КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Темы:
Роман Уфимцев
11 декабря 2011 года, Калининград
В предыдущих прологах мы познакомились с алгоритмом каскадного дробления континуума, который, по нашей гипотезе, является фундаментальной причиной соответствия ранговых распределений городов по населению и частотности слов в натуральных текстах закону Зипфа.
Этот алгоритм порождает фракталы, однако это особый тип фракталов, который существенно отличается от таких известных геометрических фракталов как ковры Серпинского и множества Кантора. В этом прологе мы покажем, в чём особенность фракталов каскадного дробления континуума, и объясним, почему мы в дальнейшем будем именовать их когнитивными фракталами.
Самоподобное дробление континуума
Прежде всего, нам следует разобраться: являются ли вообще структуры, которые получаются с помощью алгоритма каскадного дробления фракталами в строгом смысле слова? Для этого сравним "официальный" фрактал, треугольный ковёр Серпинского, с фракталом каскадного дробления.
Наиболее существенная черта фрактала - его самоподобие. Между отдельными частями фракатала сохраняется подобие на всех масштабных уровнях. Это приводит к тому, что глядя на изображение фрактала, невозможно понять, то ли мы смотрим на фрактал целиком, но издалека (розовые линии подобия), или мы смотрим на разные части фрактала с неизменного расстояния (зелёные линии подобия):
Самоподобие также означает, что на любом масштабном уровне фрактала структурные отношения, пропорции, остаются неизменными:
Треугольник А относится к треугольникам B точно также, как любой из треугольников B относится к соответствующей группе треугольников C - и это выполняется на всех масштабных уровнях треугольника Серпинского.
Обладает ли таким же богатым самоподобием фрактал каскадного дробления континуума? Построим такой фрактал и выясним.
Напомню, началом построения фрактала каскадного дробления континуума является некоторый континуум произвольного размера. В нашем примере это будет квадрат единичной площади:
На втором этапе (каскаде) исходный континуум дробится по определённому правилу. В нашем случае этим правилом будет дробление континуума на четыре одинаковых части. Далее, на каждом следующем этапе (каскаде) правило дробления применяется ко всем частям, полученным на предыдущем этапе - и так до бесконечности.
Во-первых, заметим, что точно также, как в ковре Серпинского, на любом масштабном уровне этого фрактала структурные отношения, пропорции, остаются неизменными:
Во-вторых, убедимся, что глядя на изображение фрактала, мы не сможем понять: то ли мы глядим на него с разных расстояний, то ли мы смотрим на разные его составные части с неизменного расстояния (предполагаем, что линии разрезов континуума не видны):
Таким образом, алгоритм каскадного дробления даёт самоподобное дробление континуума, а то, что получается в результате является фракталом в строгом смысле этого слова.
Кроме идеальных фракталов, в которых самоподобие абсолютно строгое - как в ковре Серпинского или в только что рассмотренном нами фрактале каскадного дробления – существуют стохастические фракталы, в которых самоподобие соблюдается не идеально, а в целом или среднем. Например, у идеального множества Кантора есть стохастический собрат, в котором размеры и положения выемок из отрезка на каждом этапе случайно меняются, хотя в среднем правило "вынимаем треть из середины каждого отрезка" выполняется:
Точно также у рассмотренного выше идеального фрактала каскадного дробления имеется стохастическая разновидность, когда континуум дробится не на куски одинаковой площади, а случайно:
Именно такие, стохастические разновидности фрактала каскадного дробления имеют для нас особый интерес, поскольку именно они порождают гладкие степенные распределения с β=1, очень схожие со многими натуральными распределениями - в частности, с распределениями городов по населению и слов по частотности.
Фрактал вне потока времени
И всё же, как бы ни были похожи фракталы каскадного дробления континуума на ковры Серпинского или множества Кантора, между ними имеется существенное отличие. Проясним его, сравнив процесс построения классического множества Кантора и каскадного фрактала.
Начнём с множества Кантора:
Идеальное множество Кантора получается лишь после бесконечного числа этапов построения. Чтобы увидеть этот фрактал "во всей красе", нам нужно было бы взглянуть на состояние дел на каком-то одном, "последнем" этапе его построения.
Теперь построим фрактал каскадного дробления континуума. В качестве континуума у нас выступит такой же отрезок, какой мы использовали в начале построения множества Кантора. Далее на каждом этапе мы будем дробить отрезки пополам снова и снова:
Чтобы увидеть этот фрактал целиком, нам необходимо видеть одновременно все этапы дробления, а не только один этап. В этом состоит важная особенность фрактала каскадного дробления континуума.
Если процесс построения фрактала развивается поэтапно во времени, то для того, чтобы увидеть множество Кантора, нам нужно глядеть на него в какой-то один определённый момент времени - и мы его увидим целиком. Но не так с фракталом каскадного дробления: мы должны одновременно видеть все этапы дробления, происходившие во все моменты времени:
Образно говоря, чтобы увидеть этот фрактал целиком, необходимо оказаться "над временем" или "вне времени".
Из-за этой особенности, каждая точка исходного дробящегося континуума превращается в целое семейство, что мы можем увидеть, если глядим на такой фрактал "из-за пределов времени". Мы называем такие семейства волокнами:
Итак, фрактал каскадного дробления континуума можно понимать как фрактал, который существует над потоком времени. Из этого следует, что если мы столкнулись с натуральным явлением, демонстрирующим распределение с β = 1 (а наиболее фундаментальным объяснением таких распределений является каскадное дробление континуума), то мы можем предполагать, что управляющие факторы этого явления лежат вне потока времени. Это выразительная особенность позволяет нам отличать эти фракталы от большинства обычных пространственных фракталов, которые разворачиваются "внутри" хода времени.
Однако, не всегда процесс построения фракталов каскадного дробления континуума разворачивается во времени. В качестве примера познакомимся с ещё одним широко известным образцом натурального распределения, имеющего β = 1, то есть, соответствующего закону Зипфа - с распределением бассейнов рек по их площади.
Площади бассейнов рек
Очень часто, говоря о загадочной универсальности закона Зипфа, приводят пример площадей бассейнов рек в какой-то большой речной системе или суммарно в нескольких системах. Ранговое распределение этих площадей, как правило, хорошо соответствует закону Зипфа. Например, вот ранговое распределение площадей бассейнов всех рек России, входящих в государственный реестр:
Как видим, закон Зипфа хорошо выполняется для рек, имеющих площадь бассейна более 500 кв. километров.
Как обычно, мы можем предположить, что фундаментальной причиной закона Зипфа в данном случае также является каскадное дробление континуума. И это будет совершенно справедливо, потому что распределение рек по площадям их бассейнов - один из немногих случаев натуральных распределений, для которого кажется ясно, почему оно отвечает закону Зипфа. Причиной оказывается именно каскадное дробление континуума.
1) Представим, что мы находимся в некоторой географической точке России. Какому речному бассейну принадлежит эта точка?
2) Мы обнаруживаем, что находимся неподалеку от небольшой речки, название которой Малая. Мы видим, что ручьи впадают в эту речку, поэтому место, в котором мы находимся, считается принадлежащим бассейну реки Малой.
3) Мы садимся в лодку и начинаем плыть по реке Малой вдоль течения. Вскоре она вливается в реку Средняя. Так что исходный пункт нашего путешествия принадлежит также бассейну реки Средняя.
4) Лодка несет нас по течению р. Средняя и вскоре мы попадаем к её устью - там, где она впадает в реку Большая. И это нам даёт основания считать исходную точку нашего путешествия также принадлежащей бассейну реки Большая.
Итак, одна географическая точка одновременно принадлежит нескольким речным бассейнам и в идеале это можно сказать вообще о каждой точке бассейна р.Большая. Таким образом, в совокупности весь бассейн главной реки речной системы является каскадно дробящимся континуумом:
На первом каскаде это единый бассейн главной реки. На втором каскаде он дробится на бассейны её притоков, на третьем каскаде - на бассейны притоков притоков и т.д. Когда все эти бассейны разного иерархического уровня попадают в один статистический ряд, в одно распределение, не удивительно обнаружить, что оно соответствует закону Зипфа.
Наблюдательный читатель мог заметить отклонение от этой идеальной картины. Снова взглянем на иллюстрацию. Точка A принадлежит одновременно бассейнам 4 рек, которые являются притоками друг друга. Но точка B принадлежит только 2 бассейнам, а точка C - и вовсе одному, бассейну главной реки. Получается, что суммарная площадь бассейнов всех притоков какой-либо реки всегда несколько меньше общей площади бассейна этой реки. Это происходит потому, что некоторую часть территории река "обслуживает" сама, без помощи притоков. Однако, судя по близости β распределения бассейнов рек к 1, эта площадь "собственного обслуживания" для рек не велика. Тут полезно вспомнить квадратный ковёр Серпинского:
В нём суммарная площадь дыр на каждом следующем каскаде фрактала равнялась 8/9 от площади дыр на предыдущем. И β распределения дыр по площадям оказывалась при этом равной 1,06. Это весьма близко к "речному" 1,07, так что мы можем ожидать, что и суммарная площадь бассейнов всех притоков равна примерно 8/9 от общей площади бассейна реки (или чуть больше).
Мы опустим простые расчёты (а их читатель при желании может легко повторить), но если обозначить коэффициент "убывания" суммарных площадей бассейнов притоков по сравнению бассейном реки, куда они впадают как k, а число притоков у каждой реки как N, то:
Положим, что N=10, тогда для рек России, для которых β=1,07, получается, что в среднем каждая река "самостоятельно обслуживает" примерно 15% своего бассейна.
Так почему эти фракталы - когнитивные?
Итак, закон Зипфа в распределении площадей речных бассейнов возникает из-за того, что в один статистический ряд мы составляем объекты разных уровней иерархии: в одному ряду у нас и главные реки и их притоки и притоки притоков - и так вплоть до самых маленьких речушек. И этим самым мы, вообще-то, нарушаем традиционные правила логики, которая требует сопоставлять в один ряд и сравнивать лишь те объекты, которые принадлежат одному уровню иерархической организации мира, его структурного строения. Скажем, выясняя средние размеры тела человека, мы учитываем только рост людей целиком, но не их голов или ног - потому что головы и ноги лежат на более низком структурном уровне строения мира, нежели тело человека целиком. Или, изучая свойства электронов, физики не позволяют себе путать их с атомами, которые относятся к более высокому уровню строения материи. Говоря иначе, обычно мы тщательно учитываем иерархичность явлений мира. Статистика площадей бассейнов рек - исключение. Нам всё равно, как реки соотносятся друг с другом, какая река в какую вливается и т.д. Мы не обращаем внимание на их иерархическую организацию, для нас они все являются просто реками с бассейнами разной площади - и потому мы получаем закон Зипфа.
Но было бы не верно объявить это распределение результатом логической ошибки. Этот пример как раз и интересен тем, что тут мы видим "механику", лежащую за законом Зипфа. Но во многих других случаях нам она не видна. Какую же ошибку мы совершаем, составляя в один статистический ряд города с разным населением или слова натуральных языков с их разной частотностью? Разве здравый смысл не подсказывает нам, что все города принадлежат одному иерархическому уровню строения мира? А все слова - одному иерархическому уровню строения текста? И ещё много, много примеров...
Мы подошли к важному пункту Прологов. Наша иерархическая и структурная логика прекрасно применима для изучения физического порядка мира. В этой логике составлять бассейны рек в один ряд логически не правильно, потому что они включают друг друга, относятся к разным логическим уровням. Это не правильно так же, как не правильно арифметически складывать деревья, яблоки и сидящие на заборе кошки. Такая "ошибка" приводит к распределениям, соответствующим закону Зипфа. Однако, распространенность этого закона в самых разных явлениях мира, даже в таких, в каких вроде бы нет совершенно никакой иерархической организации - не может её просто быть - наводит на мысль, что наша структурная логика не всегда пригодна. Что мир во многих своих явлениях выходит за границы наших обычных структурных представлений. Что мир часто "не обращает внимание" на соблюдение иерархических субординаций. Мир часто ведёт себя как не умеющий мыслить правильно и логически строго ребёнок, который легко складывает в один ряд яблони с яблоками, а головы - с носами.
И точно также в половине случаев ведет себя наше восприятие и сознание. Если хотите, его "детская" часть. В этом чрезвычайно легко убедиться. Просто взгляните на эту картину и начните вслух перечислять то, что вы на ней видите:
Кликните, чтобы увеличить
 Можно увеличить
В ряд перечисляемых вами вещей будут легко попадать предметы, формально относящиеся к разным структурным и иерархическим уровням строения мира - ваше восприятие и сознание не будет испытывать никаких затруднений с тем, чтобы вслед за виноградом перечислить корыто, в котором оно лежит, вслед за женщиной - персики в подоле её платья и т.д. Но такое перечисление, составление в один ряд, смешивающее предметы разных уровней, и приводит к фракталам каскадного дробления и закону Зипфа - мы это видели на примере речных бассейнов. В целом всё визуальное пространство этого полотна оказывается для нашего восприятия и сознания каскадно дробящимся континуумом, когнитивным фракталом.
Обратимся теперь к обсуждавшемуся выше примеру фрактала каскадного добления:
Как мы говорили, чтобы его увидеть целиком, необходимо находиться "вне времени", потому что в каждый момент времени мы видим не весь фрактал, а только один его каскад. Но у людей есть прекрасный инструмент для такого "взгляда извне времени" - память. Память может составить в один ряд все последовательные этапы дробления и тем самым позволит нам увидеть фрактал целиком. Конечно, он будет существовать только "в пространстве нашего сознания", а не в пространстве-времени обычного физического мира, но он будет там существовать.
И вот что получается: память - одна из важнейших функций сознания - позволяет нам составить в один ряд каскады дробления, разнесённые временем. А восприятие - другая функция сознания - позволяет нам составить в один ряд каскады дробления, разнесённые логическими уровнями. И в том и в другом случае мы получаем фракталы каскадного дробления. Эти фракталы оказываются глубоко связанными со свойствами нашего сознания. И может быть, не только сознания человеческого, а какого-то загадочного "природного сознания". Поэтому у нас все основания их именовать когнитивными фракталами.
Когнитивные фракталы - порождение сознания, его свойств и закономерностей.
1
Роман объясните
где самоподобие при стохастическом дроблении?
ведь это важная характеристика для фрактала
Юрий (22.12.2011 12:39)
2
Стохастическое самоподобие
Если говорить просто, то это самоподобие, которое выполняется не абсолютно точно, а в среднем. Например, если в среднем каждый кусок дробящегося континуума делится на три части, то в каждом конкретном случае он может дробиться на 2, на 3, на 4 и т.д. Но если в среднем всё же мы имеем 3, то имеется стохастическое самоподобие.
Можно еще проще смотреть на это: самоподобие может сводиться к самому процессу дробления - каждый кусок случайно дробится - и так каскад за каскадом. И не важно, на сколько частей и в какой пропорции. Этого уже довольно, чтобы говорить о самоподобии фрактала каскадного дробления. Тут самоподобие не в точных числовых отношениях между каскадами, а в самом алгоритме их происхождения - он соблюдается точно.
В природе фракталы как раз чаще всего стохастические. В них некий принцип соблюдается точно, а числовые детали случайно варьируют. Например, дерево может точно соблюдать принцип раздвоения каждой ветви на две, но конкретные пропорции размеров этих ветвей подвержены случайным флуктуациям. Аналогично, береговые линии как фракталы - в них тоже самоподобие не точное, но на всех уровнях сохраняются неизменными некоторые отношения.
Роман Уфимцев (22.12.2011 14:14)
3
Автору.
Я в математике вообще никакая. А ваши статьи здесь читаю в захлёб. Я поражена вами. Все интересно и понятно. Интереснее чем любое другое чтиво. Я вас просто обожаю. Спасибо большое. Хочу чтоб были еще статьи.
Гульназ lidi56@yandex.ru (9.08.2012 6:03)
4
Спасибо, Гульназ
Я и сам не математик (приходится вникать теперь, без математики всё же знание не полно), и сам поражаюсь явной и скрытой гармонии вещей, о которых тут идет речь - наверное, это и чувствуется.
Спасибо за воодушевляющий отзыв.
Роман Уфимцев (9.08.2012 9:41)
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER