КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 110. Омега-линзы
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 110. Омега-линзы
 
Роман Уфимцев
28 ноября 2013 года, Калининград
Вычисление омега-линз по (почти) произвольной форме
По данному нами определению, омега-линзой по контрольной форме Ф(x) называется такая форма Ω(x), что выполняется уравнение композиции
Уравнение композиции коммутативно: то есть, мы можем поменять местами Ф(x) и Ω(x). Это значит, что если Ω(x) - омега-линза по форме Ф(x), то Ф(x) - омега-линза по форме Ω(x). В математике считается, что не для всех функций Ф(x) существует парная Ω(x) так, чтобы выполнялось это уравнение, значит, не для всех форм существуют омега-линзы.
До сих пор мы нашли омега-линзу только для формы Ф(x), представляющей собой однородное распределение U(-1/2,1/2). Использованная нами в поиске логика позволяет найти омега-линзу для любого однородного распределения. Однако, эта логике не позволяет найти омега-линзы по другим формам. Так возникает задача поиска общего решения этого уравнения. Необходим метод, позволяющий для произвольной формы Ф(x) найти омега-линзу Ω(x), настроенную на эту форму.
Для решения этой задачи мы применим преобразования Фурье и теорему о свертке (композиции) двух функций.
Припомним сначала, что такое прямое и обратное преобразования Фурье. Пусть у нас есть некоторая функция или распределение Ф(x). Тогда мы можем перейти от Ф(x) к Фурье-образу этой функции, который обозначим как FФ(x):
Как мы говорили, Фурье-образ FФ(x) содержит полную информацию об исходной функции Ф(x). Принято говорить, что Фурье-образ представляет функцию в частотном пространстве, в то время как в своем исходном виде функция Ф(x) представлена в координатном пространстве. Обратное преобразование Фурье, которое технически почти не отличается от прямого, позволяет вернуться от Фурье-образа к исходной функции:
Нам пригодится сразу рассмотреть преобразование Фурье для дельта-функции δ(x):
Фурье-образ дельта-функции - постоянная величина.
Далее, воспользуемся теоремой о свертке (композиции). Пусть у нас есть некоторые функции G(x) и H(x), Фурье-образы которых FG(x) и FH(x). Тогда, если обозначить композицию функций G(x) и H(x) как G(x)H(x), выполняется уравнение:
Тут в левой части - Фурье-образ композиции функций G(x) и H(x). В нашем случае композиция равна дельта-функции: G(x)H(x)(x), а ее Фурье образ мы вычислили, так что можем, опираясь на теорему, записать:
Так мы приходим к уравнению, которое позволяет по заданной форме Ф(x) найти омега-линзу Ω(x) (поскольку мы знаем, как связаны функции и их Фурье-образы):
Или, записывая в раскрытом виде, получим окончательное уравнение омега-линзы по форме Ф(x):
Аналогично, с помощью теоремы о свертке, доказываются уравнения прямого и обратного омега-преобразования. Из уравнения прямого омега-преобразования получим:
Обратного:
Поскольку
уравнения прямого и обратного омега-преобразовния оказываются полностью согласованными друг с другом.
Испытаем новую формулу на тривиальном примере: найдем омега-линзу по форме, представляющей собой дельта-функцию, то есть, Ф(x)(x). Воспользовавшись аналогией с волшебным фонарем, ответ не трудно предугадать:
Чтобы свет от точечного источника сфокусировался в точку, его нужно пропустить через точечный же вырез. То есть, омега-линзой в данном случае также является дельта-функция, Ω(x) = δ(x). Особенность такой омега-линзы в том, что омега-образом любой формы является сама эта форма - на экране фонаря она выглядит повернутой на 180 градусов. Так действует камера-обскура:
А теперь найдем омега-линзу для дельта-функции формально. Если Ф(x)(x), то, как мы уже знаем,
Отсюда мы получим, что и
Значит, Ω(x) = δ(x). Подставив полученный результат в уравнение омега-преобразования, легко убедиться, что омега-образом любой формы G(x) является сама эта форма:
Омега-линза однородного распределения
Теперь займемся формально более сложным случаем, хотя мы заранее знаем ответ - найдем омега-линзу для однородного распределения. На этом случае мы увидим, что к сожалению, хотя мы и получили формальный способ вычисления омега-линзы для произвольной формы Ф(x), на практике воспользоваться им может быть не просто. Итак, пусть контрольная форма Ф(x) - однородное распределение U(-1,1). Фурье-образ этой функции:
Значит, Фурье-образ искомой омега-линзы определяется выражением:
Особенность Фурье-образа заключается в том, что в точках xπ, ±2π, ±3π... он устремляется к минус и плюс бесконечности:
Чтобы получить собственно уравнение омега-линзы нам достаточно произвести обратное Фурье-преобразование, то есть, вычислить интеграл:
Однако, этот интеграл сопротивляется любым попыткам его решения. Попросту, он не сходится ни для одного значения X. Значит ли это, что омега-линзы для однородного распределения не существует? Но ведь мы знаем, что это не так. Чтобы прояснить ситуацию, двинемся с другой стороны. Мы знаем, какой является омега-линза для однородного-распределения: мы ее определяли как бесконечную сумму омега-функций ω, для распределения U(-1,1) она выглядит так:
где
Теперь мы несколько переформулируем этот результат, чтобы приблизить его к традиционным математическим средствам. Омега-функция может быть выражена через производную дельта-функции:
Проведем преобразование Фурье этой заведомо известной нам омега-линзы, чтобы убедиться, что получающийся Фурье-образ FΩ(x) совпадает с тем, который предсказан формальным вычислением.
Не трудно вычислить Фурье-образ для любой конечной суммы омега-функций - то есть, для ограниченной по размеру омега-линзы:
Он выглядит довольно просто:
Сравним этот "практический" Фурье-образ с тем, который мы получили выше теоретически, примем сначала n=5, то есть взяв Фурье-образ очень неполной омега-линзы:
Тут черная кривая - теоретический Фурье-образ, которым должна обладать омега-линза в соответствии с нашей новой формулой, а красная кривая - Фурье-образ неполной омега-линзы, примерно такую мы использовали в наших опытах с изображениями. Как видим, красная кривая колеблется вокруг теоретической кривой. Теперь увеличим n в 10 раз:
Теперь мы видим особенность постепенного приближения Фурье-образа найденной нами омега-линзы к теоретической форме: при любом значении n, каким бы большим мы его не взяли, красная кривая только в среднем приближается к теоретической форме, претерпевая осцилляции, частота которых тем выше, чем больше n. В пределе, когда n устремляется к бесконечности, эти осцилляции имеют бесконечную частоту. Эти осцилляции будто являются простым утолщением кривой функции и за "истинное" значение функции в какой-либо точке следует брать среднее значение утолщенной кривой - тогда мы получим совпадение опытной омега-линзы и теоретической.
Таким образом, с некоторыми оговорками мы можем говорить, что бесконечная сумма
действительно является омега-линзой для однородного распределения. И значит, интеграл, который формально не сходится, на самом деле имеет конкретное решение:
С одной стороны, мы получили положительный результат: выведенная нами формула для вычисления омега-линзы по произвольной форме нашла свое подтверждение на единственном пока известном нам примере омега-линзы (не считая тривиальной линзы по дельта-функции). С другой стороны, мы не смогли с ее помощью прямо вычислить омега-линзу из-за несходимости интеграла обратного преобразования Фурье.
Тем не менее, теперь, имея в руках формальный способ вычисления омега-линз, мы не только можем, не взирая на проблемы со сходимостью интегралов, вычислять омега-линзы численно - а этим мы еще займемся - но и, анализируя приближенные решения, догадываться о истинном виде омега-линз. О том, как это происходит, мы поговорим на примере омега-линзы для так называемого вейвлета Хаара.
Омега-линза для вейвлета Хаара
Вейвлет Хаара - это функция, которая выглядит так:
(Строго говоря, вейвлет Хаара определяется чуть иначе, но для нас это не принципиально.) Ясно, что эта функция не является распределением, поскольку ее интеграл равен 0 - это квази-форма. Тем не менее, попробуем найти для нее омега-линзу.
Фурье-образ этой формы является чисто мнимым:
Отсюда Фурье-образ омега-линзы, также чисто мнимый:
Записывая выражение обратного преобразования Фурье, мы получаем:
Как и в ситуации с однородным распределением, этот интеграл не берется "в лоб". Ограничивая же пределы интегрирования, с помощью символьного процессора мы можем получить результат, хотя он оказывается довольно сложным набором специальных функций, к тому же результат является комплексным. Тут для нас не существенен его точный вид, а только качественное поведение. Возьмем, например, пределы интегрирования от -50 до 50, и построим график реальной части результата, то есть, график функции
Мы увидим любопытную картину, в которой видна некоторая система:
На диаграмме отчетливо проявляется набор всплесков, знакомых нам как омега-функции. При этом эти всплески не одинаковой амплитуды: чем дальше от точки x=0, тем выше амплитуда, причем рост прямо пропорциональный. Это нас приводит к гипотезе, что истинный вид омега-линзы можно изобразить так:
Или, записывая эту гипотезу формально:
Чтобы ее проверить, перейдем от Ω(x) к FΩ(x), взяв лишь конечную сумму омега-функций, то есть, сделаем преобразование Фурье следующей суммы:
Получим следующий результат:
Сравним его со значением, которое мы получали выше:
Они совпадут, если мы положим, что функции вида n*sin(n*x) или n*cos(n*x) при устремлении n к бесконечности устремляются к нулю. Формально это разумеется не так, однако, у такой условности есть интуитивное основание. Пусть у нас есть некоторая периодическая функция, в которой с ростом координаты период сокращается:
С формальной математической точки зрения эта функция будет продолжать колебаться при каких угодно больших значениях x. Однако при любых реальных наблюдениях за поведением этой функции рано или поздно наступит момент, когда мы больше не сможем различать колебания. При наблюдении физических систем это верхняя граница частот, которые доступны для наблюдения (например, когда растет частота звука, наступает момент, когда мы перестаем слышать звук - колебания становятся ультразвуковыми), а на нашей диаграмме - это точка, в которой колебания функции становятся неразличимыми и ее график сливается в однородную толстую полосу. В этот момент вместо колебаний мы увидим их отсутствие: выше доступной для наблюдений частоты мы зафиксируем среднее значение периодической функции, которое не колеблется - в данном случае среднее значение равно 0:
Таким образом, с устремлением n к бесконечности периоды функций вида n*sin(n*x) или n*cos(n*x) (а также просто sin(n*x) или cos(n*x)) стремятся к нулю, и рано или поздно достигают предела неразличимости. В этот момент значение этих функций видимо становится равным нулю. При любых практических применениях омега-линз, предельная частота, выше которой периодические функции следует приравнивать их среднему значению, определяется размером минимального дискретного координатного шага, которым мы пользуемся. Например, при преобразовании двухмерных изображений таким минимальным шагом является один пиксель - именно он задает предел различимости периодических колебаний в изображениях.
Мы уделили этому вопросу особое внимание, потому что он оказывается принципиально важным в следующем примере.
Омега-линза для распределения Лапласа
Найдем омега-линзу для распределения Лапласа (в качестве сходного примера мы могли бы взять более традиционное нормальное распределение, но в данном контексте это привело бы к более сложной математике):
Нет трудностей в том, чтобы дойти до предпоследнего шага в поиске соответствующей омега-линзы - используя стандартные процедуры, мы легко найдем ее Фурье-образ:
Однако, далее, как обычно, мы сталкиваемся с несходимостью интеграла обратного преобразования Фурье, поэтому мы прибегаем к уже знакомому трюку - интегрированию по конечным пределам от -a до a:
Качественно оценим вид омега-линзы, приняв λ=1 и а = 20:
В отличие от примеров, которые мы видели до сих пор, омега-линза для распределения Лапласа принципиально имеет периодическую составляющую, частота которой тем выше, чем больше пределы интегрирования мы берем при обратном преобразовании Фурье. На практике эта частота должна определяться предельной различимой частотой наблюдений.
Обратимся к численным экспериментам, чтобы убедиться в том, что омега-линза для распределения Лапласа обладает всеми свойствами омега-линз, которые мы обнаружили до сих пор - это интересно, поскольку распределение Лапласа существенно отличается от такой имеющей четкие границы формы как квадрат, с омега-линзой для которого мы экспериментировали.
Итак, прежде всего мы вычислили дискретную омега-линзу для распределения Лапласа, в которой высшая частота определяется дискретизацией оси координат:
А вот так выглядит само распределение Лапласа - форма, по которой вычислена омега-линза:
Прежде всего проверим, что омега-линза действует как надо и фокусирует распределение Лапласа в дельта-функцию. Вот что получается в результате композиции этого распределения и вычисленной омега-линзы:
Мы видим всплеск, похожий на дельта-функцию, хотя видны и некоторые артефакты, вторичные всплески. Это неизбежный результат дискретизации непрерывных функций и ограниченности пределов интегрирования при вычислении обратного преобразования Фурье: по существу, эти артефакты являются следствием того обстоятельства, что любая конечная сумма косинусов вида
Отличается от дельта-функции вторичными всплесками (пример при n=300):
На практике есть способ избавиться от них, о чем мы возможно поговорим позже. Пока же будем довольствоваться этим не-идеальным результатом.
Проверим теперь самое интересное свойство омега-линз - способность распознавать контрольную форму в сложной смеси. Мы смешали несколько контрольных распределений Лапласа, взяв их с разными амплитудами (в том числе и отрицательными) и расставив их в различных точках. Получилась сложная форма, в которой трудно различить слагаемые:
Однако омега-линза легко справляется с задачей распознавания и на результате мы видим дельта-функции, положения которых и амплитуды точно указывают на отдельные распределения Лапласа, из которых была сложена сумма:
Что будет, если мы растянем распределение Лапласа, например, увеличим параметр масштаба в 4 раза?
Как видим, омега-линза распознала и довольно сильно растянутую форму, хотя ровная подошва графика характерно исказилась, выдавая не полное соответствие формы контрольному распределению Лапласа. (На краях диаграммы видны сильные артефакты - на них не нужно обращать внимание, они являются результатом резкого обреза графика краями диаграммы - омега-линза реагирует и на эти обрезы.):
Попробуем "подсунуть" омега-линзе вместо распределения Лапласа как бы похожую форму - нормальное распределение:
Результат весьма примечателен: мы получили форму, похожую на исходное нормальное распределение. По сути, омега-линза "отказалась" фокусировать нормальное распределение, не распознав в нем ничего близко похожего на контрольное распределение Лапласа:
Наконец, посмотрим, как омега-линза отреагирует на прямоугольную форму с резкими границами:
Мы получили сумму двух омега-всплесков - такими всплесками линза реагирует на любые резкие границы:
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER