КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Темы:
Роман Уфимцев
13 декабря 2011 года, Калининград
Мы продолжаем изучать когнитивные фракталы – особый сорт фракталов, которые по нашей гипотезе имеют прямое отношение к наблюдаемым в различных социальных и природных явлениях когнитивно обусловленных закономерностях.
Основной статистической сигнатурой этих закономерностей, совокупность которых мы именуем когнитивным порядком, является равенство единице показателя степенных ранговых распределений β, связанных с явлением. В этом случае говорят о соответствии явления закону Зипфа. Например, этому закону соответствуют распределения городов по их населённости, частотность слов в текстах, площади бассейнов рек и т.д. Мы установили, что фундаментальной моделью происхождения распределений с β=1 является алгоритм каскадного дробления континуума. Фрактальные структуры, которые образуются в результате действия этого алгоритма мы и называем когнитивными фракталами.
В предыдущем прологе мы установили основное условие, при котором фрактальная структура может демонстрировать статистику с β=1. Для этого характерная размерность структурных элементов фрактала Dc была бы точно равна размерности Хаусдорфа всего фрактала D:
В этом прологе мы проверим на выполнение этого условия те фракталы каскадного дробления континуума, с которыми мы уже имели дело, а также найдем с его помощью другие их типы.
Мы убедимся в том, что всякий раз, когда мы сталкиваемся с фракталом, для которого выполняется условие Dc = D, в нём ясно виден алгоритм дробления континуума, так что этот алгоритм действительно является фундаментальным объяснением закона Зипфа.
Из-за того, что когнитивные фракталы являются для нас одним из важнейших интеллектуальных инструментов для понимания когнитивного порядка, нам будет очень полезно увидеть, какими разными могут быть с первого взгляда когнитивные фракталы, какие разные образы они могут принимать. Эти разные образы или визуализации в совокупности позволят нам приобрести общее интуитивное понимание, "ощущение" сути когнитивных фракталов.
Образ 1: Дробящийся со временем континуум
До сих пор основным образом когнитивного фрактала для нас была картинка какой-то ограниченной плоскости (её форма не важна) - которая с течением времени рабивается на всё более мелкие части:
Как мы знаем, если мы возьмём все куски, которые когда либо появляются в процессе дробления вне зависимости от времени их появления, мы получим для их распределения по площадям β = 1. При этом если дробление случайное, то мы получим даже более точное соответствие закону Зипфа, потому что форма распределения будет не ступенчатой, как в случае идеального дробления, а линейной.
Посчитаем теперь для этого фрактала размерность Хаусдорфа. Для начала – для идеально дробящегося континуума.
Пусть площадь исходного континуума - у нас это квадратная плоскость - равна 1. С каждым каскадом дробления она делится на всё большее число квадратов поменьше. Для каскада n можно записать:
При n, стремящемся к бесконечности, размеры кусков стремятся к 0, так что мы можем взять эти куски в качестве покрывающих фрактал квадратов для расчёта размерности Хаусдорфа. При этом линейная мера e для покрывающих квадратов будет равна:
Теперь нам нужно оценить, сколько потребуется этих покрывающих квадратиков для того, чтобы полностью покрыть фрактал, который уже развернулся до каскада n (на картинках фракталы уже развернулись до третьего каскада). Заметим, что общая площадь фрактала на каскаде n равна n+1. Действительно, к исходному квадрату каждый каскад прибавляет к фракталу еще один квадрат такой же площади. Тогда для покрытия всей площади фрактала на каскаде n необходимо всего N квадратиков:
Подставляем e и N в формулу расчёта размерности Хаусдорфа:
Общая размерность такого фрактала оказывается целочисленной и равной 2. Но такую же характерную размерность имеют и структурные части этого фрактала, квадраты разных размеров. То есть, выполняется условие Dc = D.
Легко понять, что такое же значение D и Dc имеет стохастическая версия этого фрактала.
Похожим образом можно посчитать размерность Хаусдорфа для другого использовавшегося нами, одномерного варианта когнитивного фрактала:
Для него D = Dc = 1.
Образ 2: Гармонический крест и гармоническая берёза
Снова взглянем на изображение одномерного когнитивного фрактала. В совокупности он состоит из множества отрезков разной длины и нам ничто не мешает расположить их на плоскости как-то иначе - главное, чтобы сохранялось их число и размеры.
Во множестве отрезков имеем 1 отрезок единичной длины, 2 отрезка длины 1/2, четыре отрезка длины 1/4 и т.д. Тогда добавление каждого каскада можно изобразить как построение крестообразного фрактала на плоскости:
В результате мы получаем фрактал, который назовём гармоническим крестом:
Он имеет целочисленную размерность Хаусдорфа 1 (то есть, как у простого отрезка прямой) и β = 1. Естественно, что в этом фрактале также скрыт алгоритм каскадного дробления континуума, хотя это с первого взгляда может быть не очевидно.
Построим ранговое распределение для длин структурных частей этого фрактала. В их качестве выступают отрезки, из которых строился фрактал на каждом каскаде:
Как и должно быть для когнитивного фрактала, закон Зипфа выполняется, β примерно равна 1 (если учесть достаточно много каскадов, то будет точно β = 1). Однако, как это обычно бывает для идеальных фракталов, распределение имеет ступенчатую форму.
Как мы говорили, идеально и абсолютно точно закон Зипфа выполняется для гармонического ряда:
Для него распределение выглядит совершенно:
Один из способов приблизиться к этому совершенству - использовать стохастическое дробление континуума. Тогда ступеньки пропадают. Но можно ли сгладить эти ступеньки в каком-нибудь идеальном, не стохастическом фрактале?
Это просто. Для этого нам следует дробить континуум (у нас это отрезок единичной длины) на части разного, а не одинакового размера, например:
Вот какое распределение мы получим в результате такого дробления континуума:
Оно существенно приблизилось к идеальному гармоническому, ступеньки стали гораздо меньше.
Дробить можно в любых неизменных пропорциях - и мы получим идеальный, то есть, не стохастический фрактал. Кстати, каскадное дробление на три части размером 1/2, 1/3 и 1/6 уникально тем, что оно даёт идеальное совпадение с гармоническим рядом для 7 из 10 первых членов ряда (больше и не возможно):
На основе этой схемы дробления можно построить фрактал, подобный по построению гармоническому кресту, например, так:
То, что получится в результате мы образно назовём гармонической берёзой:
Разумеется, взяв другие пропорции дробления, можно получить целый лес гармонических берёз самого разного вида и "развесистости".
Почему мы назвали эти когнитивные фракталы гармоническим крестом и гармонической берёзой, пояснений, наверное, не требует.
Образ 3: Кривая Гильберта
Требование D = Dc для когнитивных фракталов означает обычно, что фрактал должен иметь целочисленную размерность Хаусдорфа D, потому что характерная размерность структурных частей фрактала Dc, как правило, целочисленная. Например, мы можем вычислять их длину, как для колючек кривой Коха, или площадь, как для дыр ковра Серпинского, можем вычислять объем и т.д. Соответственно, характерная размерность структурных частей фракталов будет равна 1, 2, 3 и т.д.
Обычные фракталы в большинстве случаев имеют не целочисленную, а дробную размерность. Поэтому фракталы иногда даже называют "объектами дробной размерности". Но это не правильное определение, потому что фракталы могут иметь и целочисленные размерности - в частности, когнитивные фракталы.
Вообще, фракталы с целочисленными размерностями хорошо известны математикам. Одним из наиболее известных фракталов такого рода является кривая Гильберта (на картинки - этапы её построения):
Чтобы понять алгоритм построения, удобно сопоставить первый и второй этап построения: П-образный сегмент (синий) заменяется на "вилку" затейливой формы (зелёная). В получившейся вилке получается 4 П-образных сегмента поменьше, которые на следующем этапе построения вновь заменяются на вилки и т.д.
Размерность Хаусдорфа для кривой Гильберта целочисленна и равна 2 - об этом легко догадаться, заметив, что эта кривая в пределе заполняет плоскость бесконечно плотно, приближаясь к размерности 2 самой плоскости.
Кривая Гильберта - один из членов семейства фракталов, которые основаны на алгоритме подобного заполнения плоскости, и имеющих размерность Хаусдорфа 2. В это же семейство входит кривая Пеано, кривая Серпинского, Мура, H-фрактал и другие подобные. Все дальнейшие наши рассуждения о кривой Гильберта применимы и ко всему семейству.
Посчитаем теперь β для кривой Гильберта. В качестве характерного параметра её структурных частей мы возьмём размеры вилок, получающихся на каждом этапе построения. При этом размер их мы будем определять по расстоянию между зубцами вилок:
Итак, на первом этапе мы имеем 1 вилку размера 1, на втором этапе - 4 вилки размером 1/2, на третьем - 16 вилок размером 1/4... Вообще на n-ном этапе:
Из этого, используя нашу формулу расчёта β по числу и размеру структурных частей фракталов на каждом каскаде, мы получим, что для размеров вилок кривой Гильберта β = 1/2.
Мы могли бы получить тот же результат просто воспользовавшись формулой связи между размерностью Хаусдорфа D и β:
Поскольку, характерная размерность вилок у нас равна 1 (мы меряем их ширину), а D = 2, мы получаем β = 1/2.
Ясно, что закон Зипфа для кривой Гильберта не выполняется. Однако, если бы характерная размерность у нас равнялась не 1, а 2, мы бы получили его выполнение. Иными словами, нам нужно исчислять размеры структурных частей кривой Гильберта не линейными размерами, а площадями:
В этом случае мы конечно получим β=1. И, разумеется, мы сразу заметим, что в этом случае мы получаем наш классический алгоритм каскадного дробления континуума: площадь больших вилок на каждом следующем каскаде делится на площади четырёх маленьких.
На примере кривой Гильберта мы замечаем важный момент: выбор характерной размерности структурных частей фрактальных структур прямо влияет на β, которое мы получаем. Если мы будем строить распределение, выбрав характерный параметр "не правильно", то мы можем потерять закон Зипфа, а значит, не заметить, что имеем дело с когнитивным фракталом. К примеру, если статистика имеет β = 1/2, есть основания заподозрить, что в качестве статистической характеристики следует взять величину более высокой размерности, нежели та, которой мы пользуемся. В случае кривой Гильберта нам следовало взять не линейный размер вилок, а их площадь, то есть, перейти от характеристики размерности 1 к характеристике размерности 2.
Существует трехмерный вариант кривой Гильберта:
Это пример фрактала каскадного дробления трехмерного континуума. Он имеет размерность Хаусдорфа D=3, и чтобы получить закон Зипфа, нам следовало бы в качестве характеристики размеров структурных элементов этого фрактала брать их объемы, то есть, Dc = 3. Если бы мы взяли в качестве характеристики их размеров площади (Dc = 2) или линейный размеры (Dc = 1), мы бы получили, соответственно, β = 2/3 и β = 1/3. Тут мы пока только обозначим эту проблему: не целые значения β могут указывать на особые отношения между размерностью фрактальной структуры D и размерностью характеристики Dc, которую мы используем для построения рангового распределения.
А пока, завершив второй, более глубокий экскурс в мир фракталов, мы возвращаемся к теме ранговых распределений городов по населению, чтобы теперь прояснить причины, по которым β для этих распределений может отклоняться от 1.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER