КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
 
Роман Уфимцев
16 декабря 2011 года, Калининград
Мы продолжаем разговор о когнитивных фракталах, в основе которых лежит алгоритм каскадного дробления континуума. Нашим основным рабочим примером являются социально-географические фрактальные структуры, в которые организуется население различных стран и провинций. Это, в частности, приводит к соответствию ранговых распределений городов по населению закону Зипфа.
В предыдущем прологе мы обозначили этажность, то есть, количество каскадов во фрактале, как одну из важных характеристик когнитивных фракталов. Чтобы делать надёжные оценки этажности и других характеристик, в этом прологе мы займёмся необходимым математическим аппаратом для таких оценок. Естественно, что он пригодится нам не только для исследования социально-географических фрактальных структур, но и для понимания других типов натуральных когнитивных фракталов.
Показатель β для произвольного идеального фрактала
До сих пор рассчитывая β для разного рода фракталов (в частности, для ковров Серпинского и множеств Кантора) мы пользовались вспомогательной формулой, которую оставляли без строгого вывода:
В ней используется зависимость размеров и числа структурных элементов фрактала (у нас это были "дыры") в зависимости от номера каскада n. Сейчас у нас есть повод познакомиться с доказательством этой формулы, а также получить её полезную обобщённую форму.
Итак, пусть мы имеем фрактал, состоящий из m структурных каскадов. Для определённости, будем считать, что отдельные структурные части фрактала представляют собой плоские фигуры и мы будем характеризовать их площадью S. Раньше мы высчитывали число и размер отдельных структурных частей фрактала на каждом его каскаде, а теперь мы будем характеризовать фрактал иначе, ближе к нашему основному алгоритму каскадного дробления континуума.
Пусть площадь исходного континуума S0. При идеальном дроблении континуума совокупная площадь всех структурных частей на втором каскаде фрактала (и на всех остальных каскадах) тоже равна S0. Теперь же рассмотрим отклонения от идеального дробления, когда совокупная площадь всех кусков второго каскада больше или меньше площади исходного континуума, эту разницу мы будем описывать "коэффициентом стройности" k:
Если k > 1, то каждый следующий каскад имеет совокупную площадь больше предыдущего, и фрактал приобретает вид усечённой пирамиды. Если k < 1, то пирамида перевёрнутая. Если k = 1, мы получаем стройную структуру, идеальный когнитивный фрактал.
Введём еще один параметр - коэффициент дробления N. Он описывает, на сколько частей дробится каждый структурный кусок фрактала на следующем каскаде (например, на следующем рисунке N=3). Пусть также дробление происходит на куски равной площади. Тогда мы можем посчитать число кусков на каждом каскаде, их совокупную площадь и площадь каждого отдельного куска (для простоты расчётов будем считать исходный континуум нулевым каскадом):
Нам требуется получить уравнение рангового распределения частей этого фрактала по их площади. Поскольку дробление происходит на равные куски, распределение будет иметь ступенчатый вид. Тем не менее, в целом ступеньки будут ложится на степенную кривую. Показатель степени этой кривой нам и нужен.
Найдём ранг и площадь одной из точек распределения, лежащей в конце ступени, соответствующей кускам фрактала, полученным на каскаде m:
Найдем ранг этой точки. Он равен количеству всех структурных частей фрактала полученных вплоть до каскада m:
Тут сначала мы имеем сумму геометрической прогрессии, затем мы используем формулу для таких сумм, а далее мы упрощаем результат, основываясь на предположении, что наша точка лежит по оси рангов где-то далеко от начала распределения (тогда N в степени m гораздо больше 1).
Мы получили значение ранга последней точки ступени в зависимости от номера соответствующего каскада rank(m). Площадь кусков на этом каскаде S(m) у нас уже есть, это:
Мы имеем rank(m) и S(m). Теперь из уравнения rank(m) нам нужно получить ему обратное m(rank):
Полученное значение m подставляем в S(m) и получаем искомое уравнение рангового распределения S(rank):
Уравнение рангового распределения для идеального фрактала. k - коэффициент стройности, N - коэффициент дробления:
Итак, ранговое распределение площадей структурных частей фракталов в целом соответствует степенной функции, а значение β зависит только от коэффициента стройности k и коэффициента дробления N. Легко убедиться, что в случае, если k=1, мы получаем β=1 при любом коэффициенте дробления N:
Мы нашли зависимость β от коэффициента стройности k и коэффициента дробления N для идеальных фракталов, в которых дробление происходит на куски одинаковой площади.
Структурные параметры когнитивных фракталов
Обозначим искомую этажность когнитивного фрактала как L. Мы её можем найти, опираясь на три соотношения:
1) Первое получено из только что выведенного нами уравнения beta(k,N).
2) Второе получено на основе подсчета общего количества структурных кусков в L каскадах фрактала, обозначим его как Ng:
Применительно к населению городов это число равно ранговому номеру последнего учитываемого в распределении населённого пункта. Естественно, чем более полную статистику мы рассматриваем, тем больше Ng.
3) Третье получено на основе подсчета суммарной площади всех кусков фрактала на L каскадах, обозначаем её как Sg:
Применительно к населению городов это число соответствует общему населению учитываемых населенных пунктов.
В этих трёх соотношениях переменные β, S0 (ей соответствует идеальное население крупнейшего города), Sg и Ng – все могут быть установлены из натуральных ранговых распределений, являются известными. Переменные k, N и L являются неизвестными. Число неизвестных равно числу уравнений, а значит, потенциально мы можем найти все неизвестные.
Например, для неизвестного коэффициента дробления N можно получить уравнение:
Заметим, что в интересных для нас случаях β обычно близка к 1. Переходя к пределу этого выражения при β стремящемся к 1, мы получим гораздо более простое:
В этих уравнениях все переменные, кроме самого N, нам известны. Но вот решить их относительно N аналитически, по видимому, невозможно. Их приходится решать приближенно, численными методами.
Вычислив N, мы получаем значение k по формуле:
И, наконец, мы можем получить выражение для этажности когнитивного фрактала L и толщины волокон V (последняя вычисляется как размер кусков на последнем каскаде фрактала):
Теперь мы имеем, вроде бы, всё, чтобы вычислять структурные параметры любого типа фракталов, в том числе и когнитивных, для которых β близка к 1. Однако, степенные свойства фракталов тут создают немалые трудности и источники крупных погрешностей.
Предположим, что мы имеем опытные замеры статистики по площадям и количеству дыр в квадратном ковре Серпинского:
Для него коэффициент дробления N = 8, поскольку на каждом следующем каскаде дыр становится в 8 раз больше, чем на предыдущем. Коэффициент стройности k для него равен 8/9, потому что суммарная площадь дыр на каждом следующем каскаде равна 8/9 от суммарной площади дыр на предыдущем. Однако, поставим себя в гипотетическую ситуацию исследования, когда мы должны выяснить N и k, исходя из рангового распределения дыр ковра по их площадям. Пусть мы имеем следующее распределение:
Теоретически, для квадратного ковра Серпинского β = 1,057 если вычислять по формуле:
Мы бы и получили такое значение, если бы у нас была очень большая статистика. Но мы имеем данные всего по 5 каскадным уровням. И если бы мы не знали настоящее β, нам пришлось бы оценивать его приближенно. Например, проводя сглаживающую линию лестницы через первую точку распределения, мы получим β=1,13, что довольно заметно отличается от 1,057. Итак, исходные данные для расчета таковы: β=1,13, S0 = 1 (площадь первой дыры), Sg=4,01 (суммарная площадь всех дыр в распределении), Ng=4681 (число дыр в распределении).
Если мы попробуем рассчитать N по формуле:
мы получим существенно завышенный результат: 16,2 (на самом деле N = 8).Однако, даже если воспользоваться формулой для случаев, когда β не близка к 1:
мы получим по этим исходным данным N = 4,56, что является, наоборот, слишком заниженным результатом. Причина ошибки в том, что результат очень зависит от β, а определить его точно для ступенчатого распределения непросто, особенно если ступеней мало. Например, для бледной зелёной линии на распределении, которая лучше соответствует точному наклону ступеней, получаем β=1,052, и это даёт результат N = 8,36, ближе соответствующий истинному значению N = 8. Естественно, что ошибочная оценка коэффициента дробления N приводит к ошибочным результатам и для других структурных параметров фракталов. Например, для коэффициента стройности k мы получаем 0,895 при точном значении около 0,889.
Следует помнить о подобной чувствительности вычисляемых параметров к точности исходных данных, особенно β. К счастью, для стохастических фракталов, с которыми мы в основном имеем дело, распределения не выглядят ступенчато и оценить β более-менее достоверно становится проще. Однако, тут есть некоторые особенности – в следующем прологе мы с ними познакомимся.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER