КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
 
Роман Уфимцев
23 декабря 2013 года, Калининград
В предыдущем Прологе мы внимательно пригляделись в принципу максимума энтропии - одной из основ модели мультипикативных коллизий, которая генерирует степенные распределения. Известно немало моделей, порождающих степенные распределения, однако модель мультипликативных коллизий интересна своей особой простотой. Напомню, что модель описывает множество объектов, характеризующихся некоторым параметром. Объекты вступают в случайные парные взаимодействия, мультипликативные коллизии, во время которых происходит обмен параметрами между объектами. При этом этот обмен происходит мультипликативно - то есть, если параметр одного объекта увеличился в k раз (на некоторое число процентов), параметр второго в столько же раз уменьшается (на столько же процентов). В этих условиях, в соответствии с принципом максимума энтропии, развивается степенное распределение объектов по параметрам, при этом показатель степени определяется средним геометрическим объектов по параметру.
Смысл принципа максимума энтропии, как мы увидели, описывает стремление систем к состояниям, обладающим наименьшей возможной закономерностью, наименее упорядоченным состояниям. Тут годится образ блинного теста, расплывающегося на сковороде: оно растекается по всей ее поверхности и останавливается только там, где встречает барьер в виде стенок сковороды. В результате круглая форма блина диктуется формой самой сковороды, но принять эту форму тесту помогает его стремление к беспредельному расползанию, к наименьшей упорядоченности. Так и распределение объектов множества по параметру "растекается" в наименее упорядоченное состояние, которое разрешено ограничениями системы. В этом смысле степенная форма распределения - это не результат действия принципа максимума энтропии. Он лишь помогает "растекаться тесту". Степенное распределение - это печать самой "сковороды", в роли которой выступает инвариантность геометрического среднего.
Инвариантность среднего геометрического в модели мультипликативных коллизий обеспечивается наипростейшим возможным механизмом - мультипликативностью обменов. Хотя мы кратко обрисовали своеобразие этого типа взаимодействий и отметили тот вызов, который они бросают нашему здравому смыслу, этого недостаточно чтобы вполне понять их смысл. Нам еще предстоит это сделать.
А начнем мы с того, что внимательнее исследуем модель мультипликативных коллизий, чтобы очертить пределы ее возможностей и выделить значимые с точки зрения получения степенных распределений факторы. Для этого мы познакомимся с некоторыми вариациями исходной модели.
Вариант 1: Фрактальные распределения
Положим, что в начальном состоянии все объекты модели имеют параметр 2. Затем начинаются случайные парные мультипликативные коллизии, во время которых объекты обмениваются множителями, причем множитель не случаен, а равен только двум. То есть, например, если до коллизии оба объекта имели параметр 2, то после один будет иметь параметр 4, а второй - минимальный 1. Каким окажется распределение объектов по параметру, когда она придет в стохастически стационарное состояние?
Мы знаем, что в соответствии с принципом максимальной энтропии должно получиться степенное распределение с показателем степени, который определяется средним геометрическим параметром объектов. Среднее геометрическое в данном случае равно 2. То есть, наивно-теоретически мы должны получить распределение
Однако, это не соответствует реальности. В этих условиях развивается распределение, которое только похоже на степенное. Посмотрим на дело с другой стороны: каждый из объектов в процессе эволюции модели набирает большее или меньшее количество множителей, равных двойке. И в каждой коллизии происходит аддитивный обмен этими множителями. Если принять в качестве параметра объекта количество двоек-множителей, которые набрал объект, то модель превращается в аддитивную: по время каждой коллизии один объект теряет в своем параметре 1, а второй приобретает 1. А изначально параметры всех объектов равны единице. Так мы приходим к модели аддитивных коллизий, и результат ее работы - геометрическое распределение объектов по параметру (геометрическое, а не экспоненциальное, поскольку распределение дискретное). Параметры распределения определяются средним арифметическим объектов по параметру, у нас это единица. Мы получаем уравнение геометрического распределения вероятности:
где x может принимать значения 0,1,2,3... Но тут x - это количество множителей-двоек, а значит, мы можем вернуться к исходному мультипликативному параметру y=2x, и его дискретному распределению, которое выглядит так:
где y может принимать значения 1,2,4,8...
Распределения такой формы характерны для элементов структуры математических фракталов. Например, посмотрим на ковер Серпинского:
Каково распределение дыр в ковре Серпинского по их площадям? Для наглядности рассмотрим не полный фрактал, а лишь развернутый до некоторого каскада N. Примем площадь дыр на этом каскаде равной единице. Элементарные вычисления приводят к следующему дискретному распределению:
где x может принимать значения 1,4,16,64...
Сходство этого распределения с тем, что мы получили выше для модели мультипликативных коллизий заключается в том, что оно дискретно, и определено для значений, являющихся степенями некоторого основания. Например, для ковра Серпинского, это основание 4 - возможные значения площадей дыр образуют ряд 1=40, 4=41, 16=42,.. Огибающая частот для этих значений имеет степенную форму. Но это не степенное распределение в общепринятом смысле слова. Его скорее следует именовать фрактальным распределением, поскольку оно типично для структуры идеальных математических фракталов.
Яркое отличие фрактального распределения от степенного - отношение между показателями степени огибающей в частотном представлении и ранговом. Мы знаем, что если степенное распределение в ранговом представлении соответствует степенной функции с показателем степени β, то в частотном представлении - степенной функции с показателем γ = 1 + 1/β. Например, если распределение отвечает закону Зипфа, β=1 и γ=2 (тут мы опускаем минусы перед показателями, хотя они, естественно, формально отрицательны). Но для фрактального распределения если показатель степени сглаживающей в ранговом представлении равен β, то в частотном γ = 1/β.
Показатель степени фрактального распределения - а будем для определенности говорить о показателе β - определяется структурными правилами строения фрактала. Эти правила могут быть описаны двумя коэффициентами. Коэффициент A определяет, насколько больше становится структурных элементов фрактала на каждом следующем каскаде. Для ковра Серпинского A=3. Коэффициент B определяет насколько меньше становятся элементы фрактала на каждом следующем каскаде по сравнению с предыдущим. Для ковра Серпинского B=4. Выполняется:
Теперь посмотрим, какое это имеет отношение к обсуждаемой версии модели мультипликативных коллизий. Немного ее обобщим. Пусть в процессе эволюции модели объекты по-прежнему могут обмениваться только одинаковыми множителями M. И пусть среднее геометрическое объектов в системе равно некоторой целочисленной степени от M: Mk. Выше мы исследовали частный случай M=2 и k=1, а теперь получим вид стационарного распределения в общем случае.
Используя ту же логику, что мы применили в частном случае, выведем общее уравнение распределения вероятностей:
где x может принимать значения M0, M1, M2, M3... Отсюда показатель степени огибающей при ранговом представлении:
При M=2 и k=1 - а этот частный случай мы рассмотрели выше - получаем распределение, которое в ранговом представлении "ступенчато приближается" к зипфовскому:
Эта версия модели мультипликативных коллизий порождает фрактальные распределения, и это дает основания считать, что она порождает фракталы, родственные идеальным математическим - хотя их трудно представить наглядно. Это фракталы, "спрятанные" в распределении параметров системы. Сопоставление выражений для β позволяет прояснить аналогию: коэффициент B, который во фрактальных структурах управляет изменением размера элементов при переходе с каскада на каскад, аналогичен множителю M, которым мультипликативно обмениваются объекты. А коэффициенту A, который во фракталах управляет "размножением" элементов, соответствует величина 1+1/k, где k - среднее количество множителей у объектов. Заметим, что в настоящих математических фракталах коэффициент A принимает целые значения 2,3,4... А величина 1+1/k является целой только при k=1.
Здесь можно увидеть один парадокс, демонстрирующий принципиальную разницу в вычислении энтропии для дискретных и непрерывных распределений.
Фрактальные распределения, которые развиваются в данной версии модели мультипликативных коллизий, также являются результатом действия принципа максимума энтропии, но при условии, что объекты могут обмениваться только одинаковыми множителями. Это условие - дополнительное требование к форме распределения и следовало бы предположить, что при прочих равных условиях оно понижает возможный максимум энтропии. Так ли это?
Пусть, например, среднее геометрическое объектов множества G=2. Тогда модель мультипликативных коллизий при отсутствии ограничений на передаваемые множители придет к непрерывному степенному распределению:
Его энтропия, в соответствии с применимой тут формулой дифференциальной энтропии, H ≈ 1,33. Исходя из принципа максимума энтропии, это максимально возможная энтропия для распределения с фиксированным средним геометрическим. Но посмотрим, что будет при выполнении требования по которому объекты могут обмениваться только множителями 2. Мы знаем, что разовьется фрактальное распределение, и его энтропия - если использовать пригодную тут формулу Шеннона - оказывается выше энтропии степенного:
Получается, что не степенное, а фрактальное распределение отвечает принципу максимума энтропии. Но почему в этом случае фрактальное распределение развивается только при обмене одинаковыми множителями, а не во всех случаях (хотя это было бы очень странно)? Почему степенное распределение имеет не большую, а наоборот меньшую энтропию, чем фрактальное?
Аналогично, если мы фиксируем среднее арифметическое распределения и при этом не накладываем ограничений на обмен слагаемыми, развивается экспоненциальное распределение, а если слагаемые могут быть только одинаковы - геометрическое. Зафиксируем, например, среднее арифметическое параметра объектов на единице M=1. Тогда в первом случае мы получим экспоненциальное распределение
Его энтропия H=1. Во втором случае мы получим геометрическое распределение
Его энтропия H ≈ 1,39, что вновь больше энтропии экспоненциального распределения.
Этот парадокс вызван тем, что вычисляя энтропию непрерывных и дискретных распределений, приходится использовать разные методы. Энтропию дискретного распределения вероятностей можно корректно вычислить, лишь применяя классическую формулу Шеннона:
Для вычисление энтропии непрерывного распределения плотности вероятности необходимо применять формулу дифференциальной энтропии:
Несмотря на родственность, два метода принципиально различаются и применимы в совершенно различных случаях. Пусть, например, случайная величина X может принимать только одно значение x=1. Это - дискретное распределение, для вычисления энтропии нужно использовать формулу Шеннона, и она окажется нулевой. Но попробуем воспользоваться формулой дифференциальной энтропии. Для этого представим распределение как непрерывное дельта-распределение
Его дифференциальная энтропия оказывается равна минус бесконечности. Геометрическое или фрактальное распределение можно представить как сумму дельта-функций, поэтому его дифференциальная энтропия также равна минус бесконечности. Таким образом, если сопоставлять дифференциальную энтропию двух распределений, то именно степенное при мультипликативных коллизиях и экспоненциальное при аддитивных являются распределениями максимальной энтропии.
Вариант 2: Обмен двумя множителями
Мы исследовали случай, когда объекты могут обмениваться только одинаковыми множителями, например, только множителями 2. Но что изменится, если мы разрешим объектам обмениваться двумя разными множителями, например, 2 и 3? Положим, что в начале все объекты имеют значение параметра 2*3=6, то есть, каждый содержит по одному множителю 2 и одному множителю 3. К какому стохастическому равновесию придет множество?
Это менее тривиальная задача, но некоторые простые соображения открывают путь к решению. Вообразим, что мы наблюдаем эволюцию системы, но на нас очки, не позволяющие различать множители "2" и "3". Тогда в изначальном состоянии мы видим, что объекты содержат по два каких-то множителя. Далее, мы наблюдаем как объекты случайно обмениваются ими. Когда система придет в стационарное состояние, мы увидим, что распределение объектов по количеству каких-то множителей является геометрическим:
где n - количество каких-то множителей у объекта, может принимать значения 0,1,2,3... Обозначим как x количество множителей-двоек, а y - количество множителей-троек, тогда n = x+y.
Следующий шаг - зная распределение объектов по количеству множителей-двоек и множителей-троек, найти собственно распределение объектов по мультипликативному параметру - обозначим его как t:
где x и y могут принимать значения 0,1,2,3... Будем двигаться по порядку. Пусть n=0. В этом случае x=y=0, и t=1. Используя уравнение геометрического распределения, получим, что вероятность того, что мультипликативный параметр будет равен 1: p(1) = 1/3.
Далее рассмотрим случай n=1. С вероятностью 2/9 объекты содержат один множитель, но мы не знаем, какой именно. Поскольку в системе одинаковое количество множителей-двоек и множителей-троек, резонно считать что равновероятно это либо множитель "2", либо "3". Отсюда мы получаем, что p(2) = 1/9 и p(3) = 1/9.
Следующий случай - n=2. Его вероятность 4/27. Тут имеется три возможности: 1) x=0, y=2; 2) x=1, y=1; 3) x=2, y=0. Им соответствуют значения мультипликативного параметра 9, 6 и 4 соответственно. Как же распределяется вероятность 4/27 между тремя этими возможностями?
Для ответа на этот вопрос следует воспользоваться биномиальным распределением:
Это уравнение позволяет вычислить вероятность k успехов в серии из n испытаний, если вероятность успеха p, а вероятность неудачи - q. При n=2 у нас имеется два множителя, которые подобны двум испытаниям. Пусть "успехом" является появление множителя "2". Вероятность успеха равна 1/2, также как и неудачи - ведь множители "2" и "3" встречаются в системе равновероятно. Используя биномальное уравнение, мы вычислим, например, вероятность того, что из двух множителей ни один не является двойкой равна:
В этом случае оба множителя являются тройками, значит, t=9 и вероятность этого исхода p(9) = (4/27)*(1/4) = 1/27. Также установим, что p(4) = 1/27 и p(6) = 2/27.
Подобным образом мы можем вычислить вероятности любых возможных значений мультипликативного параметра если он складывается из множителей "2" и "3". Диаграмма распределения вероятностей не выглядит гладкой и лишь примерно укладывается на степенную кривую:
(Красные точки - теоретические значения частот, черные - результаты числового опыта.) Тут мы не можем говорить о каком-то определенном показателе степени, хотя в ранговом представлении степенная природа распределения видна отчетливо:
Оценить показатль β этого распределения можно воспользовавшись результатом, который мы получили для случая одного "обменного" множителя:
где M - множитель, которым обмениваются объекты, а k - среднее количество множителей у объектов. В случае, если у нас имеется два разных множителя, M следует вычислять как их среднее геометрическое. Конкретно, в нашем случае это среднее геометрическое чисел 2 и 3, корень из 6. В среднем объекты имеют по два множителя (хоть и разных), значит k=2, в результате имеем:
что хорошо соответствует опытному результату.
Рассмотрим еще одну вариацию: пусть в исходном состоянии объекты имеют по 3 множителя "2" и по одному множителю "3" - то есть, в системе в три раза больше множителей "2", чем "3". В этом случае мы по-прежнему можем оценить β степенного рангового распределения, вычислив среднее геометрическое значение множителей:
и приняв k=4 - поскольку в среднем объекты имеют четыре множителя. Тогда получим
Сравнив это с результатами числового опыта, обнаружим хорошее согласие:
Вариант 3: Натуральный ряд и простые множители
Пусть объекты модели в исходном состоянии имеют не одинаковое значение мультипликативного параметра, а разное. Конкретно, пусть величина параметра совпадает с номером объекта. При этом разрешим обмен только множителями, которые являются простыми числами. Каким окажется распределение объектов по мультипликативному параметру, когда модель придет в стационарное состояние?
Не требует объяснений, почему мы увидим в конечном итоге степенное распределение. Но каким будет показатель степени β? Для ответа нам нужно 1) вычислить среднее геометрическое всех имеющихся в системе простых множителей M, и 2) найти среднее количество простых множителей на один объект системы k. Будем считать, что всего в системе имеется N объектов.
Количество простых множителей у числа n в теории чисел принято обозначать как Ω(n). Среднее количество простых множителей в ряду чисел от 2 до N равно
Это одно из следствий теоремы Эрдеша-Каца, описывающей статистику количества уникальных простых множителей у чисел. Однако, если мы знаем, что при больших N величина k достаточно велика - а об этом можно догадаться - нам вообще нет нужды знать k. Посмотрим на выражение для β:
Величина M вычисляется как среднее геометрическое всех множителей в системе. Очевидно, что если речь идет о натуральном ряде от 1 до N, то факториал числа N содержит все простые множители системы в форме их произведения. Но чтобы вычислить среднее геометрическое чисел надо возвести их произведение в степень 1/n, где n - их общее количество. Их общее количество равно среднему количеству k, умноженному на общее число объектов - это у нас N. Значит,
Теперь посмотрим на величину ln(1 + 1/k). Если k достаточно велико, действительно приближение ln(1 + 1/k) ≈ 1/k. Подставляя в выражение для β, получим:
Как видим, в выражение не входит величина k - значит, нам нет необходимости опираться на теорему Эрдеша-Каца. Далее воспользуемся приближением Стирлинга для факториала. При достаточно больших N приближенно оказывается
Проверим полученные результаты числовым опытом. Вот опытное ранговое распределение объектов по мультипликативному параметру при N=10000:
Вычисление β по приближенной формуле β≈ln(N)-1 дает значение ≈8,21, что довольно серьезно отличается от опытного значения β. Но более точное вычисление, в котором мы предварительно вычисляем k=ln(ln(N)), дает значение ≈9,95, что вполне удовлетворительно отвечает опыту.
(Погрешность упрощенного метода расчета β связана с использованием приближения ln(1 + 1/k) ≈ 1/k, которое хорошо выполняется только при больших k. Но k растет с ростом N очень медленно - как ln(ln(N)), так что лишь при очень больших N приближение становится достаточно адекватным. Для N=10000 величина ln(1 + 1/k) ≈ 0,372, а величина 1/k ≈ 0,45. Эта разница и дает погрешность приближенного метода.)
1
Да, интересный момент...
"Один парадокс привлек внимание автора и пока ему нет достаточно убедительного объяснения."
Не имеет ли этот результат касательства к тому, о чем мы говорили ранее, образование страт, уровней, кланов и т.д.?
druggist (24.12.2013 10:10)
2
Да, что-то такое приходит в голову
Интересная конечно идея, "революционная" :) Может быть, что-то такое и есть, но это, понятно, не воспроизводится численным моделированием. Вот если бы такая стратификация воспроизводилась - это было бы открытие.
Есть другая идея, которую я проверю - о том, что может быть к максимуму стремится не энтропия распределения, а несколько другая величина. На эту мысль наводит тот факт, что выражение энтропии для непрерывных распределений (дифференциальная энтропия) не корректно с точки зрения размерности. В него входит ln(Ф(x)), но Ф(x) имеет размерность 1/x, а в логарифм могут входить только безразмерные величины.
Роман Уфимцев (24.12.2013 10:23)
3
но Ф(x) имеет размерность 1/x, а в логарифм могут входить только безразмерные величины.
Если это непрерывное распределение, то Ф(x) должно иметь смысл "дифференциальной вероятности",или плотности вероятности т.е., вероятности величине попасть в элемент dx и размерность ее должна быть dx/x, т.е., это безразмерная величина по определению
druggist (24.12.2013 22:46)
4
да, что-то я зарапортовался:), да конечно, плотность это dP/dx и по определению имеет размерность 1/x
druggist (24.12.2013 22:53)
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER