КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
 
Роман Уфимцев
9 декабря 2013 года, Калининград
Начав с исследования обобщенных симметрий дискретных множеств, мы нашли и способ вычисления порядка симметрии непрерывных распределений плотности или, как мы их кратко именуем, форм. Кроме того, мы нашли выражение, описывающее операцию симметрийного взаимодействия двух форм, которую мы обозначаем символом ♦. Базовая особенность этой операции - порядок симметрии формы, которая получается в ее результате, равен произведению порядков симметрии двух исходных форм. Эта операция имеет ясный смысл в случае симметрийного взаимодействия дискретных множеств, но ее значение для непрерывного случая еще остается нам не вполне понятным.
Чтобы прояснить его, мы обратились к упрощению - к модели волшебного фонаря. В основе этой модели - взаимодействие форм, основанных на операции композиции (или свертки). Так называют интегральное преобразование, которое для некоторых функций (форм) G(x) и H(x) вычисляется как
Мы подробно обсудили, каким образом композиция связана с процессами в волшебном фонаре - оптическом приборе, в котором свет, проходя через две ширмы с вырезами различной формы, оставляет на экране некоторую третью форму, результат особого синтеза форм (изображений) на ширмах.
Далее мы уделили внимание интересному вопросу об омега-линзах - таких функциях или формах, которые в композии с некоторой другой, контрольной функцией или формой, дают дельта-функцию. В рамках аналогии с волшебным фонарем, омега-линзы - это формы, которые способны сфокусировать свет, прошедший через ширму с какой-либо другой формой, в точечный фокус на экране. Мы познакомились с интересными свойствами омега-линза, а также исследовали способ их вычисления для произвольной заданной формы. Хотя теоретически не для любой формы Ф(x) существует омега-линза Ω(x) такая, что
однако, на практике вычислительными методами мы можем найти омега-линзу (дискретное приближение к ней) почти для любой формы. В частности, мы вычислили и исследовали приближение омега-линзы для распределения Лапласа и вейвлета Хаара.
Для примера, рассмотрим омега-линзу, построенную для цифрового изображения сложной формы:
А теперь сравним результат фокусировки с помощью этой линзы контрольного изображения и некоторого другого. Контрольная форма, как и должна, фокусируется в точку (артефакты связаны с небольшими размерами линзы):
Другое изображение не фокусируется, а порождает однородный шум:
Шум при отсутствии распознавания (справа) имеет низкую амплитуду по сравнению с пиком, которое возникает при распознавании контрольной формы (слева):
При этом если использовать омега-линзы большего размера, то разница в амплитудах может быть как угодно увеличена.
Наконец, мы познакомились с так называемым омега-преобразованием, которое позволяет для любой формы получить ее образ, содержащий полную информацию об исходной форме, а затем вернуться обратно к исходной форме. Это преобразование по своему действию подобно преобразованию Фурье, но строится на особой комплиментарности некоторой контрольной формы Ф(x) и ее омега-линзы Ω(x). В работах, посвященных свойствам композиции и теории обработки изображений (по понятной причине именно эта область активнее всего применяет композицию) автору не попадалось описаний подобного преобразования, так что может быть мы сделали новый акцент в этой довольно разработанной области.
Исследовав преобразование форм на упрощенном примере - на композиционном взаимодействии, в этом Прологе мы вернемся собственно к операции ♦. Как мы увидим, практически все сделанные нами наблюдения и выводы относительно композиционного взаимодействия оказываются верны и применительно к взаимодействию форм в мультипликативной композиции - она является важной частью операции ♦. Но прежде, чем мы разберемся в этом вопросе, обсудим еще пару любопытных свойств простого композиционного взаимодействия и омега-линз.
Голографические свойства омега-линз
Затейливый вид омега-линз, изображения которых выглядят как мелкая рябь на поверхности воды, наводит на ассоциацию с голографией. И это обоснованная ассоциация. По крайней мере, омега-линзы демонстрируют некоторые интересные свойства голограмм. Просвещенный читатель наверняка в общих чертах знаком с принципами голографии. Упрощенно, освещая некоторый объемный предмет когерентным светом (то есть, светом, в котором все волны согласованы по частоте и фазе) и направляя отраженные лучи на фотопластинку вместе с опорным когерентным излучением, мы можем запечатлеть смешанную волновую картину, которая именуется голограммой. Типичный вид голограммы действительно несколько напоминает вид омега-линзы:
Если мы вновь осветим голограмму когерентным светом, произойдет "обратное преобразование" - и перед нами возникнет объемное изображение исходного предмета. Интересная особенность голограмм заключается в том, что поврежденная голограмма способна также восстанавливать исходное изображение как и целая. Мы можем взять только небольшой кусочек голограммы - и она все равно воспроизведет изображение предмета, хотя чем меньше кусочек, тем менее четко.
Что будет, если мы также "повредим" омега-линзу, изъяв из нее кусок? Будет ли она по-прежнему способна фокусировать в точечный фокус свою контрольную форму? Проведем опыт: обнулим ровно половину омега-линзы - это равносильно тому, что мы отломили от нее половину. И вот что мы увидим:
Первое изображение - контрольная форма омега-линзы. Второе изображение - поврежденная омега-линза. Вся ее нижняя половина стерта. А последнее - изображение - результат фокусировки ею контрольной формы. Как видим, фокусирующие свойства омега-линзы не пропали и даже не сильно пострадали. Усложним дело: сотрем еще часть линзы, так что от нее останется только четвертая часть:
Линза по-прежнему фокусирует форму, хотя происходит усиление шумов: все также как с голограммами. Такое сходство свойств вряд ли может быть случайным. К тому же, и действие голограмм и действие омега-линз глубоким образом связано с преобразованиями Фурье. Любопытно только, что голография принципиально основана на волновых свойствах света, а омега-преобразования и омега-линзы не имеют отношения к волнам. Хотя, может быть, только с первого взгляда. Одним словом, связь между омега-линзами и голографией наверняка существует, но требует еще прояснения. Известно, например, что с помощью голографии можно добиться того же эффекта распознавания контрольных форм, который демонстрирует омега-линза.
Трансформирующие формы
Рассмотрим композиционное преобразование некоторой произвольной формы Ф1(x) в другую произвольную форму Ф2(x). Инструментом такого преобразования является некоторая трансформирующая форма G(x), так что выполняется уравнение:
Тогда, в соответствии с теоремой о композиции, выполняется:
Отсюда, Фурье-образ трансформирующей формы G(x):
Простой пример - "квадратура круга". Это прямое композиционное преобразование круга в квадрат:
Тут сверху слева - преобразуемая форма Ф1, круг. Сверху справа - трансформирующая форма G(x), а снизу - результат их композиционного взаимодействия, форма Ф2. Если не принимать во внимание артефакты по краям изображения, которые возникают из-за очень ограниченного размера преобразуемых изображений, мы действительно получили квадрат.
Подобно омега-линзам, трансформирующие формы G(x) настроены на "распознавание" форм определенного размера. Например, в данном случае изменяя размер исходного круга, мы получаем формы, не являющиеся простыми квадратами (тут слева - исходные формы, справа - результат их преобразования):
Таким образом, по крайней мере, численно, для любой исходной формы Ф1 и целевой формы Ф2 мы можем найти такую трансформирующую форму G(x), что композиция форм Ф1 и G(x) будет равна Ф2. Если целевая форма - это дельта-функция (точечная форма), то G(x) называется омега-линзой по форме Ф1.
Мультипликативная композиция и омега-линза
Возвращаемся к операции ♦. Припомним метод вычисления ее продукта. Первый шаг - вычисление супер-ко-формы:
Затем из супер-ко-формы мы получаем ко-форму Ф3(x), результат операции Ф1(x)Ф2(x):
Первая часть операции ♦ совпадает с уравнением мультипликативной композиции. Мультипликативная композиция тесно связана с простой, аддитивной: если результат обычной композиции можно понимать как уравнение распределения суммы двух случайных величин Ф1 и Ф2, то результат мультипликативной композиции может пониматься как уравнение распределения произведения двух случайных величин Ф1 и Ф2.
Поскольку логарифм произведения двух величин равен сумме их логарифмов, мы легко перейдем от уравнения простой композиции к уравнению мультипликативной просто заменив переменные - вот как это выглядит. Возьмем уравнение композиции функций G(x) и H(x):
Введем переменные y и Y, такие что ln(y) = x и ln(Y) = X. Тогда можно записать, переходя к переменной интегрирования y:
Переобозначив функции, получим уравнение мультипликативной композиции (для случайных величин Ф1 и Ф2, принимающих только положительные значения):
Если же величины Ф1 и Ф2 могут принимать значение от минус до плюс бесконечности, уравнение мультипликативной композиции выглядит чуть иначе:
Далее, важное место в нашем анализе композиционного взаимодействия занимало преобразование Фурье - с его помощью мы вычисляли омега-линзы. Существует мультипликативный аналог преобразования Фурье, так называемое преобразование Меллина - к нему можно перейти от уравнений преобразования Фурье простой заменой переменных, как это мы только что делали. Преобразование Меллина не так удобно для практической работы и числовых опытов, но даже занимаясь мультипликативной композицией мы можем продолжать пользоваться преобразованием Фурье, поскольку связь между двумя типами преобразований проста. Рассмотрим этот вопрос на примере.
Пусть у нас есть форма Ф(x), для которой мы хотим найти такую парную Ω(x), что выполняется уравнение:
(Для простоты положим, что формы Ф(x) и Ω(x) определены только для положительных x.) Во-первых, перейдем к другим функциям - таким, что выполняется:
Переходя к переменной интегрирования y = ln(x) и Y = ln(X), получим:
Справа мы имеем интегральное уравнение обычной композиции, для которой справедлива теорема о композиции/свертке. Из нее следует, что:
где префиксами "F" обозначены Фурье-образы соответствующих функций. С учетом того, что
и переходя к исходным функциям Ф(x) и Ω(x), получим уравнение, теоретически позволяющее по исходной форме Ф(x) вычислить Ω(x):
Оно мало отличается от уравнения, позволяющего вычислить омега-линзу Ω(x) для некоторой формы Ф(x) если взаимодействие обычное композиционное:
Разница только в логарифмическом преобразовании координат. Это дает нам основание считать такую форму Ω(x), что выполняется
мультипликативной омега-линзой по форме Ф(x). Заметим, что она фокусирует форму Ф(x) в точечную дельта-функцию, расположенную в координате x=1.
Как говорилось, с учетом логарифмического преобразования координат, свойства мультипликативной композиции - а значит, и свойства омега-линзы, и омега-преобразования - аналогичны свойствам обычной композиции. Однако, имеется одно существенное отличие, связанное с особенностью логарифмической системы координат. Его удобнее всего проиллюстрировать действием омега-линзы. Пусть у нас есть некоторая форма Ф(x) и соответствующая ей омега-линза Ω(x), тогда по определению выполняется:
Если мы сдвинем фокусируемую форму на некоторую величину s по оси координат, то омега-линза по-прежнему будет фокусировать ее в дельта-функцию, фокус лишь сдвинется по оси координат на ту же величину s:
То есть, фокусировка обычной аддитивной омега-линзы не нарушается при координатных сдвигах фокусируемой формы. Но иначе дело выглядит для мультипликативной омега-линзы: ее фокусировка не нарушается при изменениях масштаба фокусируемой формы. Действительно, если
то, изменив масштаб формы Ф(x), например, растянув ее s раз, получим:
То есть, мультипликативная омега-линза по-прежнему сфокусирует растянутую форму в дельта-функцию, хотя положение фокуса соответствующим образом изменится.
На комбинации свойств обычного преобразования Фурье, при котором абсолютное значение Фурье-образа формы не изменяется при ее координатном сдвиге, и преобразования Меллина, при котором Меллин-образ сохраняет инвариантность при изменениях масштаба преобразуемой формы, построен метод преобразования Фурье-Меллина. Он используется при создании методов распознавания форм вне зависимости от их координатного сдвига и масштаба. Дополнительно в методе обычно применяется переход к полярной системе координат, что позволяет распознавать и повернутые формы.
Подробное знакомство с этим методом пока выходит за рамки Прологов, следует только сказать, что сегодня в когнитивной науке для моделирования способностей людей и животных к распознаванию визуальных и аудиальных форм обычно применяется именно преобразование Фурье-Меллина.
Убедившись в том, что наш экскурс в теорию композиционных преобразований проливает свет и на свойства мультипликтивно-композиционных преобразований - а они, по видимому стоят за операцией ♦, сделаем небольшой шаг к началу - вернемся к вопросу о том, какой собственно смысл имеет порядок симметрии непрерывного распределения или формы. Так уж случается, что некоторые очень простые вещи иногда ускользают от внимательно ищущего взгляда, и обнаруживаются только позже, почти случайно.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER