КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Темы:
Роман Уфимцев
17 ноября 2011 года, Калининград
Масштабно-инвариантная сеть (ещё её называют моделью Барабаси-Альберта) – очень популярная модель в Complexity Science, а также в новой модной дисциплине, анализе социальных сетей. Настолько популярная, что, вероятно, в общих чертах читатель уже знаком с нею. Но мы исследуем эту модель специальным образом – мы обратим особое внимание на степенные распределения, которые можно получить с её помощью. Это позволит нам понять, годится ли модель масштабно-инвариантной сети для объяснения закона Зипфа в распределениях городов по населению.
Масштабно-инвариантная сеть - это растущая структура, состоящая из особым образом связывающихся узлов-элементов. Её построение начинается с единственного одинокого узла. Затем на каждом шаге эволюции в структуру добавляется по одному новому элементу, который связывается с одним из уже имеющихся в сети элементов. Так сеть постоянно увеличивается, растёт.
Ключевая особенность масштабно-инвариантной сети заключается в особом алгоритме соединения узлов. Новый узел тем вероятнее присоединится к какому-то старому узлу, чем больше других узлов к нему уже присоединилось. Пусть, например, у нас имеется сеть, в которой уже три узла:
Вероятность присоединения нового узла к одному из них определяется пропорцией 1/4:1/2:1/4, потому что соответствующие узлы обладают связями в пропорции 1:2:1. В данном случае с вероятностью 1/2 новый узел присоединится ко второму узлу - и это наиболее вероятное развитие событий. Вообще, узел тем быстрее накапливает новые связи, чем их у него больше, потому что вероятнее, что новые узлы будут присоединяться именно к нему. То есть, "богатые" узлы становятся ещё "богаче". Напротив, "бедные" узлы склонны так и оставаться "бедными". (Этот алгоритм часто называют правилом "богатый становится богаче".)
В результате развивается сеть характерного вида, которую и называют масштабно-инвариантной:
(Следует заметить, что это живописное изображение масштабно-инвариантной сети условно, потому что на самом деле у узлов модели нет какого-то пространственного местоположения, оно для узлов не задано. Мы бы могли изобразить сеть каким угодно запутанным образом.)
Очевидная особенность этой структуры - имеется очень много узлов, у которых мало связей, и очень мало узлов у которых много связей. Конкретно, ранговое распределение узлов по количеству связей для достаточно большой сети обычно имеет ясный степенной характер с приблизительным β ≈ 0,5-0,6:
Важно, что это степенное распределение возникает уже на ранних стадиях эволюции модели (когда узлов еще не больше 100) и сохраняется почти неизменным на всём обозримом с помощью обычного компьютера горизонте времени.
Теоретическое значение β, которое можно получить довольно нетривиальными расчётами (мы будем подробное заниматься этим вопросом позже) равно 0,5. Такой показатель должна иметь очень большая, стремящаяся к бесконечному размеру масштабно-инвариантная сеть.
Несколько слов о том, почему получающуюся структуру именуют масштабно-инвариантной сетью. Как мы говорили, степенные распределения характерны для параметров, не имеющих характерного масштаба, то есть, для масштабно-инвариантных. В данном случае таким параметром является количество связей у узлов. Степенное распределение их количества означает, что у этого параметра нет какого-то "правильного" или характерного значения, так что он является масштабно-инвариантным.
Итак, как мы видим, модель масштабно-инвариантной сети очень проста и элегантна, и это делает её безусловно привлекательной в качестве объяснения происхождения многих натуральных степенных распределений. В частности, как правило, с её помощью объясняют степенное распределение популярности веб-сайтов, степенную статистику загрузки интернет-узлов и т.д. Далее, правило "богатый становится богаче" естественно наводит на мысль объяснять с её помощью степенное распределение богатства среди представителей социума (то самое распределение Парето) – это вполне созвучно расхожей максиме "деньги притягивают деньги". Наконец, эта модель кажется привлекательной возможностью объяснить происхождение закона Зипфа в распределениях населения по городам.
Действительно, представим, что каждый узел представляет собой конкретное географическое место, а связи между ними - это люди. Тогда появление нового узла можно сопоставить с ситуацией рождения нового человека в определенной географической точке, а связь, которую новый узел протянет к одному из уже имеющихся узлов - это отражение выбора места обитания, который в конечном итоге совершит этот человек. Правило "богатый становится богаче" в данном случае отражает предпочтение людей выбирать для жизни те места, где уже обитает много людей, потому что в этом случае открываются максимальные возможности для реализации своих способностей, обогащения и т.д.
Модель масштабно-инвариантной сети приводит к степенному распределению узлов по количеству связей, и это, вроде бы, выглядит как простое и красивое объяснение степенного распределения городов по числу обитателей.
Однако, β≈0,5-0,6 - это не закон Зипфа. Закон Зипфа требует, чтобы β равнялась 1 или около того. Более того, из всех рассмотренных нами примеров реальных ранговых распределений городов по населению только Великобритания с β=0,7 хоть как-то близка к масштабно-инвариантной сети.
С первого взгляда, эта проблема кажется сущим пустяком. Кажется, стоит немного "подкрутить" модель и она начнет выдавать β=1. Убедимся, что это не так.
"Подкручиваем" масштабно-инвариантную сеть
Попытка 1
Показатель β=0,6 говорит о том, что распределение узлов по числу связей не такое "острое", каким должно быть для выполнения закона Зипфа. Это значит, что "богатые" узлы должны быть ещё богаче, а "бедные" - ещё беднее. Из этого соображения возникает первая идея - изменить правило расчета вероятности таким образом, чтобы богатый узел присоединял себе новые ещё с большей вероятностью, чем обычно. В обычной модели масштабно-инвариантной сети, вероятность присоединения прямо пропорциональна числу узлов. А если попробовать сделать вероятность пропорциональной квадрату числа узлов? Например, для рассмотренной выше ситуации с тремя узлами вероятности должны распределяться в пропорции не 1:2:1, а 1²:2²:1², то есть, 1:4:1. Позволит ли этот трюк получить β больше 0,6? Проверяем, и вот что получается:
Обратим внимание, что распределение у нас построено как обычно, в двойных логарифмических координатах. Ясно, что мы тут вообще не получили степенного распределения. Модель сломалась.
Быть может, вероятность присоединения нового узла должна быть пропорциональна не квадрату числа уже имеющихся связей, а какой-то степени в промежутке между 1 и 2? Возьмем, например, степень 1,2:
Мы видим, как распределение начинает терять линейность, а значит, перестает выполняться степенной закон. Таким образом, "подкручивая" закон вероятности, мы только портим картину. Распределение остается степенным лишь если действует простое правило: вероятность стать для узла богаче прямо и просто пропорциональна уже имеющемуся у него богатству. Это правило нам трогать нельзя – видимо, оно имеет принципиальное значение. Но что ещё тогда можно "подкрутить"?
Попытка 2
А что, если присоединять каждый новый узел не одной, а несколькими, например, тремя связями с другими уже имеющимися узлами? Пробуем и глядим на распределение:
Увы, от этого β не увеличилось, а наоборот, уменьшилась до 0,56. Ещё больше увеличивая "цепкость" новых узлов, мы ещё больше снижаем β, например, при 15 соединениях у новых узлов, β приближается к 0,51. Отсюда "счастливая" мысль: чтобы наоборот, увеличить β, следует двигаться в обратную сторону - уменьшать число связей, которыми новые узлы цепляются к сети. Но этого мы сделать не можем: в исходном варианте у нас у новых узлов и так всего по одной связи. Уменьшать некуда, тупик.
Попытка 3
Предпримем последнюю попытку: попробуем получить закон Зипфа, разрешив уже сформировавшейся масштабно-инвариантной сети перестраиваться. Для этого сформируем сеть, а затем начнем пересоединять узлы по тому же правилу "богатый становится богаче". Можно предположить, что система постепенно придёт в состояние динамического равновесия - может быть, в этом состоянии мы получим β=1?
Итак, сначала мы построили обычную масштабно-инвариантную сеть из 500 узлов. Ранговое распределение для неё выглядит нормально с β около 0,6:
А теперь подвергнем эту сеть процессу перестройки - при этом достаточно длительному, чтобы заметить, что происходит с распределением. И вот что мы получаем:
Увы, распределение перестало быть степенным, а скорее приближается к логарифмической форме (отмечена красной линией). Таким образом, перестройка связей нам тоже ничего не дала. Более того, хотя мы по-прежнему используем правило "богатый становится богаче", распределение узлов по количеству связей перестает быть степенным. И тут неудача.
Разумеется, мы перепробовали не все возможности модифицировать исходную модель, а лишь самые простые. Но этого достаточно, чтобы понять - получить закон Зипфа в каким-то образом "подкрученной" модели масштабно-инвариантной сети далеко не так просто, а может быть, (как считаем мы) и вовсе невозможно. Она является отличной моделью получения степенных распределений с β=0,6 и меньше, но когда речь о законе Зипфа, она оказывается бессильной.
И теперь самое время вспомнить закон Зипфа в распределении населения по городам. Как мы говорили, единственной "зацепкой" для исследователей тут является модель масштабно-инвариантной сети. Жаль, что нам приходится развеять надежды: модель масштабно-инвариантной сети не в силах объяснить закон Зипфа, а значит, не годится для объяснения многочисленных соответствующих ему натуральных распределений.
И всё же, Барабаси и Альберт придумали прекрасную модель. Обладающую тем же особым "волшебством", что и модель Бака-Снеппена. Источник этого волшебства - правило "богатый становится богаче", которое, как мы позже увидим, является ключом к загадке закона Зипфа.
1
спасибо)
продолжаю читать...
Юрий (17.11.2011 10:24)
2
Я рад :)
Надеюсь, чтение легкое и полезное.
Роман Уфимцев (17.11.2011 21:22)
3
intersno
4itayu i pitayus ponimat, interesno
Max (12.11.2012 13:09)
4
riswact
Гештальт улавливаю ) Инсайт - "ах" мой частый гость, а вот до "ага" ещё очень далеко(
Дискретное понимание хромает, причина - бреши в образовании в том числе, как выясняется и школьный курс(
Собираю камни дальше. Спасибо.
Riswact riswact@mail.ru (11.08.2013 19:34)
5
Прекрасно
Прекрасно уметь приходить от непрерывного к дискретному и обратно. Так мышление становится птицей, парящей на двух широких крылах.
Желаю вам успеха в сборе камней :)
Роман Уфимцев (12.08.2013 9:44)
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER