КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 109. Омега-преобразование
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 109. Омега-преобразование
 
Роман Уфимцев
28 ноября 2013 года, Калининград
Возможно, у читателя Прологов - если он старается двигаться по ним как по главам какой-то книги - часто возникает вопрос: почему автор так легко перескакивает от темы к теме, почему довольно углубляясь в исследование одного предмета повествование иногда перескакивает на другой, который появился на нашей дороге как бы случайно?
Да, это так, и об этом автор предупреждал с самого начала. Прологи - это не курс лекций, в котором некоторая тема должна быть освещена от самых начал до логических пределов. Прологи - это дневник исследования, путевые заметки искателя, которым движет интуитивное ощущение правильного направления. Это распутывание огромного клубка, состоящего не из одной нити, а из многих. И развивая его, нужно от одной нити переходить к другой, которая требует внимания на данном этапе.
Исследование обобщенных симметрий - одна из важных нитей, которой мы занимаемся последние месяцы. Это нить, которую автор видел в глубине клубка долгое время, но только теперь к ней стало возможно подобраться. И сейчас, распутывая ее виток за витком, мы видим, что она в свою очередь тесно сплетена с другими темами, которые, не заговори мы об обобщенных симметриях, никогда бы не оказались в центре нашего внимания. Но теперь оказались, и их следует изучить также внимательно, как все, что нам попадалось по пути до сих пор. Тем более, что это вещи весьма интересные и, кажется, до сих пор неизвестные.
Автор уже говорил о слабом месте нынешней науки - о том, что она достигла огромных успехов в исследовании бесформенного, но мало достигла в изучении вещей, для которых форма - критически важный фактор. Дело в относительно слабых возможностях науки в описании формы явлений. Разумеется, точно описать форму не составляет труда, но описать также удовлетворительно преобразования, изменения формы, морфогенез, мы до сих пор не умели. Мы знаем почти все о преобразованиях бесформенной энергии, но почти ничего о преобразованиях форм. А между тем, как мы считаем, форма в мире когнитивного порядка играет роль такую же фундаментальную, как энергия в мире порядка физического. Говоря афористично, мир физических явлений управляется энергией, а мир когнитивных - формой.
Это и есть сверхзадача нашего исследования обобщенных симметрий и преобразований форм - мы стремимся понять форму и ее главную характеристику, симметрию, также ясно как физики понимают энергию и ее преобразования.
Центральный вопрос в нашей теории преобразования форм и морфогенеза - прояснение смысла операции, которую мы обозначаем знаком ♦. Именно она формализует взаимодействие двух форм, результат которого мы называем ко-формой. И тут мы обнаружили неожиданно простую и глубокую аналогию этой операции - это модель волшебного фонаря, которой мы занимаемся последние Прологи. Оказалось, что обычный свет, проходя через ширмы с некоторыми вырезанными на них формами, оставляет на экране фигуру, форма которой прямо родственна ко-форме, результату симметрийного взаимодействия форм.
Опасаясь показаться излишне пафосным, но лучи света - видимого или какого-то метафизического "формообразующего" - простейший образ силы, придающей субстанции мира форму, служащей медиумом в процессах преобразования форм. Предание гласит о том, что именно свет стал следующим этапом Творения после того, как была сотворена бесформенная, "безвидная" субстанция вселенной:
В начале сотворил Бог небо и землю.
Земля же была безвидна и пуста, и тьма над бездною,
и Дух Божий носился над водою.
И сказал Бог: да будет свет. И стал свет.
Только после того, как был сотворен свет, возникла земная твердь и все, что ее населяет - все, что имеет образ и форму. И может быть, наша аналогия волшебного фонаря, которая качественно отражает действие операции преобразования форм, не случайно в своем ядре опирается на свойства лучей света.
Повторим сказанное яснее, смелее: свет придает форму явлениям. И он выступает силой, преобразующей формы. Если речь о видимых формах - это видимый, физический свет. Если речь о сущностных, "настоящих" формах - то какой-то "метафизический" или "платоновский" свет.
И еще кое-что: мы вовсе не находимся в неизвестности относительно того, что такое этот "метафизический" свет. Этот свет - из него и сложено внимание и сознание. И человеческое и не-человеческое. Именно об этом свете говорил Аристотель, когда утверждал, что мы воспринимаем мир, испуская из своих глаз невидимые лучи и ощупывая ими обстановку. Разумеется, он не говорил о том, что наши глаза светят как фары автомобиля. Аристотель говорил о "свете внимания", "свете сознания", "метафизическом" свете, который управляет формами мира и их преобразованиями. А заодно - и формами в нашей голове, то есть, восприятием.
Продолжая исследовать аналогию с волшебным фонарем, мы не столько имеем в виду законы обычного света, сколько этого самого "метафизического". Действительно, ведь в предыдущем Прологе мы начали говорить о вещах, невозможных в настоящем волшебном фонаре - о фокусирующих ширмах и формах, которые могут существовать только тогда, когда у света есть его активная противоположная ипостась - тьма. Для обычного физического света тьма - это просто отсутствие, ноль. Но для метафизического тьма - это свет со знаком минус. Действительно, никакая ширма в обыкновенном фонаре не способна собрать свет, прошедший через квадратный вырез в точку - а мы "вычислили" такую ширму, и дали ей красивое название "омега-линза". Посмотрим на ее изображение:
Тут яркие области соответствуют областям нормальной, положительной прозрачности ширмы. А серые - областям нулевой прозрачности. Но есть еще черные области - они соответствуют областям отрицательной прозрачности. Луч света, проходя через такую область, превращается в "анти-свет", свет со знаком минус, в активную тьму, которая способна распространяться лучами также, как нормальный свет. Именно такая ширма, содержащая области отрицательной прозрачности, может фокусировать другие формы.
Как мы видели, настоящий волшебный фонарь способен только рассеивать изображение: взаимодействующие на ширмах формы обычно порождают супер-ко-форму, теряющую ясные очертания. Но в реальных явлениях морфогенеза мы наблюдаем не только постепенную потерю четкости форм (которую легко списать на законы возрастания физической энтропии). Иногда одна четкая форма сменяется другой не менее четкой формой - особенно это характерно для феноменов органического морфогенеза. Это преобразование может произойти только с участием форм, родственных простейшей "омега-линзе", обнаруженной нами в предыдущем Прологе. То есть, с участием форм или линз, содержащих области отрицательной прозрачности.
Так на нашем пути возникла очень интересная тема фокусирующих форм или "омега-линз". И этот Пролог мы посвятим исследованию их свойств.
Свойства омега-линзы
В предыдущем Прологе мы познакомились с простейшей фокусирующей формой, которая может сфокусировать квадрат определенного размера в точечный фокус:
Кроме того, она фокусирует в точку не только формы с положительной прозрачностью/плотностью, но и с отрицательной, и любые их комбинации:
Однако, эта омега-линза настроена на квадраты определенного размера и если с е помощью попытаться сфокусировать квадрат другого размера, мы увидим узор из светлых и темных фокусов. На следующей анимации наглядно видно, как изменение размера фокусируемой квадратной формы изменяет картину результирующего изображения:
Лишь тогда, когда квадрат достигает "правильного" размера, на экране мы видим один точечный фокус. Во всех остальных случаях их много и они образуют особый узор. И этот узор открывает одно интересное свойство омега-линзы: в этих узорах по сути зашифровано исходное изображение, в роли которого у нас выступают квадраты различного размера. Взглянем на последний кадр нашей анимации, когда опытный квадрат становится почти в два раза больше того, на который настроена линза (в четыре раза больше по площади). В этот момент результирующее изображение оказывается образованным четырьмя фокусами:
Это имеет простой смысл: когда квадрат достигает двукратного размера, омега-линза "видит" его так, будто он составлен из четырех квадратов, на которые настроена эта линза, и каждый из них порождает свой фокус - всего четыре:
Говоря фигурально, омега-линза распознает в опытной форме ту контрольную форму, на которую она сама настроена. Квадрат двукратного размера сложен из четырех контрольных квадратов, и омега-линза оставляет ровно четыре фокуса, причем в тех местах, в которых находятся центры распознанных ею контрольных форм.
Взглянем еще раз на следующий пример:
Тут омега-линза распознала наложение двух контрольных форм, при этом одна из форм положительная, а вторая - отрицательная. В результате на экране фонаря - два полярных фокуса, причем положение фокусов с точностью до разворота на 180 градусов соответствует положению распознанных контрольных форм.
Обратимся к менее тривиальному примеру:
Тут опытная форма - квадрат, который в два раза меньше того, на который настроена омега-линза. И результат распознавания - узор из положительных и отрицательных фокусов. Но если мы по этой "карте" разместим контрлольные формы (на отрицательные фокусы - отрицательные квадраты, на положительные - положительные), то мы получим исходную опытную форму. Омега-линза синтезировала единственную возможную совокупность контрольных форм, которая приводит к исходной опытной форме. Это потрясающая способность: только представьте, сколько бы времени ушло у нас на "ручное" решение этой задачи: расположить положительные и отрицательные контрольные квадраты так, чтобы в сумме в результате наложений мы получили квадрат вдвое меньшего размера. Омега-линза делает это мгновенно (хотя моделирование ее действия на компьютере происходит отнюдь не мгновенно).
Теперь скомбинируем две опытные формы: из квадрата контрольного размера вычтем вдвое меньший квадрат:
Результат именно таков, каким и должен быть: центральный яркий фокус - это след распознавания квадрата контрольного размера, а остальные фокусы - следы распознавания отрицательного квадрата меньшего размера.
Теперь испытаем еще одну форму - это контрольный квадрат, на который настроена омега-линза, но повернутый на 45 градусов:
Мы видим важное обстоятельство: омега-линза не распознала свою контрольную форму в повернутом виде. Она предложила нам затейливую карту фокусов, по которой мы конечно могли бы восстановить исходную картинку, но операция поворота ей явно "не знакома". (Не трудно догадаться, какая омега-линза лишена этого недостатка - омега-линза, для которой контрольной формой является круг. Ее вид нам пока неизвестен, ее только предстоит "вычислить".)
Еще примеры:
Условимся называть результат преобразования омега-образом соответствующей формы. Омега-образ квадрата контрольного размера - точечный фокус (если линза настроена на него), и т.д. Как видим, "квадратная" омега-линза превращает любые сочетания прямоуогльников и квадратов в наборы точечных фокусов, а омега-образы других форм, имеющих не только вертикальные и горизонтальные границы, образованы не точечными, а протяженными областями.
Уточним только: те изображения, которые мы получаем на экране волшебного фонаря с помощью омега-линзы будем считать омега-образами, повернутыми на 180 градусов - так удобнее для дальнейшего. Скажем, для последнего примера:
Омега-преобразование
Как мы видели, зная контрольную форму, на которую настроена омега-линза, и имея на руках омега-образ, мы можем восстановить исходную форму. Особенно это просто сделать, если омега-образ состоит из точечных фокусов. Тогда мы накладываем на каждый из них контрольную форму (у нас это был квадрат) учитывая знак фокуса, и в сумме получим исходную форму. Иными словами, в омега-образе содержится вся информация об исходной форме, это ее альтернативное представление. Тут вполне уместна аналогия с преобразованием Фурье, когда функция преобразуется в свой Фурье-образ, содержащий всю информацию об исходной функции. Ее вид можно восстановить из Фурье-образа, используя обратное преобразование Фурье.
По аналогии, получение омега-образа из исходной формы можно назвать омега-преобразованием, а восстановление исходной формы по ее омега-образу - обратным омега-преобразованием. Запишем это математически. Для простоты будем говорить об одномерном случае - именно на его основе мы получили в предыдущем Прологе простейшую "квадратную" омега-линзу.
Сперва определим, что мы называем омега-линзой. Пусть у нас есть некоторая форма Ф(x). Тогда омега-линзой по контрольной форме Ф(x) называется такая форма Ω(x), что выполняется уравнение
Смысл этого уравнения прост: если мы возьмем ширму с вырезом в форме Ф(x) и пропустим свет через нее и через омега-линзу Ω(x) (предварительно сжав ее в два раза, как того требует некоторая разница между композицией двух функций и моделью волшебного фонаря), то на экране мы получим точечный фокус света, дельта-функцию δ(x):
Мы определили, что такое омега-линза. И теперь само омега-преобразование. Омега-преобразование некоторой формы G(x) производится в соответствии с уравнением композиции:
Результат - форма Gω(x) - это омега-образ формы G(x). В модели волшебного фонаря эта операция выглядит так:
Обратное омега-преобразование, то есть, получение исходной формы G(x) из ее омега-образа Gω(x) производится технически аналогично, в соответствии с уравнением композиции:
Вот как это можно понимать:
Когда мы выше говорили о том, что располагая отрицательные и положительные квадраты по местам фокусов на омега-образе можно восстановить исходную форму - мы имели в виду как раз обратное омега-преобразование.
Доказательство того, что приведенные три уравнения: 1) определение омега-линзы, 2) уравнение прямого омега-преобразования, и 3) обратного омега-преобразования, находятся в согласии друг с другом и выполняются, приводится чуть далее, после обсуждения метода вычисления омега-линзы по произвольной форме Ф(x).
Омега-преобразование - замечательная вещь, которая представляет интерес далеко не только в контексте Прологов. Простейший пример, которым мы пока ограничимся - использование его в криптографии.
Предположим, вы контрразведчик, и перехватили шпионское сообщение в виде картинки:
Что это? Какой-то шум? Скрыта ли в нем какая-то информация? Даже если вы - искушенный криптолог, и догадываетесь, что это - омега-образ Gω(x) какого-то осмысленного изображения, до тех пор, пока вы не подберете ключ к расшифровке - нужную форму Ф(x), вы не сможете произвести обратное омега-преобразование и восстановить исходное изображение G(x). Но если вы знаете ключ, восстановить исходное изображение не представляет труда:
(Артефакты - результат не совсем совершенного алгоритма, от них легко избавиться, передавая омега-образ в два раза большего размера, чем размер исходного изображения). Разумеется, пока мы играем с простой омега-линзой, настроенной на простую форму - однородный квадрат, и подобрать ключ не трудно. Но в качестве ключа можно использовать какую угодно сложную форму, и тогда расшифровка методом подбора ключа становится весьма затруднительной. Впрочем, автор не является специалистом в сфере криптологии - может быть система криптографии, построенная на преобразованиях, аналогичных омега-преобразованию, уже существует (как и метод ее взлома).
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER