КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
 
Роман Уфимцев
26 декабря 2013 года, Калининград
Мы продолжаем исследовать различные варианты модели мультипликативных коллизий, стремясь к полному пониманию факторов, влияющих на развитие степенных законов. Напомню, что суть этой модели проста: у нас имеется ряд объектов, изначально обладающих параметром t. Затем объекты вступают случайно в парные взаимодействия, во время которых происходит мультипликативный обмен параметрами. То есть, относительное увеличение параметра одного объекта равно относительному уменьшению другого (например, если в результате взаимодействия один объект увеличил свой параметр на 10%, на столько же процентов другой уменьшил свой параметр). Обычно такая система постепенно приходит в стохастически стационарное состояние, в котором распределение объектов по параметру t оказывается степенным. Мы стремимся выяснить необходимые условия для этого, а также влияние этих условий на показатель степени результирующего распределения.
В предыдущем Прологе мы рассмотрели несколько вариантов этой модели, в которых параметры объектов являются целочисленными, и обмен между объектами происходит только целочисленными множителями. В этом Прологе мы обратимся к еще одному, более общему варианту, когда и параметры объектов и обменные множители могут не быть целочисленными. Кроме того, мы исследуем влияние ограничений на взаимодействия объектов и сделаем важный вывод о размерности мультипликативного параметра.
Вариант 4: От одного разрешенного множителя к каким угодно
Пусть в исходном состоянии все объекты обладают параметром 2. Обмен же может происходить множителями, равными корню из 2. К какому распределению придет система? Попробуем воспользоваться формулой, позволяющей вычислить β результирующего степенного рангового распределения при целочисленных параметрах и множителях обмена:
Тут k - количество множителей обмена, в среднем содержащихся в каждом объекте системы. Ясно, что поскольку множитель обмена равен корню из двух, каждый объект содержит в себе два таких множителя, то есть, k=2. М равен среднему геометрическому множителей обмена во всей системе. Поскольку у нас множитель обмена один, M равно корню из двух. Значит, теоретически мы должны получить
Результаты опыта хорошо согласуются с теоретическим значением:
Это не удивительно, поскольку данная формула для вычисления β вполне годится и для этого случая - для ее вывода в действительности не важно, являются ли параметры объектов и обменные множители целочисленными или нет. Главное условие - чтобы значения параметров объектов являлись произведением того или иного количества множителей обмена. У нас это условие соблюдается.
Обобщим полученный результат. Пусть по прежнему, в исходном состоянии параметры всех объектов равны 2, но обмен происходит множителями вида 21/w, где w - некоторое целое положительное число. В этом случае каждый объект в среднем содержит в себе w множителей, значит k=w. Ясно также, что M = 21/w, так что мы получаем
При больших значениях w, то есть, когда обменные множители близки к единице, действительно приближение:
Вообще, ясно, что если исходный параметров объектов равен M, то при больших w мы будем получать β = ln(M). В таком виде выражение для β полностью совпадает с результатом, полученным нами для случайных обменных множителей, когда они могут быть почти любыми, условно без ограничений. В этом случае показатель β = ln(G), где G - среднее геометрическое значение параметра объектов. Рассматривая модель, в котрой изначально все объекты имеют значение параметра M, среднее геометрическое значение параметра объектов также равно M, так что G=M. Это прокладывает мост от случая, в котором обменные множители строго одинаковы, к случаю, в котором они случайны - хотя пока этот мост надежен, только если обменные множители близки к единице.
Но проверим уравнение
числовыми опытами. Мы увидим хорошее совпадение с опытными результатами:
Тут черная кривая - теоретическая зависимость β(w), красный пунктир - предел ln(2), к которому при больших w стремится значение β, а точки обозначают усредненные результаты числовых опытов.
Модифицируем модель: пусть теперь разрешены два обменных множителя: 21/1=2 и 21/10≈1,07, при этом в 90% случаев обмен происходит первым множителем, и лишь в 10% - вторым. Какое распределение будет развиваться в этих условиях, если изначально все объекты имеют параметр 2? Посмотрим на результаты опыта. Это вид рангового распределения после 1200 коллизий (система из 500 объектов):
Мы видим ступенчатое распределение, форма которого определяется обменом множителями 2. Поскольку именно ими в 90% случаев происходит обмен, система быстро приходит к ступенчато-степенной форме. Однако, если бы обмен происходил только множителями 2, степенная сглаживающая соответствовала бы β=1. У нас же иногда происходит и обмен множителями 21/10. Это приводит к "плавлению" ступенек и к понижению β.
Но что происходит при дальнейшей эволюции системы? Вот картина после 9300 коллизий:
Ступени продолжают "плавиться", показатель β - снижаться. С течением времени эффект обменов меньшим множителем 21/10 накапливается, сглаживая быстро появившийся результат обмена множителями 2. Происходит постепенный переход от фрактального распределения к степенному. Наконец, после 88 тыс. коллизий система почти приходит к стационарному распределению, в котором ступеньки полностью сглажены:
В этом состоянии эффект действия множителей 2 (ступеньки) вообще не виден. Ясно, что такое же распределение мы бы получили и при обмене только множителями 21/10 - хотя для приходя в стационарное состояние потребовалось бы больше времени. Значит, для оценки β следует использовать формулу
приняв w=10. Получим β≈0,73, что хорошо соответствует опытному результату.
Аналогично, если бы мы, например, разрешили обмен множителями 21/1, 21/2, 21/3, 21/4, 21/5, показатель β стационарного распределения определялся бы меньшим из множителей, а именно, 21/5. Иными словами, на форму результирующего степенного распределения главным образом влияет множитель, наиболее близкий к единице. И если мы позволяем множителям быть как угодно близкими к единице - например, выбирая множитель случайно из диапазона {1,2}, показатель β определяется только средним геометрическим объектов по параметру, то есть, β = ln(G).
Еще один любопытный момент, на который стоит обратить внимание. Пусть в исходном состоянии объекты имеют параметр 2, а обмен разрешен множителями 21/2 и 31/2. Каким будет показатель β результирующего распределения?
Мы знаем, что β определяется наименьшим множителем - у нас это 21/2. Исходно объекты содержат по два таких множителя, то есть w=2, отсюда β≈0,85. Однако, это не верный вывод. В действительности, при достаточно долгой эволюции, показатель β стремится к значению, которое подразумевает обмен множителями как угодно близкими к единице, то есть, β = ln(2)≈0,69.
Не трудно догадаться, в чем тут дело. Представим себе, что объект A сначала передал объекту B множитель 21/2≈1,414, а потом, во время второй коллизии, принял от объекта B множитель 31/2≈1,732. Результат выглядит так, будто во время единственной коллизии объект A принял от объекта B множитель (3/2)1/2≈1,225. То есть, фактически в системе появляется еще один разрешенный множитель, который ближе к единице, чем два исходных - хотя для его передачи нужна не одна коллизия, а две.
Подобным образом мы можем получить "виртуальные множители", как угодно близкие к единице. Например, если объект A передал объекту B три множителя 21/2, а принял назад два множителя 31/2, образуется "виртуальный множитель" (9/8)1/2≈1,06. (Разумеется, вовсе не обязательно, чтобы "партнером" объекта А в обмене этими множителями выступал один определенный объект В. В действительности, "партнеры" могут быть все разные - важен только общий баланс принятых и отданных множителей.)
Однако, можно заметить: чем ближе к единице мы хотим получить "виртуальный множитель", тем больше коллизий его образует. Это приводит к тому, что система постепенно снижает показатель β - по мере того, как начинают себя проявлять все более близкие к единице виртуальные множители. В пределе, при достаточно длинной эволюции, показатель β приходит к теоретическому пределу, значению ln(G). Вот как это выглядит в опыте: этот результат получен после 3000 коллизий:
А этот - после 500 тысяч:
Как видим, долгая эволюция привела показатель β близко к теоретическому предельному значению ln(2)≈0,69.
Итак, кроме среднего геометрического объектов по мультипликативному параметру, на показатель степени результирующего распределения влияет наиболее близкий к единице разрешенный множитель, которым могут обмениваться объекты. Если он как угодно близок к единице, развивается классическое степенное распределение с показателем степени (в ранговом представлении) β=ln(G), где G - среднее геометрическое объектов по параметру. Если минимальный разрешенный множитель отличается от единицы, развивается фрактальное распределение, для которого показатель β зависит от G и от величины минимального множителя, и имеет значение несколько больше, чем ln(G).
Сеть взаимодействий и ее структура
До сих пор мы полагали равновероятность коллизий между любой парой объектов множества. Если изобразить объекты множества как узлы графа, а возможность коллизии между парой объектов - как связь между узлами, мы получим полностью насыщенный граф - структуру, в которой между всеми узлами имеются прямые связи:
Но что, если объекты множества ограничены в своих взаимодействиях? Пусть, например, коллизии могут происходить не между всеми объектами, а только между некоторыми парами:
Выясняется, что результат мало зависит от степени насыщенности сети и ее конфигурации. Например, опыты показывают, что если даже каждый объект в среднем связан всего лишь с 3% остальных (это примерный уровень насыщенности, при котором начинают возникать вообще не присоединенные к сети узлы), мультипликативные коллизии по прежнему приводят к развитию степенного распределения. Например, при G=e:
Тот же результат мы увидим, если возьмем не случайную структуру узлов, а, например, кольцевую:
Результат (также G=e):
Мы даже можем взять сеть, разбитую на несколько независимых сегментов:
если сегменты не слишком маленькие, даже в этом случае получим степенной результат.
Таким образом, результаты действия механизма мультипликативных коллизий мало зависят от структуры их сети и степени насыщенности этой сети.
Безразмерность мультипликативного параметра
Теперь, выяснив результаты работы модели мультипликативных коллизий в различных условиях, обсудим несколько другую и весьма важную тему.
Как мы говорили, при аддитивных взаимодействиях "сколько в одном месте прибывает, столько в другом убывает". Иначе говоря, суммарное количество субстанции, которой обмениваются объекты при взаимодействии, остается неизменным - действует "закон сохранения". Говоря о физических системах, такой субстанцией может быть масса, энергия, импульс, заряд, и т.д. Вероятно, наиболее фундаментальным законом сохранения в этом ряду следует считать "закон сохранения пространства", имеющий очевидный смысл: если общий объем системы остается неизменным, то абсолютное увеличение объема одной из частей необходимо приводит к такому же абсолютному уменьшению объема другой. Говоря иначе, пространство, как и многие другие важные физические величины, образуют аддитивный континуум. Превалирование аддитивных взаимодействий в физической реальности, а также житейская привычность этих взаимодействий ("У Коли было три яблока, один он отдал Маше, сколько осталось яблок у Коли?") создает иллюзию, что это единственно возможный тип обменов, который может происходить между объектами в природе.
Но это, по видимому, не так. И если мультипликативные обмены реально существуют в феноменологическом мире, а не являются только абстрактной выдумкой - а, глядя на распространенность степенных и фрактальных распределений, почему-то возникает такое подозрение - мы можем сказать нечто содержательное о той субстанции, которой обмениваются объекты во время мультипликативных взаимодействий. Речь идет о ее размерности.
Хотя уравнения математики и уравнения естественных наук (например, физики) выглядят с первого взгляда похоже, между ними есть принципиальная разница. Проиллюстрируем это простейшим уравнением:
Если это уравнение - математическое, абсолютно во всех случаях мы также можем записать другое уравнение:
Но пусть первое уравнение является естественным или физическим. Тогда в общем случае u и t - уже не просто числа, а естественные или физические величины. Естественная величина отличается от простого числа тем, что она имеет ту или иную размерность. Например, если u - это скорость, то она имеет размерность м./сек., и если t - время, то размерность этой величины - сек.. Обычно это не принято, но в физическом уравнении рядом с каждым числом можно дописывать его размерность в качестве множителя:
Но если числа u и t - это естественные величины с указанными размерностями, уравнение их суммы не имеет никакого смысла:
поскольку суммировать (или вычитать) можно лишь величины, имеющие одинаковую размерность. Перемножать же можно величины, имеющие и разную и одинаковую размерность.
Далее, в естественные уравнения могут входить и величины, имеющие размерность арифметической единицы - чистые количества. Такие величины именуются безразмерными. Большая свобода в математических уравнениях по сравнению с естественными связана с тем, что математика обращается только с безразмерными числами: любые два числа в математике можно и перемножить и суммировать. Только для безразмерных величин определены многие математические функции - например, экспонента или логарифм. Если в естественном уравнении мы видим одну из этих функций, то необходимо, чтобы аргумент этой функции был безразмерен - в ином случае оно не имеет смысла. Например, рассмотрим уравнение распределения плотности вероятности времени жизни радиоактивных частиц:
Величина t - это время и она имеет размерность сек. Поскольку аргументом экспоненты может быть только безразмерная величина, в уравнении просто необходим параметр λ, который также должен иметь размерность времени. Тогда частное t/λ становится безразмерной величиной, которую можно использовать в качестве аргумента экспоненты. Величина λ имеет ясный физический смысл - это среднее время жизни частицы, и она естественно имеет размерность времени. Рассмотрим еще множитель 1/λ. Поскольку сама экспонента безразмерна, плотность вероятности Ф имеет размерность множителя 1/λ, то есть, 1/сек..
Вообще, анализ размерностей - интересный эвристический инструмент, позволяющий не только отсекать невозможные уравнения, но и в некоторых случаях получать естественные уравнения буквально "на кончике пера", ориентируясь только на необходимые размерности естественных величин и на общие соображения. Так что размерность естественных величин - с одной стороны, серьезное "обременение" для естественных уравнений по сравнению с математическими, но с другой - в руках мастера становится мощным инструментом мышления. Может быть, чуть позже мы покажем пример (конечно, без претензий на мастерство.)
При мультипликативных взаимодействиях объекты обмениваются множителями. И есть только одно разумное предположение о том, какую размерность они имеют - множители безразмерны. Во всяком случае, они должны быть такими в рамках модели мультипликативных коллизий. В ином случае мультипликативные параметры разных объектов могли бы иметь различную размерность и их нельзя было бы сопоставлять в одном распределении. Из этого также следует, что и сам мультипликативный параметр, которым обмениваются объекты, также безразмерен.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER