КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Темы:
Роман Уфимцев
12 декабря 2011 года, Калининград
Говоря о когнитивном порядке, одной из сигнатур которого является масштабная инвариантность, мы уделяем закономерно много внимания фракталам. Главной характеристикой фрактальной структуры для нас является β - показатель степенного рангового распределения размеров структурных частей фрактала. Как мы выяснили, для таких классических геометрических фракталов как множества Кантора или ковры Серпинского β всегда больше 1. Кроме того, мы описали особый тип фракталов, которые мы назвали когнитивными фракталами. Их особенность в том, что для них β = 1.
Однако, традиционно при описании фракталов главной характеристикой является пространственная размерность фрактала, или фрактальная размерность. Далее мы познакомимся с тем, что это такое, выясним связь между фрактальной размерностью и β, а также ещё раз убедимся, что когнитивные фракталы действительно являются особым, уникальным типом фракталов.
Размерность Хаусдорфа
Наверное, все знают о том, что такое размерность пространства или объекта. Самое популярное определение таково: размерность пространства или объекта это число независимых переменных, которые необходимы, чтобы определить положение точки в этом пространстве или объекте:
0) Начнём с математической точки как объекта. Её размерность равна 0, потому что для определения положения точки внутри неё не нужно вообще никаких переменных - точка всего одна, никаких вариантов её положения нет.
1) Отрезок линии. Его размерность равна 1, потому что для определения положения точки внутри отрезка нам нужна одна переменная.
2) Квадрат. Его размерность равна 2, потому что для определения положения точки внутри квадрата требуется две независимых переменных, две координаты, и т.д.
Как мы видим, все "нормальные" объекты имеют целочисленные размерности - 0, 1, 2, 3 и т.д. Однако, теперь известно и множество "ненормальных" объектов, размерность которых не является целой, а имеет промежуточные, дробные значения. Это фракталы. К примеру, хорошо уже нами изученный ковер Серпинского, с одной стороны, не является линией, а с другой - не является уже и "полноценной" сплошной плоской фигурой, ведь в нем "дырка на дырке":
Следовало бы ожидать, что его размерность будет иметь какое-то промежуточное значение между 1 и 2.
Другой пример - множество Кантора. Напомню, он строится на основе отрезка, из которого на первом шаге вынимается треть из центра, на втором - трети из оставшихся двух отрезков и т.д., до бесконечности:
То, что получается в результате, не точка, а скорее какая-то "точечная пыль" (поэтому этот фрактал называют ещё "канторовой пылью"). Но и отрезком эта пыль не является - в ней тоже "дырка на дырке". Следует думать, что размерность такого объекта должна лежать в промежутке между 0 и 1.
Так как же узнать точную пространственную размерность фрактальных структур? Существует несколько способов подсчёта, но самым простым и распространённым является способ, придуманный математиком Феликсом Хаусдорфом (и другим математиком, Абрамом Безиковичем). Пространственную размерность фрактала, подсчитанную этим способом, мы далее будем называть размерностью Хаусдорфа и обозначать буквой D.
Способ подсчёта размерности по методу Хаусдорфа-Безиковича основан на идее покрывать исследуемую фигуру маленькими квадратиками (отрезками, кубиками и т.д. - что больше подходит). Естественно, что чем меньше будут эти квадратики, тем больше их потребуется, чтобы полностью покрыть фигуру. Обозначим линейный размер квадратиков как e, а необходимое число таких квадратиков как N. Тогда размерность Хаусдорфа вычисляется по формуле:
То есть, следует дойти до предела и взять квадратики почти нулевого размера, подсчитать необходимое их число и тогда мы сможем точно определить размерность фигуры.
Чтобы попрактиковаться, посчитаем этим методом размерность обычного отрезка длины L:
Ясно, что какое бы e мы не взяли, чтобы покрыть весь отрезок, нужно не меньше N = L/e покрывающих мини-отрезочков. Подставляем это в формулу размерности:
При e стремящемся к нулю, первое слагаемое тоже стремится к нулю, так что мы в пределе получаем D = 1. То есть, отрезок линии имеет размерность Хаусдорфа 1, что совпадает с его пространственной размерностью.
Теперь подсчитаем размерность Хаусдорфа для множества Кантора (см. картинку выше). Если считать, что исходный отрезок имеет длину 1, то на втором каскаде образуется два отрезка длины 1/3, на третьем каскаде - четыре отрезка длины 1/9. Вообще, на n-ном каскаде мы имеем:
По мере увеличения номера каскада длина остающихся отрезков стремится к 0. Поэтому удобно взять в качестве покрывающего фрактал мини-отрезка e как раз один из этих остающихся на каждом каскаде отрезков:
Необходимое их число на каждом каскаде тоже известно, так что мы можем воспользоваться формулой расчёта размерности:
То есть, размерность Хаусдорфа для классического множества Кантора равна ln(2)/ln(3), что примерно равно 0,63. Как мы и предполагали, размерность "канторовой пыли" лежит в промежутке между 0 и 1.
Ещё один пример, рассчитаем размерность Хаусдорфа для треугольного ковра Серпинского, который, напомним, строится следующим образом:
Пусть вначале мы имеем 1 треугольник единичной площади. На втором каскаде мы имеем 3 треугольника площадью 1/4, на третьем - 9 треугольников площадью 1/16 и т.д. Вообще, на каскаде n мы имеем:
Для расчета размерности будем покрывать фигуру треугольными плитками именно такой площади, какой получаются треугольники на каждом каскаде. Они отлично подходят: при стремлении номера каскада к бесконечности, их площадь устремляется к 0. При этом линейный размер (длина стороны) e этих покрывающих плиток будет пропорционален квадратному корню из их площади (для простоты, пусть равен квадратному корню):
Подставляем результаты в формулу расчёта размерности:
Итак, размерность Хаусдорфа D для треугольного ковра Серпинского равна ln(3)/ln(2), что примерно равно 1,58 и действительно лежит в промежутке между 1 и 2.
Таким же образом мы можем рассчитать, что для квадратного ковра Серпинского D = ln(8)/ln(3), то есть, примерно 1,89. Это больше, чем размерность треугольного ковра, квадратный ковёр словно ближе к новому ковру вообще без дырок, который имеет размерность 2. Это заметно и визуально: квадратный ковёр более плотный, не такой ажурный, как треугольный:
Связь размерности Хаусдорфа и β
Читатель наверняка заметил, что манера, которой мы вычисляем размерности Хаусдорфа для различных фракталов очень похожа на манеру, которой мы рассчитывали для них β. Мало того, и в результатах заметно сходство. Сравним, например,
Треугольный ковёр Серпинского: D = ln(3)/ln(2), β = ln(4)/ln(3)
Квадратный ковёр Серпинского: D = ln(8)/ln(3), β = ln(9)/ln(8)
Можно заметить, что если D = ln(a)/ln(b), то β = ln(b²)/ln(a). Из этого можно вывести связь между размерностью Хаусдорфа и показателем β для ковров Серпинского:
Быть может, это соотношение выполняется и для множеств Кантора? Проверим:
Множество Кантора: D = ln(2)/ln(3), β = ln(3)/ln(2)
Очевидно, тут другое соотношение:
Не трудно догадаться, откуда различие: дело в том, что для вычисления β в ковре Серпинского в качестве характеристики размера структурных частей мы брали площади дыр, то есть, объекты размерности 2, а во множестве Кантора - дыры в отрезках, имеющие размерность 1. Обозначим размерность попадающих в ранговое распределение структурных частей фрактала как Dc. Мы можем тогда записать общую формулу, связывающую D и β:
Предпримем опытную проверку нашей формулы на примере ещё не обсуждавшегося нами типа фракталов, на кривой Коха (на картинке этапы её построения):
Размерность Хаусдорфа кривой Коха посчитать очень просто: D = ln(4)/ln(3). Теперь нам нужно посчитать β для этой кривой.
До сих пор мы имели дело с геометрическими фракталами, в которых в процессе построения вынимались куски - например, куски в ковре Серпинского или части отрезков во множестве Кантора. Именно для размеров этих вынимаемых кусков и отрезков мы строили ранговые распределения и получали показатель β. Однако, кривая Коха строится иначе - в ней ничего ниоткуда не вынимается. Нам требуется выбрать какие-то другие структурные элементы фрактала, для размеров которых мы и будем строить ранговое распределение. Тут есть варианты, но выберем, например, "высоту колючек", которые вырастают на кривой Коха в процессе построения:
Итак, пусть на первом этапе (каскаде) мы имеем одну колючку одинарной высоты. На втором этапе (каскаде) появится ещё 4 колючки с высотой 1/3, на третьем этапе - ещё 16 колючек с высотой 1/9 и т.д Получается, на каскаде n мы будем иметь:
Заметим, как это похоже на подобный расчет для площадей дыр треугольного ковра Серпинского:
Разница только в том, что вместо площадей дыр - высота колючек. Это даёт основания использовать для расчёта β ту же формулу, которую мы применяли до сих пор для "дырявых фракталов":
Получим, что для высоты колючек кривой Коха β = ln(3)/ln(4). Как видим, это точно соответствует нашей формуле при Dc = 1:
Dc = 1, поскольку высота колючек - это характеристика, имеющая размерность 1.
Обратим внимание, что мы впервые получили для классического фрактала β<1, примерно 0,79. До сих пор мы исследовали ковры Серпинского и множества Кантора и всегда получали β>1. Опираясь на нашу новую формулу, легко понять, в чём разница: для ковров Серпинского и множеств Кантора Dc > D – характерная размерность дыр оказывалась больше размерности получающегося фрактала. В процессе построения и ковры Серпинского и множества Кантора "тают", снижая размерность от исходного состояния. Напротив, для кривой Коха Dc < D - кривая Коха "разбухает", захватывая плоскость, и получает в конечном итоге фрактальную размерность больше исходной 1. При этом характерная размерность (высота колючек) равна 1.
Мы убедились, что для кривой Коха наше соотношение между D и β тоже выполняется. Итак,..
Соотношение показателя степенного рангового распределения β и размерности Хаусдорфа D для фрактальной структуры, образованной структурными элементами, размеры которых характеризуются целочисленной размерностью Dc – обозначим её как характерную размерность:
β фрактальной структуры равно отношению характерной размерности структурных элементов фрактала и размерности Хаусдорфа самой фрактальной структуры.
Мы заключили этот вывод в торжественную рамку, потому что это очень полезная для нас формула. Она позволяет нам вычислять фрактальную размерность даже для тех фракталов, которые мы не можем изобразить на бумаге, которые не видимы полностью или для которых непонятен сам алгоритм построения.
К примеру, для площадей бассейнов рек России β = 1,07, то есть, Dc/D = 1,07. Поскольку площади бассейнов имеют характерную размерность 2 (мы её исчисляем в квадратных километрах), то размерность Хаусдорфа для системы речных бассейнов России как фрактала равна 1,87 (а поскольку речь идёт о фрактале, то такую же размерность должны иметь и отдельные части этого фрактала, то есть, отдельные речные бассейны). К слову, это значение очень близко размерности Хаусдорфа 1,89 для так называемых перколяционных кластеров, которыми описывают протекание жидкостей через плоскую пористую среду. Не правда ли, любопытно?
Наша формула ценна и тем, что с помощью неё гораздо проще рассчитывать размерность Хаусдорфа даже для обычных геометрических фракталов - согласитесь, что посчитать β несколько проще, чем выcчитывать математические пределы по формуле Хаусдорфа.
Тут мы не приводим её строгого доказательства - но доказать её для классических типов фракталов не трудно. В качестве гипотезы мы будем считать, что она верна и для не-классических фракталов, в числе которых и описанный нами когнитивный фрактал.
Подведём первый итог. В соответствии с нашей новой формулой, фрактальная структура лишь тогда демонстрирует закон Зипфа, если характерная размерность её структурных частей равна её общей фрактальной размерности. Фракталы, для которых выполняется это условие, мы называем когнитивными фракталами. Далее мы продолжим их изучение.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER