, сжав по осям X и Y в два раза, а вторую - развернув на 180 градусов, так что области положительных и отрицательных значений x и y меняются местами. В этом случае на экране волшебного фонаря высветится композиция распределений G1(x,y) и G2(x,y).
Для простоты дальнейшего разговора, "забудем", что с ширмами в волшебном фонаре нужно проделывать кое-какие операции, и будем считать, что если вырезы на ширмах соответствуют уравнениям G1(x,y) и G2(x,y), то на экране мы сразу увидим композицию G3(x,y), так что (вновь для простоты ограничиваемся одномерным уравнением)
Перейдем в этом уравнении от переменной x к переменной y, так что x=ln(y), и от переменной X к переменной Y, так что X=ln(Y):
Переобозначим функции Ψ3(y) = G3(ln(y)), Ф1(y)=G1(ln(y)) и Ф2(y)= G2(ln(y)). В результате, переобозначая также переменную y в x, мы приходим к уравнению супер-ко-формы:
Этот результат означает следующее: если распределение G3(x) является композицией распределений G1(x) и G2(x) и условно появляется на экране волшебного фонаря при использовании соответствующих ширм, то G3(ln(x)) является распределением произведения случайных величин, которые сами распределены как G1(ln(x)) и G3(ln(x)), или их супер-ко-формой.
Мы полностью прояснили формальные отношения между изображением на экране волшебного фонаря и супер-ко-формой. Как видим, они довольно непосредственные, но есть несколько моментов: во-первых, нужно помнить, что ширмы перед установкой в волшебный фонарь нужно немного трансформировать. А во-вторых, по сравнению с видом на экране волшебного фонаря, вид супер-ко-формы экспонециально искажен - это связано с разницей между величиной суммы двух величин и их произведением. Сравним, например, вид супер-ко-формы двух простых форм:
с изображением на экране волшебного фонаря для тех же форм (заметим, что мы сжали одну из форм в два раза по изложенным выше причинам):
Наименьшие расхождения наблюдаются в центре изображений - в области значений x и y около единицы. То есть, если взаимодействующие формы расположены в этой области и имеют небольшой размер, их супер-ко-форма минимально отличается от того, что бы мы увидели в волшебном фонаре. Это обстоятельство позволяет нам при качественном анализе свойств взаимодействия форм иногда опираться на более простую математику волшебного фонаря. Этой возможностью мы и воспользуемся, приступая к одному очень интересному вопросу.
Фокусирующие формы
Читатель мог заметить, что результаты взаимодействия форм - ко-формы и супер-ко-формы - обычно выглядят нечетко, имеют рассеянные границы. Это легко понять на аналогии с волшебным фонарем: какие бы ни были четкие вырезы на его ширмах, изображение на экране обычно имеет рассеянные границы. Единственное исключение - когда вырез на первой ширме представляет собой точечное отверстие (дельта-распределение). В этом случае на экране мы видим четкий дубль того, что вырезано на второй ширме (только изображение перевернуто как в камере-обскуре).
Но возможно ли все-таки используя какие-то особые ширмы добиться противоположного: чтобы на экране мы видели более четкие, сфокусированные изображения, нежели формы на ширмах? В реальной оптической технике для этого применяются линзы, которые способны фокусировать пучки света, а какие возможности для этого есть у нас? Например, существует ли ширма, которая вместе с ширмой, на которой вырезан квадрат, даст на экране фонаря изображение светящейся точки?
Это интересный и важный вопрос для нашего исследования обобщенных симметрий, но его значение проще всего объяснить на аналогии с волшебным фонарем. Если он имеет положительный ответ, то для ширм с некоторыми (может быть, не всеми) формами найдутся такие парные им ширмы, что на экране мы получим любую нужную форму. Например, для ширмы с круглым вырезом найдется такая вторая, вместе с которой на экране фонаря появится четкий квадрат. Эта вторая ширма, вырезанная на ней форма, играет роль "трансформатора форм", превращая круги в квадраты. И очень было бы интересно посмотреть, во что такой трансформатор превратил бы, например, треугольники.
Попробуем найти "фокусирующую" ширму, рассматривая упрощенную задачу: пусть у нас есть случайная величина, имеющая однородное распределение G1(x) = U(0,1). Существует ли распределение G2(x) такое, что композиция распределений G1(x) и G2(x) является точечной дельта-функцией, пик которой расположен, например, в точке x=1/2, то есть, G3(x) = δ(x-1/2)? Опираясь на уравнение композиции, нам нужно найти такую функцию G2(x), чтобы выполнялось уравнение:
Это нетривиальная задача, для решения которой у нас пока нет общего метода. Но решение существует, хотя и выглядит необычно. Мы будем подбираться к нему издалека, и обратимся к дискретному варианту этой задачи. Пусть у нас есть случайная величина X, которая с равной вероятностью может принимать одно из двух дискретных значений, например, с вероятностью 1/2 - значение 1 и с вероятностью 1/2 - значение 2. Какие значения и с какой вероятностью должна принимать другая случайная величина Y, чтобы сумма X+Y с вероятностью 1 имела бы значение, например, 1?
С первого взгляда эта задача не имеет решения. Действительно, как сумма X+Y может всегда оказываться равной 1, если одно из слагаемых принимает значения то 1 то 2? Если мы полагаем, что случайные величины X и Y независимы, то это, кажется, невозможно. Однако, формальное решение существует - правда для этого нужно допустить существование отрицательных вероятностей - мы уже упоминали их и грозились разобраться с тем, что это такое.
Обратимся к диаграмме, на которой условия нашей задачи видны наглядно:
Каждая клетка этой диаграммы соответствует одной из возможных комбинаций значений величин X и Y. Поскольку величина X может принимать лишь значения 1 или 2, область возможных комбинаций образует ленту - на диаграмме она выделена розовым цветом. Удобство этой диаграммы в том, что возможные суммы X+Y образуют на ней диагональные наборы - например, комбинации X и Y, образующие сумму 0 входят в диагональный набор, выделенный голубым цветом, сумму 1 - красным, сумму 2 - зеленым. Вероятность того, что сумма X+Y окажется равной некоторой величине равна сумме вероятностей появления комбинаций, входящих в соответствующий диагональный набор. Мы ищем такое распределение вероятностей P(Y), при котором вероятность того, что сумма X+Y будет равна 1 оказывается равной единице, а вероятность того, что она будет равна какому-то другому значению, равна нулю.
Анализируя диаграмму такое распределение не трудно реконструировать, и оно оказывается причудливым. В соответствии с ним, величина Y должна принимать значения ...-4, -2, 0, 1, 3, 5, ... с вероятностью 1, а значения ...-5, -3, -1, 2, 4... - с вероятностью -1, при этом распределение охватывает все целочисленные значения Y от минус до плюс бесконечности. Распределение включает в себя отрицательные вероятности, а потому является квази-распределением. Его можно назвать "фокусирующим", потому что оно снижает неопределенность значений случайной величины: если изначально случайная величина X может равновероятно принимать одно из двух значений, то сумма X+Y всегда имеет только значение 1.
Чтобы заметить характерные свойства "фокусирующих" распределений, чуть-чуть изменим условия задачи: пусть величина X имеет три равновероятных значения 1, 2 и 3. Каким должно быть распределение P(Y), чтобы сумма X+Y всегда оказывалась равной 2? Решение нетрудно найти, анализируя диаграмму:
То есть, распределение P(Y) оказывается таким: для всех целых значений Y вероятность равна 1, кроме значений ±2, ±5, ±8,... для которых она равна -2.
Не трудно заметить, что это распределение P(Y) - не единственное, удовлетворяющее условиям задачи, и вообще-то имеется сколько угодно вариантов, например:
Этот вариант удобен тем, что он позволяет индуктивно вернуться к исходной задаче с непрерывными распределениями. По аналогии строим диаграмму, но в непрерывном варианте:
Красная диагональ отмечает местоположение пар X,Y, удовлетворяющих условию X+Y=1/2. Искомое распределение Ф(Y) должно быть таким, чтобы вероятность того, что сумма X+Y будет равняться 1/2 была бы равна единице, а что эта сумма примет другое значение - нулю. На диаграмме изображен условный вид требуемой функции распределения. В нем основную роль играют особые всплески, которые обозначены как функция ω:
Функция имеет симметричный вид и обладает важным свойством: при любом значении параметра σ интеграл функции от 0 до бесконечности равен 1/2 (заштрихованные области на диаграмме):
При предельно малых значениях σ вид функции становится похож на два очень близко расположенных пика - отрицательного и положительного. Это предельное состояние мы и обозначаем как функция ω. Таким образом, решение нашей задачи
записывается в виде бесконечной суммы функций ω:
Внимательный читатель может заметить, что в таком виде функция распределения G2(x) не удовлетворяет условию нормировки. Но это не трудно поправить, добавив к сумме, например, нормальное распределение с очень-очень большим параметром σ. Это почти не скажется на "фокусирующих" способностях функции, но условие нормировки будет выполнено. Для простоты мы не будем вносить это уточнение.
Итак, мы нашли решение, "фокусирующую" форму, "омега-линзу", которая способна сфокусировать однородное распределение U(0,1) в точечное дельта-распределение. Проверим находку на модели волшебного фонаря: пусть первая ширма несет двухмерный вариант нашей фокусирующей формы, а вторая - квадратную однородную форму. Свет сначала проходит через квадратный вырез, а затем - через фокусирующую ширму. Что мы увидим в результате? Моделируя ω-функции их не-экстремальными аналогами, мы увидим следующий результат:
Как видим, фокусировка квадрата нам вполне удалась. Она не привела к абсолютно точечному фокусу на экране волшебного фонаря, но это связано только с тем, что и ω-функции мы использовали не в их идеальном виде. Если ω-функции сделать еще менее идеальными, еще более "размазанными", то и результат также все больше отклоняется от идеальной формы точечной дельта-функции:
Далее, проверим нашу "омега-линзу", сдвинув квадратный вырез относительно центра линзы. Мы увидим, что также, как при использовании настоящей линзы изображение на экране сдвигается в противоположную сторону:
(Мы видим появление небольших артефактов - они возникают потому, что в численном опыте мы используем не бесконечную сумму ω-функций, а сумму их конечного количества.)
Полученная нами фокусирующая форма настроена на квадратные формы определенного размера, и если мы изменим размер фокусируемой формы, результат оказывается не таким простым:
Конечно, у этого узора из точек есть очень простой, интересный и ясный смысл, который мы будем обсуждать далее, а в заключение этого Пролога лишь заметим, что "омега-линза" способна фокусировать не только положительные формы, но и негативные, а также любые их комбинации:
Тут исходная форма является комбинацией положительной и отрицательной квадратной формы, и результат - два точечных фокуса, положительный и отрицательный. Полагаю, проницательный читатель на основе этого может догадаться, что за узор из точек мы получили для маленького квадрата.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER