КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Темы:
Роман Уфимцев
17 ноября 2011 года, Калининград
Вдохновляемые поисками объяснения закона Зипфа в ранговых распределениях городов по населению, мы уже провели ревизию модели масштабно-инвариантной сети, которую часто выдвигают на роль такого объяснения. И признали его далеко не идеальной в этом качестве. Масштабно-инвариантные сети, действительно, генерируют степенные распределения, но они не позволяют получить закон Зипфа, для которого β=1.
Мы должны поискать другое объяснение. И разумно обратиться к фракталам, которые для нас были исходным примером структур, для которых степенные распределения - естественная, аутентичная черта. Разные фракталы порождают степенные распределения с разными β. Должно быть, мы найдём среди них такие, которые порадуют нас законом Зипфа.
Треугольный ковёр Серпинского
Мы уже знакомы с этим фракталом и выяснили, что частотное распределение площадей дыр в ковре Серпинского соответствует степенной функции с показателем K(freq)=-ln(3)/ln(4).
Однако, для нас каноническим типом распределений является не частотное, а ранговое, поэтому давайте выведем уравнение рангового распределения площадей дыр ковра Серпинского и выясним β.
Прошлый раз мы установили, что если считать размер центральной большой дыры равным 1, в зависимости от номера фрактального каскада n,
Запишем соответствующие приближенные данные по 5 первым каскадам фрактала в таблицу:
Мы видим, что самой большой является дыра площадью 1 и, соответственно, в ранговом распределении она будет иметь ранг 1. Далее, у нас есть 3 дыры с площадью 0,25. Они получат ранги 2, 3 и 4. Двигаясь так дальше, мы получим следующий вид рангового распределения:
Построим его в двойных логарифмических координатах:
Мы видим, что и ранговое распределение соответствует степенному закону с примерным показателем β=1,263. Не закон Зипфа, но для начала уже неплохо.
Заметим, что распределение выглядит ступенчато и ступеньки имеют в логарифмических координатах одинаковый размер - это характерно для идеальных математических фракталов, в которых полностью отсутствует фактор случайности.
Выведем β аналитически. Какому степенному уравнению соответствует красная линия? Заметим, что она проходит через середины ступенек. Легко увидеть, что середина второй ступеньки имеет координаты x=3, y=1/4, середина третьей ступеньки x=9, y=1/16, четвёртой ступеньки x=27, y=1/64 и т.д. Получается, что вообще, для каскада с номером n координаты середины соответствующей ступеньки равны:
Отсюда мы установим, что уравнение красной линии:
То есть, в данном случае β = ln(4)/ln(3), что равно около 1,2619. Хотя наша грубая оценка 1,263 неплохо согласуется с точным значением, всё же, имея дело с простыми математическими фракталами, правильнее опираться на аналитический вывод β - так мы и будем делать дальше.
Квадратный ковёр Серпинского
Попробуем модификацию этого фрактала, квадратный ковёр Серпинского:
Если площадь центральной дыры принять равной 1, то второй каскад фрактала содержит 8 дыр площадью 1/9, третий каскад - 64 дыры площадью 1/81 и т.д. Отсюда на n-ном каскаде мы имеем:
Из этого нам требуется получить уравнение степенного рангового распределения. Для этого возьмём точку рангового распределения H(rank), соответствующую последней дыре какого-то каскада m. Она находится на каскаде m, а значит, имеет размер
Её ранг в распределении является суммой количества дыр на всех каскадах, начиная с первого и кончая каскадом m, то есть, равен сумме:
Ряды вида 1, 2, 4, 8,... или 1, 8, 64,... называют геометрическими прогрессиями, и чтобы посчитать сумму, воспользуемся формулой суммы частичной геометрической прогрессии:
Отсюда
При больших m мы можем упростить:
Теперь у нас есть выражение, связывающее m c размером дыры H, и выражение, связывающее m с рангом rank. Мы можем из них вывести примерное уравнение рангового распределения H(rank):
Показатель степени при rank равен -ln(9)/ln(8), то есть, для распределения дыр квадратного ковра Серпинского β = ln(9)/ln(8), что примерно равно 1,06.
Хотя мы и не получили идеального β=1, результат достаточно к нему близок, так что мы можем себя поздравить с маленькой победой - мы нашли простую и весьма эстетичную структуру, порождающую степенное распределение, близкое к закону Зипфа, квадратный ковёр Серпинского. Его особая прелесть в том, что глядя на изображение этого фрактала мы словно видим настоящие города, ощущаем скрытую гармонию их размеров и числа. Но пока только ощущаем.
Канторова пыль
Для широты нашего взгляда (и не только), давайте исследуем на предмет степенных распределений ещё один тип простых фракталов - множества Кантора, или, как их художественно именуют, канторову пыль.
Этот фрактал строится так: вначале берется непрерывный отрезок, например, длиной 3. Затем из него вынимается центральная треть, длина которой равна 1. Из оставшихся двух кусков затем вынимаются центральные трети длиной 1/3 и т.д. То, что получается в пределе, называется канторовой пылью:
Найдём β рангового распределения размеров дыр во множестве Кантора. Для этого, как обычно, посчитаем, сколько и какого размера дыр прибавляется во множестве Кантора на каждом этапе построения фрактала.
На первом шаге у нас есть 1 дыра размером 1. На втором шаге к ней добавляется 2 дыры размером 1/3, на третьем шаге - 4 дыры размером 1/9 и т.д. То есть, на n-ном шаге мы будем иметь
Используя знакомый уже метод, вычислим β рангового распределения размеров дыр во множестве Кантора. Он оказывается равным ln(3)/ln(2), что примерно равно 1,58.
Хорошо, но можем ли мы как-то "подкрутив" множество Кантора, приблизится к β = 1? Попробуем, например, вынимать на каждом шаге из центров отрезков не треть, а половину:
В данном случае
Из чего выясняется, что β = ln(4)/ln(2) = 2. Хм, мы очевидно направились не в ту сторону - нам следует не увеличивать выемки из отрезков, а уменьшать. Но насколько?
Полагаю, наблюдательный читатель уже мог заметить: предугадать, каким для фрактала будет значение β можно глядя только на зависимость размера и числа дыр от номера каскада n. Например, для последнего фрактала β = ln(4)/ln(2), но четвёрка и двойка входят в выражения для числа и размера дыр. Если взять эти выражения и их "обработать" как надо, мы получим правильное β:
Эту закономерность можно проверить и по другим знакомым нам уже фракталам - она выполняется для всех, так что мы можем записать:
Мы заключили эту формулу в парадную рамочку, потому что, как может догадаться читатель, 1) её вполне можно строго доказать, и 2) она годится не только для ковров Серпинского и множеств Кантора, но для многих других типов фракталов, а потому является для нас удобным средством определять β фрактальной структуры, не погружаясь в вычисления.
Воспользуемся ею, чтобы ответить на вопрос: какой должна быть выемка при построении множества Кантора, чтобы для дыр выполнялся закон Зипфа?
Заметим сначала, что для множества Кантора, в котором на каждом этапе построения вынимается середина из остающихся отрезков всегда
Поскольку нам нужно получить β=1, на основании нашей новой формулы мы узнаём, что для этого должно выполняться выражение:
То есть, на первом этапе мы имеем, как обычно, дыру размером 1. На втором каскаде мы должны иметь 2 дыры размером по 1/2, на третьем - 4 дыры размером по 1/4 и т.д. Вроде бы, всё прекрасно, и мы ответили на вопрос. Нам осталось только понять, какой должна быть длина исходного отрезка z0:
Глядя на эту иллюстрацию, запишем суммарную длину двух отрезков и дыры, из которых состоит фрактал на первом шаге:
Сделаем то же самое для второго шага:
Теперь, пользуясь тем, что каскады фрактала подобны друг другу, запишем пропорцию, связывающую длины z1 и z2:
Из этого получается, что
Теперь подставим получившееся z1 в выражения для суммарных длин первого и второго каскада и поставим между ними знак равенства - ведь суммарные длины и первого и второго (и всех остальных каскадов) равны длине изначального отрезка z0:
Ай-яй-яй, мы пришли к абсурду. Это значит, что построить множество Кантора, дыры бы в котором подчинялись закону Зипфа, невозможно. Но проблема даже хуже: вообще получить в распределении размеров дыр "дырявых" фракталов вроде ковров Серпинского, множеств Кантора и т.д. чистый закон Зипфа – а не приближение к нему – невозможно.
(Помните, мы говорили о том, что идеально соответствующий закону Зипфа гармонический ряд заполняет всё пространство без остатка? Если бы составные части фрактала, дыры, соответствовали по размерам членам гармонического ряда, они попросту бы заполнили всё пространство, и уж во всяком случае, не смогли бы упаковаться в компактную фигуру вроде ковра Серпинского.)
Загадочная β=1 в очередной раз выскользнула у нас из рук. Но вскоре мы её всё-таки поймаем.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER